华东师大版九年级下册数学 26.2二次函数的图像与性质 同步练习（Word版 含解析）

26.2二次函数的图像与性质
同步练习
一．选择题
1．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2）
B．（0，﹣2）
C．（﹣2，0）
D．（﹣2，0）、（1，0）
2．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣3
B．x＝﹣1
C．x＝﹣2
D．x＝4
3．A（﹣2，y1）B（1，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的两点，则y1，y2的大小关系（　　）
A．y1＞y2
B．y1＝y2
C．y2＞y1
D．无法判断
4．下列对二次函数y＝2（x﹣1）2的图象的描述，正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．在对称轴左侧y随x的增大而增大
D．顶点（1，0）
5．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，且此图象过A（﹣1，1）、B（2，﹣1）两点，则结论正确的是（　　）
A．y的最大值小于0
B．当x＝3时，y的值小于0
C．当x＝1时，y的值大于1
D．当x＝0时，y的值大于1
6．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法不正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）
B．图象的对称轴在y轴的左侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．函数的最小值为﹣3
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣2.5
﹣5
﹣2.5
5
17.5
…
则代数式16a﹣4b+c的值为（　　）
A．17.5
B．5
C．﹣5
D．﹣17.5
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，那么代数式|a|+4ac﹣b2的化简结果是（　　）
A．a
B．﹣a
C．0
D．1
9．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（　　）
A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0
D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0，④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m）．其中说法正确的是（　　）
A．①②④⑤
B．①②④
C．①④⑤
D．③④⑤
二．填空题
11．二次函数y＝﹣x2+20x图象的对称轴是　
　．
12．如图，抛物线y＝x2与直线y＝x交于O，A两点，将抛物线沿射线OA方向平移个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线x＝3交于点D，则点D经过的路程为　
　．
13．已知关于x的二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x＜时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为　
　．
14．当1≤x≤2时，二次函数y＝（x﹣h）2+3有最小值4，则h的取值为　
　．
15．如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2020B2019B2020的腰长＝　
　．
三．解答题
16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点．
（1）求抛物线解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围．
17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向　
　；对称轴为　
　；
（2）直接写出抛物线的表达式　
　．
（3）请在图中画出所求的抛物线．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：令x＝0，则y＝﹣2，
∴抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．
故选：B．
2．解：抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣1+3）2﹣3，即y＝2（x+2）2﹣3，其对称轴是直线x＝﹣2．
故选：C．
3．解：∵A（﹣2，y1）B（1，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的两点，
∴y1＝﹣4+4+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，
∴y1＞y2，
故选：A．
4．解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴是直线x＝1，故选项B错误；
在对称轴左侧y随x的增大而减小，故选项C错误；
顶点坐标为（1，0），故选项D正确；
故选：D．
5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（﹣1，1）、B（2，﹣1）两点，
∴y的最大值大于1，故选项A错误；
当x＝3时，y的值小于0，故选项B正确；
当x＝1时，y的值小于1，故选项C错误；
当x＝0时，y的值小于1，故选项D错误；
故选：B．
6．解：∵二次函数y＝2x2+4x﹣1，
∴当x＝0时，y＝﹣1，即图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），故选项A正确；
该函数的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，即图象的对称轴在y轴的左侧，故选项B正确；
当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故选项C不正确；
该函数的最小值为＝﹣3，故选项D正确；
故选：C．
7．解：∵x＝0和x＝﹣2时y的值相同都是﹣2.5，
∴点（﹣2，﹣2.5）和点（0，﹣2.5）关于二次函数的对称轴对称，
∴对称轴为：x＝＝﹣1
∴点（﹣4，17.5）和点（2，17.5）关于二次函数的对称轴对称，
∴x＝﹣4时对应的函数值y＝17.5，
∴16a﹣4b+c＝17.5
故选：A．
8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口方向向下，即a＜0；
又∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，
∴＝0，
∴4ac﹣b2＝0，
∴|a|+4ac﹣b2＝﹣a+0＝﹣a．
故选：B．
9．解：∵抛物线过点A（m，n），C（2﹣m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝1，
若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项A错误，
若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＞|1﹣x2|，故选项B错误，
若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＞0，故选项C错误，
若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD，故选项D正确．
故选：D．
10．解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线经过点（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．
故③错误；
④∵（﹣，y1）关于对称轴x＝的对称点的坐标是（，y1），
又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜，
∴y1＜y2．
故④正确；
⑤∵抛物线的对称轴x＝，
∴当x＝时，y有最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠）．
∵a＝﹣b，
∴b＞m（am+b）（其中m≠），
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②④⑤．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝10．
故答案为直线x＝10．
12．解：由题意，抛物线沿着射线AB平移个单位时，向右平移4个单位，向上平移
4个单位，
设平移后的顶点为（a，a），则平移后的解析式为y＝（x﹣a）2+a，
当x＝3时，y＝a2﹣5a+a2，
∴a＝时，y有最小值，最小值＝，
∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），此时D的坐标为（3，9），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（4，4），
平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2+4，
此时D′（3，5），
∵点D经过的路径为D→M→D′，M（3，），
∴路径长为：（9﹣）+（5﹣）＝，
故答案为．
13．解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，
且对称轴≥，
解得m≤5，
故答案为：0＜m≤5．
14．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤2，x＝1时，y取得最小值4，
可得：（1﹣h）2+3＝4，
解得：h＝0或h＝2（舍）；
②若1≤x≤2＜h，当x＝2时，y取得最小值4，
可得：（2﹣h）2+3＝4，
解得：h＝3或h＝1（舍）；
③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为3，不是4，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h的值为0或3，
故答案为：0或3．
15．解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E．
∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，
∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E．
设A1（a，b），则a＝b，将其代入解析式y＝x2得：
∴a＝a2，
解得：a＝0（不符合题意）或a＝1，
由勾股定理得：A1B0＝，
∴B1B0＝2，
过B1作B1N⊥A2F，设点A（x2，y2），
可得A2N＝y2﹣2，B1N＝x2＝y2﹣2，
又点A2在抛物线上，所以y2＝x22，
（x2+2）＝x22，
解得x2＝2，x2＝﹣1（不合题意舍去），
∴A2B1＝2，
同理可得：
A3B2＝3，
A4B3＝4，
…
∴A2020B2019＝2020，
∴△A2020B2019B2020的腰长为：2020．
故答案为2020．
三．解答题
16．解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵当x＝0时，y＝﹣3；当x＝3时，y＝x2﹣2x﹣3＝9﹣6﹣3＝0，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤x＜0．
17．解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；
故答案为：上，直线x＝1；
（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故答案为y＝x2﹣2x﹣3；
（3）描点、连线画出抛物线图象如图：
．
18．解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；
（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，
解得x＝1或﹣3，
∴M（﹣3，2）；N（1，2）；
②当抛物线开口向上时，如图1，
抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，
则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），
将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到
m＝，
将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到
m＝，
结合图象可得＜m≤．
当抛物线开口向下时，如图2，
则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），
将（0，3）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到
m＝﹣，
将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到
m＝﹣，
结合图象可得﹣≤m＜﹣．
综上，m的取值范围为．