人教版八年级数学上册考点与题型归纳：12.2全等三角形的判定（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册考点与题型归纳：12.2全等三角形的判定（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 575.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-24 19:14:52 | ||
图片预览
文档简介
人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形
12.2
全等三角形的判定
一：考点归纳
考点一、三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
考点二、直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
.考点三、证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶
角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
二：【题型归纳】
题型一：直角三角形全等的判定
1．如图，已知，垂足分别为点，且．
求证：
题型二：SAS的判定
2．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度数．
题型三：全等三角形判定与性质的综合
3．如图，ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D为AC延长线上的一点，E在BC边上，连接AE，DE，BD，AE=BD，
（1）求证：
（2）若∠CAE=15°，求∠EDB的度数．
4．如图，AD为ABC的高，AD＝BD，E为AC上一点，BE交AD于F，且FD＝CD．
（1）求证：BFD≌ACD；
（2）判断BE与AC的位置关系，并说明理由．
三：基础巩固和培优
一、单选题
1．如图，∠ABD＝∠EBC，BC＝BD，再添加一个条件，使得△ABC≌△EBD，所添加的条件不正确的是（ ）
A．∠A＝∠E
B．BA＝BE
C．∠C＝∠D
D．AC＝DE
2．如图，下列条件中，不能证明≌的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．如图，下列条件不能证明的是（
）
A．AB＝DC，AC＝DB
B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D
D．AB＝DC，∠ACB＝∠DBC
4．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪一个条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC=EF
B．∠A=∠D
C．AC//DF
D．∠B=∠DEF
5．如图，ABC的面积为10，BP平分∠ABC，AP垂直于BP于P．连接CP，若ACP的面积为2，则ABP的面积为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，已知AD是ABC的角平分线，增加以下条件：①AB＝AC；②∠B＝∠C；③AD⊥BC；
④，其中能使BD＝CD的条件有
（
）
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
7．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（
）
A．∠B=∠D
B．BE=DF
C．AD=CB
D．AD∥BC
8．如图，在△和△中，已知，还需添加两个条件才能使△≌△，不能添加的一组条件是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
9．如图，，AC=BC．，，垂足分别是点D、E．若AD=6，BE=2，则DE的长是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．如图，△ABC的面积为1cm2，
AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（
）
A．0.4
cm2
B．0.5
cm2
C．
cm2
D．0.6
cm2
二、填空题
11．如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝25°，则∠BDC＝_____．
12．在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝∠A′，AB＝A′B′，请你补充一个条件_____，使得△ABC≌△A′B′C′．
13．如图，在ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF＝56°，则∠A＝_____°．
14．如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是________．
15．如图，在△ABC
中，AB＝AC＝12，BC＝8，D
为
AB
的中点，点
P
在线段
BC
上以每秒2
个单位的速度由
B
点向
C
点运动，同时，点
Q
在线段
CA
上以每秒
x
个单位的速度由C
点向
A
点运动．当△BPD
与以
C、Q、P
为顶点的三角形全等时，x
的值为_____．
三、解答题
16．如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点F，BF与CD的延长线交于点E，连接CE．
求证：（1）△BCE是等腰三角形．
（2）BC=AB+CD
17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC
＝DF，BE＝CF．求证：△ABC
≌△DEF；
18．如图，D为△ABC外一点，∠DAB＝∠B，CD⊥AD，∠1＝∠2，若AC＝7，BC＝4，求AD的长．
19．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F,DG⊥AM于点G,连接CD．
（1）求证：BG=CF；
（2）若AB=10cm，AC=14cm，求AG的长．
20．在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
试卷第1页，总3页
参考答案
题型归纳
1.证明：
在和中
2．
解：（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝48°，
∴∠C＝∠EDC＝66°，
∴∠BDE＝∠C＝66°．
3．
（1）证明：在Rt△ACE和Rt△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（HL）；
（2）∵△ACE≌△BCD，∠CAE=15°，
∴CE=CD，∠CBD=∠CAE=15°
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ACB=90°，
∴∠CED=45°，
∵∠CED为△BDE的外角，
∴∠EDB=∠CED-∠CBD=45°-15°=30°．
4．证明：（1）在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（SAS）；
（2）BE⊥AC，
理由如下：
∵△BDF≌△ADC，
∴∠DAC＝∠DBF，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC．
三：基础巩固和培优
1．D
解：∵∠ABD＝∠EBC，BC=BD，
∴∠ABC=∠EBD，
A.当添加∠A=∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EBD，故正确；
B.当添加BA=BE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△EBD，故正确；
C.当添加∠C=∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△EBD，故正确；
D.当添加AC＝DE时，无法判断△ABC≌△EBD，故错误；
故选：D．
2．D
解：A、因为，，又因为AD=AD，所以≌（SSS），故本选项不符合题意；
B、因为，，又因为AD=AD，所以≌（SAS），故本选项不符合题意；
C、因为，，又因为AD=AD，所以≌（AAS），故本选项不符合题意；
D、因为，，AD=AD，这是边边角，不能证明≌，故本选项符合题意．
故选：D．
3．D
解：AB＝DC，AC＝DB，BC＝BC，
符合全等三角形的判定定理“SSS”，
能推出
，故A选项错误；
AB＝DC，，BC＝CB
符合全等三角形的判定定理“SAS”，
能推出
，故B选项错误；
在△AOB和△DOC中，
，
∴
（AAS），
∴AB＝DC，∠ABO＝∠DCO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴（SAS），
能推出，故C选项错误；
BC＝CB，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC，SSA不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故D选项正确．
故选D．
4．D
解：∵BE＝CF，∴BC＝EF，
又∵AB=DE，
A、添加BC＝EF不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
B、添加∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
C、添加AC∥DF可得∠ACB＝∠F，不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
D、添加∠B=∠DEF可利用SAS判定△ABC≌△DEF，故此选项正确；
故选：D．
5．C
解：延长AP交BC于D，
∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，
∴∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP与△DBP中，
，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=PD，S△PBD=S△ABP
∴
∴S△ABD=10-4=6，
∴△ABP的面积=3cm2，
故选：C．
6．D
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD（SAS），
∴BD=CD，故①符合题意；
∵∠B=∠C，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD（AAS），
∴BD=CD，故②符合题意；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD=AD，
∴△BAD≌△CAD（ASA），
∴BD=DC，故③符合题意；
∵，
∴BD=DC，故④符合题意；
∴①②③④都可以得到BD=CD；
故选D．
7．C
解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∠B=∠D，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足AAS，能判定△ADF≌△CBE；
B、BE=DF，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足SAS，能判定△ADF≌△CBE；
C、AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足SSA，不能判定△ADF≌△CBE；
D、AD∥BC，则∠A=∠C，又AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足ASA，能判定△ADF≌△CBE；
故选：C．
8．C
解：∵CB=CE.
∴当，时，满足SAS，可证△≌△，故A不符合题意；
当，时，满足SSS，可证△≌△，故B不符合题意；
当，时，满足是ASS，不能证明△≌△，故C符合题意；
当，时，满足AAS，可证△≌△，故D不符合题意．
故选C．
9．C
解：∵，
∴∠ACD+∠ECB=90?，
∵，，
∴∠ADC=∠CEB=90?，
∴∠ECB+∠CBE=90?，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB=90?，∠ACD=∠CBE，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=6，CD=BE=2，
∴ED=EC-CD=6-2=4．
故选择：C．
10．B
解：如图，延长AP交BC于T．
∵BP⊥AT，
∴∠BPA＝∠BPT＝90°，
∵BP＝BP，∠PBA＝∠PBT，
∴△BPA≌△BPT（ASA），
∴PA＝PT，
∴S△BPA＝S△BPT，S△CAP＝S△CPT，
∴S△PBC＝S△ABC＝=0.5，
故选：B．
11．70°
解：
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD=∠ABC
=90°，
在Rt△ABE与Rt△CBD中，
∴△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵∠AEB为△AEC的外角，∠CAE=25°，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+25°=70°，
∴∠BDC=70°．
故答案为：70°．
12．∠B＝∠B′或∠C＝∠C′或AC＝A′C′．
解：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，
当添加∠B＝∠B′可利用“ASA”判断△ABC≌△A′B′C′；
当添加∠C＝∠C′可利用“AAS”判断△ABC≌△A′B′C′；
当添加AC＝∠A′C′可利用“SAS”判断△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：∠B＝∠B′或∠C＝∠C′或AC＝A′C′．
13．68°．
解：在△BDF和△CED中
∵BF=CD，∠B=∠C，BD＝CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，∠BDF=∠CED，
∴∠BDF+∠CDE=180?-∠EDF=180?-56?=124?，
∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE=124?，
∴∠C=∠B=180?-∠BFD-∠BDF=56?，
∴∠A=180?-∠B-∠C=180?-56?-56?=68?．
故答案为：68?．
14．①②
解：在和中，
，
，
，①正确，
∴，
，
，
，②正确，
和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明
，故③④错误；
故答案是：①②．
15．2
或
3
解：设经过
t
秒后，使△BPD
与△CQP
全等．
∵AB＝AC＝12，点
D
为
AB
的中点．
∴BD＝6．
∵∠ABC＝∠ACB．
∴要使△BPD
与△CQP
全等，必须
BD＝CP
或
BP＝CP．
即
6＝8﹣2t
或
2t＝8﹣2t．
＝1，＝2．
当t＝1
时，BP＝CQ＝2，2÷1＝2．
当t＝2
时，BD＝CQ＝6，6÷2＝3．
即点
Q
的运动速度是
2
或
3，
故答案为：2
或
3．
16．解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴，
∵CD∥AB，
∴，
∴，
∴BC=CE，
∴△BCE
是等腰三角形．
（2）∵CF平分∠BCE，
∴，
∵CD∥AB，
∴，
∴，
∴，即
CF⊥BE，
又BC=CE，
∴BF=EF，
在△ABF和△DEF中，
∵，
∴△ABF≌△DEF；
∴AB=DE，
∴BC=CE=DE+CD=AB+CD，
因此
BC=AB+CD．
17．
解：证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC
≌△DEF（SSS）．
18．
解：证明：延长AD，BC交于点E．
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠EDC＝90°．
在△ADC和△EDC中
，
∴△ADC≌△EDC（ASA）．
∴∠DAC＝∠DEC，AC＝EC，AD＝ED．
∵AC＝7，
∴EC＝7．
∵BC＝4
∴BE＝11
∵∠DAB＝∠B，
∴AE＝BE＝11．
∴AD＝5.5．
答：AD的长为5.5．
19．
解：（1）证明：如图所示，连接DB．
∵AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA，
∴DF=DG．
∵DE垂直平分BC，
∴DC=DB，
在Rt△CDF与Rt△BDG中
∴Rt△CDF≌Rt△BDG（HL），
∴BG=CF．
（2）解：∵∠GAD=∠FAD，∠AGD=∠AFD，AD=AD，
∴在△ADG与△ADF中
∴△ADG≌△ADF（AAS），
∴AG=AF，
∵BG=CF
∴AG=(cm)．
20．解：（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）解：DE＝BE﹣AD，理由如下：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝BE﹣AD．
12.2
全等三角形的判定
一：考点归纳
考点一、三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
考点二、直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
.考点三、证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶
角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
二：【题型归纳】
题型一：直角三角形全等的判定
1．如图，已知，垂足分别为点，且．
求证：
题型二：SAS的判定
2．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度数．
题型三：全等三角形判定与性质的综合
3．如图，ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D为AC延长线上的一点，E在BC边上，连接AE，DE，BD，AE=BD，
（1）求证：
（2）若∠CAE=15°，求∠EDB的度数．
4．如图，AD为ABC的高，AD＝BD，E为AC上一点，BE交AD于F，且FD＝CD．
（1）求证：BFD≌ACD；
（2）判断BE与AC的位置关系，并说明理由．
三：基础巩固和培优
一、单选题
1．如图，∠ABD＝∠EBC，BC＝BD，再添加一个条件，使得△ABC≌△EBD，所添加的条件不正确的是（ ）
A．∠A＝∠E
B．BA＝BE
C．∠C＝∠D
D．AC＝DE
2．如图，下列条件中，不能证明≌的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．如图，下列条件不能证明的是（
）
A．AB＝DC，AC＝DB
B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D
D．AB＝DC，∠ACB＝∠DBC
4．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪一个条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC=EF
B．∠A=∠D
C．AC//DF
D．∠B=∠DEF
5．如图，ABC的面积为10，BP平分∠ABC，AP垂直于BP于P．连接CP，若ACP的面积为2，则ABP的面积为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，已知AD是ABC的角平分线，增加以下条件：①AB＝AC；②∠B＝∠C；③AD⊥BC；
④，其中能使BD＝CD的条件有
（
）
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
7．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（
）
A．∠B=∠D
B．BE=DF
C．AD=CB
D．AD∥BC
8．如图，在△和△中，已知，还需添加两个条件才能使△≌△，不能添加的一组条件是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
9．如图，，AC=BC．，，垂足分别是点D、E．若AD=6，BE=2，则DE的长是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．如图，△ABC的面积为1cm2，
AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（
）
A．0.4
cm2
B．0.5
cm2
C．
cm2
D．0.6
cm2
二、填空题
11．如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝25°，则∠BDC＝_____．
12．在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝∠A′，AB＝A′B′，请你补充一个条件_____，使得△ABC≌△A′B′C′．
13．如图，在ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF＝56°，则∠A＝_____°．
14．如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是________．
15．如图，在△ABC
中，AB＝AC＝12，BC＝8，D
为
AB
的中点，点
P
在线段
BC
上以每秒2
个单位的速度由
B
点向
C
点运动，同时，点
Q
在线段
CA
上以每秒
x
个单位的速度由C
点向
A
点运动．当△BPD
与以
C、Q、P
为顶点的三角形全等时，x
的值为_____．
三、解答题
16．如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点F，BF与CD的延长线交于点E，连接CE．
求证：（1）△BCE是等腰三角形．
（2）BC=AB+CD
17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC
＝DF，BE＝CF．求证：△ABC
≌△DEF；
18．如图，D为△ABC外一点，∠DAB＝∠B，CD⊥AD，∠1＝∠2，若AC＝7，BC＝4，求AD的长．
19．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F,DG⊥AM于点G,连接CD．
（1）求证：BG=CF；
（2）若AB=10cm，AC=14cm，求AG的长．
20．在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
试卷第1页，总3页
参考答案
题型归纳
1.证明：
在和中
2．
解：（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝48°，
∴∠C＝∠EDC＝66°，
∴∠BDE＝∠C＝66°．
3．
（1）证明：在Rt△ACE和Rt△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（HL）；
（2）∵△ACE≌△BCD，∠CAE=15°，
∴CE=CD，∠CBD=∠CAE=15°
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ACB=90°，
∴∠CED=45°，
∵∠CED为△BDE的外角，
∴∠EDB=∠CED-∠CBD=45°-15°=30°．
4．证明：（1）在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（SAS）；
（2）BE⊥AC，
理由如下：
∵△BDF≌△ADC，
∴∠DAC＝∠DBF，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC．
三：基础巩固和培优
1．D
解：∵∠ABD＝∠EBC，BC=BD，
∴∠ABC=∠EBD，
A.当添加∠A=∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EBD，故正确；
B.当添加BA=BE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△EBD，故正确；
C.当添加∠C=∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△EBD，故正确；
D.当添加AC＝DE时，无法判断△ABC≌△EBD，故错误；
故选：D．
2．D
解：A、因为，，又因为AD=AD，所以≌（SSS），故本选项不符合题意；
B、因为，，又因为AD=AD，所以≌（SAS），故本选项不符合题意；
C、因为，，又因为AD=AD，所以≌（AAS），故本选项不符合题意；
D、因为，，AD=AD，这是边边角，不能证明≌，故本选项符合题意．
故选：D．
3．D
解：AB＝DC，AC＝DB，BC＝BC，
符合全等三角形的判定定理“SSS”，
能推出
，故A选项错误；
AB＝DC，，BC＝CB
符合全等三角形的判定定理“SAS”，
能推出
，故B选项错误；
在△AOB和△DOC中，
，
∴
（AAS），
∴AB＝DC，∠ABO＝∠DCO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴（SAS），
能推出，故C选项错误；
BC＝CB，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC，SSA不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故D选项正确．
故选D．
4．D
解：∵BE＝CF，∴BC＝EF，
又∵AB=DE，
A、添加BC＝EF不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
B、添加∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
C、添加AC∥DF可得∠ACB＝∠F，不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
D、添加∠B=∠DEF可利用SAS判定△ABC≌△DEF，故此选项正确；
故选：D．
5．C
解：延长AP交BC于D，
∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，
∴∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP与△DBP中，
，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=PD，S△PBD=S△ABP
∴
∴S△ABD=10-4=6，
∴△ABP的面积=3cm2，
故选：C．
6．D
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD（SAS），
∴BD=CD，故①符合题意；
∵∠B=∠C，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD（AAS），
∴BD=CD，故②符合题意；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD=AD，
∴△BAD≌△CAD（ASA），
∴BD=DC，故③符合题意；
∵，
∴BD=DC，故④符合题意；
∴①②③④都可以得到BD=CD；
故选D．
7．C
解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∠B=∠D，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足AAS，能判定△ADF≌△CBE；
B、BE=DF，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足SAS，能判定△ADF≌△CBE；
C、AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足SSA，不能判定△ADF≌△CBE；
D、AD∥BC，则∠A=∠C，又AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足ASA，能判定△ADF≌△CBE；
故选：C．
8．C
解：∵CB=CE.
∴当，时，满足SAS，可证△≌△，故A不符合题意；
当，时，满足SSS，可证△≌△，故B不符合题意；
当，时，满足是ASS，不能证明△≌△，故C符合题意；
当，时，满足AAS，可证△≌△，故D不符合题意．
故选C．
9．C
解：∵，
∴∠ACD+∠ECB=90?，
∵，，
∴∠ADC=∠CEB=90?，
∴∠ECB+∠CBE=90?，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB=90?，∠ACD=∠CBE，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=6，CD=BE=2，
∴ED=EC-CD=6-2=4．
故选择：C．
10．B
解：如图，延长AP交BC于T．
∵BP⊥AT，
∴∠BPA＝∠BPT＝90°，
∵BP＝BP，∠PBA＝∠PBT，
∴△BPA≌△BPT（ASA），
∴PA＝PT，
∴S△BPA＝S△BPT，S△CAP＝S△CPT，
∴S△PBC＝S△ABC＝=0.5，
故选：B．
11．70°
解：
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD=∠ABC
=90°，
在Rt△ABE与Rt△CBD中，
∴△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵∠AEB为△AEC的外角，∠CAE=25°，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+25°=70°，
∴∠BDC=70°．
故答案为：70°．
12．∠B＝∠B′或∠C＝∠C′或AC＝A′C′．
解：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，
当添加∠B＝∠B′可利用“ASA”判断△ABC≌△A′B′C′；
当添加∠C＝∠C′可利用“AAS”判断△ABC≌△A′B′C′；
当添加AC＝∠A′C′可利用“SAS”判断△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：∠B＝∠B′或∠C＝∠C′或AC＝A′C′．
13．68°．
解：在△BDF和△CED中
∵BF=CD，∠B=∠C，BD＝CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，∠BDF=∠CED，
∴∠BDF+∠CDE=180?-∠EDF=180?-56?=124?，
∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE=124?，
∴∠C=∠B=180?-∠BFD-∠BDF=56?，
∴∠A=180?-∠B-∠C=180?-56?-56?=68?．
故答案为：68?．
14．①②
解：在和中，
，
，
，①正确，
∴，
，
，
，②正确，
和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明
，故③④错误；
故答案是：①②．
15．2
或
3
解：设经过
t
秒后，使△BPD
与△CQP
全等．
∵AB＝AC＝12，点
D
为
AB
的中点．
∴BD＝6．
∵∠ABC＝∠ACB．
∴要使△BPD
与△CQP
全等，必须
BD＝CP
或
BP＝CP．
即
6＝8﹣2t
或
2t＝8﹣2t．
＝1，＝2．
当t＝1
时，BP＝CQ＝2，2÷1＝2．
当t＝2
时，BD＝CQ＝6，6÷2＝3．
即点
Q
的运动速度是
2
或
3，
故答案为：2
或
3．
16．解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴，
∵CD∥AB，
∴，
∴，
∴BC=CE，
∴△BCE
是等腰三角形．
（2）∵CF平分∠BCE，
∴，
∵CD∥AB，
∴，
∴，
∴，即
CF⊥BE，
又BC=CE，
∴BF=EF，
在△ABF和△DEF中，
∵，
∴△ABF≌△DEF；
∴AB=DE，
∴BC=CE=DE+CD=AB+CD，
因此
BC=AB+CD．
17．
解：证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC
≌△DEF（SSS）．
18．
解：证明：延长AD，BC交于点E．
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠EDC＝90°．
在△ADC和△EDC中
，
∴△ADC≌△EDC（ASA）．
∴∠DAC＝∠DEC，AC＝EC，AD＝ED．
∵AC＝7，
∴EC＝7．
∵BC＝4
∴BE＝11
∵∠DAB＝∠B，
∴AE＝BE＝11．
∴AD＝5.5．
答：AD的长为5.5．
19．
解：（1）证明：如图所示，连接DB．
∵AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA，
∴DF=DG．
∵DE垂直平分BC，
∴DC=DB，
在Rt△CDF与Rt△BDG中
∴Rt△CDF≌Rt△BDG（HL），
∴BG=CF．
（2）解：∵∠GAD=∠FAD，∠AGD=∠AFD，AD=AD，
∴在△ADG与△ADF中
∴△ADG≌△ADF（AAS），
∴AG=AF，
∵BG=CF
∴AG=(cm)．
20．解：（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）解：DE＝BE﹣AD，理由如下：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝BE﹣AD．