26．1 二次函数
认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式．
重点
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．
难点
熟练地列出二次函数关系式．
一、创设情境，引入新课
(1)正方形边长为a(cm)，它的面积s(cm2)是多少？
(2)已知正方体的棱长为x
cm，表面积为y
cm2，则y与x的关系是________．
(3)矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．
请观察上面列出的三个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？
二、探究问题，形成概念
1．请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义．
2．归纳：二次函数的概念．
3．结合“情境”中的三个二次函数的关系式，给出常数a，b，c的取值范围．
4．结合“情境”中的三个二次函数的关系式，说说它们的自变量的取值范围．
例1 m取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？
分析：若函数是二次函数，须满足的条件是：m2－m≠0.
解：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0，解得m≠0，且m≠1.因此，当m≠0，且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数．
探索：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
例2 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．
(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系式；
(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式；
(3)某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系式；
(4)菱形的两条对角线的和为26
cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系式．
学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概念．
归纳结论：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
三、练习巩固
1．下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝x2＝0；
(2)y＝(x＋2)(x－2)－(x－1)2；
(3)y＝x2＋；
(4)y＝.
2．当k为何值时，函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数？
3．已知正方形的面积为y(cm2)，周长为x(cm)．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．
4．正方形铁片边长为15
cm，在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3
cm时，求盒子的表面积．
四、小结与作业
小结
1．叙述二次函数的定义．
2．二次函数定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫做常数项．
作业
1．布置作业：教材“习题26.1”中第1，2，4
题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数．通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！
2(共19张PPT)
第26章 二次函数
26．1 二次函数
C
2．函数y＝(m－5)x2＋x是二次函数的条件为(
)
A．m为常数，且m≠0
B．m为常数，且m≠5
C．m为常数，且m＝0
D．m可以为任何数
3．二次函数y＝3x2＋x－4中的二次项系数、一次项系数和常数项
分别是___________________．
B
3，1，－4
4．把下列二次函数化为一般形式，
并指出二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)y＝(1－x)(1＋x)；
解：化为一般形式为y＝－x2＋1，
二次项系数为－1，一次项系数为0，常数项为1
(2)y＝4x2－12x(1＋x)；
解：化为一般形式为y＝－8x2－12x，
二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0
(3)y＝x2＋(x－1)2；
解：化为一般形式为y＝2x2－2x＋1，
二次项系数为2，一次项系数为－2，常数项为1
(4)y＝(x＋1)(2x－3)＋5.
解：化为一般形式为y＝2x2－x＋2，
二次项系数为2，一次项系数为－1，常数项为2
C
D
7．用一根长为10
m的木条，做一个矩形的窗框，若长为x
m，
则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数表达式为______________．
8．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，经过调查发现，
若每件商品售价为x元，可卖出(350－10x)件商品．
则所获得的利润y(元)与售价x(元)之间的函数表达式
为____________________________．
y＝－x2＋5x
y＝－10x2＋560x－7350
B
10．下列函数关系中，不是二次函数的是(
)
A．正方形面积S与边长x之间的关系
B．半圆的面积S与半径R之间的关系
C．正三角形的面积y与边长x之间的关系
D．矩形的面积是常数S，它的长y与宽x的关系
D
12．(习题3变式)已知二次函数y＝x2－bx－2，当x＝2时，y＝－2，
求当函数值y＝1时，x的值．
解：3或－1
13．(上蔡月考)已知两个变量x，y之间的表达式
为y＝(m＋2)xm2＋m－2x－2.
(1)当m为何值时，此函数是二次函数；
解：(1)m＝1
(2)当m为何值时，此函数是一次函数．
14．(邓州模拟)如图，有长为24
m的篱笆，一面利用墙
(墙的最大可用长度a为10
m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，
设花圃的一边AB长为x
m，面积为y
m2，求：
(1)y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如果要围成面积为45
m2的花圃，那么AB的长度是多少？
15．(问题2变式)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，
每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售价定为x元，每天所赚利润为y元．
(1)请你写出y与x之间的函数表达式；
(2)当利润等于360元时，求每件商品的售价．
解：(1)y＝－10x2＋280x－1
600(10≤x≤20)
(2)
14元
16．如图所示，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，
且点C，E，B，F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，
AB与DE相交于点P，设CE＝x，△PBE的面积为S.求：
(1)S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
(2)当x＝3时，求△PBE的面积．
