人教版九年级数学下册 27.2.1相似三角形的判定 课后练习三（Word版 含答案）

人教版九年级数学下册
27.2.1相似三角形的判定
课后练习三
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
2．如图，在平行四边形中，是的中点，和交于点，设△的面积为，△
的面积为，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③其中正确的有（
）
A.3个
B.2个　　　
C.1个
D.0个
4．如图，在△中，∠的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．2
5．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C．①，②都错误
D．①，②都正确
6．如图，在矩形中，在上，，交于，连结，则图中与一定相似的三角形是
A．
B．
C．
D．和
7．下列四组图形中不一定相似的是（　　）
A．有一个角等于40°的两个等腰三角形
B．有一个角为50°的两个直角三角形
C．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形
D．有一个角是60°的两个等腰三角形
8．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（
）
A．∠ABD=∠C
B．∠ADB=∠ABC
C．
D．
9．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有(　　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
11．如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是_______．
12．如图，中，，分别是，上的点（不等于），当__________时，与相似．
13．如图，在△ABC中，P是AB边上的点，请补充一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是：___(写出一个即可)，
14．等腰被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰的顶角的度数是____．
15．如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC=1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则=
．
三、解答题
16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．
17．如图，将矩形纸片沿直线折叠，顶点恰好与边上的动点重合（点
不与点，重合），折痕为，点分别在边上．连接，与相交于点．
（1）求证：∽；
（2）①在图2中，作出经过三点的（要求保留作图痕迹，不写作法）；
②设，随着点在上的运动，若①中的恰好与同时相切，求此时的长．
18．在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE，沿AE将△ABE翻折得△AGE，连接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于点F，连接FG、FD．
（1）求证∠AGD＝∠EFG；
（2）求证△ADF∽△EGF；
（3）若AB＝3，BE＝1，求⊙O的半径．
19．已知：如图，∠ABC＝135°，AB＝a，BC＝b，点P是边AC上任意一点，连结BP，将△CPB沿PB翻折，得△C'PB．
（1）若a＝，b＝6，∠C'PC＝90°，求CP的长；
（2）连结AC'，当以A、B、P、C'为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
20．如图，抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，﹣1），点B（9，﹣10），AC∥x轴，点P是直线AC上方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图(1)，，直线AB和CH交于点O，分别交于D、E两点，已知，，.
(1)尝试探究：在图(1)中，求DB和AD的长；
(2)类比延伸：平移AB使得A与H重合，如图(2)所示，过点D作，若，求线段BF的长；
(3)拓展迁移：如图(3)，若的面积是10，点D、E分别位于AB、CA上，，点F在BC上且，，如果的面积和四边形FCED的面积相等，求这个相等的面积.
22．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形?
⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C?若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD在于x轴上，CD＝，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．
（1）求线段CE的长；
（2）记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；
（3）连结DF，
①当t取何值时，有?
②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.
【参考答案】
1．B
2．B
3．A
4．B
5．D
6．B
7．A
8．C
9．C
10．D
11．3
12．或或（答案不唯一）
13．∠ACP=∠B（或）．
14．或或
15．.
16．（1）证明：∵OD⊥BC，
∴,
∴∠CAD＝∠FCD，
又∵∠ADC＝∠CDF，
∴△ACD∽△CFD；
（2）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，
∴∠OCB＝∠GCA，
∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，
∴CG⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CG是⊙O的切线；
（3）解：连接BD，如图2所示：
∵∠CAD＝∠CBD，
∵OD⊥BC，
∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝，BE＝CE，
设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x
在Rt△BDE中，BE＝，
∴BC＝2BE＝,
在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，
即(r﹣x)2+()2＝r2，，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝9x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+()2＝(9x)2，
∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），
∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝．
17．（1）由已知得：∠NFB=∠NFP=90°，
又∵∠NBF=∠PBC,矩形ABCD，
∴∠BCP=∠BFN，
∴∽（AA）．
（2）①如下图所示：分别作MD，DP的垂直平分线相交于点O，以OD为半径作圆．
②设与BC的切点为点E，连接OB、OE，作OG⊥DP，设DP=2x，如下图所示：
由已知得MB=MP，PM⊥BM，OE⊥BC，故△BMP为等腰直角三角形．
∵∠AMB+∠DMP=90°，矩形ABCD，
∴∠ABM+∠AMB=90°，∠A=∠D，
∴∠DMP=∠ABM，
故△AMB△DPM（AAS）．
∴AM=DP=2x，
∵OG⊥DP，AB=4，
∴DG=GP=x，
故OE=4-x．
在△AMB中，，
又∵，
∴，
∴．
故DP=2x=3．
18．（1）证明：∵四边形AFGD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADG＋∠AFG＝180°，
∵∠AFG＋∠EFG＝180°，
∴∠ADG＝∠EFG，
由正方形ABCD及翻折可得AB＝AG＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠EFG．
（2）∵∠AGD＝∠AFD，∠AGD＝∠EFG，
∴∠AFD＝∠EFG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF＝∠AEB．
由翻折得∠AEB＝∠GEF，
∴∠DAF＝∠GEF，
∴△ADF∽△EGF．
（3）解：设⊙O与CD交于点H，连接AH、GH，如下图所示
∵∠ADH＝90°，
∴AH是⊙O的直径，
∴∠AGH＝90°，
由翻折得∠AGE＝90°，则∠AGE＋∠AGH＝180°，
∴E、G、H三点在一条直线上．
∵AH＝AH，AD＝AG，∴Rt△ADH≌Rt△AGH，∴GH＝DH，
设GH＝DH＝x，则在Rt△ECH中，CH＝3－x，EH＝1＋x，EC＝3－1＝2，
由CH2＋EC2＝EH2，即(3－x)2＋22＝(1＋x)2，解得x＝，
在Rt△ADH中，AD2＋DH2＝AH2，即32＋()2＝AH2，解得AH＝，
∴⊙O的半径为
19．（1）解：由翻折，∠CPB＝∠C'PB
∵∠C'PC＝90°
∴∠CPB＝135°
又∵∠PCB=∠BCA,∠ABC=135°
∴△CPB∽△CBA
∴
过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H,如下图
∴∠CBH＝45°
∴CH＝BH＝
∴AH＝
在Rt△CAH中，CA＝＝
∴
（2）①如图1，
∵四边形ABPC'是平行四边形以及翻折条件
∴∠C'BA=∠BCP=∠BC'P
∵∠OAB=∠BAC
∴△OAB∽△BAC，OB＝
∴
过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H
∴CH＝BH＝
∴CA＝＝
∴
∴或（舍去）
②如图2，
∵四边形APBC'是平行四边形
∴OA＝OB
又∵翻折后得平行四边形PCBC'
∴AP＝BC=PC
结合上一问所求AC值
∴
∴或（舍去）
∴综上，或
20．解：（1）将，代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式；
（2）轴，，
．
解得，．
点的坐标为．
点，，
直线的解析式为．
设点，
．
．
，，
．
，
当时，四边形的面积的最大值是．
此时点，．
（3），
．
，．
．
．
同理可得．
．
分两种情况：如图，
①当时，．
，，，
．
解得．
．
②当时，．即．
解得．
．
综合①②得，存在这样的点，其坐标是或．
21．【解】(1)∵，
∴，即，
∴，
∴.
(2)∵平移AB使得A与H重合，
∴，.
∵，，∴四边形DECF为平行四边形，
∴.∵，∴
即，∴.
(3)∵的面积和四边形FCED的面积相等，
，
∴，∴，又∵，
∴四边形BDEF为平行四边形，，
∴，，
，
即这个相等的面积为6.
22⑴解：过D点作DH⊥AB于H，
则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6
∴AH=2，AD=2…………………1分
∵AP=x，
∴PH=x－2，
情况①：当AP=AD时，即x=2……………………………2分
情况②：当AD=PD时，则AH=PH
∴2=x－2，解得x=
4………………………………………………………·3分
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x2=42+(x－2)2，解得x=5…………………………………4分
∵2⑵易证：△DPH∽△PEB
………………………………………………………………7分
∴，∴整理得：y=(x－2)(8－x)=－x2+x－4………8分
⑶若存在，则此时BE=BC=4，即y=－x2+x－4=4，整理得：x2－10x+32=0
∵△=(－10)2－4×32<0，∴原方程无解，……………………………………………9分
∴不存在点P，使得PQ经过点C……………………………………………………10分
当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过点C……………………………12分
1、过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
2、易证：△DPH∽△PEB?，即，故可求得y与x的关系式．
3、利用△DPH∽△PEB，得出，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．
23．（1）∵在Rt△CDE中，CD=，DE=2，
∴CE=；
（2）如图1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四边形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=t，
∴BE=OD=OC+CD=t+，
∴AE=AB﹣BE=4﹣（t+）=﹣t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴，，
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
∴，，
∴CF=t，EG=，
∴EF=CE﹣CF=5﹣t，
∵FH∥ED，
∴，即HD=?CD=（﹣t），
∴S=EG?HD=××（﹣t）=（﹣t）2，
t的取值范围为：0≤t≤；
（3）①由（2）知CF=t，
如图2，当DF=CD时，如图作DK⊥CF于K，
则CK=CF=t，
∵CK=CDcos∠DCE，
∴t=3×，
解得：t=；
∴当t=时，DF=CD；
②∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），
∴AB=8，OB=4，
∴OA==4，
∵由（2）知HD=（5﹣t），
∴OH=t+3﹣（5﹣t）=，
∵∠A+∠AOB=∠AOD+∠AOB=90°，
∴∠A=∠AOD，
∴Rt△AOB∽Rt△OFH，
∴，
解得OF=，
∵当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，
∴OF2=OC?OD，即（）2=t（t+3），得t=．