苏科版九年级下册数学 7.6用锐角三角函数解决问题 同步练习（Word版 含解析）

7.6用锐角三角函数解决问题
同步练习
一．选择题
1．如图，一艘渔船从点A出发，沿正南方向航行了半小时到达点B，再沿南偏西60°方向航行了半小时到达点C，此时测得码头D在C的正东方向，该渔船的速度为60海里/时，则B，D两点间的距离为（　　）
A．10海里
B．15海里
C．30海里
D．90海里
2．如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝30°，且D、B、C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，则无人机的飞行高度AD＝（　　）
A．15米
B．15米
C．（15﹣15）米
D．（15+15）米
3．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）
A．（100+100?sinα
）米
B．（100+100?tanα
）米
C．（100+）米
D．（100+）米
4．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（　　）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）
A．39.3
B．37.8
C．33.3
D．25.7
5．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD的距离为5m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（　　）m．
A．5
B．5
C．5﹣5
D．5﹣5
6．崇州的网红建筑“竹里”，以数学符号“∞”表达融合与无限，以高低不平的屋顶表达曲折与变换，小小布与父母一起去竹里感受当地特有的竹编民宿．当1.6米的小小布站在自己的竹屋旁的点D时，惊喜地发现平视前方刚刚看见屋顶最低点C．此时他抬头看屋顶的最高点A时，仰角为30°；小小布沿水平方向直线行走一段长度到达竹屋另一侧的点E，抬头看点A的仰角为53°；A、C、D、E在同一平面内，若点A到地面的垂直高度为7.2米，则小小布水平行走了（　　）（sin53°≈，tan53°≈，≈1.7，结果保留一位小数）
A．7.0米
B．10.0米
C．13.7米
D．17.6米
7．如图，重庆八中某校区足球场有一根旗杆DE，小杰从篮球场的点A处观察到旗杆顶端的仰角是15°，往前走50米到点B处，再沿着坡度为i＝1：0.75的阶梯BC走到足球场的C点，BC＝25米，测得CD之间的水平距离CD＝70米，则旗杆的高度DE为（　　）米（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
A．37.8米
B．42.8米
C．52.8米
D．56.5
米
8．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（　　）
A．60m
B．40m
C．30m
D．60m
9．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（　　）
A．tan55°＝
B．tan55°＝
C．sin55°＝
D．cos55°＝
10．为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为64°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为27°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为54°，则宣传牌的高度AB高是（　　）米（参考数据：sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05，sin27°＝0.45，cos27°＝0.89；tan27°＝，sin54°＝0.80，cos54°＝0.59，tan54°＝1.38，结果精确到0.1米）．
A．4.4
B．5.2
C．4.9
D．5.1
二．填空题
11．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为　
　．
12．如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37°角，则木杆折断之前高度约为　
　m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
13．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为　
　米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
14．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为　
　米（结果保留根号）．
15．人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　
　m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
三．解答题
16．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
17．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部B恰好落在山坡上的点D处，已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
18．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上M处的临皋亭和N处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭M处的距离．
（2）求临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离（计算结果保留根号）．
参考答案
一．选择题
1．解：由题意可得，AB＝BC＝60×＝30（海里），
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝15（海里），
即点B、D之间的距离为15海里，
故选：B．
2．解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，
∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，
∴CD＝AD?tan∠CAD＝AD，BD＝AD?tan∠BAD＝AD，
∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，
∴AD＝15（米）．
答：无人机的飞行高度AD为15米．
故选：B．
3．解：在Rt△ABC中，，
∴BC＝AB?tanα，
在Rt△ABD中，tan45°＝，
∴BD＝AB?tan45°＝AB，
∴CD＝a＝BC+BD＝AB?tanα+AB＝（100+100?tanα
）米，
故选：B．
4．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，
∴设BF＝k，则CF＝k，
∴BC＝2k．
又∵BC＝12，
∴k＝6，
∴BF＝6，CF＝6，
∵DF＝DC+CF，
∴DF＝40+6
在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，
∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），
∵BH＝BF﹣FH，
∴BH＝6﹣1.5＝4.5．
∵AB＝AH﹣HB，
∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．
答：大楼AB的高度约为33.3米．
故选：C．
5．解：由题意可得：∠CDB＝∠DCB＝45°，
∴BD＝BC＝5，
设AC＝xm，则AB＝（x+5）m，
在Rt△ABD中，tan60°＝，
则＝，
解得：x＝5﹣5，
即AC的长度是（5﹣5）m；
故选：D．
6．解：如图，作AH⊥DE于H，交BF于G，
则AH⊥BF，
由题意得：DE＝BF，GH＝DF＝1.6，AH＝7.2，
∴AG＝AH﹣GH＝7.2﹣1.6＝5.6，
在Rt△ABG中，tan∠ABG＝，
∴BG＝≈＝4.2，
在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，
∴FG＝AG≈1.7×5.6＝9.52，
∴DE＝BF＝BG+FG＝4.2+9.52≈13.7（米），
即小小布水平行走了13.7米；
故选：C．
7．解：延长AB交DE于K，过点C作CF⊥BK于F．
∵∠CFK＝∠CDK＝∠FKD＝90°，
∴四边形CDKF是矩形，
∴DK＝CF，CD＝FK＝70（米），
在Rt△CFB中，∵∠CFB＝90°，BC＝25米，CF：FB＝1：0.75，
∴CF＝20（米），BF＝15（米），
∴DK＝CF＝20（米），
∴AK＝KF+BF+AB＝70+15+50＝135（米），
在Rt△AEK中，EK＝AK?tan15°≈135×0.27≈36.45（米），
∴DE＝DK+EK＝20+36.45≈56.5（米），
故选：D．
8．解：过A作AD⊥BC，垂足为D
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，
∴BD＝AD?tan30°＝30×＝10（m），
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，
∴CD＝AD?tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），
即这栋高楼高度是40m．
故选：B．
9．解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°＝，cos55°＝，tan55°＝，
故选：B．
10．解：过点F作FH⊥CE于H．
∵FD∥CE，
∵FH∥DE，DF∥HE，∠FHE＝90°，
∴四边形FHED是矩形，则FH＝DE，
在Rt△CDE中，DE＝CE?tan∠DCE＝6×tan27°＝3（米），
∴FH＝DE＝3（米）．
∵CF的坡度为1：1.5，
∴在Rt△FCH中，CH＝1.5FH＝4.5（米），
∴EH＝DF＝10.5（米），
在Rt△ADF中，AD＝DF?tan∠AFD＝10.5×1.38＝14.49，
在Rt△BCE中，BE＝CE?tan∠BCE＝6×tan64°≈12.3（米），
∴AB＝AD+DE﹣BE＝14.49+3﹣12.3≈5.2（米），
答：宣传牌AB的高度约为5.2米，
故选：B．
二．填空题
11．解；如图，设BC＝x，
在Rt△ABC中，sinA＝＝，
则AB＝2x，
由勾股定理得，AC＝＝x，
∴斜坡的坡比＝＝＝1：，
故答案为：1：．
12．解：如图：AC＝3m，∠B＝37°，
∴AB＝≈＝5，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3+5＝8（m）．
故答案为8．
13．解：由题意可得：tan14°＝＝≈0.25，
解得：l＝19.2，
故答案为：19.2．
14．解：在Rt△ADM中，
∵AM＝4，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM＝4，
∵AB＝8，
∴MB＝AM+AB＝12，
在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，
∴MC＝MBtan30°＝4，
∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）
答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，
故答案为：（4﹣4）．
15．解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝AC?sin50°＝2×0.77≈1.5（m），
故答案为1.5．
三．解答题
16．解：∵AB＝20m，
∴DE＝DG+EG＝20m，
在Rt△CEG中，
∵∠CEG＝45°，
∴EG＝CG，
在Rt△CDG中，
∵∠CDG＝30°，∠DCG＝60°，
∴DG＝CG?tan60°，
则DE＝CG?tan60°+CG＝20m．
即DE＝CG+CG＝20．
∴CG＝10﹣10．
由题意知：GF＝1.5m．
∴CF＝CG+GF＝10﹣10+1.5＝（10﹣8.5）（米），
答：塑像CF的高为（）米．
17．解：（1）延长BA交EF于点G，在Rt△AGE中，
∵∠E＝23°，
∴∠GAE＝67°．
又∵∠BAC＝38°，
∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，
∵∠ADC＝60°，AD＝4m，
∴DH＝AD?cos∠ADC＝6cos60°＝2m，AH＝AD?sin∠ADC＝4?sin60°＝2（m）．
在Rt△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴CH＝AH＝2（m），
∴AC＝＝＝2（m），
∴AB＝AC+CD＝2+2+2≈10（m）．
答：这棵大树折断前高约10m．
18．解：（1）过M作MD⊥AC于D，
设MD＝x，
在Rt△MAD中，∵∠MAB＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝MD＝x，
在Rt△MCD中，∠MCA＝90°﹣60°＝30°，
∴DC＝MD＝x，
∵AC＝600+400＝1000，
∴x+x＝1000，
解得：x＝500（﹣1），
∴MD＝500（﹣1）m，
∴AM＝MD＝500（﹣）（m），
即A处到临摹亭M处的距离为（500﹣500）m；
（2）过B作BE⊥AN于E，
∵∠MAB＝45°，∠BA＝75°，
∴∠ANB＝60°，
在Rt△ABE中，∵∠MAB＝45°，AB＝600，
∴BE＝AE＝AB＝300，
∴ME＝AM﹣AE＝500（﹣）﹣300＝500﹣800，
在Rt△NBE中，∵∠ANB＝60°，
∴NE＝BE＝×300＝100，
∴MN＝100﹣（500﹣800）＝（800﹣400）m，
即临摹亭M处与遗爱亭N处之间的距离是（800﹣400）m．