12.3.2 等边三角形（一）
嘉鱼外国语学校 程 娟
教学任务分析
教学目标 知识技能 1.了解等边三角形的概念；2.掌握等边三角形的性质与判定方法；3.灵活运用等边三角形的性质与判定方法解决问题。
过程方法 经历“观察——猜想——操作——归纳——应用”的探究过程， 培养学生分析问题解决问题的能力；经历运用几何知识和图形概述命题的条件和结论的过程，培养 学生空间思维能力和表达能力。
情感态度 在数学活动中获得成功的体验，对数学产生强烈的好奇心和求知欲，感悟数学在生活中的重要作用。
教学重点 等边三角形的性质及判定方法的发现与证明。
教学难点 等边三角形判定方法的探究与证明；灵活运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题。
课前准备 PPT课件、纸片、剪刀等
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1 情景导入，动手作图，定义等边三 角形活动2 探究发现等边三角形的性质并证明活动3 探究等边三角形的判定方法并证明活动4 合作探究等边三角形的性质与判定 方法的变式运用活动5 回顾与小结活动6 发散思维，解决问题 由上海世博园建筑图片展引入，观察生活中熟悉的等边三角形图片，激发学生动手作图——等边三角形，得出等边三角形的定义.通过折叠，探究等边三角形的性质，归纳并证明性质.教师引导，学生探究并证明等边三角形的判定方法，渗透分类讨论思想，培养学生严谨地分析问题的能力.将等边三角形分割，并进行变化，加强等边三角形性质及判定方法的综合运用，为后面的设计奠定基础.学生畅所欲言，回眸所学知识，从而达到画龙点睛的效果.通过设计活动，巩固所学知识，培养学生的发散思维.
教学过程设计
问题与情景 师生行为 设计意图
活动1 课件展示，引入课题；动手作图，得出定义. 学生观察一组颇具风格的世博图片展，感受图形带给我们的美，然后观察生活中常见的等边三角形形象，引入课题。激发学生动手作图，得出定义.在活动中，教师重点观察学生，唤起学生的注意力. 本次活动，旨在提供学生参与活动的空间，调动学生的主观能动性，激发学生的好奇心与求知欲.为本节课的学习作好准备.
活动2 问题：请你将刚画好的等边三角形裁剪下来，根据等腰三角形的对称性，将等边三角形折叠，你能发现等边三角形的三个角之间有什么关系？ 通过动手折叠，由学生发现等边三角形的三个角之间的关系，并说明结论的正确性. 教师在学生的探究过程中，引导学生归纳等边三角形的性质. 前面已多次研究过轴对称，这里设计的折叠问题，每一个学生都有能力完成，消除学生心理障碍，使他们有信心学好新的知识，细心操作、大胆猜想，发展学生的思维空间. 教师是课堂的组织者，需引导学生勤于动手，通过自主活动，发现等边三角形三个角的关系，并求出度数,在这一探究中，让学生经历观察——实践——猜想——证明的创新思维.
问题与情景 师生行为 设计意图
活动3 我们知道，等边三角形的三个角相等，请同学们猜一猜，三个角相等的三角形是什么三角形？等腰△ABC中，AB=AC，请补充一个条件，使△ABC为等边三角形.你能从中发现一种新的判定等边三角形的方法吗？归纳等边三角形的判定方法： 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 学生说出自已的猜想，教师引导学生利用等腰三角形的判定方法，证明猜想.学生证明，并让学生口述理由学生讨论：可补充哪些条件. 学生展示讨论结果.学生总结出新的判定方法.教师组织学生解答，并引导学生归纳.最后得出；不论是顶角等于60度，还是底角等于60度，这个等腰三角形都是等边三角形. 学生归纳，教师引导学生用更简洁的语言描述两个判定方法. 交换等边三角形的性质的条件与结论，让学生猜想并得出结论：三个角相等的三角形是等边三角形.并用等腰三角形的判定方法加以证明，培养学生的逆向思维能力.通过“开放性练习”提高学生的推理能力，培养学生严谨的思维品质.通过合作交流，使问题的解答更加完善，加深对判定方法的理解，以便灵活运用判定方法解决相关问题.引导学生正确描述判定方法，养成梳理、归纳知识的习惯，提高学生的语言表达能力.
问题与情景 师生行为 设计意图
活动4 知识迁移 请同学们将刚才剪好的等边三角形再剪一刀，能得到一个小的等边三角形.要求：1.先画一条裁剪线；2.只准剪一刀.思考：你是如何确定裁剪线的呢？△ADE是等边三角形吗？试说明理由. 学生通过分析、讨论确定裁剪线，并运用等边三角形的判定方法证明△ADE是等边三角形. 教师参与讨论，认真听取学生的分析. 学生画好裁剪线，并剪好三角形,探究结论，教师纠正和补充学生的不足，并让学生书写证明过程. 变式运用为学生提供了灵活运用性质与判定方法的平台.通过问题的设计，使等边三角形的性质与判定方法得以区分，突破本节课的难点，让不同的学生得到不同的发展.
活动5小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？你还有什么疑惑吗？ 学生：回顾，总结.教师组织学生回顾本节课学习的内容.学生畅谈自己的收获，有多少说多少，不拘形式，鼓励学生大胆质疑. 总结回顾学习内容，组织学生归纳，进一步梳理知识，巩固知识，使学生养成自我评价的良好习惯.
问题与情景 师生行为 设计意图
活动6 作业：发散思维在等边△ABC中，添加三条线段后，在图中，你能找到更多的等边三角形吗？你有哪些设计方案呢？ 学生动手操作，添加线段，按要求完成作品.. 学生通过动手操作、实践，增强学生动手能力，提供了学生想象的空间.让学生展示作品，培养学生的自信心，使美在数学中得到体现.
A
C
B
D
A
C
B
E
A
C
B(共18张PPT)
古巴国旗
以色列国旗
嘉鱼外国语学校 程娟
画一画！
同学们，动起手来吧!
用直尺与圆规
作一个等边三角形.
你一定行！
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
A
C
B
请你观察剪好的等边三角形纸片，根据等腰三角形的对称性，将等边三角形纸片折叠，你能发现等边三角形的三个角之间有什么关系吗？
折一折
等边三角形三个内角都相等，且每一个角都等于60°.
∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
A
C
B
1. 等边三角形三个角都相等.
猜一猜，三个角都相等的三角形是什么三角形呢？
请说明理由.
A
C
B
解：是等边三角形，理由如下：
∵ ∠A=∠B
∴ BC=AC（等角对等边）
∵ ∠A=∠C
∴ BC=AB（等角对等边）
∴ AB=AC=BC
∴ △ABC是等边三角形
∠A=∠B=∠C，△ABC是什么三角形呢？
三个角都相等的三角形
是等边三角形
2. 在等腰 △ABC中，AB=AC，请补充一个条件，使△ABC为等边三角形，你有哪些补充方法呢？
A
C
B
有一个角是60°的等腰三角形
是等边三角形
是等边三角形
三个角都相等的三角形
有一个角是60°的等腰三角形
剪一剪！
请将你手中的等边三角形纸片剪一刀，
能得到一个小的等边三角形.
你是如何确定裁剪线的呢？
A
C
B
注意：1.请先画一条裁剪线
2.只准剪一刀哟.
挑战“记忆”
这节课我的收获有？
这节课你学到了什么
在等边△ＡＢＣ中,添加三条线段后,在图中，你能找到更多的等边三角形吗 你有哪些设计方案呢？
发散思维
看看谁想的方法多
A
C
B
我们的生活离不开数学，我们要做生活的有心人！师：上课。同学们好！请坐！
师：今天，我感到特别高兴！因为能够与咱们……的同学们一起共同探究，共同学习。
同学们，你们知道2010年举世瞩目的世博会是在哪个城市举行的吗？
生：（上海）
师：对了。万众瞩目的上海世博会向全世界展示了城市让生活更美好的理念！让我们一起来欣赏一组世博图片展吧！
（PPT，演示世博图片展，师介绍）
师：这就是上海世博园中永久标志性建筑之一——世博轴，而世博轴上最引人注目的就是—阳光谷，它采用的钢架结构的设计，呈现出一个个等边三角形的形象，显得既美观又牢固。 师：同学们，在咱们的日常生活中，大家见到过等边三角形的形象吗？
生：……（见过）
师：肯定见过，只要咱们做生活的有心人，你就一定能发现身边的等边三角形的形象。我给大家搜集了一些图片。请看大屏幕。
（PPT：演示图片，师介绍）
师：有大家比较熟悉的交通警示牌、邮票、还有一些国家的国旗，都给我们以等边三角形的形象。可见，等边三角形象在咱们的生活中随时可见，无处不有！
今天，我们就一起来探究这种完美的三角形——等边三角形。
（PPT，演示课题，师板书课题：等边三角形）
师：同学们，你们小学学过等边三角形吗？
生：……（学过）
师：我们小学学过等边三角形，前阶段我们也学习了尺规作图。好，现在请大家动起手来，用手中的直尺与圆规作一个等边三角形吧！
（PPT，演示 画一画）
生：……（动手作图）
（师下台查看，并提醒：请大家保留作图痕迹，标上顶点字母，要尽量画大些。稍后的学习中我们还要用到它！激励学生：我发现有些同学已经作好了，并且非常规范，作图痕迹清晰）
师：请作图完成了的同学举手示意一下。
很好，大家都完成了。哪位同学大胆的拿起你的作品到前台来展示一下呢？
生：……
（点一位同学上前展示作品，在实物投影仪上展示）
师：嗯，很好，这位同学对于学过的知识掌握得很牢固。作图规范，痕迹清晰。很棒，掌声鼓励。好请回坐位。
师：同学们，你们也是这样作图的吗？
生：……（是的）
很好，从保留的作图痕迹中，我们发现这个三角形三条边都相等，我们就把这种三条边都相等的三角形叫做等边三角形。这就是等边三角形的定义。
（PPT：演示 等边三角形的定义，师板书定义）
师：很好，那下面请大家把作好的等边三角形沿三条边裁剪下来吧！
（提醒：用剪刀的同学一定要注意安全。要剪好，下面的学习中要用到你的杰作哟！我相信大家一定都是一流的裁剪师！）
生：……（动手裁剪）
（师观察，提醒注意安全，要剪好）
师：请剪好的同学举起你的作品，让大家看看！很好，做得很棒！
生：……（学生举起自己的作品）
师：请大家仔细观察剪好的等边三角形纸片，根据等腰三角形的对称性，将手中的等边三角形纸片折叠，你能发现等边三角形的三个角之间有怎样的关系呢？请大家动手折折看。
（PPT：演示 折一折）
生：……（动手折叠，同时思考等边三角形三个角这间的关系）
（师深入学生中观察学生折叠，与学生交流，了解学生有何发现）
师：哪位同学能大声的告诉大家你的发现呢？
生：……
（请一位同学上台展示他的折叠过程并说出他的发现）
（如果学生只回答三个角都相等，追问：你是如何发现的呢？你经过几次折叠发现的呢？）
生：……（我沿∠A的平分线折叠，∠B与∠C互相重合，所以∠B=∠C，我再沿∠B的平分线折叠，∠A与∠C互相重合，所以∠A=∠C，根据等量代换，所以等边三角形三个角都相等。）
师：说得真好！很简洁，利用等量代换，只需折叠两次便可以得到三个角都相等。掌声鼓励一下。
（板书：三个角都相等）
你们是否也发现等边三角形三个角都相等呢？
生：……（是的）
师：很好！英雄所见略同。等边三角形三个角都相等。那你能算出每个角的度数吗？
生：……（60度）
师：追问，你是如何计算得到的呢？
生：……（根据三角形内角和是180度，三个角都相等，所以每个角就是180度除以3得60度）
（板书：且都等于60度）
师：说得很有理，好请坐！同学们通过折叠探究，得到了等边三角形三个角都相等，且都等于60度。这就是等边三角形的一个重要性质。
（PPT：演示 等边三角形性质 师板书性质）
师：其实我们也可以利用等边对等角证明等边三角形三个内角都相等。
现在，我们把等边三角形性质中的条件与结论交换，请同学们猜一猜，三个角都相等的三角是什么三角形呢？请说明理由！
（PPT：演示 猜一猜，三个角都相等的三角形是？）
生：……（思考）（师板书：三个角都相等的三角形）
生：……（是等边三角形）
师：请说说理由。
生：……思考后说出理由（学生说完理由后，课件演示证明过程，让学生看一下）
是等边三角形，理由如下：
∵ ∠A=∠B
∴ BC=AC（等角对等边）
∵ ∠A=∠C
∴ BC=AB（等角对等边）
∴ AB=AC=BC
∴ △ABC是等边三角形
师：由定义可知三条边都相等的三角形是等边三角形，定义也是一种判定方法。
师：说得真好，条理清晰，理由充分，这样我们就得到等边三角形的一个判定方法，它就是三个角都相等的三角形是等边三角形。
（PPT：弹出判定方法之一 师补全板书：判定方法1 是等边三角形）
师：我们知道等边三角形与等腰三角形有着紧密的联系。那在等腰三角形ABC中，你能不能添加一个条件，使△ABC为等边三角形呢？请看大屏幕。
（PPT：演示判定2的探究）
生：……（观看大屏幕，思考，动手尝试）
师：请大家积极动脑，想想你有哪些补充方法呢？
（在学生思考过程中，师在黑板上画一个等边三角形ABC，写也AB=AC）
（深入学生了解学情，激励学生，我发现有好几个同学想好了一种方法，你还有没有其它方法呢？请思考一下。我又发现有的同学想出了两种方法，咱们班的同学呀，思维很活跃，很善于动脑，思维很开放。你们还能不能想出更多的方法呢？）
师：哪位同学说说你的方法呢？
生：1……AB=BC（或AC=BC）
师：请说说理由（由定义可知三条边都相等的三角形是等边三角形）
生：2……∠A=60°
师： 请谈谈理由（角A等于60度，AB=AC，所以角B等于角C，所以三个角都相等判定1可知）这位同学补充的是顶角等于60度。还有其它的方法吗？
生：3……∠B=60°或∠C=60°
生：4……∠A=∠B=60°
学生说出每种方法后，都要求说出理由。
师：刚才，同学们考虑得很周到、全面，说得太棒了。从大家所探讨的这些方法中，我们不难发现，有的同学补充的是顶角∠A等于60°，有的同学补充的是底角∠B或∠C等于60°，还有的同学补充的是∠A等于∠B或∠A等于∠C，通过计算可知每个角都是60°，不论你补充的方法是顶角等于60°还是底角等于60°，只要有一个角等于60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形。
（板书：有一个角等于60°）
师：通过大家的探究又发现了一条重要的等边三角形的判定方法。
它就是：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（PPT：演示判定方法2）
师：很好，让我们一起来整理一下等边三角形的判定方法吧
（PPT：演示判定方法归纳，学生说出一条弹出一条，共两条）
师：至此，我们学习了等边三角形的定义、性质、以及判定方法。利用等边三角形的性质和判定方法可以解决很多相关问题。
好， 下面我们一起来解决一个问题。请看大屏幕。
（PPT：演示 剪一剪）
师：请大家仔细考虑一下，动刀之前，要不要先画一条裁剪线呢？
生；……
师：追问：你如何确定裁剪线呢？你有哪些方法确定裁剪线呢？
请大家大胆的设想 ，细心操作吧，动起来吧！
生：……学生思考确定裁剪线，动手剪一剪
（师在黑板上画三个备用图，标出等边△ABC，画好后下台观察学生，并与学生交流，了解学情）
师：裁剪完了的同学，你们互相交流一下，你们确定裁剪线的方法是一样的吗？
你们还有没有不同的方法呢？
生：……（引导学生说出三种方法：AD=AE，DE||BC，∠ADE=60°）
师：很好，大家想一想，按这三种方法裁剪下来的△ADE是等边三角形吗？
生：……（是的）
师：追问，你能把理由书写出来吗？好请刚才说出这三种方法的同学上来将你们的理由书写出来吧！
师：真的很棒，思维很严密，大家不仅善听，能说，还会写。考虑问题周到、全面，能灵活运用所学过的知识来解决问题。好了，让我们一起来回顾一下，这节课，你学到了什么？你有哪些收获呢？
生：……（畅所欲言）
这节课，我学到了等边三角形的定义、性质、以及判定方法
通过自己动手探究获得的知识会掌握得更牢固
合作交流这种学习方式，能够让所有人都动起来，都成为了学习的主人
我会灵活运用所学的知识解决相关问题
要学会集思广益
师：很好，看来大家今天收获颇丰，（学生归纳不全的可以说：今天，都是大家在画一画，折一折，剪一剪亲自动手操作过程中收获的知识，可见动手实践也是种获得知识的好途径。还有，今天的几个问题都有多种解决方法，这些都是大家集思广益，合作探究得到的，所以合作交流是一种很好学习方式。）
学海无涯，数学无止境，希望大家探究的脚步继续前行。我给大家留了一道课后探究题。请看大屏幕
好了，这节课就上到这儿，谢谢大家！
师：下课！
