初中数学冀教版八年级上册第十七章17.2直角三角形练习题（Word版 含解析）

初中数学冀教版八年级上册第十七章17.2直角三角形练习题
一、选择题
在中，若，则下列结论中不一定成立的是
A.
B.
C.
与互余
D.
为直角三角形．
如图，在等腰直角中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P，则下列结论：图中全等的三角形只有两对；的面积等于四边形CDOE面积的2倍；；，其中正确的结论有
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
如图，O为线段AB的中点，，、、、到点O的距离分别是1cm、2cm、、，下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是
A.
B.
C.
D.
如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到连接，若，则的度数是
A.
B.
C.
D.
如图，中，，，，点P是BC边上的动点，则AP的长可能是
A.
5
B.
C.
D.
8
如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是
A.
B.
C.
D.
与互为余角
如图，在中，，的顶点D，E分别在BC，AC上，且，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，和都是等腰直角三角形，，，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为
A.
B.
C.
1
D.
二、填空题
如图，以等边的边AC为腰作等腰直角，使得，连接BD，作，若，则??????????．
当三角形中的一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为______．
如图示，在，D，E分别为AB，AC上一点，将，沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若中有一个角等于，则度数等于______．
如图，中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且，若，则__________度．
如图，在中，，D为AB上的中点，若，则______．
三、解答题
平面直角坐标系中，点，点都在x轴上，点C在y轴的正半轴上，且，．
判断的形状，并说明理由；
如图，BD平分，轴于点E，点M是x轴上一动点，且．如图，若点M与点O重合，则线段BE的长为??????????；
如图，若点M在OA上，猜想BC，MB，BE之间的数量关系，并加以证明；
如图，点P，Q分别在线段OA，AC上，将沿PQ翻折，点A的对应点F恰好落在y轴上，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标．
如图，点C是线段AD上的一点，分别以AC和CD为腰作等腰直角和，连接BD，AE．
求证：；
试判断直线AE与BD的位置关系，并证明你的结论．
如图，在平面直角坐标系中，点，点．
画出线段AB关于y轴对称的线段CD；
在y轴上找一点P使的值最小保留作图痕迹；
按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使．
在图中取点E，使得，且，则点E的坐标为______；
连接AE交CD于点Q，则点Q即为所求．
已知和均为等腰直角三角形，，，．
探究：把绕顶点A旋转，使点D在BC的延长线上如上图，连接CE．
求证：；求的度数；
拓展：已知，，在绕点A的旋转过程中，当点B，C，D在同一直线上时，求BD的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于是解题的关键．
根据三角形内角和定理计算即可进行判断．
【解答】
解：不一定大于，A选项不一定成立，
，，
，B选项一定成立；
为直角三角形，D选项一定成立；
与互余，C选项一定成立；
故选A．
2.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质等重要几何知识点．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
结论错误．因为图中全等的三角形有3对；
结论正确．由全等三角形的性质可以判断；
结论正确．利用全等三角形的性质可以判断．
结论正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
【解答】
结论错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为≌，≌，≌．
由等腰直角三角形的性质，可知，易得≌．
，，
．
在与中，
，
≌．
同理可证：≌．
结论正确．理由如下：
≌，
，
，
即的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论正确，理由如下：≌，
；
结论正确，理由如下：
≌，
，
，
，
．
综上所述，正确的结论有3个．
故选B．
3.【答案】B
【解析】解：为线段AB的中点，，
，
、、、到点O的距离分别是1cm、2cm、、，
，
，
、、、四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是，
故选：B．
根据O为线段AB的中点，，得到，由、、、到点O的距离分别是1cm、2cm、、，得到，推出，根据直角三角形的判定即可得到结论．
本题考查了直角三角形的判定定理，熟记直角三角形的判定是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，
，，，
，且，
，
，
故选：B．
由旋转的性质可得，，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3；
中，，，，
，
的长不能大于6．
故选：A．
利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出，可知AP最大不能大于此题可解．
本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出．
6.【答案】B
【解析】解：，
，，
，
，故B错误；
，故A正确；
，故D正确；
在和中，
，
≌，
，
故C正确，
故选：B．
利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：，
，
，
又，
，
，，
，
，
故选：D．
由知，据此得，结合可知，根据、知，利用可得答案．
本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．
8.【答案】B
【解析】解：
如图，延长AB，DC交于点E，
直尺为矩形，两组对边分别平行
在中，
为等腰直角三角形
故选：B．
延长AB，DC交于点E，由直尺为矩形，有两组对边分别平行，则可求的度数，由于为等腰直角三角形，则有，则可以求，而与为对顶角，则可以求
此题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的特征，遇到三角板的题型，要注意在题中有隐藏着已知的度数．
9.【答案】A
【解析】解：如图，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：A．
先利用等腰直角三角形的性质得出，再利用平行线的性质即可得出结论；
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，求出是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．设Q是AB的中点，连接DQ，先证得≌，得出，根据点到直线的距离可知当时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得时的QD的值，即可求得线段OE的最小值．
【解答】
解：设Q是AB的中点，连接DQ，
，
，
即，
，O为AC中点，
，
在和中，
，
≌，
，
点D在直线BC上运动，
当时，QD最小，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
线段OE的最小值是为．
故选D．
11.【答案】20
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的识别图形是解题的关键．
过点A作于点F，由等边三角形的性质得出，，求出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】
解：过点A作于点F，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
≌
，
．
故答案为20．
12.【答案】或
【解析】解：“特征角”的2倍是直角时，“特征角”；
“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，
由题意得，，
解得，
所以，“特征角”是，
综上所述，这个“特征角”的度数为或．
故答案为：或．
分“特征角”的2倍是直角时，根据“特征角”的定义列式计算即可得解；“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角，根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．
本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，读懂题目信息，理解“特征角”的定义是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】解：由折叠可得，，，，，
是AB的中点，
，
，，
当时，，
；
当时，，
；
当时，
，，
；
故答案为：或．
由折叠的性质得出，，，，由直角三角形斜边上的中线性质得出，由等腰三角形的性质得出，，中分三种情况讨论即可．
本题考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】70
【解析】
【分析】
此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
先证明≌，可得；然后根据，，求出的度数，即可求出的度数．
【解答】
解：在与中，，
，
≌．
；
，，
，
；
故答案为70．
15.【答案】
【解析】解：，D为AB上的中点，
，
，
，
故答案为：．
先根据直角三角形斜边中线的性质得：，由等腰三角形的性质得：，最后利用直角三角形两锐角互余可得结论．
本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
16.【答案】解：结论：是等边三角形，
理由：，
，
解得
，，
，
又，
，
，
，
是等边三角形，
结论：，
理由：过M作交AC于点N，
是等边三角形，
，，
，
??，，
，
??是等边三角形，
，
．
平分，
，
．
，，
，
在和中，
．
轴，，
，
，
，，，
，
或
【解析】【试题解析】
本题考查因式分解的应用，等边三角形的判定，二次根式、完全平方的非负性，等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质及特殊角的三角函数应用以及分类讨论思想，转化思想。
由点在x轴的正半轴，点C在y轴的正半轴上，得出A，B，C均为正数，进一步因式分解，得出，，易得，又因为，易得为等边三角形
先通过做辅助线，易把BC、MB、BE转化到全等三角形中，从而得出关系；
由题知，因为是直角三角形，所以要讨论与为直角，结合，以及特殊的三角函数值可求得结果。
17.【答案】解：证明：和都是等腰直角三角形，
，，，?
在和中，???
?≌，
；
直线AE与BD垂直，?
理由如下：?
如答图，延长DB交AE于点F，
≌，
，?
又，
，
，
，?
即直线AE与BD垂直．
【解析】【试题解析】
本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质．
结合等腰直角三角形的性质，利用SAS证明≌，即可证明结论；
利用全等三角形的性质，结合余角的定义可求解AE与BD的关系．
18.【答案】解：如图1所示
如图1，连接BD，交y轴于点P，连接AP，则此时点P使的值最小，理由是：
两点之间，线段最短；
图1
由垂直的定义可作出线段BE，点E坐标为，
故答案为：；
如图2，点Q即为所求．
【解析】【试题解析】
本题主要考查了轴对称作图及性质，轴对称最短路径问题，等腰直角三角形的性质．
由轴对称的性质可作出线段
连接BD，交y轴于点P，连接AP，则此时点P使的值最小
由垂直的定义可作出线段BE，可写出点E的坐标
连接AE交CD于点Q，由等腰直角三角形的性质可知，点Q即为所求．
19.【答案】如图1，
，
??．
即．
又，，
≌，
?
?，，
?
≌，
．
?．
当点B，C，D在同一直线上时，分两种情况讨论：
如图2，当点D在BC的延长线上时，作于点F．
?
，?，
，．
?CF?．
在中，
，，
．
??如图3，当点D在CB的延长线上时，作于点G．
同理，可得，，
?
?综上所述，?BD的值为17或7．
【解析】【试题解析】
本题主要考查图形的旋转、三角形全等的判定和性质、分类讨论思想的综合应用。旨在考查学生获取和解读数学信息、调动和运用数学知识的能力。
利用边角边可证明≌，再利用全等三角形的对应边相等、对应角的度数相等可得到以及，从而得出的度数。
分两种情况讨论，当点D在BC的延长线上时，可过点A做BC的垂线，从而计算出BD的长。当点D在CB的延长线上时，可过点A作BC的垂线，从而计算出BD的长。
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