高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系辅导教案（Word）

教案
学生姓名
性别
年级
学科
数学
授课教师
上课时间
年
月
日
第（
）次课共（
）次课
课时：2课时
教学课题
人教版
必修2
第二章
点、线、平面之间的位置关系
教学目标
知识目标：了解平面的基本性质即三条公理，能正确使用集合符号表示空间图形中的点线面的关系，掌握直线平面之间的位置关系，理解并掌握直线、平面之间垂直的判定定理与性质定理以及它们之间的转化，会求线面角及二面角.
教学重点与难点
重点：平面基本性质及异面直线所成角，理解且能证明直线和平面垂直，面面垂直难点：运用三条公理解决问题．线面角及面面角的求法
点、直线、平面之间的位置关系复习1：
本章知识结构图
复习2：
空间平行和垂直关系的转化复习3：知识详解一、平面的基本性质公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3
经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行二、判定与性质（1）线线平行的判断：
1、平行于同一直线的两直线平行。2、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。3、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
4、垂直于同一平面的两直线平行。（2）线线垂直的判断：
1、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。2、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。3、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。（3）线面平行的判断：
1、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。2、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（4）线面垂直的判断：
1、如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。2、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。3、一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。4、如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。（5）面面平行的判断：
1、一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。2、垂直于同一条直线的两个平面平行。（6）面面垂直的判断：
1、一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直
2、两个平面的二面角为90。其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；
（2）直线与直线的位置关系：
相交
；
平行
；
异面
；直线与平面的位置关系：
在平面内
；
平行
；
相交（垂直是它的特殊情况）
；平面与平面的位置关系：
相交
；；
平行
；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。（6）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。（9）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。唯一性定理：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：；注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为；
②线面垂直：线面所成的角为；③斜线与平面所成的角：范围；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。（3）二面角：关键是找出二面角的平面角，。方法：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；注意：还可以用射影法：；其中为二面角的大小，为内的一个封闭几何图形的面积；为内的一个封闭几何图形在内射影图形面积。距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；③体积法：利用三棱锥体积公式。例1、下列说法中正确的是(
)A、三点确定一个平面
B、空间四点中如果有三点共线，则这四点共面C、三条直线两两相交，则这三条直线共面
D、两条直线确定一个平面例2、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（
）A．
B．
C．
D．【随堂练习】1．下面列举的图形一定是平面图形的是（
）A．有一个角是直角的四边形
B．有两个角是直角的四边形
C．有三个角是直角的四边形
D．有四个角是直角的四边形2．垂直于同一条直线的两条直线一定（
）A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能3．下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有_____________。4．下列说法不正确的是（
）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.例3、下列推理错误的是（
）.
A.,,,
B.,,,
C.,
D.,,,
,,,且,,不共线例4、下列条件能推出平面∥平面的是（
）.
A.存在一条直线，∥，∥
B.存在一条直线，，∥
C.存在两条平行直线，，∥，∥D.存在两条异面直线，，∥，∥例5、，且∥，则直线和面是（
）.
A.
B.与相交或∥或
C.
D.∥或【随堂练习】5、,是异面直线,,是异面直线，则,的位置关系是（
）.
A.相交、平行或异面
B.相交或平行
C.异面
D.平行或异面6、已知为三条不重合的直线，为三个不重合的平面：
①∥,∥∥；②∥,∥∥；③∥,∥∥；④∥,∥∥；⑤,,∥∥.其中正确的命题是（
）A.①⑤
B.①②
C.②④
D.③⑤7、设为两条直线，为两个平面，下列三个结论正确的有（
）个.①若与所成的角相等，则∥②若∥，∥，∥，则∥③若，∥，则∥
A.0
B.1
C.2
D.38、是不重合的直线，是不重合的平面：①，∥，则∥②，∥，则∥③，∥，则∥且∥上面结论正确的有（
）.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个9、
过平面外一点：①存在无数条直线与平面平行②存在无数条直线与平面垂直③仅有一条直线与平面平行④仅有一条直线与平面垂直；其中正确结论的个数是（
）.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个10、下列说法错误的是（
）.
A.过一点和一个平面垂直的平面有无数个
B.过一个平面的一条垂线的所有平面都与此平面垂直
C.过一个平面的一条斜线的平面与此平面不垂直
D.二面角的任意一个平面角所在平面垂直于此二面角的两个面11、已知，，是的斜线，，则与的位置关系是（
）.
A.∥
B.
与相交不垂直
C.
D.不能确定例6、如图4-4,是正方体的平面展开图,图4-4则在这个正方体中：①与平行
②与是异面直线③与成60°角
④与是异面直线其中正确命题的序号是（
）A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
例7、空间四边形中，、分别是、的中点，=3、=
4、=,那么与所成角的度数是_________。【随堂练习】例8、如图，四边形是矩形，是、的中点，求证：面.13、在三棱锥中,、分别为△ABC和△BCD的重心。求证:∥例9、直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，．求证：AC⊥平面BB1C1C；例10、设是单位正方体的面、面的中心，如图，证明：（1）平面；（2）面面.例11、如图，在四棱锥P—ABCD中底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC中点，作EF⊥PB于点F.证明PA∥平面EDB；证明PB⊥平面EFD；
(3)
证明平面PAD⊥平面PAB例12、三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．14、如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2．
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求三棱锥P-AEF的体积．15、正方体中，分别为，的中点.求证：⑴；⑵；⑶[4]求三棱锥的体积16、如图，为圆的直径，点、在圆上，∥，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）求证：平面；（2）设的中点为，求证：∥平面；（3）求三棱锥的体积.17如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积；（3）求点E到平面PDF的距离．
例13、已知点P是△ABC所在平面外一点，点O是点P在平面上的射影，若点P到△ABC
的三个顶点的距离相等，则O是△ABC
的______，若△ABC是直角三角形，则O位于
，若，，，则点位于
。例14、如图，二面角的平面角是个锐角，点到、和棱的距离分别为、、.⑴分别求直线与面和面所成的角;⑵求二面角的大小.18、如图，四棱锥的底面是个矩形，，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.⑴证明：侧面侧面；⑵求侧棱与底面所成的角.
19、是正四棱锥，是正方体，其中．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）（理科）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（Ⅲ）求到平面的距离．例15、中，△是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点。（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）（理科）求二面角--的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离。1、14-1所示，在正方体中，、Q、R、S分别为棱、、、的中点.求证：平面2、已知四棱锥的侧面是正三角形,
是的中点
求证:（1）∥平面；
（2）平面平面。3、正方体，求：（1）异面直线与所成的角；（2）求与平面所成的角；（3）二面角的大小；.
4、15-5，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∥CF，BCF=CEF=，AD=，EF=2.⑴求证：∥平面DCF；⑵当的长为何值时，二面角的大小为？
5、图15-6所示，在正方体中，求证：⑴平面；⑵与平面的交点是的重心（三角形三条中线的交点）.6、在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.
以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.7、多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC
=
AD
=
CD
=
DE
=
2a，AB
=
a，F为CD的中点.
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）（理科）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.8、知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知.（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）（理科）求二面角的大小.9、正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.
（I）求证：A1C//平面AB1D；
（II）（理科）求二面角B—AB1—D的大小；
（III）求点到平面AB1D的距离.10、在正方体中，E、F分别是的中点.（1）证明:；（2）证明:面；（3）设11、C中，，是边长为1的正方形，平面⊥底面，若分别是
的中点．(1)求证：∥底面；(2)求证：⊥平面；(3)求几何体的体积V.
课后作业1【基础巩固】1．如图所示，下列符号表示错误的是(　　)A．l∈α
B．P?lC．l?α
D．P∈α2．异面直线是指(　　)A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线3．a，b为异面直线，且a?α，b?β，若α∩β＝l，则直线l必定(　　)A．与a，b都相交
B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交
D．至多与a，b之一相交4．
空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(　　)A．30°
B．45°C．60°
D．90°5．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是(　　)A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内6．平面α∥平面β，直线a∥α，则(　　)A．a∥β
B．a在面β上C．a与β相交
D．a∥β或a?β7．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：(1)点C与平面β：________.
(2)点A与平面α：________.
(3)直线AB与平面α：________.(4)直线CD与平面α：________.
(5)平面α与平面β：________.8．如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．9．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．10．如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，试判断(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系？(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系？(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系？(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系？【能力提升】1．如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．
2．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线．
课后作业（线、面垂直）【基础巩固】1．下列命题中，正确的有(　　)①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个
B．3个　　
C．4个　　
D．5个2．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是(　　)A．①③
B．②④C．③④
D．①②3．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是(　　)A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．(　　)A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形
B．直角三角形C．钝角三角形
D．不能确定6．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．8．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：平面BCE⊥平面CDE.【能力提升】1．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面AC′D；(2)求直线AB与平面BC′D所成角的正弦值．2．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
线与线的位置关系
线与面的位置关系
面与面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
相
交
交
交
平
行
行
交
异
面
交
相
交
交
交
平
行
行
交
在面内
交
平
行
交
相
交
交
异面直线
所成的角
斜线与平
面所成的角
二面角的
平面角
线与线平行
面与面平行
线与面平行
线与线垂直
线与面垂直
面与面垂直
A
B
C
D
M
N
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
P
A
B
C
D
D1
A1
B1
C111441
P
A
B
C
D
E
B1
D1
A
B
C
D
A1
C1
2，4，6