(共13张PPT)
切线
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d交点
割线
．Ｏ
l
d
r
┐
┐
．ｏ
l
d
r
．O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的
动手做一做
●O
画一个圆O及直径OA，画一条直线l经过⊙O的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直线与圆有几个交点？
┐
A
l
直线l一定是圆O的切线吗？
由此，你知道如何画圆的切线吗？
思考：
1、定义：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
条件：
(1)经过圆上的一点；
一、圆的切线：
知识归纳
(2)垂直于该点半径；
∵l⊥OA，且l 经过⊙O上的A点
∴直线l是⊙O的切线
●O
┐
A
l
如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？
∵直线l是⊙O的切线
知识归纳
思考：
2、性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
∴圆心O到直线l 的距离等于半径
∴OA是圆心O到直线l的距离
∴ l⊥OA
●O
┐
A
l
练习、已知，如图在 中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C且 AD=DC则 ABD= 。
45
O
D
C
B
A
例1、如右图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？
解：直线AB是⊙O的切线 。理由如下：
在圆O 中，
又∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB ＝ 180°
∵因为AB＝OA，∠OBA＝45°(已知)
∴∠AOB＝∠OBA＝45°(等边对等角)
∴∠OAB＝180°-∠OBA-∠AOB＝90°
∴ 直线AB⊥OA
又∵直线AB经过⊙O 上的A点
∴直线AB是⊙O的切线
A
B
O
●
例2.如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB。
AC是⊙O的切线吗？为什么？
解：AC是⊙O的切线 。理由如下：
又∵∠BAC＋∠B＋∠C ＝ 180°
∵ AC＝AB ， ∠B＝45°(已知)
∴ 直线AC⊥AB
又∵直线AC经过⊙O 上的A点
∴直线AC是⊙O的切线
∴∠C＝∠B＝45°(等边对等角)
∴∠ BAC ＝ 180°-∠B-∠C＝90°
O
●
A
B
C
1、判断题：
2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是__________三角形
直角
×
(1) 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线。
(2) 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线 。
×
小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线；
(d=r)
A 、经过圆上的一点；
B、 垂直于半径；
2、圆的切线有什么性质？
圆的切线垂直于经过切点的半径。(共24张PPT)
相切:当两个圆有唯一公共点时,叫做两圆相切.
相切的两个圆,除了切点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,我们就说这两个圆内切.
相切的两个圆,除了切点外,一个圆上的点都在另一圆的外部时,我们就说这两个圆外切;
相交:当两个圆有两个公共点时,叫做两圆相交.
特 例
外离：相离的两个圆,如果一个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做这两个圆外离.
内含：相离的两个圆,如果一个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做这两个圆内含.
相离:当两个圆没有公共点时,叫做两圆相离.
外 离
内 切
相 交
外 切
内 含
没有公共点
相 离
一个公共点
相切
两个公共点
相交
圆与圆的位置关系
o1
o2
R
r
d
d=R+r
两圆外切
O1
O2
R
r
d
d=R-r (R>r)
两圆内切
o1
o2
d
R
r
R-rr)
两圆相交
o1
o2
R
r
d
d>R+r
两圆外离
O
O1
O2
R
r
d
dr)
两圆内含
两圆位置关系的性质与判定:
位置关系 d 和R、 r关系 交点
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
性质
判定
d>R+r
d=R+r
dd=R-r
R-r(R>r)
1
0
2
1
0
外离
外切
相交
内切
内含
同心圆（内含的一种）
圆与圆的五种位置关系
d > R+r
d = R+r
R-rd= R-r
0≤dd= 0
R-r
内切
R+r
外切
0
同心圆
d
外离
相交
内含
解：设⊙P的半径为R
(1)若⊙O与⊙P外切，
则 OP=5+R =8
R=3 cm
(2)若⊙O与⊙P内切，
则 OP=R-5=8
R=13 cm
所以⊙P的半径为3cm或13cm
.
.
P
O
例题： 如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。
若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？
判断正误：
1、若两圆只有一个交点,则这两圆外切. （ ）
2、如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外离. （ ）
3、当O1O2=0时,两圆位置关系是同心圆.（ ）
4、若O1O2=1.5,r=1,R=3,则O1O25、若O1O2=4，且r =7,R=3,则O1O2练一练
×
√
×
×
×
1.若半径为7和9的两圆相切,则这两圆的圆心距长一定为( )
A.16 B.2 C.2或16 D.以上均不对
2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( )
A.d＜6 B. 4＜ d ＜6 C.4≤d≤6 D.1＜d＜5
3.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
C
B
C
4. 两圆的半径5:3,两圆外切时圆心距d=16,那么两圆内含时,他们的圆心距d满足( )
A.d＜6 B. d ＜4 C.6＜d＜10 D.d＜8
5.已知两圆的半径为R和r(R＞r), 圆心距为d ,
且 则两圆的位置关系为( )
A.外切 B. 内切 C.外离 D.外切或内切
B
D
6.两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的半径为 .
7.两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点, ⊙O1经过点O2,则
∠O1AB的度数为 .
8.已知两圆的圆心距为5,⊙O1和⊙O2 的半径分别是方程
的两根,则两圆的关系为 .
9.两圆的半径为5和3,且两圆无公共点,则两圆圆心距d的取值范围为 .
2cm或8cm
30°
内切
d＞8或d＜2(共18张PPT)
本节知识结构图：
点和圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆和圆的位置关系
三角形外接圆
三角形内切圆
（圆的确定）
（切线的性质及判定）
与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
dd=r
d>r
⑴点在圆内
·
P
⑵点在圆上
·
P
⑶点在圆外
·
P
(令OP=d )
一：点与圆的位置关系
二：直线与圆的位置关系
位置关系 d与r的关系 交点个数
相离
相切
相交
d﹥r
d=r
d﹤r
0
１
２
.A
O
X
Y
练习1：已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。
B
C
4
3
相离
相切
交点个数 名称
外离
1
外切
1
相交
内切
0
2
0
内含
d > R + r
d = R + r
R-r< d < R+ r
d = R - r
d
R
r
d < R - r
d与Ｒ,r的关系
对称性
三：圆与圆的位置关系
都是轴对称图形，其对称轴是：两圆连心线
结论：相切时，切点在连心线上
例1 如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm，
求（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，大圆⊙P的半径是多少？
（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
O
A
B
P
解:(1)设⊙O与⊙P外切于点A，则
PA=OP-OA
PA=3cm.
(2)设⊙O 与⊙P内切于点B，则
PB=OP+OB
PB=13cm.
两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是多少
解 设大圆半径 R = 3x,小圆半径 r = 2x
依题意得：
3x-2x=8
x=8
∴ R=24 cm r=16cm
∵ 两圆相交 R-r∴ 8cm练习2
＿＿＿＿＿＿的三点＿＿一个圆
不在同一直线上
确定
四：圆的确定（圆心，半径）
你有什么方法使得我能“破镜重圆”呢？
如何解决“破镜重圆”的问题：
解决问题的关键是什么？
（找圆心）
A
B
C
O
五：三角形的外接圆（如：⊙O）和内切圆（如：⊙Ｉ）
A
B
C
I
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
A
B
C
O
定义 实质 性质
外心
内心
三角形三边垂直平分线的交点
三角形三内角角平分线的交点
到三角形各边的距离相等
到三角形各顶点的距离相等
练习3
如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗 是多少
O
A
B
C
六:切线的判定与性质
(一)切线的判定方法：
C
D
●O
A
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线；
(d=r)
A 、经过圆上的一点；
B、 垂直于半径；
圆的切线垂直于经过切点的半径。
(二）切线的性质
1.如图１，△ABC中，AB=AC，O是BC的中 点，以O为圆心的圆与AB相切于点D，
求证：AC是圆的切线
2.如图2,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE⊥BC于E．证明:DE是圆O的切线。
（图1） （图2）
·
A
B
E
O
C
D
（距离法）
（判定定理）
练习4
从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
A
B
P
●O
┗
┏
1
2
七：切线长定理
几何语言：若PA,PB切⊙O于A,B
则①PA=PB ②∠1=∠2
1.如图1中,圆O切PB于点B,PB=4,PA=2,则圆O的半径是____.
2. 如图2中,一油桶靠在墙AB的D处,量得BD的长为0.6m,并且BC⊥AB,则这个油桶的直径为___m
3.在直角三角形ABC中, ∠C=Rt ∠,AC=6,BC=8,则其外接圆半径=___, 内切圆半径=___.
O
A
P
B
3
1.2
5
2
A
B
C
D
O
.
练习5
１．知识：
回顾“与圆有关的位置关系”中相关的概念，性质与判定．
２．思想方法：
数形结合，类比，分类讨论，方程思想．
面积法，代数法．(共14张PPT)
(地平线)
a(地平线)
●O
●O
●O
你认为直线与圆有哪些位置关系
(2)直线和圆有唯一个公共点,
叫做直线和圆相切,
这条直线叫圆的切线，
这个公共点叫切点。
(3)直线和圆有两个公共点,
叫做直线和圆相交，
这条直线叫圆的割线，
这两个公共点叫交点。
(1)直线和圆没有公共点时,
叫做直线和圆相离。
(2) 直线和圆相切
(3) 直线和圆相交
(1)直线和圆相离
·
·
·
d>r
d=r
d圆心到直线的距离 d
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm；
（2）r=2.4cm
(3) r=3cm．
B
C
A
4
3
D
解：过C作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB=
5
根据三角形的面积公式有
∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以 (1)当r=2cm时,
有d>r,
因此⊙C和AB相离。
B
C
A
4
3
D
（2）当r=2.4cm时,
有d=r,
因此⊙C和AB相切。
（3）当r=3cm时，
有d因此，⊙C和AB相交。
B
C
A
4
3
D
B
C
A
4
3
D
1.设⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,
根据下列条件判断直线L与⊙O的位置关系:
d=4, r=3
(2)d=1, r=
(3)
相离
相交
相切
3)若AB和⊙O相交,则
2、已知：⊙O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离,则
2)若AB和⊙O相切,则
d > 5cm
d = 5cm
d < 5cm
0cm≤
3、如图，已知∠AOB=300，M为OB上一点，且
OM=5cm，以M为圆心、r为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？
(1) r=2cm
(2) r=4cm
(3) r=2.5cm
Ｍ
O
A
B
．
D
答案： (1)相离
(2)相交
(3)相切
4、已知：圆的直径为13cm，如果圆心到直线的距离
为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？
(1) 4.5cm
A 0 个； B 1个； C 2个；
答案:C
(2) 6.5cm
答案:B
(3) 8cm
答案:A
A 0 个； B 1个； C 2个；
A 0 个； B 1个； C 2个；
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d交点
割线
．Ｏ
l
d
r
┐
┐
．ｏ
l
d
r
．O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
2、判定直线 与圆的位置关系的方法有____种：
（1）根据定义，由__________________的个数来判断；
（2）根据性质，由_____________________ ______________的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
两
直线 与圆的公共点
圆心到直线的距离d
与半径r(共18张PPT)
爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？
A
B
C
点和圆的位置关系
.
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外
圆上各点与圆的位置关系
O
A
B
OA=OB=OC=r
r
C
如图，设⊙O 的半径为r，A点在圆内，
B点在圆上，C点在圆外，那么
点A在⊙O内
点B在⊙O上
点C在⊙O外
OA＜r， OB＝r， OC＞r．
反过来也成立,如果已知点到圆心的距离和圆的半径的关系，就可以判断点和圆的位置关系。
OA＜r
OB=r
OC＞r
A
B
C
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
A
D
C
B
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
A
D
C
B
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆内，C在圆上)
问题:多少个点可以确定一个圆呢
解决:
步骤1:过一点,可以画多少个圆
步骤2:过两点,可以画多少个圆
步骤3:过三个点,可以做多少个圆
过一点画圆
A
我们的结论:
过一点可以画无数个圆
A
B
我们的结论:
所有经A,B两点的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上
l
过两点画圆
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
┓
●B
●C
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
┏
●A
经过A,B,C三点的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置.
●O
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
过三点画圆
任意画一个三角形,然后再画出经过三个顶点的圆
我们的结论: 经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个
经过在三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,.三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边垂直平分线的交点
试一试：
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
思考
经过四个点是不是一定能作圆？
1、
A
B
C
D
2、
A
B
C
D
所以经过四点不一定能作圆。
D
4、
A
B
C
A
B
C
D
3、
B
A
C
D
为什么过同在一条直线上的三个点不可以画圆
A
B
C
O
a
b
判断正误
1.经过三个点一定可以作圆.
2.任意一个三角形一定有一个外接圆.
3.任意一个圆一定有一内接三角形,并且只有一个内接三角形.
4.三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等.
点和圆的位置关系有几种？
dd=r
d>r
⑴点在圆内
·
P
⑵点在圆上
·
P
⑶点在圆外
·
P
(令OP=d )(共14张PPT)
切线长
根据圆的轴对称性，存在与A点重合的一点B，且落在圆，连接OB，则它也是⊙o的一条半径。
O
P
A
B
你能发现OA与PA，OB与PB之间的关系吗？
PA、PB所在的直线分别是⊙o两条切线。
∟
∟
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。
O
P
A
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
O
P
A
B
A
根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又有什么关系？
证明：
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A
切线长定理：
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．
练习
O
F
P
E
⌒
1
2
⌒
李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
O
A
B
C
作三角形内切圆的方法：
A
B
C
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。
I
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
D
M
N
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
C
B
A
E
D
F
O
r
解：因为△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，由切线长定理知
AE=AF,CE=CD,BD=BF
∴AF+BD+CE= (AB+AC+BC)
∵BD+CE=
∴AF=18-9=9
BD+CD=
BC=9
=18
∴BD=AB-AF=13-9=4
∴CE=BC-BD=9-4=5
（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)
= 180 °－(25°＋ 35 °)
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， 若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
A
B
C
O
=120 °
)
1
(
3
2
)
4
(
同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= 70° = 35°
∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= 50°= 25°
小结：
（1）切线长定理。
（2）三角形的内切圆
