切线长定理

(共28张PPT)
1、切线的判定定理：
2、切线的性质定理：
经过半径的外端且垂直于
这条半径的直线是圆的切线
圆的切线垂直于经过切点
的半径
复 习
4、思考：经过圆上一点可以作圆的几条切线？经过圆外一点呢？
3、判断直线与圆相切有几种方法？
已知⊙o及⊙o外的一点P，PA与⊙o相切于A点，连接OA、OP，如果将⊙o沿直线OP翻折，存在一点与A点重合吗？
根据圆的轴对称性，存在与A点重合的一点B，且落在圆，连接OB，则它也是⊙o的一条半径。
O
P
A
B
你能发现OA与PA，OB与PB之间的关系吗？
PA、PB所在的直线分别是⊙o两条切线。
∟
∟
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。
O
P
A
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
O
P
A
B
O
P
A
B
∟
∟
M
根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又有什么关系？
⌒
⌒
1
2
证明：
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
关键是作辅助线~
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
O
P
A
B
例1：（1）如图，已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为 6cm，经过点P有⊙O的两条切线PA、PB，则切线长为_____cm，这两条切线的夹角为____
A
B
P
.
O.
，∠AOB=______
典型例题
P
（2）如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A，B，在AB 上任取一点C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E
B
.
D
C
E
O
A
.
若PA=2，则△PDE的周长为______;
若PA=a，则△PDE
的周长为_______
例2：
数学课上，数学老师把一个乒乓球放在一个V形架中，如图是它的平面示意图，CA、CB是⊙O的切线，切点分别是A、B，某同学通过测量，量得AB=4cm，∠ACB=600，如何求出乒乓球的直径？
.
.
O
C
A
B
D
典型例题
解：连接OB、OC交AB于D
· O
A
B
C
D
E
如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC
是切线长，点A、E、B为切点，若BC=9，
AD=4，求OE的长.
· O
A
B
C
D
E
F
切线长定理的拓展
　　
B
O
P
A
H
D
C
想一想：根据图形，
你还可以得到什么结论？
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形,等腰三角形。
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
A
O
C
D
P
B
E
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB , △ACP≌△BCP.等腰三角形: △AOB,△PAB
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得
PA 2 + OA 2 = OP 2
即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
解得 x = 3 cm
所以，半径 OA 的长为 3 cm.
求证：PO⊥OQ
1.如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，
O
.
A
B
C
P
Q
∴PO⊥OQ
1
2
由AB为直径可得AP//BQ
由PA、PQ、BQ为切线
分析:
可得
练 习
∠1= ∠APC
∠2= ∠BQC
则有∠1+∠2=90°
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
总结：
A
P
O
。
B
E
C
D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往 需要我们构建基本图形。
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
O
A
B
C
作三角形内切圆的方法：
A
B
C
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。
I
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
D
M
N
如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB=
11
6cm
9cm
B
D
A
C
F
E
2
7
4
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
求AF、BD、CE的长.
解:
设AF=x(cm),则AE=x(cm)
∴CD=CE=AC-AE=13-x
BD=BF=AB-AF=9-x
由 BD+CD=BC可得
(13-x)+(9-x)=14
解得 x=4
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)
= 180 °－(25°＋ 35 °)
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， 若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
A
B
C
O
=120 °
)
1
(
3
2
)
4
(
同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= 70° = 35°
∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= 50°= 25°
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c.
求⊙O的半径r.
A
B
C
●
┗
┏
┓
O
D
E
F
┗
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.
求内切圆⊙O的半径r.
●
A
B
C
●
O
●
┗
┓
O
D
E
F
┗
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
3. 已知:如图,△ABC的面积S=4cm,周长等于10cm.
求内切圆⊙O的半径r.
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______.
2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,
则此三角形的周长是_______.
3.⊙O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O
于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.
E
F
H
G
正方形
22cm
2cm
想一想：圆的外切四边形的两组对边有什么关系？说明你的结论的正确性.
A
B
C
D
O
L
M
N
P
再见！