沪教版（上海）数学高二上册-7.4 数学归纳法 教案（Word）

7.4数学归纳法
I学情分析
在学习本节课之前，学生已经理解了数列和与数列有关的基本概念，掌握了两种典型的数列——等差数列和等比数列的概念，以及相应的定义、递推公式、通项公式、前n项和公式等等，基于我校学生的实际情况，也有过一些探究由这两个数列组成的复合数列的经验。也就是说，对与数列的认识，既有研究等差数列、等比数列这两个典型数列的常见方法，学生具备了研究数列问题的“严谨性”，也在学习数列的递推公式和通项公式时，有过根据数列的前若干项，进而试写出数列的通项公式的经历，会通过根据数列的变化规律，通过仔细的观察，做合情、合理的猜想和归纳。
与此同时，也然有大量的事实可以说明，这样的“不完全归纳法”得出的结论未必是正确的。那么对于观察数列前若干项，进而猜想出来的“通项公式”，会不会在将来的哪一项不符合公式，还是的确对于任意都是成立的，如果确实是成立的，又该如何证明，这些都是学生在学习过程中自然会产生的问题，也是解决与正整数n有关现实问题的需要，可以顺利地引出数学归纳法。
在学会了数学归纳法之后，学生一方面可以根据学习等差数列、等比数列时掌握的基本方法，研究与通项公式、前n项和公式等有关的问题，遇到困难时，也可以遵循“归纳-猜想-论证”的思路，来解决与正整数n有关的问题，对数列的综合学习，起到如虎添翼之用。
II教学目标
理解数学归纳法的概念，学会使用数学归纳法证明与正整数有关问题的步骤，经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法，并通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学归纳法使有限和无限间实现了平衡的科学意义。
III教学重点与难点
了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；
理解数学归纳法的思想实质，特别是数学归纳法两个步骤各自的作用；
在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
IV教学过程
教学过程
教学意图
1.完全归纳法和不完全归纳法(1)体育课排队，每排五人，发现第一个是女生，第二个是女生，第三个是女生，第四个女生，第五个是女生，你有什么结论?(2)在数列中，写出这个数列前4项，有什么猜想？，但.
一排队伍学生个数是有限的，可以用完全归纳法；数列中，根据前4项猜测所有项都是1，是不完全归纳法，得出的结论不一定是正确的.
2.解决女生排队问题的困惑(1)上述女生排队的事例中，如果人数是有限的，我们可以用完全归纳法说明“这一排都是女生”的结论的正确性，而如果这一排的学生有无限多个，如何保证这一排全都是女生——确保第一个同学是女生，并且每一位同学与后面一个同学是相同性别的，那么就能保证这一排所有同学都是女生；(2)引导学生用数学语言提炼出上述事实.
培养学生大胆猜想的意识和概括能力，但有时猜想是正确的，有时则不一定正确，而命题中涉及的正整数有无限多个，不方便通过一一验证的办法来证明，该用什么样的方法来证明，以引出课题
3.数学归纳法引入(1)以引例为例，用数学语言来表达上述条件.女生排队原理等差数列通项公式(i)第1位同学是女生(i)当n=1时，成立(ii)假如第个同学是女生，确保下一个(第)个同学跟第k个同学性别相同(ii)假设当时，成立，也成立根据(i)和(ii)，可知不论有多少名同学，都能保证这排同学都是女生.根据(i)和(ii)，可知对任意正整数都成立
体育课排队问题的本质，要保证第一个是女生，以及每一位同学与他/她后一位同学的性别相同；以引例(1)为例，模仿女生排队，探索证明等差数列通项公式的方法，并与学生一起探索用数学语言描述上述现象.
4.数学归纳法——证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(i)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(ii)(归纳递推)假设当时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法.
从根本上让学生理解数学归纳法与一般的归纳推理不同，作为一种严密的数学证明方法，经过数学归纳法证明的命题，一定是正确的.
5.数学归纳法问题剖析1(1)体育课排队：每一位同学与排在他/她后面的人性别相同，能保证这一排都是女生么？(2)
copy不走样的游戏：第一个参与者的动作示范正确，“copy”为什么又常常会走样?
从生活中的例子出发，引导学生认识到数学归纳法学习、使用过程中两种典型的错误类型，应予避免.
5.数学归纳法问题剖析2有一位同学这样用数学归纳法，试图证明等式证明：当时，成立，那么当时，，等式也成立，因此等式成立(2)类比到体育课排队的例子中，相当于只保证“每一位同学与他/她后一位同学是相同性别的”，那自然也无法论证每一位同学都是女生
数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步的验证是递推的基础，本题的错误就在于归纳奠基的基础是错误的，后面的证明也就成了无本之木、无源之水了.
5.数学归纳法问题剖析3(1)有一位同学用数学归纳法，试图证明等式证明：(i)当时，左边=1，右边=1，等式成立；(ii)假设当时，成立，那么当时，，等式也成立，由(i),(ii)知，对任意，等式都成立.(2)这里等式从n=k到n=k+1的证明过程，没有使用归纳假设，相当于copy不走样的游戏中，归纳递推环节产生错误，致使游戏玩不下去，因而是错误的.
阅读证明正奇数数列的前n项和公式，这里比较容易犯的错误之一，就是在证明当n=k+1时，不使用n=k的归纳假设，而直接使用前k+1项和公式求和，这样不正确地使用归纳递推，本质上就不是数学归纳法了.
6.数学归纳法举例.证明：(i)当时，左边=1，右边，等式成立；(ii)假设当时，等式成立，即，那么，当时，，等式也成立.根据(i),(ii)知，对任何都成立.
在认识到数学归纳法能证明与正整数n有关的问题，以及理解数学归纳法的两个关键步骤之后，以一个与正整数n有关的命题作为给学生的练习，注意其中的四次“成立”：验证起始值成立，假设成立，证明也成立，说明对任意都成立，以此规范学生的书写格式
6.数学归纳法举例(拓展)已知数列中，，写出，试写出数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
本题作为课后拓展题，有归纳-猜想-论证的思想在这里，一方面习题形式是学生所熟悉的递推公式表示数列，也让学生在根据前5项猜出通项公式之后，有更加严谨的证明.
7.课堂小结(1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题；(2)数学归纳法的两个步骤、一个结论缺一不可；(3)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设；(4)完成(i),(ii)步骤的证明后，要对命题成立进行总结.
8.课后作业必做：练习册P12-13B层选做：用数学归纳法证明A层选做：用数学归纳法证明
V教学设计说明
本节课首先从学生已经掌握的数列的递推公式和通项公式讲起，学生既会根据通项公式写出数列的项，也会根据数列的递推公式写出数列的前若干项，进而观察规律，猜测这个数列的通项公式。根据第二个通项公式前4项都是4，认为这个数列所有项都是4的猜想则显然是错误的，因为第5项就是25，让学生感知不完全归纳的猜想，有时并“不靠谱”。此后，话锋一转，回到“女生排队”问题，引发学生思考，需要什么条件能保证一列队伍都是女生，让学生充分表达自己的意见，再在教师的引导下，用数学语言表达出来，来揭示数学归纳法依据，以及两个条件和它们之间的关系。
有了课堂引例环节的事例和女生排队的实际例子，研究出数学归纳法的证明逻辑和步骤，此时学生对于步骤中“四次成立”的环节可能依然是不清楚的，为什么一定要经历这样“四次成立”，于是再通过两个较为典型的，学生常犯的用数学归纳法证明问题过程中出现的错误为例，再次体现数学归纳法的两个基本步骤，缺少任何一个都是错误的。
在通过各种方式让学生循序渐进地理解数学归纳法的基本步骤后，给出一个完全平方数的前n项和，引导学生正确、规范地利用数学归纳法证明一个与正整数n有关的问题。
本节课使用数学归纳法只证明与正整数有关的等式成立的问题，在以后的学习中，可能会遇到使用数学归纳法证明与正整数有关的不等式问题、整除性问题，也会遇到起始值不是1的情况，还需要通过各种例子来让学生进一步熟悉数学归纳法的应用。
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