北师大版 九年级 上册 4.7 相似三角形的性质 练习 （Word版 含解析）

相似三角形的性质练习
一、选择题
已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的周长比为(????)
A. 1：4 B. 4：1 C. 1：2 D. 1：16
如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(????)
A. B. C. D.
把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是(????)
A. 2:1 B. 4:1 C. 3:1 D. 2:1
若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为(????)
A. 1：2 B. 1：4 C. 2：1 D. 4：1
如图，?ABC中，D、E是BC边上的点，BD:DE:EC=3:2:1，M在AC边上，CM:MA=1:2，BM交AD，AE于H，G，则BH:HG:GM等于(????)
A. 3:2:1 B. 5:3:1 C. 25:12:5 D. 51:24:10
把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的(????)
A. 10000倍 B. 10倍 C. 100倍 D. 1000倍
如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论中一定正确的是(????)
A. AB?AD=BC?BD B. AB?AD=AD?CD
C. AB2=BC?BD D. AB2=AC?BD
如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是(????)
A. 4：9 B. 2：3 C. 16：81 D. 9：4
两个多边形的面积之比为5，周长之比为m，则5m为(????)
A. 1 B. 55 C. 5 D. 5
如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠B等于(????)
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°.动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°.设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为(????)
A. B. C. D.
已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，五边形ABCDE的最短边为2，最长边为6，五边形A1B1C1D1E1的最长边是12，则五边形A1B1C1D1E1的最短边是(????)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(????)
A. AB2=BC?BD B. AB2=AC?BD
C. AB?AD=BD?BC D. AB?AD=AD?CD
如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是(????)
A. 10 B. 12 C. 454 D. 365
二、填空题
如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=________．
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB边的中点，P是BC边上一动点(点P不与B、C重合)，若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC=______．
将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度为??????????．
将一个矩形减去一个正方形所剩的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为______ ．
如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的______．
三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）
如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的周长比为：1：4．
2.【答案】C
【解析】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
3.【答案】A
【解析】解：设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴2ab=ba，∴2a2=b2，
∴2a：b=2：1，
∴大矩形与小矩形的相似比是2：1；
4.【答案】A
【解答】
解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为14=1：2．
故选A．
5.【答案】D
6.【答案】B
【解答】解：因为面积扩大到原来的100倍，即面积的比等于100：1，面积的比等于相似比的平方，因而相似比是10：1，即边长扩大到原来的10倍．
故选B．
7.【答案】C
【解答】
解：∵△ABC∽△DBA，
∴ABDB=BCAB；
∴AB2=BC?BD，
故选C．
8.【答案】B
【解答】
解：∵两个相似多边形面积的比是4：9，
∴这两个相似多边形对应边的比是2：3．
故选：B．
9.【答案】C
【解答】
解：∵两个相似多边形面积之比为5，周长之比为m，
∴由相似三角形的性质可得：5=m2，
解得m=±5，
∵m=?5不符合题意，
∴m=5，
∴5m=55=5．
故选：C．
10.【答案】A
【解答】
解：∵∠ADE+∠A+∠AED=180°，
∴∠AED=180°?∠ADE?∠A=180°?80°?60°=40°，
又∵△ABC∽△AED，
∴∠B=∠AED=40°，
故选A．
11.【答案】A
【解答】
解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°
∴∠ACB=80°
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°
∴∠PAB+∠CAQ=80°
△ABC中：∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°
∴∠AQC=∠PAB
同理：∠P=∠CAQ
∴△APB∽△QAC
∴PBAC=ABQC，即x2=2y．
则函数解析式是y=4x．
故选A．
12.【答案】A
【解析】解：∵五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，
五边形ABCDE的最短边为2，最长边为6，五边形A1B1C1D1E1的最长边是12，
∴2五边形A1B1C1D1E1的最短边=612，
∴五边形A1B1C1D1E1的最短边是4．
13.【答案】A
【解析】解：∵△ABC∽△DBA，
∴BDAB=ABBC=ADAC；
∴AB2=BC?BD，AB?AD=BD?AC；
14.【答案】C
【解答】
解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴ABA1B1=CDC1D1，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴C1D1=9×1512=454．
故选C．
15.【答案】65或43
【解答】
解：∵∠A=∠EDF=30°，ED⊥AB，
∴∠FDB=∠B=60°．
∴FD=FB
∴△BDF是等边三角形．
∵BC=1，
∴AB=2．
∵BD=BF，
∴2?AD=1?CF．
∴AD=CF+1．
①如图，
若∠FED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AED=90°?30°=60°，
∴∠CEF=180°?90?°?60°=30°，
∵△BDF是等边三角形，
∴∠FDB=60°，
∵∠EDF=180°?60°?90°=30°，
∴∠CEF=∠EDF，
∴△CEF∽△EDF，
∴CFEF=EFDF，即CF2CF=2CF1?CF．
解得CF=15．
∴AD=15+1=65．
②如图，
若∠EFD=90°，
∵∠BFD=60°，
∴∠CFE=180°?90°?60°=30°，
即∠CFE=∠FDE，
又∠C=∠EFD=90°，
∴△CEF∽△FED，
∴CFFD=CEFE，即CF1?CF=12．
解得CF=13．
∴AD=13+1=43．
综上所述，AD的长为65或43．
故答案为65或43．
16.【答案】4或254
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB边的中点，
∴CD=BD=12AB=5，
∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴∠DPC=90°或∠CDP=90°，
(1)若∠DPC=90°，则DP//AC，
∴BDAB=BPBC=12，
∴BP=12BC=4，
则PC=4；
(2)若∠CDP=90°，则△CDP∽△BCA，
∴CDBC=PCAB，
即58=PC10，
∴PC=254．
∴PC=4或254．
17.【答案】127或2
【解答】
解：根据△B′FC与△ABC相似的对应关系可知，有两种情况：
当△B′FC∽△ABC时，B′FAB=CFBC，
∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，
∴BF3=4?BF4，解得BF=127;
当△B′CF∽△BCA时，B′FBA=CFCA，
∵AB=AC，∴B′F=CF，
又BF=B′F，BF+FC=4，∴BF=2．
故BF的长度是127或2．
18.【答案】5?12
【解析】解：设原矩形的长与宽分别为x、y，则剩下矩形的长是y，宽是x?y，
∵剩下的矩形与原矩形相似，
∴xy=yx?y，
整理得，x2?xy?y2=0，
解得x=1+52y或x=1?52y(舍去)，
∴原矩形的宽与长的比为yx=21+5=5?12．
19.【答案】13
【解答】
解：∵AB被截成三等分，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴AEAF=12，AEAB=13，
∴S△AFG：S△ABC=4：9，
S△AEH：S△ABC=1：9，
∴S阴影部分=49S△ABC?19S△ABC=13S△ABC．
故答案为13．
20.【答案】解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠PBD，
∵∠PDB=120°，
∴∠DPB+∠DBP=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．
21.【答案】解：设经过ts时，△PBQ与△ABC相似，
那么AP=2tcm，
BQ=4tcm，BP=(10?2t)cm，∠ABC=∠PBQ，
?①当PBAB=BQBC时，△PBQ∽△ABC，
此时有10?2t10=4t20，
解得t=2.5；
?②当QBAB=BPBC时，△PBQ∽△CBA，
此时有4t10=10?2t20，
解得t=1；
综上所述，经过1s或2.5s时，△PBQ与△ABC相似．
22.【答案】解：∵△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，
∴ABDE=AEDF，即62=9DF，
解得DF=3．
∴EF=DE2+DF2=22+32=13．