北师大版 九年级 上册 4.4 探索三角形相似的条件 练习 （Word版 含解析）

探索三角形相似的条件练习
一、选择题
如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)，B(2,0)，点C在第一象限，若以A，B，C为顶点的三角形与时△AOB相似(不包括全等)，则点C的个数是(? ? ? )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(????)
A. B.
C. D.
下列两个三角形不相似的是(????)
A. 一个三角形的两个角分别是40°、80°；另一个三角形的两上角分别是60°、80°
B. 一个三角形的三边长分别是4cm、6cm、8cm；另一个三角形的三边长分别是12cm、18cm、21cm
C. 一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3cm和7.5cm，夹角是40°
D. 各有一个角是120°的两个等腰三角形
如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(????)
A. B.
C. D.
已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(????)
A. 一定不相似 B. 不一定相似 C. 一定相似 D. 不能确定
已知P为线段AB的黄金分割点，且AP A. AP2=AB·PB B. AB2=AP·PB
C. PB2=AP·AB D. AP2+BP2=AB2
如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是(????)
A. ∠ACP=∠B B. ∠APC=∠ACB
C. ACAB=CPBC D. ACAP=ABAC
如图，D，E分别是AB，AC上的点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是(????)
A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB
C. BE=CD,AB=AC D. AD:AC=AE:AB
如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的? (??? )
A. ACAD=ABAE B. ACDA=BCDE C. ACAD=ABDE D. ACAD=BCAE
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(????)
A. ADAB=AEAC B. ADAE=ACAB C. ∠ADE=∠C D. ∠AED=∠B
如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：①∠APB=∠EPC；②∠APE=∠APB；③P是BC的中点；④BP：BC=2：3，其中能推出△ABP∽△ECP的有(????)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
点P是△ABC边AB上一点(AB>AC)，下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是(????)
A. ∠ACP=∠B B. ∠APC=∠ACB
C. ACAB=APAC D. PCBC=ACAB
已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是(????)
A. B. C. D.
如图，点E在□ABCD的边BC延长线上，连AE，交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有(????)
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
二、填空题
如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，可添加的条件是_____．
如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有____个．
如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm.某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1?cm/s的速度向点B匀速运动；同时动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．若以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为________秒．
如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有________对．
如图，∠1=∠2，添加一个条件______，使得△ADE∽△ACB．
三、解答题
如图，在△ABC中，AD=DB，∠1=∠2.求证：△ABC∽△EAD．
如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
答案和解析
1.【答案】D
【解答】
解：如图①，∠OAB=∠BAC1，∠AOB=∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．
如图②，AO//BC2，BA⊥AC2，则∠ABC2=∠OAB，∠AOB=∠BAC2?，故△AOB∽△BAC2；
如图③，AC3//OB,∠ABC3=90°，则∠ABO=∠C3AB，∠ABC3=∠AOB=90°?，故△AOB∽△C3BA；
如图④，∠AOB=∠BAC4=90°,∠ABO=∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．
故选D．
2.【答案】C
【解答】
解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
3.【答案】B
解：A、一个三角形的两个角分别是40°、80°，则另一个内角为60°，而另一个三角形的两上角分别是60°、80°，这两个三角形相似；
B、一个三角形的三边长分别是4cm、6cm、8cm；另一个三角形的三边长分别是12cm、18cm、21cm，三边不成比例，这两个三角形不相似；
C、根据两边对应成比例且夹角相等知这两个三角形相似；
D、各有一个角是120°的两个等腰三角形，由于两个等腰三角形的底角均为30°，据此可知两个三角形相似；
故选：B．
4.【答案】B
【解答】
解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°?45°=135°，
A、C、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC=2，AC=2，
对应的图形B中的边长分别为1和2，
∵12=22，
∴图B中的三角形(阴影部分)与△ABC相似，
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：∵一个三角形的两个内角分别是40°，60°，
∴第三个内角为80°，
又∵另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，
∴这两个三角形有两个内角相等，
∴这两个三角形相似．
6.【答案】C
较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值(
5?1
2
)叫做黄金比．
【解答】
解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP∴PB2=AP?AB．
故选C．
7.【答案】C
【解答】
解：A、∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵ACAB=CPBC，
当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵ACAP=ABAC，
又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
8.【答案】C
【解答】
解：∵∠A=∠A，
∴A.当∠B=∠C时，△ABE∽△ACD(两个对应角相等的两个三角形相似)；
B.当∠ADC=∠AEB，△ABE∽△ACD(两个对应角相等的两个三角形相似)；
C.当BE=CD，AB=AC时，无法证明△ABE和△ACD相似；
D.当AD：AC=AE：AB时，△ABE和△ACD相似(两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似)．
故选C．
9.【答案】C
【解答】
解：∵∠BAC=∠D，ACAD=ABDE，
∴△ABC∽△DEA．
故选C．
10.【答案】A
【解答】
解：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；
当ADAC=AEAB即ADAE=ACAB时，△ABC∽△AED．
故选A．
11.【答案】B
利用相似三角形的判定定理，以及正方形的性质逐项判断即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，
∵E为CD中点，
∴CD=2CE，即AB=BC=2CE，
①当∠APB=∠EPC时，结合∠B=∠C，可推出△ABP∽△ECP；
②当∠APE=∠APB≠60°时，则有∠APB≠∠EPC，所以不能推出△ABP∽△ECP；
③当P是BC中点时，则有BC=2PC，可知PC=CE，则△PCE为等腰直角三角形，而BP≠AB，即△ABP不是等腰直角三角形，故不能推出△ABP∽△ECP；
④当BP：BC=2：3时，则有BP：PC=2：1，且AB：CE=2：1，结合∠B=∠C，可推出△ABP∽△ECP．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：∵∠A=∠A，
∴当∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或AC：AB=AP：AC时，
△ACP∽△ABC．
13.【答案】C
【解答】
解：根据题意可知
选项A，三角形的顶角是75°，原?三角形的顶角是30°，对应角不相等，两个三角形不相似，故错误；
选项B，三角形是等边三角形，原三角形是顶角为30°的三角形，故不相似；故错误；
选项C，三角形是顶角为30°的等腰三角形，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，便可以得到两个三角形相似，故正确；
选项D，三角形是顶角为32°的等腰三角形，原三角形的顶角是30°，与原三角形不相似，故错误．
故选C．
14.【答案】C
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△AFD∽△EFC∽△EAB．
故选C．
15.【答案】∠D=∠C或∠E=∠B或AEAB=ADAC
【解答】
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．
当∠D=∠C或∠E=∠B或AEAB=ADAC时，△ADE∽△ACB．
故答案为∠D=∠C或∠E=∠B或AEAB=ADAC．
16.【答案】3
【解答】
解：如图，
设AP为x，
∵AB=10，
∴PB=10?x，
①AD和PB是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴ADPB=APBC，
即410?x=x4，
整理得，x2?10x+16=0，
解得x1=2，x2=8，
②AD和BC是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴ADBC=APPB，
即44=x10?x，
解得x=5，
所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，
满足条件的点P有3个．
故答案为3．
17.【答案】2.4或1.5
∽△NMA两种情况进行讨论，再根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【解答】
解：当△ACD∽△MNA时，
则ADCD=MANA，
即63=t6?2t，
∴36?12t=3t．
∴t=2.4秒．
当△ACD∽△NMA时，
则ADCD=NAMA，
即63=6?2tt．
∴6t=18?6t．
∴t=1.5秒．
故答案为2.4或1.5．
18.【答案】3
【解答】
解：∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD=∠A=∠B，∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠CPD+∠C，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，
∴题图中有3对相似三角形．
故答案为3．
19.【答案】∠D=∠C或∠E=∠B或ADAC=AEAB
【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．
当∠D=∠C或∠E=∠B或ADAC=AEAB时，△ADE∽△ACB．
由∠1=∠2可得∠DAE=∠CAB.只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB．
20.【答案】证明：∵AD=DB，
∴∠B=∠BAD．
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，
又∵∠1=∠2，
∴∠C=∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
21.【答案】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=4xcm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=AB?AP=(8?2x)cm，
∵∠B是公共角，
∵①当BPBA=BQBC，即8?2x8=4x16时，△PBQ∽△ABC，
解得：x=2；
②当BPBC=BQBA，即8?2x16=4x8时，△QBP∽△ABC，
解得：x=0.8，
∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点，
∴QC=QD=12AD，CP=14AD，
∴ADQC=DQCP，
又∵∠ADQ=∠QCP，
∴△ADQ∽△QCP．