北师大版 九年级 上册 4.5 相似三角形判定定理的证明 练习 （Word版 含解析）

相似三角形判定定理的证明练习
一、选择题
如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=(????)
A. 2 B. 12 C. 13 D. 14
小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(????)
A. (6+3)米 B. 12米 C. (4+23)米 D. 10米
如图，已知在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则BE长为(????)
A. 1 B. 2.5 C. 2.25 D. 1.5
如图，点A1、A2、B1、B2、C1、C2分别为△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，若△ABC的周长为I，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为(????)
A. 2I B. 23I C. 33I D. 13I
如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于(????)
A. 2：3：5 B. 4：9：25 C. 4：10：25 D. 2：5：25
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为(? ? ? ?)
A. 8 B. 12 C. 14 D. 16
如图在△ABC中，点G是重心，连接BG并延长BG交AC于D，若点G到AB的距离为2，则点D到AB的距离是(????)
A. 2.5 B. 3 C. 3.6 D. 4
如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是(????)
A. 13 B. 23 C. 34 D. 45
如图，点F是?ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(????)
A. EDEA=DFAB B. DECB=EFFB C. BFBE=BCAE D. BCDE=BFBE
如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：
(1)DE=1；
(2)△ADE∽△ABC；
(3)△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．
其中正确的有(????)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE//AB交AC于E，如果AEEC=35，那么ACAB等于(????)
A. 35 B. 53 C. 85 D. 32
如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是(????)
A. 45 B. 34 C. 23 D. 12
如图，△ABC中，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式正确的是(????)
A. ADDB=DEBC B. EFAD=BFBC C. EFAB=DEBC D. AEEC=BFFC
如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是(????)????
A. b=a+c B. b=ac C. b2=a2+c2 D. b=2a=2c
二、填空题
如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为______．
如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF=______．
如图，在直角三角形ABC中(∠C=90°)，放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为_____．
如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC:S△ABC=________．
如图，点P1,P2,P3,P4在坐标轴上，且，，若点P1,P2的坐标分别为，?2,0，则点P4的坐标为_______．
三、解答题
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长
如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB=AD．
(1)判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由．
(2)AF与DF相等吗？为什么？
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
(1)求证：△ADE∽△MAB；
(2)求DE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解答】
解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
于是DE//BC，DE=12BC
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOES△COB=(DEBC)2=14
故选D．
2.【答案】A
【解答】
解：延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2(米)，EF=CF2?CE2=23(米)，
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2(米)，CE：DE=1：2，
∴DE=4(米)，
∴BD=BF+EF+ED=12+23(米)
在Rt△ABD中，AB=12BD=12(12+23)=(3+6)米．
故选A．
3.【答案】C
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=CD=12，
在△BEF与△CFD中，
∵∠BFE+∠CFD=∠CFD+∠CDF=90°，
∴∠BFE=∠CDF，
∴△BEF∽△CFD，
∴BFCD=BECF，
∵BF=3，BC=12，
∴CF=BC?BF=12?3=9，
∴312=BE9，
∴BE=2.25．
故选C．
4.【答案】B
【解析】解：∵点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，
∴△ABC∽△AC1B2，△ABC∽△C2BA1，△ABC∽△B1A2C，
∴C1B2：BC=1：3，C2A1：AC=1：3，B1A2：AB=1：3，
∴六边形A1A2B1B2C1C2的周长=23(AB+BC+CA)，
∵△ABC的周长为I，
∴六边形A1A2B1B2C1C2的周长=23I.
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC//AB，
∵DE：CE=2：3，
∴DE：AB=2：5，
∵DC//AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴S△DEFS△ABF=(DEAB)2=425，EFAF=DEAB=25，
∴S△DEFS△ADF=EFAF=25=410(等高的三角形的面积之比等于对应边之比)，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
6.【答案】D
【解答】
解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DEBC=12，
，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为16，
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：分别过D，G作GE⊥AB，DF⊥AB，
∵点G是△ABC的重心
∴BG=2DG
设DG=x，则GB=2x
∵GE⊥AB，DF⊥AB，∠ABD=∠ABD
∴△BGE∽△BDF
∴BGBG+GD=GEDF
即2x3x=2DF
∴DF=3．
8.【答案】C
【解答】
解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB//CD//EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴EFAB=DFDB，EFCD=BFBD，
∴EFAB+EFCD=DFDB+BFBD=BDBD=1，
∵AB=1，CD=3，
∴EF1+EF3=1，
∴EF=34．
故选C．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，AD//BC，CD=AB，AD=BC，
∴EDEA=DFAB，故A正确，选项不符合题意；
∴DECB=EFFB正确，B选项不符合题意；
BFBE=BCAE，正确，故C不符合题意；
∴BCDE=BFBE，错误，D符合题意．
10.【答案】D
【解析】解：(1)∵△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，
∴DE=12BC
=12×2
=1
故本选项正确；
(2)∵△ABC中，DE是它的中位线
∴DE//BC
∴△ADE∽△ABC
故本选项正确；
(3)∵△ADE∽△ABC，相似比为1：2
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．
故本选项正确
11.【答案】B
【解析】
【解答】
解：∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠BAD，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∵DE//AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴DEAB=ECAC，
∴ACAB=ECDE，
∵AE=DE，
∴ACAB=ECDE=ECAE=53;
故选B．
12.【答案】C
【解答】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴BPCD=ABPC，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴PC=2，
∴1CD=32，
∴CD=23．
故选：C．
13.【答案】D
【解析】解：∵DE//BC，EF//AB，
∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，
∴△ADE∽△EFC，DE=BF，
∴AEEC=DEFC=BFFC．
14.【答案】A
【解答】
解：如图，
∵DH//AB//QF
∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B；
又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；
∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ；
∴△DHE∽△GQF，
∴DHGQ=EHFQ，
∴ab?c=b?ac，
∴ac=(b?c)(b?a)
∴b2=ab+bc=b(a+c)，
∴b=a+c．
故选A．
15.【答案】3?5
【解析】解：∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，
∴BC=AC=2，
∴AD=25，
∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，
∴EH//AC，四边形BCGE为矩形，
∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，
又∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠EAB=∠DAE，
∴∠DAE=∠HEA，
∴HA=HE，
设GH=x，
则HA=HE=HG+GE=2+x，
∵EH//AC，
∴△DHG∽△DAC，
∴DHDA=HGAC，即25?(2+x)25=x2，
解得：x=3?5，
即HG=3?5，
16.【答案】2.4
【解答】
解：∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠A=90°，∠CFB=90°，
∴△ABE∽△FCB，
∴ABFC=BEBC，
∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，
∴BE=2.5，
∴2FC=2.53，
解得：FC=2.4．
故答案为：2.4．
17.【答案】7
【解析】解：如图∵在Rt△ABC中∠C=90°，放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN=OM：PF，
∵EF=x，MO=3，PN=4，
∴OE=x?3，PF=x?4，
∴(x?3)：4=3：(x?4)，
∴(x?3)(x?4)=12，
∴x1=0(不符合题意，舍去)，x2=7．
18.【答案】1：4
【解答】
解：∵在△ABC中，AD，BE是两条中线，
∴DE//AB，DE=12AB，
∴△EDC∽△ABC，
，
故答案为1：4．
19.【答案】(8,0)
【解答】
解：∵点P1，P2的坐标分别为(0,?1)，(?2,0)，
∴OP1=1，OP2=2，
∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3，
∴OP1OP2=OP2OP3，即12=2OP3，
解得，OP3=4，
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，
∴OP2OP3=OP3OP4，即24=4OP4，
解得，OP4=8，
则点P4的坐标为(8,0)，
故答案为：(8,0)．
20.【答案】解：∵∠C=∠ADE=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB
∴AD8=510，
∴AD=4．
21.【答案】解：(1)∵DE是BC垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵AB=AD，
∴∠ABC=∠ADB，
∴△FDB∽△ABC；
(2)∵△FDB∽△ABC，
∴FDAB=BDBC=12，
∴AB=2FD，
∵AB=AD，
∴AD=2FD，
∴DF=AF．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AMB，
又∵∠DEA=∠B=90°，
∴△DAE∽△AMB；
(2)由(1)知△DAE∽△AMB，
∴DE：AD=AB：AM，
∵M是边BC的中点，BC=6，
∴BM=3，
又∵AB=4，∠B=90°，
∴AM=5，
∴DE：6=4：5，
∴DE=245．