第二章 函 数
§1 生活中的变量关系
知识点
变量关系
[填一填]
1．世界是变化的．变量及变量之间的依赖关系在生活中随处可见，我们在初中学习过的函数就描述了因变量随自变量的变化而变化的依赖关系．
2．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系．
[答一答]
1．如何正确理解常量与变量？
提示：可结合生活中的实例，用辩证的观点来理解常量与变量，常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是没有的，因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，所以物动则变．在我们的生活中容易找出众多的实例，如：
(1)匀速直线运动中，速度是常量，时间和路程均为变量，但在实际运动过程中，绝对的匀速是没有的，因为人驾驶汽车在行驶过程中，不可避免地要进行加速、减速或刹车等操作．
(2)电影院里，对某一场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量．但相对于某个较长时间的间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量．
由此可以看出，常量具有相对性，而变量是永恒的，是大量存在的．
2．如何理解依赖关系和函数关系的联系与区别？
提示：函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系一定是依赖关系．
1．绝对的常量是不存在的．常量具有相对性．
2．函数关系是特殊的依赖关系，但有依赖关系的不一定是函数关系，而函数关系一定为依赖关系.
类型一
常量、变量、函数关系的判断
【例1】 某城市出租车收费标准如下：里程不超过3公里按起步价7元收费，超过3公里的按每公里1.5元加收．乘客乘车后出租车行驶的路程为x公里，乘客该付的车费为y元．
(1)当0
(2)当x>0时，x与y分别是什么量？x与y之间的关系是否为函数关系？
【思路探究】 根据常量与变量的含义来判断所给的量是常量还是变量．函数关系的判断要根据两个量的对应关系来判断．
【解】 (1)当0在0(2)当x>0时，x与y都是可变的量，所以x与y都是变量，并且对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以x与y之间的关系是函数关系
.
规律方法
常量是在某个范围内不变的量，不变是相对的．变量一般来说是可变的量，有时也把常量视为变量，所以变量是永恒的．这里指的变量是指一般情况下的变量．“对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应”是判断x与y之间存在函数关系的标准，这里特别注意“唯一确定”的含义．
下列变量之间的关系是函数关系的是( A )
A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，c是已知常数，b是自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树的亩产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每亩田的施肥量和粮食亩产量
解析：B、C、D都是依赖关系．
类型二
利用图像反映两个变量之间的关系
【例2】 如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0℃？
(3)大约在什么时刻内，气温在0℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
【思路探究】 此题是一个通过图像来反映两变量关系的问题，所以回答问题时应充分利用图像所反映出的关系．
【解】 (1)上午8时气温是0℃，全天最高气温是9℃，在14时达到．全天最低气温是－2℃，在4时达到．
(2)大约在0时、8时和22时，气温为0℃.
(3)在8时到22时之间，气温在0℃以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t具有依赖关系，也具有函数关系．
规律方法
用图像反映两变量间的关系是一种常用的表示两变量关系的方式．在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的．
小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度继续匀速行驶．则行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像大致是( C )
解析：A表示小明行至中途后一直在停下来修车，而没继续向前走；B表示小明没有停下来修车，速度反而比原来的更快；D表示的不是小明修车，而是向回走了一段路后，又加快速度去学校．C符合要求．
类型三
通过表格反映两个变量之间的关系
【例3】 口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：
次序项目
1
2
3
4
5
6
7
8
温度(℃)
15
25
30
35
37
40
45
50
黏附力(N)
2.0
3.1
3.3
3.6
4.6
4.0
2.5
1.4
(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；
(2)根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？
【思路探究】 对表格题目，首先要分清自变量与因变量，把所对应的数据利用坐标系描出对应的点，通过图像分析，得出结论．
【解】 (1)口香糖黏附力F随温度t变化的图像如下．
(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减少；②当温度在37℃时，口香糖的黏附力最大；当温度在50℃时，黏附力最小，所以可通过加热的方法除去瓷砖上的口香糖残留物．
规律方法
两变量之间的关系，体现在表格中就是要求我们能从表格中找到因变量和自变量，并能判断因变量与自变量之间的对应关系，从而说明因变量如何随自变量的变化而变化．
从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
K数
含金量(%)
24K
99以上
22K
91.7
21K
87.5
18K
75
14K
58.5
12K
50
10K
41.66
9K
37.5
8K
33.34
6K
25
饰用K金的K数与含金量之间是函数关系，K数越大含金量越高．
解析：通过表格可知，饰用K金的含金量随着K数的减小而减小，对于K数的每一个取值，都有唯一的含金量与之对应，所以含金量是K数的函数，饰用K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高.
——变量关系的分析——
【例4】 如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像(收支差额＝车票收入－支出费用)，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图像：
在这些图像中( )
A．①反映了建议(Ⅱ)；③反映了建议(Ⅰ)
B．①反映了建议(Ⅰ)；③反映了建议(Ⅱ)
C．②反映了建议(Ⅰ)；④反映了建议(Ⅱ)
D．④反映了建议(Ⅰ)；②反映了建议(Ⅱ)
【思路点拨】 解答本题应从y与x的关系出发，分析出票价与斜率的关系，然后就(Ⅰ)，(Ⅱ)两种建议分别描出图像，与题中①、②、③、④对应便可求解．
【解析】 由题可知直线与y轴交点的纵坐标的相反数表示支出，斜率表示票价，建议(Ⅰ)中票价不变，即直线的斜率不变；减少支出即直线与y轴交点纵坐标变大，对应①.建议(Ⅱ)中，直线与y轴交点的纵坐标不变，斜率变大，对应③.
【答案】 B
【小结】 (1)解答此类题目的关键在于借助变量间的图像分析实际问题中所隐含的东西，然后结合已学知识加以综合分析，从而把问题解决．
(2)判断两变量之间是否为函数关系，关键是看变量之间的关系是否为确定的关系，如③中收入与消费支出的关系是一种趋势而非确定关系，而其余均为确定关系．
下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①球的体积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
④正三角形的面积和它的边长．
解：①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．
一、选择题
1．有以下说法：
①商店里某段时间内某种商品的标价是常量
②马路上飞驰的汽车行驶的路程是变量
③一天内的气温是常量
④公历非闰年一年的天数是常量
⑤2010年世博会期间每天游客的数量是常量
其中正确的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①②④是正确的，一天内的气温是变化的，2010年世博会期间每天游客的数量也是变化的，都是变量，故③⑤不正确．
2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( D )
A．实数和它的平方
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和各内角角度之和
D．人的年龄和体重
解析：在一定年龄段，人的体重随年龄的增加而增加，是有一定的依赖关系，但不是函数关系．
3．张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则( A )
A．x，y之间有依赖关系
B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数
D．x是y的函数
解析：虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．
二、填空题
4．有下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②立方体的棱长与它的体积之间的关系；
③苹果的产量与气温之间的关系；
④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
⑤学生与他(她)的学号之间的关系．
其中有函数关系的是(填代号)②⑤.
解析：①③④中的两个变量之间有一定的依赖关系，但不是确定性关系，所以不是函数关系．②⑤中两个变量之间的关系具备函数关系．
5．一辆汽车由南京驶往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/时，则汽车距上海的路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系是s＝300－100t，在这里，常量是300，－100，变量是s，t.
解析：判断常量与变量的关键是看它是否发生了变化，在这里，常量是南京与上海的距离300千米和汽车行驶的平均速度100千米/时，变量是汽车在行驶过程中距上海的路程s和行驶时间t.
三、解答题
6．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．
(1)在这个变化过程中，有哪些变量？
(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？
(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？
解：(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．
(2)圆的面积S与半径R存在着依赖关系，对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是S＝πR2.圆的面积S、半径R都是变量．
(3)C＝2πR.
PAGE§2 对函数的进一步认识
2．1 函数概念
知识点一
函数的有关概念
[填一填]
1．定义
2．相关名称
(1)自变量是x.
(2)函数的定义域是集合A.
(3)函数的值域是集合B.
3．函数的记法
集合A上的函数可记作：f：A→B或y＝f(x)，x∈A.
[答一答]
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
提示：不是．首先这两个集合必须为数集，其次满足对一个集合中的任意一个数x，在另一个集合中都有唯一确定的数与之对应．
2．对于一个函数y＝f(x)，在定义域内任取一个x值，有几个函数值与其对应？
提示：有唯一确定的一个函数值与其对应．
3．f(x)与f(a)的区别与联系是什么？
提示：当x和a都表示自变量时，f(x)与f(a)为同一个函数，但自变量表示不同．f(x)表示以x为自变量的函数．f(a)表示以a为自变量的函数．
当x表示自变量，a表示常量时，(1)区别：f(a)是当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下它是一个变量． (2)联系：f(a)是f(x)的一个特殊值．
4．如何理解函数的对应法则？
提示：对应法则指的是自变量与因变量之间的存在关系．
知识点二
区间及有关概念
[填一填]
1．区间的定义
条件：a结论：
区间
闭区间
开区间
左闭右开区间
左开右闭区间
符号
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
2.特殊区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
[答一答]
5．数集都能用区间表示吗？
提示：不能．连续不间断数集可以用区间表示．不连续数集不能用区间表示．
6．“∞”是一个数吗？
提示：“∞”不是一个数，它指的是“无穷大”．
7．区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗？若A＝(1，＋∞)，B＝(－∞，2]，A∩B如何表示？
提示：可以运算．A∩B＝(1,2]．
1．对函数概念的三点说明
(1)函数必须是建立在非空数集上的一个概念．若自变量的取值为空集，则这时函数是不存在的．
(2)根据函数的概念，两个变量之间是否具有函数关系需要检验：定义域和对应法则是否给出；在对应法则之下每一个x是否只与唯一的y对应．
(3)由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数就只需要函数的定义域和对应法则，从而判定两个函数是否为同一个函数只需看其定义域和对应法则是否相同即可．
2．对函数符号y＝f(x)的理解
在这个函数符号y＝f(x)中，x是自变量，f表示的是对应法则，它可以看作是对x施行的某种运算法则，可以是一个代数式、也可以是一个表格，还可以是一个图像．
3．f(x)与f(a)的区别与联系
当x和a都表示自变量时，f(x)与f(a)为同一个函数，但自变量表示不同．f(x)表示以x为自变量的函数．f(a)表示以a为自变量的函数．
当x表示自变量，a表示常量时，
(1)区别：f(a)是当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．而f(x)是自变量x的函数，一般情况下它是一个变量．
(2)联系：f(a)是f(x)的一个特殊值．
4．对区间的四点说明
(1)区间表示的就是一个集合，只是一个特殊的集合——非空数集．
(2)区间的左端点对应的值一定比右端点对应的值小．
(3)区间的端点在区间内则写成闭的，如果不在区间内则写成开的．
(4)在数轴上表示区间时，用实心的点表示闭区间的端点，用空心点表示开区间的端点.
类型一
相同函数的判断
【例1】 下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)f(x)＝2x＋1与g(x)＝；
(2)f(x)＝与g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝|x－1|与g(x)＝
(4)f(n)＝2n－1与g(n)＝2n＋1(n∈Z)；
(5)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t.
【思路探究】 根据解析式判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的步骤是：①先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相同，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相同，否则它们不相同．
【解】 (1)g(x)＝|2x＋1|，f(x)与g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数．
(2)f(x)＝x－1(x≠0)，f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数．
(3)f(x)＝，f(x)与g(x)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数．
(4)f(n)与g(n)的对应关系不同，因此是不同的函数．
(5)f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字母表示，仍为同一函数．
规律方法
函数概念含有三个要素，即定义域A，值域C和对应关系f，其中核心是对应关系f，它是函数关系的本质特征．
只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数．换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同．
(2)对应关系不同，两个函数也是不同的．
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．
(1)下列每组函数是同一函数的是( B )
A．f(x)＝x－1，g(x)＝()2
B．f(x)＝|x－3|，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x＋2
D．f(x)＝，g(x)＝·
(2)下列每组中两个函数是同一函数的组数为3.
①f(x)＝x2＋1和f(v)＝v2＋1
②y＝和y＝
③y＝x和y＝
解析：①中对应法则相同，定义域相同，只是表示自变量的字母不同，所以是同一函数．
②中定义域相同，化简后对应法则相同，所以是同一函数．
③化简后对应法则相同，定义域也都是R，所以是同一函数．
类型二
求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)y＝；
(3)f(x)＝－＋；
(4)y＝.
【思路探究】 若一个函数是由两个或两个以上的数学式子的和、差、积、商构成的，则定义域是使各部分有意义的自变量的取值集合的交集．
【解】 (1)由已知得解得x≤4且x≠－1.
所求定义域为{x|x≤4且x≠－1}．
(2)由已知得解得x≤0且x≠－.
所求定义域为.
(3)由已知得解得－≤x<2且x≠0.
所求定义域为.
(4)由已知得解得x≤1且x≠0.
所求定义域为{x|x≤1且x≠0}．
规律方法
函数y＝f(x)以解析式的形式给出时，函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况：
(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；
(2)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；
(3)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；
(4)函数y＝x0中的x不为0；
(5)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合，即列出不等式组求各不等式解集的交集．
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝.
解：(1)因为使式子有意义的实数的集合为{x|x≠2}，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≠2}．
(2)因为使式子有意义的实数的集合为{x|x≥－3}，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥－3}．
(3)因为使式子有意义的实数的集合为{x|x≤1}，使式子有意义的实数的集合为{x|x≠－5}，所以函数f(x)＝＋的定义域为{x|x≤1，且x≠－5}．
(4)因为使式子有意义的实数的集合为{x|x≠－2}，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≠－2}．
类型三
求函数的值域
【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－1，x∈{－1,0,1,2,3,4}；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)y＝.
【思路探究】 求函数的值域就是通过函数定义域中x的取值，根据对应关系确定y的取值．
【解】 (1)(观察法)将x＝－1,0,1,2,3,4分别代入y＝x2－1，得y＝－，－1，－，1，，7.
∴此函数的值域为.
(2)方法1(分离常数法)：
y＝＝＝－1＋.
∵≠0，∴y≠－1，∴此函数的值域为{y|y≠－1}．
方法2(反解法)：∵y＝，∴4y－xy＝x＋3，
∴x＝，y≠－1，
∴此函数的值域为{y|y≠－1}．
(3)(配方法)∵2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1≥1，
∴y＝≥＝1，
∴此函数的值域为[1，＋∞)．
(4)(分离常数法)∵y＝＝－1＋，而该函数的定义域为R，
∴1＋x2≥1，∴0<≤2，
∴－1<－1＋≤1，
∴此函数的值域为(－1,1]．
规律方法
求函数的值域时，一定要将最终的结果表示成集合或者区间的形式．在用列举法表示函数的值域时，如(1)，要注意相同的元素归入一个集合时，只能算作一个．
(1)如果f(x)＝x2－x－6，则f(5)＝14.
(2)函数y＝(1≤x≤2)的值域为[2,8]．
(3)函数y＝的值域是(－∞，)∪(，＋∞)．
解析：(1)由f(x)＝x2－x－6得f(5)＝25－5－6＝14.
(2)因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，≤≤1，故2≤≤8.
(3)y＝＝＝＋，因为恒不为零，而且可以取到其他的所有实数，所以y≠.
——易错误区——
忽视函数的定义域导致的错误
【例4】 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是( )
【错解】 选A或选D.
【正解】 B 选项A中，在集合M中，
当x>0时的元素在N中没有数与之对应①，不符合函数的定义；
选项C中，一个变量x可能对应着两个y的值，也不符合函数的定义；
选项D中，一个x对应着一个y，但N为值域②，
所以集合N中的每一个数在M中也必须有数与之对应，但是N中存在数在M中没有数与之对应．故选B.
【错因分析】 1.忽视①处即函数定义域中的每一个元素都要有元素与之对应；
2．忽视题目给出的条件即②处N是函数的值域，而导致错选D.
【防范措施】 1.深刻理解函数定义中的条件
对于定义域中的每一个数在对应法则之下都要有唯一一个数与之对应，只要在定义域中存在一个数找不到与之对应的元素，或者是一个数对应着两个或以上的数时均不能称为函数．如本例中的A项在x>0时，没有数与之对应，故不是函数y＝f(x)的图像．
2．认真审题
解题时，除了掌握常规的知识外，还要认真审题，如本例中的集合N为值域，故也要保证N中的每个数在M中也要有数与之对应．
设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图所示的四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( B )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：由函数的定义知，M中任一元素在N中都有唯一的元素与之对应，即在x轴上的区间[0,2]内任取一点作y轴的平行线，与图像只有一个交点即可．由函数定义知①不是，因为集合M中1一、选择题
1．下列关于函数与区间的说法正确的是( D )
A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了
C．数集都能用区间表示
D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
解析：函数的定义域和值域都是非空的数值，故A错；函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了，故B错；数集不一定能用区间表示，故C错，选D.
2．符号y＝f(x)表示( B )
A．y等于f与x的积
B．y是x的函数
C．对于同一个x，y的取值可能不同
D．f(1)表示当x＝1时，y＝1
解析：符号y＝f(x)是一个整体符号，表示y是x的函数，则A错，B正确；由函数的定义知，对于同一个自变量x的取值，变量y有唯一确定的值，则C错；
f(1)表示x＝1对应的函数值，则D错．故选B.
3．与y＝x是同一个函数的是( D )
A．y＝|x| B．y＝
C．y＝
D．y＝t
解析：对于函数y＝x定义域和值域均为R，而选项A与B的值域为[0，＋∞)，故A与B错；对选项C，定义域为{x|x∈R且x≠0}，只有D正确．
二、填空题
4．函数y＝的定义域为{x|x≥－1，且x≠0}．
解析：本题考查函数定义域，要使y＝有意义，则，所以解得x≥－1且x≠0，即函数定义域为{x|x≥－1，且x≠0}，求函数定义域和值域的结果都应写成“解集”形式．本题结果还可表示为[－1,0)∪(0，＋∞)等．
5．下列函数是同一函数的序号为(3)．
(1)f(x)＝与g(x)＝
(2)f(x)＝与g(x)＝；
(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝(t－1)2.
解析：对于(1)来说，f(x)的定义域中不含有0，而g(x)的定义域为R，定义域不同．
对于(2)来说，两个函数的定义域都为R，但f(x)＝|x|，而g(x)＝x，解析式不同．
故(1)(2)都不是同一函数．
而对于(3)来说，尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们定义域相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者是同一函数．
三、解答题
6．已知函数f(x)＝x2＋x－1，求
(1)f(2)；
(2)f(＋1)；
(3)若f(x)＝5，求x的值．
解：(1)f(2)＝4＋2－1＝5.
(2)f(＋1)＝(＋1)2＋(＋1)－1＝＋＋1.
(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5.
由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3.
PAGE2．2 函数的表示法
知识点一
函数的表示法
[填一填]
[答一答]
1．函数三种表示方法各有哪些优缺点？
提示：
同时，函数的三种表示方法互相兼容和补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际问题中，以解析法为主．
知识点二
分段函数
[填一填]
(1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(填“交集”或“并集”)
[答一答]
2．怎样正确理解分段函数？
提示：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用法则造成错误结果．
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．
(4)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数值的取值情况，以决定这些点的虚实情况．
3．如何准确地作出函数的图像？
提示：(1)作函数图像的基本方法：
描点作图法：其步骤是：列表、描点、连线成图．此法应先了解函数图像的特点，再列表描点，避免盲目性．
(2)检验一个图像F是否为函数y＝f(x)的图像应满足两点：
①图像F上任一点的坐标(x，y)都满足y＝f(x)关系式；
②满足y＝f(x)关系式的点(x，y)都在图像F上．
1．三种表示方法的适用范围
(1)列表法适用于定义域是有限集的情形．
(2)图像法适用于任何函数．
(3)解析法适用于对应法则可以用一个数学式子表示的情形．
2．函数图像与其解析式的关系
(1)函数图像是其解析式的直观反映．用图像法表示函数可以化抽象为直观，较形象地反映出函数关系变化的趋势，把抽象的函数概念形象化．
(2)函数图像与其解析式的对应性．函数图像是解析式中自变量与其函数值对应点集合的直观反映，需要注意的是从函数图像上一般只能得到近似的数量关系，但通过解析式可以画出准确的图像．
3．对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而不是几个函数；分段函数的定义域、值域分别为各段上定义域与值域的并集．
(2)分段函数的“段”可以是等长的也可以是不等长的．
(3)写分段函数的定义域时区间端点要做到不重不漏．
(4)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应法则．
类型一
列表法表示函数
【例1】 试用列表法表示0°，30°，45°，60°，90°角的正弦值、余弦值之间的函数关系．
【思路探究】 只需列出自变量(角的度数)与对应函数值(正弦值或余弦值)的表格即可．
【解】 0°，30°，45°，60°，90°角与正弦值、余弦值之间的函数关系如下表：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
正弦值
0
1
余弦值
1
0
规律方法
列表法就是列出表格来表示两个变量之间的关系，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用，如列车时刻表、国民生产总值表等．
已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
g(x)
3
2
1
(1)求f(g(1))的值；
(2)求满足f(g(x))>g(f(x))的x的值．
解：(1)由图表可知，g(1)＝3，故f(g(1))＝f(3)＝1.
(2)当x＝1时，f(g(1))＝1，g(f(1))＝3，不满足题意；
当x＝2时，f(g(2))＝3，g(f(2))＝1，满足题意；
当x＝3时，f(g(3))＝1，g(f(3))＝3，不满足题意．
综上可得，x＝2.
类型二
函数图像的作法及判断
【例2】 作出下列函数的图像：
(1)y＝1－x；
(2)y＝.
【思路探究】 (1)是一次函数，可用描点法作图．(2)先求出定义域，然后化简解析式，最后作出函数图像．
【解】 (1)y＝1－x是一次函数，它的图像是一条直线．
列表：
x
0
1
y
1
0
描点、连线，如下图(1)．
(2)y＝＝x，其定义域为{x|x≠1}，它的图像为直线y＝x，除点(1,1)外．图像如上图(2)．
规律方法
本题中第(2)题易犯的错误是忽视定义域，致使图像是整条直线．画函数图像时，应首先考虑定义域，否则易产生错误．
下列选项中，不能确定是函数f(x)的图像的是( A )
解析：A不能确定y是x的函数，因为当x＝1时，由A可确定y有两个值与它对应；B能确定y是x的函数，因为当x在{x|x<－1或x≥1}中任意取一个值时，可确定有唯一的y值与它对应；C能确定y是x的函数，因为当x在{－3，－2，－1，0,1,3,4}中任取一个值时，可确定y有唯一的值与它对应；D能确定y是x的函数，因为对于R上的任意x值，能确定有唯一的y值与之对应．
类型三
求函数解析式
【例3】 求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x＋1)；
(2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知f(x)是一次函数，且f
[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；
(4)已知f(x)－2f()＝3x＋2，求f(x)．
【思路探究】 根据题中所给条件，可用拼凑法、换元法、待定系数法、解方程组的方法求解．
【解析】 (1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋2(2x＋1)＝4x2＋8x＋3.
(2)解法1：f(－1)＝(－1)2＋4(－1)＋3，
而－1≥－1，
故所求的函数f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
解法2：设t＝－1，则t≥－1，且＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3.
故所求的函数f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
(3)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f
[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
∴解得或
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
(4)∵f(x)－2f()＝3x＋2，①
∴f()－2f(x)＝3·＋2.②
①②联立解得f(x)＝－x－－2.
故所求的函数f(x)＝－x－－2(x≠0)．
规律方法
(1)换元法(或配凑法)是求函数解析式的重要方法，若不清楚函数类型，比如已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法或换元法，配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法可令g(x)＝t及解出x，即用t表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求得f(x)．
(2)待定系数法是求函数解析式的常用方法：
若已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进而求出待定的系数．
(1)设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是( B )
A．g(x)＝2x＋1
B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3
D．g(x)＝2x＋7
(2)求函数的表达式：
①求一次函数f(x)，使f(f(x))＝9x＋1.
②已知f(x－2)＝x2－3x＋1，求f(x)．
解：①设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，
所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋1，
所以解得或
所以f(x)＝3x＋或f(x)＝－3x－.
②令t＝x－2，所以x＝t＋2代入f(x－2)＝x2－3x＋1，得f(t)＝(t＋2)2－3(t＋2)＋1＝t2＋t－1.
所以f(x)＝x2＋x－1.
类型四
分段函数及应用
【例4】 已知函数f(x)＝
(1)求f(－8)，f(－)，f()，f()的值；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的定义域和值域．
【思路探究】 给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．
(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．
(2)在不同的区间，依次画出函数图像．
【解】 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．
(1)因为－8?[－1,2]，所以f(－8)无意义．
因为－1≤x<0时，f(x)＝－x，
所以f(－)＝－(－)＝.
因为0≤x<1时，f(x)＝x2，
所以f()＝()2＝.
因为1≤x≤2时，f(x)＝x，所以f()＝.
(2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：
(3)由第(2)问中画出的图像可知，函数的定义域为[－1，2]，函数的值域为[0,2]．
规律方法
1.解答本题第(1)、(2)题时，应注意自变量的取值范围．
2．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．
3．画图像时，则应分段分别作出其图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留定义域内的一段图像即可．
(1)设函数f(x)＝则f(f(3))＝( D )
A. B．3 C. D.
解析：先求f(3)的值，因3>1，故用f(x)＝这一段，选D.
(2)已知函数f(x)＝则f(f())＝－128.
解析：f()＝－＝－4，则f(f())＝f(－4)＝－128.
(3)已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则实数a＝－3.
解析：由f(x)＝及f(a)＝10得
或解得a＝－3.
——分段函数的求值及解不等式问题——
【例5】 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－1))；
(2)若f(x0)>2，求x0的取值范围．
【审题】 抓信息，找思路
1．审条件：已知的是函数解析式，且是分段函数．
2．建联系：求值、解不等式均需要借助于函数解析式，故理解解析式是关键．
3．找思路：求值时关键是看变量所在区间对应的解析式；解不等式时应先求出f(x0)，构造出不等式然后求解．
【解析】 (1)因为f(－1)＝－(－1)2＋3＝2，
所以f(f(－1))＝f(2)＝4×2＝8.
(2)因为x0的范围不确定，故需分x0≤0与x0>0两种情况讨论．
当x0≤0时，则f(x0)＝－x＋3，
即2<－x＋3，得－1当x0>0时，f(x0)＝4x0，即2<4x0，解得x0>.
综上所述x0的取值范围是－1.
【小结】 1.分段函数意义的理解
分段函数是指变量在不同区间上取值时，对应法则不同而构成的函数．所以在分段函数求值时，一定要搞清楚变量所在区间，找准其对应法则．如本例中的(1)求f(－1)应使用x≤0时对应的解析式，而求f(2)时，则使用x>0时对应的解析式．
2．分段讨论易忽视的问题
(1)解决分段讨论问题时，大前提不要忽视，我们研究问题都是在这个大前提下研究的，如本例中x0≤0是我们解不等式2<－x＋3的前提条件，所以解出不等式的解后要和x0≤0取交集．
(2)遇到变量范围不确定或含有参数问题时，要有分类讨论的意识，如本例中由于f(x0)>2中x0的范围不确定，故需分两种情况讨论．
已知f(x)＝
(1)求f(－)的值；
(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．
解：(1)由题意得，f(－)＝f(－＋1)＝f(－)＝f(－＋1)＝f()＝2.
(2)当0当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝或－(舍去)．
综上所述a＝或a＝.
一、选择题
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( D )
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
－4
－1
A.－1
B．－2
C．－3
D．－4
解析：由表中可知，函数值f(3)＝－4，故选D.
2．y＝f(x)的图像如图所示，则函数的定义域是( D )
A．[－5,6)
B．[－5,0]∪[2,6]
C．[－5,0)∪[2,6)
D．[－5,0]∪[2,6)
解析：根据分段函数定义域的确定原则：将每一段上函数的自变量的范围取并集，即：[－5,0]∪[2,6)．
二、填空题
3．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝.
解析：令2x＋1＝t，则x＝，
∴f(t)＝t－＋2＝t＋，∴f(x)＝x＋，
又f(a)＝a＋＝4，∴a＝.
4．已知f(x)＝，使f(x)≥－1成立的x的取值范围为[－4,2]．
解析：f(x)≥－1可化为
或，
∴－4≤x≤0或0∴使f(x)≥－1成立的x的取值范围是[－4,2]．
三、解答题
5．(1)已知f(x)是一次函数，且f
[f(x)]＝4x－1，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
解：(1)∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
则f
[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f
[f(x)]＝4x－1.∴a2x＋ab＋b＝4x－1.
即?或
∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)∵f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1知c＝1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
左端展开整理得2ax＋(a＋b)＝2x.
∴即
∴f(x)＝x2－x＋1.
PAGE2．3 映 射
知识点一
映射
[填一填]
1．映射的概念
两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.
2．像与原像
给定一个从集合A到集合B的映射f：A→B，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.
3．一一映射
如果映射f：A→B满足：A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应，A中的不同元素的像也不同，B中的每一个元素都有原像．我们把这种映射叫一一映射，也叫一一对应．
[答一答]
1．如何理解映射的性质和一一映射？
提示：(1)映射中集合的多元性．
映射中的两个集合A、B是非空的，可以是数集、点集或其他集合，这与函数中集合必须是非空数集不同，要注意区别．
(2)映射的方向性．
映射f：A→B是指从A到B的映射，也就是说A、B是有先后次序的，它与B到A的映射一般是不同的．
(3)映射中像的唯一性．
映射是一种特殊的对应，它要求集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的像．因而可以是一对一，多对一，而不允许一对多.
(4)一一映射．
一一映射是一种特殊的映射，映射f：A→B满足：①A中不同元素在B中有不同的像；②B中每一个元素都有原像，映射f才是A到B的一一映射，其实质就是A中元素和B中元素是一一对应关系．
知识点二
映射与函数
[填一填]
映射与函数
设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．
[答一答]
2．如何理解映射与函数的关系？
提示：两个概念的异同如下：
映射f：A→B
函数y＝f(x)，x∈A，y∈B
集合A，B可为任何非空集合，如物、人、数等
函数的定义域和值域均为非空的数集
对集合A中任一元素a，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应
对函数的定义域中每一个x，值域中都有唯一确定的值与之对应
对集合B中任一元素b，在集合A中不一定有元素和b对应
对值域中每一个函数值，在定义域中都有自变量的值与之对应
1．对映射概念的三点说明
(1)映射中的两个集合A，B必须是非空集合，但不一定是数集，可以是任何非空的集合．
(2)映射是有方向的，因为A，B不一定是相同的集合，所以从A到B的映射与从B到A的映射一般是不同的．
(3)从A到B的映射要求A中的每一个元素在B中必须有元素与之对应且必须是唯一的，而B中的元素在A中可以没有原像，且可以有多个原像甚至是无限个原像．
2．对一一映射概念的两点说明
(1)一对一：一一映射f：A→B中，要求原像不同，像也不同，A，B中元素都不剩余．
(2)集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像．
3．映射与函数的关系
(1)区别：对于映射f：A→B来说，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他非空集合；而函数定义中的两个集合必须是非空数集．
(2)联系：映射是函数概念的一种扩展，即将数集扩展到任意元素的集合，函数是一种特殊的映射，所以映射不一定都是函数，而函数都是映射.
类型一
映射的判定
【例1】 下列集合M到P的对应f是映射的是( )
A．M＝{－2,0,2}，P＝{－4,0,4}，f：M中数的平方
B．M＝{0,1}，P＝{－1,0,1}，f：M中数的平方根
C．M＝Z，P＝Q，f：M中数的倒数
D．M＝R，P＝{x|x>0}，f：M中数的平方
【思路探究】 判定一个对应A→B是否是映射，关键是看是否符合映射的定义，即集合A中的每一个元素在B中是否有像且唯一，若不是映射只举一反例即可．
【解析】 选项A，M中每个元素的平方均在P中有像；选项B，M中1的平方根是±1，即1有两个像，不符合映射定义；选项C，M中0没有像，不符合映射定义；选项D，M中0的平方是0，但0?P.选A.
【答案】 A
规律方法
映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．
判断下列对应是否是从A到B的映射和一一映射．
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，x∈A，f：x→|x|；
(2)A＝N，B＝N＋，x∈A，f：x→|x－1|；
(3)A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}，
f：x→y＝x2－2x＋2.
解：(1)∵0∈A，在f作用下，0→|0|?B，∴不是映射．
(2)∵1∈A，在f作用下，1→|1－1|＝0?B，
∴不是映射．
(3)对任意的x∈A，依法则f有：x→y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∵x≥2，x∈Z，∴y≥2，y∈Z，即y∈B，∴是映射．
而0∈B，但在A中无原像(令(x－1)2＋1＝0无整数解，∴无原像)，∴不是一一映射．
类型二
映射与函数
【例2】 下列对应是不是从A到B的映射？是不是从A到B的函数？
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝；
(2)A＝{三角形}，B＝{圆}，f：三角形的内切圆；
(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；
(4)A＝[－1,1]，B＝[－1,1]，f：x→x2＋y2＝1.
【思路探究】 映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、是否为映射．
【解】 (1)当x＝－1时，y的值不存在，所以不是映射，更不是函数．
(2)由于A，B不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A到B的映射．
(3)A中的每一个数都与B中的数1对应，因此，(3)是A到B的函数，也是A到B的映射．
(4)取x＝0，则由x2＋y2＝1，得y＝±1，即A中的一个元素0与B中的两个元素±1对应，因此(4)不是A到B的映射，也不是从A到B的函数．
规律方法
1.判断对应法则f：A→B是否为A到B的映射应首先判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原像，集合A中的不同元素对应的像是否相同．
2．若f：A→B是函数，则首先必须是映射，但映射不一定为函数．
3．有的同学问：关系式y＝1是y关于x的函数，那么关系式x＝1是y关于x的函数吗？对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，并分别说明哪些是一一映射，哪些是函数关系．
(1)A＝{2,3,4}，b＝{4,5,6,7,8,9,10}，对应关系f：x→3x－2；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的等腰梯形}，对应关系f：每一个圆都对应它的外切等腰梯形；
(3)A＝{1，，，}，B＝{1,2,3,4}，对应关系f：x→.
解：(1)是从集合A到集合B的映射，也是函数关系，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→3x－2和数集B中的元素3x－2对应，这个对应是从数集A到数集B的映射，也是函数关系，但B中的元素5,6,8,9没有原像，不能构成一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数关系或者一一映射．因为一个圆有无穷多个外切等腰梯形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．
(3)是A到B的映射，也是函数关系和一一映射．由映射、一一映射和函数的概念可判定．
类型三
映射中的像与原像
【例3】 已知映射f：(x，y)→(x＋y，xy)．
(1)求(－2,3)的像；(2)求(2，－3)的原像．
【思路探究】 会用对应关系求像与原像，设(x，y)在映射f作用下的像(m，n)，则在对应关系下有.
【解】 (1)∵x＝－2，y＝3，
∴x＋y＝－2＋3＝1，xy＝－2×3＝－6，
∴(－2,3)的像是(1，－6)．
(2)由题意，解得或，
∴(2，－3)的原像是(3，－1)或(－1,3)．
规律方法
1.对A中元素，求像只需将原像代入对应法则即可，对于B中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应法则列出方程组求解．
2．解答此类问题的关键是：
(1)分清原像和像．
(2)弄清楚由原像到像的对应法则．
(1)设f：x→|x|是从集合A到集合B的映射，且B中每一个元素都有原像，若A＝{－1,0,1}，则A∩B＝( C )
A．{0}
B．{1}
C．{0,1}
D．{－1,0,1}
解析：由映射的定义及题意，知集合B＝{0,1}，所以A∩B＝{0,1}．故选C.
(2)设集合A和集合B都是自然数集N，f：n→2n＋n是从集合A到集合B的映射，则在映射f下，像20的原像是( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由题意，得20＝2n＋n，分别将选项代入检验，知当n＝4时成立．
类型四
映射的综合应用
【例4】 已知集合A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}．
(1)求从A到B的映射的个数；
(2)若从A到B的映射f满足f(a)＋f(b)－f(c)＝0，则这样的映射有多少个？
【思路探究】 (1)由于a，b，c对应的像都是－1,0,1，无论哪个元素都满足题意，所以a，b，c都有三种可能的对应．
(2)首先要理解f(a)，f(b)，f(c)的含义，它们是指a，b，c在集合B中的像，可先由条件f(a)＋f(b)＝f(c)的分析入手，分情况找出满足条件的映射．
【解】 (1)因为3×3×3＝27，所以从A到B的映射的个数为27.
(2)①当A中三个元素都对应0时，f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)，有一个映射．
②当A中三个元素对应B中两个元素时满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，它们分别是
f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1；
f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1；
f(a)＝－1，f(b)＝0，f(c)＝－1；
f(a)＝0，f(b)＝－1，f(c)＝－1.
③当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射
f(a)＝－1，f(b)＝1，f(c)＝0；
f(a)＝1,
f(b)＝－1,
f(c)＝0.
综上，满足条件的映射有7个．
规律方法
对于两个集合间映射个数的问题，常见的问题有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．
(1)集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为( C )
A．5
B．6
C．8
D．9
解析：可以无原像，即求映射时分两种情况，一种是只有一个像，另外一种是有两个像．
(2)已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x2－2x＋2，若对实数k∈B，在集合A中不存在原像，则k的取值范围是k<1.
解析：若k在集合A中不存在原像，则k应该不在映射的值域中，即k＝x2－2x＋2无实数解，所以Δ＝4－4(2－k)<0，解得k<1.
——规范解答——
映射的综合应用
【例5】 已知映射f：A→B中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，若f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素是(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，
(1)是否存在这样的元素(a，b)，它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．
(2)判断该映射是否是一一映射？
【审题】 抓信息，找思路
(1)审条件：两个集合：集合A与集合B，且A＝B；一种对应：A中元素与B中元素的对应关系．
(2)建联系：第(1)问中需寻找是否存在像是自己的元素，需结合A与B中元素的对应关系求解，而第(2)问中判断是否是一一映射，也需据A与B中元素的对应关系求解．
(3)找思路：对于(1)可根据(a，b)的像仍是它自己，借助于对应法则可以构造方程组求解；而对于(2)要说明是一一映射，需要说明A中每个元素在B中有唯一元素与之对应，反之也成立．
【解析】 (1)假设存在元素(a，b)，它的像仍是自己，则解得
所以存在原像(0，)，使它的像仍为自己．
(2)由题意知对A中任意的(a，b)，在B中有唯一的元素(3a－2b＋1,4a＋3b－1)与之对应．
对B中的每一个元素(a，b)，假如在A中与之对应的像为(x，y)，则
此时方程组的解唯一．所以该映射是一一映射．
【总结】 1.判断一个映射为一一映射的条件
(1)判断是否为映射．
(2)对应形式是否为一对一．
(3)像的集合是否等于给定的集合．如本例中已知是映射，故不必再判断是否为映射，只需看是否是A，B中的元素满足一对一即可．
2．注意转化思想的应用
实际解题时，注意问题的转化，如本例中判断一一映射时转化为方程组解的唯一性处理起来就比较方便．
设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．
(1)求B中元素(3，－4)在A中的原像；
(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像．
解：(1)设(x，y)是B中元素(3，－4)在A中的原像，于是解得或
所以B中元素(3，－4)在A中的原像有两个，即(－1,3)和(－3,1)．
(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足：由②式得，y＝x－b，将它代入①式，并化简得x2－bx＋a＝0 ③，
当且仅当Δ＝(－b)2－4a＝b2－4a≥0时，方程③有实数根，因此只有当B中元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．
一、选择题
1．设f：A→B是集合A到B的映射，下列命题中是真命题的是( C )
A．A中不同元素，必有不同的像
B．B中每一个元素，在A中必有原像
C．A中每一个元素在B中必有像
D．B中每一个元素在A中的原像唯一
解析：由映射的概念知，对A中的任意一个元素在B中都有唯一的元素与之对应．故选C.
2．已知(x，y)在映射f下的像是(2x－y，x＋2y)，则(1,2)在映射f下的像为( A )
A．(0,5)
B．(5,0)
C．(，－)
D．(－，)
解析：若x＝1，y＝2，则2x－y＝0，x＋2y＝5，故(1,2)在映射f下的像为(0,5)．
3．设集合A＝{a，b，c}，B＝{x，y，z}，A到B的四种对应方式如图所示．其中，是A到B的映射的是( A )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
解析：①是一一映射；②③是多对一的映射；④一对多，不是映射．
二、填空题
4．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则从A到B的不同映射有4个．
解析：集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，从A到B的不同映射为：
5．已知f：x→y＝|x|＋1是从集合A＝R到集合B＝{正实数}的一个映射，则B中的元素8在A中的原像是±7.
解析：由题意，得|x|＋1＝8，∴|x|＝7，∴x＝±7.
∴B中的元素8在A中的原像是±7.
三、解答题
6．下列对应是否为从A到B的映射？哪些为A到B的函数？
(1)A＝{a|a＝2n，n∈N＋}，B＝{b|b＝，n∈N＋}，
f：a→b＝；
(2)A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝x.
解：(1)A＝{2,4,6,8，…}，B＝{1，，，，…}，
f：a→b＝构成映射，
又因为A、B为数集，故也能构成函数．
(2)不是映射，A中的元素1有两个像±1，也不是函数．
PAGE§3 函数的单调性
知识点 函数的单调性
[填一填]
1．函数的递增与递减
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．
2．函数的单调区间
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．
3．函数的单调性
如果函数在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
[答一答]
1．如何正确理解函数单调性的概念？
提示：(1)定义中“区间M?A”及“在这个区间M上”说明了：函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是函数的整个定义域也可以是定义域的某个子集．
(2)定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，所以，在证明单调性时“任意”二字不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)区间端点的写法：因为单独的一点不存在单调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的区间端点就不包括端点．
例如：函数y＝x2＋1的增区间是[0，＋∞)，也可以记为(0，＋∞)，函数y＝在(0，＋∞)上是减少的，但不能写成[0，＋∞)．
(4)一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”，而常用“和”来表示，如函数y＝的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这样的写法是错误的，应为(－∞，0)和(0，＋∞)．
(5)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系实现正逆互推，即由f(x)是减(增)函数且f(x1)x2(x12．判断函数的单调性有哪些常用方法？
提示：(1)定义法．这是证明或判定函数单调性的常用方法．
(2)图像法．根据函数图像的升、降情况进行判断．
(3)直接法．运用已知结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．同时还要注意以下结论：
①函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．
②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f(x)的单调性相反．
③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数等．
1．增(减)函数概念中x1，x2的三个特征
(1)属于同一区间：判断“函数f(x)在区间M上是增(减)函数”，x1，x2必须同属于“区间M”(区间M?A)．
(2)任意性：“x1，x2是区间M中的任意两个值”．
(3)有大小：“Δx＝x2－x1>0”这是固定的．
2．增(减)函数概念中对“任意”的理解
“任意”两个字是指不能取特定的值来判断函数的单调性，不能因Δx＝2－1>0，Δy＝f(2)－f(1)>0就说f(x)在区间[1,2]上是增函数．即证明单调性时，不能用特殊代替一般．
3．对函数的单调区间的两点说明
(1)若函数的单调增(或减)区间有多个，区间之间不能用“∪”来表示，可以用“，”“和”等来连接两个区间．
(2)区间端点的书写，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但是对于某些点无意义时，即不在定义域范围内的点，单调区间就不包括这些点，只能用开区间.
类型一 利用定义证明或判断函数的单调性
【例1】 试判断函数f(x)＝在其定义域上的单调性，并加以证明．
【思路探究】 判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：
(1)设元：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1(2)作差：计算f(x1)－f(x2)；
(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)；
(4)判号：结合题设判定差的符号；
(5)定论：结合单调性的定义下结论．
【解】 函数定义域为{x|x≠1}，
又f(x)＝＝
＝＋1，
可由反比例函数y＝图像得其图像如图所示：
由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下：
设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)＝，f(x2)＝.
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0.
∴f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x2)∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
同理可证f(x)在(－∞，1)上为减函数．
综上，f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．
规律方法
1.判断函数单调性和证明是有区别的，证明必须严格使用定义．
2．利用定义证明函数单调性的步骤．
下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是( D )
A．y＝1＋
B．y＝－x(x＋1)2
C．y＝
D．y＝x3
解析：y＝1＋在(－∞，0)上递减；当x∈(－∞，0)时，y＝－x(x＋1)2≥0，而当x＝－1时，y＝0，所以y＝－x(x＋1)2在区间(－∞，0)上不具有单调性；y＝在(－∞，0)上无意义．故选D.
类型二 求函数单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋3x－2；
(2)f(x)＝3|x|；
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
【思路探究】 求给定函数的单调区间通常采用以下方法：(1)利用已知函数的单调性；(2)图像法；(3)定义法(利用单调性的定义探讨)．
【解析】 (1)f(x)＝－(x－)2＋.
∵y＝f(x)是开口向下的抛物线，对称轴为x＝，
∴f(x)在(－∞，)上是增加的，在[，＋∞)上是减少的．
∴f(x)的单调增区间是(－∞，)，单调减区间是[，＋∞)．
(2)∵f(x)＝3|x|＝
由一次函数的单调性可得f(x)在(－∞，0)上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的．
所以f(x)的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是[0，＋∞)．
(3)∵f(x)＝
其图像如图所示．
由此可知，y＝f(x)在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的；
y＝f(x)在(－1,0)，(1，＋∞)上是减少的．
∴f(x)的单调增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间是(－1,0)，(1，＋∞)．
规律方法
1.对于含有绝对值的函数，往往转化为分段函数去处理．如y＝|x|＝，在此基础上，画出图像，写出单调区间．
2．利用图像法求函数的单调区间，应先画出图像，根据图像的上升和下降的趋势写出单调区间．
3．求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，然后再在定义域内讨论函数的单调区间．
如图所示的是定义在区间[－5,5)上的函数y＝f(x)的图像，根据图像说出y＝f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间上y＝f(x)是增函数还是减函数．
分析：观察图像可知函数y＝f(x)在区间[－5,5)上不具有单调性，但在区间[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5)上具有单调性．
解：函数y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5)，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5)上是增函数．
类型三 利用函数单调性比较函数值的大小
【例3】 已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减少的，试比较f(a2－a＋1)与f()的大小．
【思路探究】 要比较两函数值的大小，需先比较自变量的大小．
【解】 ∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值，
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减少的．
∴f()≥f(a2－a＋1)．
规律方法
利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，当x1x2时，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向应用，若y＝f(x)在给定区间上是增函数，当f(x1)f(x2)时，x1>x2.
当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应的结论．
已知f(x)＝f(4－x)，x∈R，当x>2时，f(x)为增函数，设a＝f(1)，b＝f(4)，c＝f(－2)，试确定a，b，c的大小关系．
解：∵f(x)＝f(4－x)，
∴f(1)＝f(4－1)＝f(3)，f(－2)＝f(4＋2)＝f(6)．
∵当x>2时，f(x)为增函数，
∴f(6)>f(4)>f(3)，即c>b>a.
类型四 利用单调性求参数取值范围
【例4】 已知f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增加的，求a的取值范围．
【思路探究】 利用单调性定义求解．
【解】 在区间(－2，＋∞)上任取x1，x2，且－2f(x2)－f(x1)＝－.
＝
＝
∵x1>－2，x2>－2，∴x1＋2>0，x2＋2>0.
∵f(x)在(－2，＋∞)上是增加的，∴f(x2)－f(x1)>0，
∵x2－x1>0，∴1－2a<0，∴a>.
规律方法
利用函数的单调性求参数的取值范围的步骤：
①把自变量“装在”定义域内；
②找出x1，x2的关系，得出函数的单调性，从而得出函数值之间的关系(注意也可逆用)；
③最后再应用分类讨论、数形结合等思想解决问题．
(1)函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝1.
解析：若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是减函数，则f(x)max＝f(1)＝a＋1＝4，a＝3，不满足a<0.
若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，则f(x)max＝f(3)＝3a＋1＝4，a＝1，满足a>0，所以a＝1.
(2)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是a≤－4.
解析：函数f(x)图像的对称轴为x＝－a，所以函数f(x)的递减区间为(－∞，－a]，又因为函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间(－∞，4]上单调递减，所以－a≥4，即a≤－4.
(3)已知f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)>0，求实数m的取值范围．
解：由f(m－1)－f(1－2m)>0，
得f(m－1)>f(1－2m)．
又f(x)在(－2,2)上是减函数，
则即
解得－类型五 抽象函数的单调性及应用
【例5】 已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
【思路探究】 函数单调性可利用单调性定义来证；最值可利用函数单调性来确定．
【解】 (1)证明：令x＝y＝0，f(0)＝0，令x＝－y，可得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又∵x>0时有f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)由单调性定义知f(x)在R上为单调递减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上是递减的，
∴f(x)在x＝－3时取最大值，在x＝3时取最小值．
∴f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×(－)＝－2.∴f(－3)＝－f(3)＝2.
即f(x)在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2.
规律方法
函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，则f(x)在[a，b]上的任一子区间上具有相同的单调性，这一性质常用来求函数在某区间上的最值．
已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
(1)求f(8)的值；
(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集．
解：(1)由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)
＝f(2×2)＋f(2)＝3f(2)＝3.
(2)原不等式可化为：f(x)>3＋f(x－2)，
∵f(8)＝3，
∴3＋f(x－2)＝f(8)＋f(x－2)＝f(8(x－2))．
∴f(x)>f(8(x－2))的解集即为所求．
∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴解得2∴原不等式的解集为.
——易错误区——
考虑不周导致利用函数的
单调性求参数的范围致误
【例6】 若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．
【错解】 (－∞，40]或[64，＋∞)
【正解】 (－∞，40]∪[64，＋∞) 由题意可知二次函数的图像开口向上，对称轴是x＝，所以函数的单调增区间是[，＋∞)，单调减区间是(－∞，)．
因为函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，
所以≥8或≤5，即k≥64或k≤40.①
【错因分析】 ①处易忽略二次函数有两个单调区间，只考虑其中一个单调区间，而漏解．
【防范措施】 函数单调性的应用
在利用函数的单调性求参数范围时，尤其出现二次函数和分段函数时，要画出函数的图像，从而避免在求参数的取值范围时忽略函数单调区间的个数而漏解，如本例中只说函数在[5,8]上是单调函数，没说增函数或是减函数，所以两个单调区间都要考虑．
已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是[0，]．
解析：当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，
当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，所以0≤a≤.
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,2)上增加的是( B )
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－x2
解析：分别画出各个函数的图像，在(0,2)上上升的图像只有B.
2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( C )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)D.>0
解析：由f(x)为增函数，若x1所以x1－x2<0且f(x1)－f(x2)<0，
故选项A、B、D都正确，对于选项C应为f(a)≤f(x1)3．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( C )
A．减函数且f(0)>0
B．增函数且f(0)>0
C．减函数且f(0)<0
D．增函数且f(0)<0
解析：由题意，知a<0，b<0，
∴f(x)＝bx＋a在R上是减函数，且f(0)＝a<0.
二、填空题
4．如图所示，已知函数y＝f(x)的图像，则函数的单调减区间为(－∞，－)，(0，＋∞)．
解析：根据单调减函数的概念与其图像形状可知：函数的单调减区间为(－∞，－)，(0，＋∞)．
5．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
解析：y＝|x2－2x－3|的图像如图所示，由图像法直接得出增区间．
三、解答题
6．(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减少的，求实数a的取值范围；
(2)已知函数g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求t的取值范围．
分析：(1)先将函数解析式配方，找出对称轴，画出图形，寻找对称轴与区间的位置关系求解．
(2)充分利用函数的单调性，实现函数值与自变量不等关系的互化．
解：(1)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减少的，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
(2)∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，
∴t>1－2t，∴t>，即所求t的取值范围为(，＋∞)．
PAGE§4 二次函数性质的再研究
4．1 二次函数的图像
知识点 二次函数的图像
[填一填]
1．二次函数
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数．它的定义域是R.
如果b＝c＝0，则函数变为y＝ax2.我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线．a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛物线开口向下．
2．二次函数的图像变换
(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a倍得到；
(2)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由y＝ax2的图像向左(h>0)(或向右(h<0))平移|h|个单位，再向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位得到；
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，可把它先配方，再由y＝ax2的图像平移得到；
(4)函数y＝f(x＋a)的图像可由y＝f(x)的图像向左(a>0)(或向右(a<0))平移|a|个单位得到；
(5)函数y＝f(x)＋k的图像可由y＝f(x)的图像向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位得到．
[答一答]
1．函数y＝ax2和y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像之间有怎样的关系？
提示：函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可以由函数y＝ax2(a≠0)的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到．h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像与函数y＝ax2(a≠0)的图像形状相同，只是位置不同．
2．函数y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像之间有怎样的关系？
提示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可以得到其恒等形式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，从而可以知道，由y＝ax2的图像如何平移就得到y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，即y＝a(x＋)2＋(a≠0)中，二次项系数a决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b和a共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x＝－，它是一条平行于y轴或与y轴重合的直线；a，b，c共同决定抛物线顶点(－，)的位置，c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置，当c＝0时，抛物线经过坐标原点，当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，当c<0时，交点在y轴的负半轴．
作二次函数图像一般用描点作图法和平移变换法．
(1)描点作图法：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点；③把上述五点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来．
如果题中涉及二次函数及其图像，那么只需画出图像，截取需要的部分即可．
(2)平移变换法：任意抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并且都可由y＝ax2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．
①a决定抛物线开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下．
②c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即抛物线过点(0，c)，在画抛物线简图时常常用到．
③对称轴：直线x＝－.在对称轴的两侧，二次函数的单调性相反．
④顶点坐标：(－，)．当a>0时，是二次函数的最小值；当a<0时，是二次函数的最大值．
⑤画二次函数的简图：求出顶点坐标，画出点(0，c)．注意开口方向及其对称轴，画出抛物线的简图，如图所示．
类型一 二次函数的定义
【例1】 当m为何值时，函数y＝(m－3)xm2－9m＋20是二次函数．
【思路探究】 根据定义y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
【解】 由题意得，
解得m＝6或m＝3且m≠3，∴m＝6，
∴当m＝6时，函数y＝(m－3)xm2－9m＋20是二次函数．
规律方法
不要忽略条件m－3≠0.
已知函数y＝(4a＋3)x4a2－a－1＋x－1是一个二次函数，求满足条件的a的值．
解：由题意可得，
即，∴a＝1.
即a的值为1时，函数为二次函数．
类型二 二次函数的平移变换
【例2】 将抛物线y＝－x2＋2x＋5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．
【思路探究】 方法1：依据抛物线y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的关系，求出经过两次平移后的抛物线所对应的函数解析式．
方法2：由于抛物线的平移，其形状、开口方向不变，即a相同，只是顶点的位置发生了改变，故先求抛物线y＝－x2＋2x＋5的顶点坐标，再求平移后抛物线的顶点坐标，从而得到函数解析式．
【解】 方法1：抛物线y＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，向下平移1个单位长度，得抛物线y＝－(x－1)2＋6－1，再向左平移4个单位长度，得抛物线y＝－(x－1＋4)2＋5.整理得y＝－x2－6x－4.
方法2：∵抛物线y＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，
∴它的顶点坐标是(1,6)，向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度后的抛物线的顶点坐标是(－3,5)，故新的抛物线的解析式为y＝－(x＋3)2＋5＝－x2－6x－4.
规律方法
一般地，求经过平移后的抛物线的解析式，运用顶点式要简单些．
若将二次函数f(x)＝x2＋x的图像向右平移a(a>0)个单位长度，得到二次函数f(x)＝x2－3x＋2的图像，则a的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：函数f(x)＝x2＋x通过配方可得f(x)＝2－，将它的图像向右平移a(a>0)个单位长度后，对应的函数解析式为f(x－a)＝2－.函数f(x)＝x2－3x＋2通过配方可得f(x)＝2－，由题意得－a＝－，解得a＝2.故选B.
类型三 二次函数的形状和位置
【例3】 将二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图像，求b与c.
【思路探究】 要求b与c，需先求函数y＝x2＋bx＋c的解析式，要求解析式，应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的平移情况可以确定其顶点坐标．
【解】 ∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，
∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1,0)．
根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝x2＋bx＋c的图像，即把抛物线y＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y＝x2＋bx＋c的图像，此时顶点B(1,0)平移至点A(3，－3)处．
∴抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点是(3，－3)．
即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，
对照y＝x2＋bx＋c，得b＝－6，c＝6.
规律方法
抛物线y＝a(x＋h)2＋k在平移时，a不变，只是h或k发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．
阅读下面文字后解答问题．有这样一道题目：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过点A(0，a)，B(1，－2)，c＝1(答案不唯一)，求证：这个二次函数图像的对称轴是直线x＝2”．
题目中的横线部分是一段被墨水污染而无法辨认的文字，请你根据已有的信息，在原题中的横线上，添加一个适当的条件，把原题补充完整．
解析：根据条件得
解得∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋1.
根据求出的二次函数解析式再任意写出一个要求补充的条件即可．例如c＝1或b＝－4；经过点(－1,6)或(4,1)或(2，－3)等等即可．
类型四 二次函数图像的应用
【例4】 如图是一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m.
(1)在如图的坐标系中，求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以0.2m/h的速度上升，从警戒线开始，再持续多长时间才能到拱桥顶．
【思路探究】 (1)从图形可知抛物线为y＝ax2的形式，且点D、B在抛物线上，AB＝20m，BE＝10m，DF＝CD＝5m，EF＝3m.
∵点B在点D下方，∴设点D的坐标为(5，y)，则点B的坐标为(10，y－3)，把D、B两点坐标代入抛物线y＝ax2中，可求出抛物线的解析式．
(2)从(1)中可求出点D的纵坐标，即从警戒线到拱桥顶的距离可知．又知水位以0.2m/h的速度上升，就可求出再持续多长时间才能到拱桥顶．
【解】 (1)∵CD＝10，∴DF＝CD＝5.
∵AB＝20，∴BE＝AB＝10.
设抛物线方程为y＝ax2，点D的坐标为(5，y)．
∴点B的坐标为(10，y－3)．
又∵点D、B在抛物线y＝ax2上，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2.
(2)由(1)可得点D的坐标为(5，－1)，
∴从警戒线到拱桥顶的距离为1m，∴＝5(h)．
∴若洪水到来时，水位以0.2m/h的速度上升，再持续5h，才能到拱桥顶．
规律方法
把实际问题转化为数学问题，即转化为点的坐标及函数的解析式，应该注意点所在的象限，也就是点的坐标的符号．
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是( B )
A．②④
B．①④
C．②③
D．①③
解析：因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a——规范解答——
二次函数图像的应用
【例5】 作出函数y＝G(x)＝x|x－2|，x∈R的图像，利用图像分别求G(x)＝1，G(x)≥1的解集．
【自主解答】 G(x)＝x|x－2|
＝＝
利用描点法作出图像，如图所示．
在图像上作出y＝1.
可知：当x＝1或x＝1＋时，G(x)＝1；当x≥1＋时，G(x)≥1.
所以G(x)＝1的解集为{x|x＝1，或x＝1＋}，G(x)≥1的解集为{x|x≥1＋，或x＝1}．
【点评】 1.函数图像的应用技巧
(1)要熟悉一些常见的函数图像对称性的判定方法，如奇函数的图像、偶函数的图像等．
(2)方程f(x)＝g(x)的解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像的交点个数．
(3)不等式f(x)>g(x)的解集为f(x)的图像位于g(x)的图像上方的那部分点的横坐标的取值范围．
2．两种常见图像的交换技巧
(1)y＝|f(x)|的图像是保留y＝f(x)的图像中位于x轴上半平面内的部分及与x轴的交点，将y＝f(x)的图像中位于下半平面内的部分以x轴为对称轴翻折到上半平面中去而得到．
(2)y＝f(|x|)的图像是保留y＝f(x)的图像中位于右
半平面内的部分及与y轴的交点，去掉左半平面内的部分而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到．
若【例5】条件不变，要使方程x|x－2|＝a有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．
解：要使方程x|x－2|＝a有三个不同的实数解，即函数y＝G(x)＝x|x－2|与y＝a有三个不同的交点，
G(x)＝x|x－2|＝
＝
利用描点法作出图像，如图所示．
在图像上作出y＝a.
可知0一、选择题
1．已知一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的( D )
解析：排除法，A图中一次函数a>0，二次函数a<0，故排除A；同理排除C；在B图中由直线知c>0，而二次函数中c<0故排除B.选D.
2．将二次函数y＝3x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图像的解析式为( C )
A．y＝3(x＋2)2＋1
B．y＝3(x－2)2－1
C．y＝3(x－2)2＋1
D．y＝3(x＋2)2－1
解析：将二次函数y＝3x2向右平移2个单位长度得到y＝3(x－2)2的图像，再向上平移1个单位长度可得y＝(x－2)2＋1的图像，故选C.
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为( D )
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
解析：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，
∴a＝－2，∴y＝－2x2＋bx＋c，
将点(－1,0)、(3,0)代入y＝－2x2＋bx＋c，
得，解得b＝4，c＝6，
∴y＝－2x2＋4x＋6.
二、填空题
4．抛物线y＝ax2－4x＋c的顶点是(－1,2)，则a＝－2，c＝0.
解析：由题意，得，解得.
5．二次函数y＝x2＋3x＋的图像是由函数y＝x2的图像先向左(左、右)平移3个单位，再向下(上、下)平移2个单位得到．
解析：∵y＝x2＋3x＋＝(x＋3)2－2，
∴将y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到y＝x2＋3x＋的图像．
三、解答题
6．画出函数y＝2x2－4x－6的草图．
解：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x)－6＝2(x2－2x＋1－1)－6＝2[(x－1)2－1]－6＝2(x－1)2－8.
函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，
对称轴为直线x＝1.
令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，
∴x＝－1或x＝3，
令x＝0得y＝2－8＝－6，
故函数图像与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)，与y轴的交点坐标为(0，－6)．
画法步骤：
(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)、(－1,0)、(3,0)、(0，－6)，画出直线x＝1；
(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)、(－1,0)、(3,0)、(0，－6)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．
PAGE4．2 二次函数的性质
知识点 二次函数与二次函数的性质
[填一填]
1．二次函数解析式的表示法
(1)一般式：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)两根式：形如y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数(y＝ax2＋bx＋c)的性质
学习研究二次函数的性质，必须熟练掌握二次函数的图像，结合图像研究性质.
[答一答]
1．如何正确理解二次函数的定义及系数的作用？
提示：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数，它的定义域是R.如果b＝c＝0，则函数变为y＝ax2(a≠0)，它的图像是一条顶点为原点的抛物线，这个函数为偶函数，y轴为它的图像的对称轴．
(1)a决定抛物线的开口方向
a>0，开口向上；a<0，开口向下．
(2)a、b决定抛物线的对称轴的位置
a、b同号，对称轴x＝－<0在y轴的左侧；
a、b异号，对称轴x＝－>0在y轴的右侧．
(3)c决定抛物线与y轴的交点(此时点的横坐标x＝0)的位置：c>0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c<0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
(4)b2－4ac决定抛物线与x轴交点的个数
当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；
当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
2．如何求二次函数在闭区间上的最值？
提示：对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论：
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系
最大值
最小值
hf(n)
f(m)
h>n
f(m)
f(n)
m≤h≤n
m≤h<
f(n)
f(h)
h＝
f(m)或f(n)
f(h)
f(m)
f(h)
1．求二次函数最值的常用方法——配方法
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的最值问题，首先应采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
(1)求二次函数在定义域R上的最值．
(2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型：
①顶点固定，区间也固定．
此种类型是较为简单的一种，只要找到对称轴，画出图像，将区间标出，最值一目了然．
②顶点变动，区间固定．
这种类型是比较重要的，在高考题中多次出现，主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况，然后根据不同的情况写出最值．
③顶点固定，区间变动．
此种情况用得较少，在区间里含有参数，亦根据对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况进行讨论．
2．二次函数对称性的应用
二次函数的图像关于对称轴(直线x＝－)对称，有时对称轴也以其他形式给出，如若对任意的实数x，都有f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)成立，则直线x＝a是函数f(x)图像的对称轴．另外f(a＋x)＝f(a－x)的几何意义是：与直线x＝a距离相等的点对应的函数值相等．结合二次函数的图像可知，若抛物线开口向上，则图像上的点距对称轴越远，其对应的函数值越大；若抛物线开口向下，则图像上的点距对称轴越远，其对应的函数值越小.
类型一 求二次函数的解析式
【例1】 根据下列条件，求二次函数的解析式．
(1)图像经过点(0,2)、(1,1)、(3,5)；
(2)图像经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)；
(3)图像与x轴交于点(－1,0)、(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)．
【思路探究】 根据条件确定二次函数解析式的形式，用待定系数法求解．
【解】 (1)经过任意三个点，设一般式．
设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵二次函数的图像经过(0,2)、(1,1)、(3,5)三点，将它们分别代入，得：，解之得.
∴所求二次函数的解析式为y＝x2－2x＋2.
(2)已知顶点的坐标，设顶点式．
设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.∵二次函数的图像经过点(－3,2)，代入得：2＝a(－3＋2)2＋3，解之得a＝－1.∴所求二次函数的解析式为y＝－(x＋2)2＋3，即y＝－x2－4x－1.
(3)已知与x轴两交点的坐标，设零点式．
设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，
∵二次函数的图像经过点(0,1)，代入得：1＝a(0＋1)·(0－1)，解之得a＝－1.
∴所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
规律方法
二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式．
①一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这是二次函数的标准表达式．在此解析式中有三个待定的系数a、b、c，给定抛物线上三个点的坐标，列出关于a、b、c的三元一次方程组，即可求出待定系数a、b、c的值；
②顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点．当已知抛物线的顶点坐标或对称轴，能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简捷，加上其他条件确定a的值，即可求出函数的解析式；
③两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2就是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．当题中已知抛物线与x轴交点的坐标时，设出零点式解题比较简单．
当选用顶点式或两根式求二次函数解析式时，最后的结果通常要化为一般式．
(1)已知一个二次函数y＝f(x)，f(0)＝3，又知当x＝－3和x＝－5时，函数的值为零，求这个二次函数的解析式；
(2)已知二次函数f(x)图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式．
解：(1)由题意可知－3和－5为二次函数图像与x轴交点的横坐标，∴设y＝f(x)＝a(x＋3)(x＋5)．
又∵f(0)＝3，∴f(0)＝15a＝3，即a＝.
∴f(x)＝(x＋3)(x＋5)＝(x2＋8x＋15)
＝x2＋x＋3.
(2)设f(x)＝a(x＋1)2＋k，
由题意得f(1)＝13，f(2)＝28，
∴有解得
故f(x)＝3(x＋1)2＋1＝3x2＋6x＋4.
类型二 二次函数的对称性
【例2】 已知函数y＝f(x)＝3x2－6x＋1.
(1)求其对称轴和顶点坐标；
(2)已知f(－1)＝10，不计算函数值，求f(3)；
(3)不直接计算函数值，试比较f(－)与f()的大小．
【思路探究】 本题中已知二次函数f(x)的解析式，故可考虑用配方法将f(x)化成顶点式，进而确定对称轴和顶点坐标．然后再结合对称性求f(3)及比较f(－)与f()的大小．
【解】 ∵f(x)＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2，
由于x2项的系数为正数，∴函数图像开口向上．
(1)顶点坐标为(1，－2)；对称轴方程为x＝1.
(2)∵f(－1)＝10，又|－1－1|＝2，|3－1|＝2，
∴由二次函数的对称性可知，f(3)＝f(－1)＝10.
(3)∵f(x)＝3(x－1)2－2的图像开口向上，且对称轴为x＝1，∴离对称轴越近，函数值越小．
又|－－1|>|－1|，∴f(－)>f()．
规律方法
二次函数y＝f(x)图像的对称轴的判断方法：
(1)若二次函数y＝f(x)对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图像的对称轴方程为x＝.
(2)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)的图像的对称轴方程为x＝a(a为常数)．
(3)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(x＋2a)＝f(－x)，那么函数y＝f(x)图像的对称轴方程为x＝a(a为常数)．
(4)利用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴方程为x＝－.
(5)利用方程根法求对称轴方程：若二次函数y＝f(x)对应方程f(x)＝0的两根为x1，x2，那么函数y＝f(x)的图像的对称轴方程为x＝.
注意：(2)、(3)中f(a＋x)＝f(a－x)与f(x＋2a)＝f(－x)是等价的．
如果函数f(x)＝x2＋bx＋1对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)的值分别为－2，－3.
解析：由题意知，函数关于x＝2对称，
故－＝2，得b＝－4，所以f(x)＝x2－4x＋1，
所以f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3.
类型三 二次函数在闭区间上的最值(值域)
【例3】 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在区间[－5,5]上的最大值和最小值；
(2)用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
【思路探究】 (1)→
→
(2)→→→
【解】 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为1∈[－5,5]，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值，
f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.
(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图像开口向上，对称轴为x＝－a.
①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，
f(x)min＝f(－5)＝27－10a；
②当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图像如图(1)所示，由图像可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
f(x)max＝f(5)＝27＋10a；
③当0<－a<5，即－5f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
规律方法
1.二次函数求最值问题，首先要采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式，再根据对称轴与区间的位置关系，确定单调性，求出最值．
2．解题过程中，重在分析对称轴与区间的位置关系即对称轴在区间左侧、中间、区间右侧三种情况讨论，当对称轴在中间时，有时还要分情况讨论，如本例(2)中求最大值时再分三种情况讨论即对称轴在正中，偏左，偏右讨论，要注意数形结合．
(1)函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是( D )
A．[2，＋∞)
B．[0,2]
C．(－∞，2]
D．[2,4]
解析：
f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1在[0，＋∞)上的图像如图，由题意得2≤m≤4.
(2)函数f(x)＝，x∈[0,3]的最大值为.
解析：令g(x)＝x2－2x＋3，则g(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2在[0,3]上的最小值为2，最大值为6.
故f(x)＝的最大值为.
类型四 二次函数的单调性及其应用
【例4】 (1)若函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减少的，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)＝x2＋ax＋2在区间[－5,5]上是单调函数，求a的范围．
【思路探究】 本题中出现了参数a，这种题型的做法与a为常数时一样，先配方找出函数的对称轴，再去考虑对称轴与已知区间的位置关系，进而研究其性质．
【解】 (1)∵函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1，
∴函数的对称轴为x＝－＝，
又∵f(x)在(－∞，2]上为减少的且开口向上，
∴≥2.解得a≤－.
(2)∵f(x)＝x2＋ax＋2，
∴函数f(x)的对称轴为x＝－.
又∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
∴对称轴x＝－不在区间(－5,5)内，
即－≤－5或－≥5，解得a≥10或a≤－10.
规律方法
1.研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性，首先看二次项系数的正负，其次确定对称轴位置．若二次项系数a>0，在对称轴x＝－的左侧函数递减，右侧函数递增；若二次项系数a<0
，在对称轴x＝－的左侧函数递增，右侧函数递减．
2．二次函数的对称轴是其单调区间的分界线，解答此类问题的关键在于借助函数的对称性，通过集合间的关系来建立变量间的关系，得出参数的取值范围．
已知函数f(x)＝－x2＋kx＋k在区间[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围．
解：f(x)＝－x2＋kx＋k＝－(x－)2＋，
其图像对称轴是直线x＝.
∵函数在区间[2,4]上是单调函数，
∴[2,4]?(－∞，]或[2,4]?[，＋∞)，
可得≥4或≤2，解得k≥8或k≤4.
——多维探究系列——
如何求二次函数的最值
求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论．
【例5】 已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．
【解析】 抛物线开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，数形结合解决问题．
【解】 f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图像开口向上，且对称轴为直线x＝a.
当a≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；
当－1当a≤－1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.
【总结】 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况，即：
(1)若对称轴x＝－在区间[m，n]内，则最小值为f(－)，最大值为f(m),
f(n)中较大者(或区间端点m，n中与x＝－距离较远的一个对应的函数值为最大值)；
(2)若对称轴x＝－(3)若对称轴x＝－>n，则f(x)在区间[m，n]上是减函数，最大值为f(m)，最小值为f(n)．
已知函数f(x)＝(x－2)(x＋a)，其中a∈R.
(1)若f(x)的图像关于直线x＝1对称，求a的值；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝(x－2)(x＋a)＝x2＋(a－2)x－2a，所以，f(x)的图像的对称轴方程为x＝.
由＝1，得a＝0.
(2)函数f(x)的图像的对称轴方程为x＝.
①当≤0，即a≥2时，
因为f(x)在区间(0,1)上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－2a.
②当0<<1，即0因为f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f()＝－()2.
③当≥1，即a≤0时，
因为f(x)在区间(0,1)上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝－(1＋a)．
综上，f(x)min＝
一、选择题
1．二次函数y＝1－6x－3x2的顶点坐标和对称轴方程分别为( B )
A．顶点(1,4)，对称轴x＝1
B．顶点(－1,4)，对称轴x＝－1
C．顶点(1,4)，对称轴x＝4
D．顶点(－1,4)，对称轴x＝4
解析：顶点(－，)，把a＝－3，b＝－6，c＝1代入可得：(－1,4)；对称轴方程：x＝－＝－1.
2．二次函数y＝x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c的值为( B )
A．－16
B．16
C．－4
D．4
解析：∵顶点在x轴上，∴＝0，∴c＝16，
或∵顶点在x轴上，∴Δ＝64－4c＝0，∴c＝16.
3．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是( C )
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
解析：因为二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．
二、填空题
4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像的最高点是(－1,3)，则b，c的值分别为－2,2.
解析：由已知可得y＝－x2＋bx＋c＝－(x＋1)2＋3＝－x2－2x＋2.
5．已知抛物线y＝－2x2＋8x－9顶点为A，若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A，且与x轴交于B(0,0)、C(3,0)两点，则这个二次函数的解析式为y＝x2－x.
解析：∵y＝－2x2＋8x－9＝－2(x－2)2－1，∴A(2，－1)．
设所求二次函数的解析式为y＝ax(x－3)，
则由题意知－1＝a×2(2－3)，即a＝.
∴所求解析式为y＝x2－x.
三、解答题
6．已知二次函数y＝－4x2＋8x－3.
(1)画出它的图像，并指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
(2)求函数的最大值；
(3)写出函数的单调区间．(不必证明)
解：(1)图像如图所示，该图像开口向下；对称轴为直线x＝1；顶点坐标为(1,1)．
(2)y＝－4(x－1)2＋1，故函数的最大值为1.
(3)函数的单调增区间是(－∞，1]，
单调减区间是(1，＋∞)．
PAGE§5 简单的幂函数
知识点一 幂函数性质与图像
[填一填]
1．幂函数
如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
2．幂函数性质与图像
所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．
[答一答]
1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？
提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：
则α∈(1，＋∞)?y＝xα的图像经过区域(Ⅰ)
，如y＝x2；
α∈(0,1)?y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝；
α∈(－∞，0)?y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝.
并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．
知识点二 奇函数与偶函数
[填一填]
3．奇函数与偶函数
(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．
(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．
(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．
[答一答]
2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？
提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.
(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？
提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．
1．幂函数图像的分布特点和规律
幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质
(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．
(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．
(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
3．奇、偶函数图像对称性的缘由
若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．
4．奇、偶函数图像的几点说明
(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．
(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．
(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．
(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.
类型一 幂函数的概念
【例1】 已知函数y＝(m2－m－5)xm＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．
【思路探究】 幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．
【解】 ∵y＝(m2－m－5)xm＋1为幂函数，
∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，
∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；
当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.
规律方法
判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．
(1)以下四个函数：y＝x0；y＝x－2；y＝(x＋1)2；y＝2·x
eq
\s\up15(
)
中，是幂函数的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y＝x0，y＝x－2为幂函数．
(2)f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，则实数m＝2或－1.
解析：f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或2.
类型二
幂函数的性质
【例2】 幂函数y＝xα中α的取值集合C是{－1,0，，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为( )
A．{－1,0，}
B．{，1,2}
C．{－1，，1,3}
D．{，1,2,3}
【思路探究】 根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．
【解析】 根据幂函数y＝x－1，y＝x0，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，当α＝－1，，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．
【答案】 C
规律方法
1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．
2．幂函数图像的特征：
(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．
(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图像．已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( B )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
解析：解法1：在第一象限内，在直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.
解法2：赋值法．令x＝4，则4－2＝，4－＝，4＝2,42＝16，易知选B.
类型三 幂函数性质的应用
【思路探究】 注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m的值，再利用幂函数的增减性求实数a的取值范围．
【解】 因为函数在(0，＋∞)上递减，
所以m2－2m－3<0，解得－1又因为m∈N＋，所以m＝1或2，
由函数图像关于y轴对称知，m2－2m－3为偶数，所以m＝1.
把m＝1代入不等式得(a＋1)
eq
\s\up15(－
)
<(3－2a)
eq
\s\up15(－
)
.
因为y＝x
eq
\s\up15(－
)
在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，
所以有a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，解得即a的取值范围是(－∞，－1)∪(，)．
规律方法
作直线x＝m(m>1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．
(1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则m的取值范围是m>0.
解析：根据幂函数y＝x1.3的图像，当01时y>1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，
又(0.71.3)m<(1.30.7)m，所以m>0.
(2)已知幂函数y＝f(x)的图像过点(2，)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．
解：
设幂函数解析式为y＝xα，将点(2，)的坐标代入，得2α＝，解得α＝－，所以函数的解析式y＝x
eq
\s\up15(－
)
.
定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y＝f(x)是非奇非偶函数．当x>0时，f(x)是单调减函数，函数的图像如图．
下面用定义证明y＝x
eq
\s\up15(－
)
＝在(0，＋∞)上为减函数：
设x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，
Δy＝y2－y1＝－＝
＝＝<0，
所以y＝x
eq
\s\up15(－
)
＝在(0，＋∞)上为减函数．
类型四 函数奇偶性的判断
【例4】 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x4＋3x2；
(2)f(x)＝x－；
(3)f(x)＝0，x∈(－1,1]；
(4)f(x)＝－2x＋1.
【思路探究】 先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．
【解】 (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝(－x)4＋3(－x)2＝x4＋3x2＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)函数f(x)的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，
故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝－2(－x)＋1＝2x＋1≠±f(x)，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
规律方法
1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：
2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性：
(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
(2)奇函数的和、差仍为奇函数；
(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数；
(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋；
(2)f(x)＝x
eq
\s\up15(－
)
；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
解：(1)函数f(x)＝x3＋的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝－x3＋＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x3＋是奇函数．
(2)函数f(x)＝x
eq
\s\up15(－
)
的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝(－x)
eq
\s\up15(－
)
＝＝－＝－x
eq
\s\up15(－
)
＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x
eq
\s\up15(－
)
是奇函数．
(3)函数f(x)＝的定义域是R，关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴函数f(x)＝是偶函数．
(4)函数f(x)＝＋的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
类型五 利用函数奇偶性求函数的解析式
【例5】 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．
【思路探究】 解决本题的关键是利用奇函数的关系式f(－x)＝－f(x)将x<0时f(x)的解析式转化到x>0上．同时要注意f(0)＝0.
【解】 ∵f(x)是奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)，
当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．
规律方法
1.解答本题时，很容易遗漏x＝0的情况，在区间转化时要细心．
2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：
(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x，即求哪个区间上的解析式，就设x在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f(x)＝－f(－x)或f(x)＝f(－x)求解所求区间内的解析式．
(1)已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a＝，b＝0.
解析：因为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，所以a－1＋2a＝0，a＝，所以f(－x)＝f(x)恒成立．所以－bx＝bx，所以b＝0.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝－x(x＋1)．
解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，
又因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x(x＋1)，
所以f(x)＝－x(x＋1)．
——易错误区——
函数奇偶性判断中的误区
【例6】 以下说法中：(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]是偶函数．(2)f(x)＝x3＋是奇函数．(3)函数f(x)＝|x－2|是偶函数．(4)函数f(x)＝0，x∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )
A．(1)(2)
B．(1)(4)
C．(2)(4)
D．(3)(4)
【错解】 选B或选D
【正解】 C 对于(1)，函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．
对于(2)，函数f(x)＝x3＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数，故(2)正确．
对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．
对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．
【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；
2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．
【防范措施】 1.定义域优先的原则
由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．
2．注意图像的变换
一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．
函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是( C )
A．偶函数
B．奇函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
解析：
f(x)＝|x－2|－|x＋1|
当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1由图知f(x)为非奇非偶函数．
一、选择题
1．下列所给函数中，是幂函数的是( C )
A．y＝－x3
B．y＝3x
C．y＝x
eq
\s\up15(
)
D．y＝x2－1
解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过( A )
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，
∴图像不可能经过第四象限，故选A.
3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝( D )
A．x2＋2x
B．x2－2x
C．－x2－2x
D．－x2＋2x
解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.
二、填空题
4．已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)＝2.
解析：设f(x)＝xα，∴α＝，∴f(4)＝4
eq
\s\up15(
)
＝2.
5．已知函数f(x)＝的图像关于原点对称，则实数a＝2.
解析：由题意可知f(x)为奇函数，且奇函数f(x)＝在x＝0处有意义，∴f(0)＝0，∴＝0，∴a＝2.
三、解答题
6．已知f(x)＝(m2－2m－2)xm－1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m的值；
(2)求函数g(x)＝f(x)－2ax＋1在区间[2,3]上的最小值h(a)．
解：(1)∵f(x)＝(m2－2m－2)xm－1是幂函数，
∴m2－2m－2＝1，解得m＝3或m＝－1；
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴m－1>0，∴m的值为3.
(2)函数g(x)＝f(x)－2ax＋1＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2，当a<2时，g(x)在区间[2,3]上单调递增，最小值为h(a)＝g(2)＝5－4a；
当2≤a≤3时，g(x)在区间[2,3]上先减后增，最小值为h(a)＝g(a)＝1－a2；
当a>3时，g(x)在区间[2,3]上单调递减，最小值为h(a)＝g(3)＝10－6a.
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