第四章 函数应用
§1 函数与方程
知识点一 函数的零点
[填一填]
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．
[答一答]
1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？
提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．
2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？
提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．
知识点二 方程的根、函数的零点、图像之间的关系
[填一填]
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
[答一答]
3．怎样理解方程的根、函数的零点、图像之间的关系？
提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图像与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．
知识点三 函数零点的存在性定理
[填一填]
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[答一答]
4．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？
提示：不一定．如f(x)＝x3－x在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)<0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1,0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)<0，在(－2,0)内只有一个零点－1.
5．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)>0，是不是说函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点？
提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.
知识点四 二分法的概念
[填一填]
对于在区间[a，b]上连续不断，且
f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫作二分法．
[答一答]
6．用二分法求函数零点的适用条件是什么？
提示：①f(x)的图像在区间[a，b]上连续不断；
②f(a)f(b)<0.
知识点五 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
[填一填]
(1)确定区间[a，b]，验证
f(a)·f(b)<0，给定精确度N；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)；
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
(4)判断是否达到精确度N：即若|a－b|[答一答]
7．“精确到”与“精确度”是一回事吗？
提示：不是一回事，具体说明如下：
(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|
(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x′，x′的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.141
592
6…，若取3位有效数字，则x′＝3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′＝3.141
6，精确到0.000
1(即万分位)．
1．函数的零点其实就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，函数的零点不是点，而是一个实数．
2．函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．反映在图像上就是函数图像与x轴无交点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点．
3．判断函数的零点，可利用的结论
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
4．二分法的实质
二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
5．理解二分法的概念时要注意的两点
(1)二分法是求函数零点近似值的一种方法，根据题目要求的精确度，只需进行有限次运算即可．
(2)它的依据是函数零点的判定定理，即根的存在性定理．
6．用二分法求函数零点的近似值的两个关键点
(1)初始区间的选取，既符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小(关键词：选初始区间)．
(2)进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算(关键词：判断精确度).
类型一 零点的概念及求法
【例1】 (1)函数y＝lgx－1的零点是________；
(2)已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则函数y＝logn(mx＋1)的零点是________．
【思路探究】 求函数的零点就是求其对应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得出函数的零点．如果能画出函数的图像，也可根据图像与x轴的交点求函数的零点．
【解析】 (1)∵函数y＝lgx－1在定义域内单调递增，∴函数y＝lgx－1在(0，＋∞)内只有一个零点，令lgx－1＝0，得x＝10.
(2)因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，
所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数根，
所以解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)，令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
【答案】 (1)10 (2)0
规律方法
求函数零点主要有两种方法：(1)代数法，求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法，可以作出函数的图像，根据图像找出零点．函数的零点及其求法主要体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．
(1)函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为( B )
A．－2
B．－
C.
D．2
解析：因为函数f(x)＝＋a的零点为1，所以f(1)＝＋a＝0，解得a＝－.
(2)函数f(x)＝的零点是1.
解析：令f(x)＝0，得＝0，即x－1＝0或lnx＝0，得x＝1，故函数f(x)的零点为1.
类型二 函数的零点与方程根的关系
【例2】 已知函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，求g(x)＝bx2－ax的零点．
【思路探究】 先由f(x)的零点求a，b的关系，再求g(x)的零点．
【解】 ∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
∴2a＋b＝0，∴＝－.
令g(x)＝0，即bx2－ax＝0，∴x＝0或x＝＝－.
因此g(x)＝bx2－ax的零点是0和－.
规律方法
(1)函数y＝f(x)的零点就是对应方程f(x)＝0的根．
(2)二次函数的零点与一元二次方程的实根的关系如下表：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根
有两相异实根x1，x2(x1有两相等实根x1＝x2＝－
没有实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点
有两个零点x1，x2
有一个零点x1＝x2
没有零点
(1)函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a等于0或－.
解析：①若a＝0，f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点．
②若a≠0，f(x)为二次函数，ax2－x－1＝0仅有一个实根，Δ＝1＋4a＝0，a＝－.
综上：a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
(2)已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，①有两个零点；②有三个零点．
解：令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图像如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数．
①若函数有两个零点，则a＝0或a>4.
②若函数有三个零点，则a＝4.
类型三 函数零点的判断
【例3】 设定义域为R的函数f(x)＝
若关于x的函数y＝2f2(x)＋2bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是________．
【思路探究】 结合函数f(x)的图像，研究f(x)的零点个数，把f(x)看作一个整体，再根据函数y＝2f2(x)＋2bf(x)＋1有8个不同的零点，列出关于b的不等式组．
【解析】 令t＝f(x)，则y＝2t2＋2bt＋1，作出f(x)的图像如图所示：
由图可知，当0令g(t)＝2t2＋2bt＋1，由零点的分布情况可得
解得－【答案】 －规律方法
由于函数y＝f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，所以函数y＝g(x)－h(x)的零点就是函数g(x)与h(x)图像的交点的横坐标，所以与函数零点有关的问题可以先画出函数的图像并结合零点存在性定理，列出相应的相等关系或不等关系，进而解决与函数零点有关的问题．
(1)函数f(x)＝2x＋log2x－3在区间(1,2)内的零点个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由题意得，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(2)＝2，f(1)·f(2)<0，根据零点存在性定理，可得函数f(x)在区间(1,2)内有1个零点．
(2)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为( A )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由题意可得g(x)＝f(x)－1＝
当x<0时，g(x)＝－2x<0恒成立，在此区间无零点；当0≤x<2时，令g(x)＝2x－2＝0，得x＝1，即1为其零点；当x≥2时，令g(x)＝－1＝0，得x＝4，即4为其零点．综上可得函数g(x)的零点个数为2.
类型四 利用二分法求方程的近似解
【例4】 试判断方程x3＋3x－5＝0在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出该解的近似值(精确到0.01)．
【思路探究】 可利用函数零点存在性的判定方法判断方程在(0,3)内有实数解，然后再利用二分法求出其近似值．
【解】 设函数f(x)＝x3＋3x－5，由于f(0)＝－5<0，f(3)＝31>0，因此f(0)·f(3)<0，所以f(x)在(0,3)内至少存在一个零点，即原方程在(0,3)内必有实数解．
以下用二分法求方程在(0,3)内的近似解．
由于f(1)＝－1<0，f(2)＝9>0，所以方程的解又必在区间(1,2)内，故可取区间(1,2)为计算的初始区间．用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：
计算次数
左端点
右端点
1
1
2
2
1
1.5
3
1
1.25
4
1.125
1.25
5
1.125
1.187
5
6
1.125
1.156
25
7
1.140
625
1.156
25
8
1.148
437
5
1.156
25
9
1.152
343
75
1.156
25
10
1.152
343
75
1.154
296
875
由上表可知，区间[1.152
343
75,1.154
296
875]中的每一个数都精确到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精确到0.01的近似解．
规律方法
二分法求解步骤
(1)确定区间[a，b]．验证f(a)·f(b)<0，初始区间的选择不宜过大，否则将增加运算的次数；
(2)求区间[a，b]的中点c.
(3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点．
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈[a，c])．
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈[c，b])．
(4)判断a，b的两端的近似值是否相等且满足要求的精确度，若是，得零点的近似解；否则，重复(2)～(4)步．特别注意要运算彻底．
(1)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( C )
A．0.64
B．0.74
C．0.7
D．0.6
解析：题中精确到0.1说明了“二分法”计算的终止条件，故选C.
(2)用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0.1)．
解：由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
f(1)＝－2，f(2)＝4
[1,2]
x0＝＝1.5
f(x0)＝－0.125<0
[1.5,2]
x1＝＝1.75
f(x1)≈1.609
4>0
[1.5,1.75]
x2＝＝1.625
f(x2)≈0.666
0>0
[1.5,1.625]
x3＝＝1.562
5
f(x3)≈0.252
2>0
[1.5,1.562
5]
由上表的计算可知，区间[1.5,1.562
5]的长度不大于0.1，因此可取1.5作为所求函数的一个正实数零点的近似值．
所以f(x)＝x3－x－2的一个正实数精确到0.1的近似零点为1.5.
——易错误区——
忽视函数类型的讨论致误
【例5】 函数y＝ax2－4x＋2只有一个零点，则实数a的值为( )
A．0
B．2
C．0或2
D．1
【错解】 选A或选B
【正解】 C 当a＝0①时，y＝－4x＋2，
由－4x＋2＝0，得x＝，
故函数有唯一零点，a＝0成立；
当a≠0时，二次函数y＝ax2－4x＋2有唯一零点，
则有Δ＝16－8a＝0，得a＝2②.
综上，a＝0或a＝2.
【错因分析】 1.忽视①处对二次项系数等于零的讨论．
2．把②处一元二次方程有两相等实根的情况当作对应函数有两个零点．
【防范措施】 特殊情况的处理
二次式是我们常见的一种形式，在求解其中参数的值或取值范围时，要警惕二次项系数为零这一情况，如本例中只交待“函数y＝ax2－4x＋2”，那这个函数可以为一次函数，即a＝0时，解题时一定看清参数的位置，不要忘记讨论．
已知函数f(x)＝kx2－3x＋1的图像与x轴在原点的右侧有公共点，则实数k的取值范围为( D )
A．(0，)
B．[0，]
C．(－∞，)
D．(－∞
，]
——易错误区——
因对二分法的原理理解不到位而致误
【例6】 已知连续函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为(0，)，(0，)，(0，)，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0，)内一定有零点
B．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点
C．函数f(x)在(，a)内无零点
D．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点，或零点是
【错解】 选A或选B
【正解】 D 根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在(0，)或(，)中或f()＝0.①
【错因分析】 在①处，受思维定式的影响错选A.
在①处，因忘记端点“”也可能为零点，而导致错选B.
【防范措施】 注意二分法的求解原理
(1)二分法是不断把区间一分为二逐渐逼近零点的方法．有时中点值会恰好为函数的零点．如本例中“f()＝0”有可能成立．
(2)要注意区间的取舍．运用二分法把区间一分为二，要保留端点值异号的区间，但需检验舍弃哪个区间，如本例中在检验之前并不知道区间(0，)和(，)哪个会被舍弃．
对于连续函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2
011)<0，f(2
012)<0，f(2
013)>0，则下列叙述正确的是( D )
A．函数f(x)在(2
011,2
012)内不存在零点
B．函数f(x)在(2
012,2
013)内不存在零点
C．函数f(x)在(2
012,2
013)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2
011,2
012)内可能存在零点
一、选择题
1．函数y＝2x－1的图像与x轴交点横坐标及零点分别是( C )
A.，(，0)
B．(，0)，
C.，
D．(－，0)，－
解析：令y＝2x－1＝0，∴x＝，∴与x轴的交点横坐标为，零点为，故选C.
2．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是( B )
A．1，－4
B．4，－1
C．1,3
D．不存在
解析：令x2－3x－4＝0，解得x＝4或－1，
∴零点为4，－1，故选B.
3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
二、填空题
4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点2.5，那么下一个有根区间是[2,2.5]．
解析：由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所以下一个有根区间是[2,2.5]．
5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a、b的关系是a2－4b＝0.
解析：二次函数有零点，但不能用二分法求出，则有Δ＝a2－4×1×b＝0，即a2－4b＝0.
三、解答题
6．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两个根都大于2，求m的取值范围．
解：令y＝f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，
由题意画图如下：
要使f(x)＝0的两根都大于2则
解得－5PAGE§2 实际问题的函数建模
知识点一 函数模型的建立
[填一填]
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，用图示表示数学建模的过程如图所示．
[答一答]
1．应用数学模型解决实际问题的步骤是什么？
提示：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学结论还原为实际问题的解．
此四步用框图可表示为
知识点二 常见函数模型
[填一填]
[答一答]
2．常见函数模型有哪些？
提示：(1)直线模型：一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)图像增长特点是直线式上升(x的系数k>0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx(k>0)．
(2)反比例函数模型：y＝(k>0)型，增长特点是y随x的增大而减小．
(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，且b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸．
(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a>1，m>0)．
(5)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a>0)．
在以上几种函数模型的建立和选择时，要注意灵活选取恰当的模型，分析自变量的范围，还要与实际问题相结合，如取整等．
函数应用题常见类型可以分为两大类
(1)函数关系已知的应用题
解函数关系已知的应用题的一般步骤是：
①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)；
②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；
③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
(2)函数关系未知的应用题
其解题步骤可归纳为以下几步：
①阅读理解题意
摆脱对实际问题陌生的心理障碍，按题目的有关规定去领悟其中的数学本质，理顺题目中的数与形、形与形的数量关系和位置关系，看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型．
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型．
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解．
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
类型一 一次函数模型应用
【例1】 某报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份．设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？
【思路探究】 每月所赚得的钱＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总数分为3部分：(1)在可卖出400份的20天里，收入为0.5x·20；(2)在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为0.5×250×10；(3)没有卖掉的(x－250)份报纸可退回报社，报社付出(x－250)×0.08×10的钱，注意写出函数式的定义域．
【解】 设每天应从报社买x份，易知250≤x≤400.设每月赚y元，得y＝0.5·x·20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35·x·30＝0.3x＋1
050，x∈[250,400]．
因为y＝0.3x＋1
050是定义域上的增函数，
所以当x＝400时，ymax＝120＋1
050＝1
170(元)．
可知每天应从报社买400份报纸，获得利润最大，每月可赚1
170元．
规律方法
(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．
(2)这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
已知某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4
000，手套的出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本日产手套量至少为( D )
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
解析：由10x－y＝10x－(5x＋4
000)≥0，得x≥800.故选D.
类型二 二次函数模型应用
【例2】 某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金m(万元)的关系有经验公式P＝m＋65，Q＝76＋4，今投入150万元资金生产甲、乙两种产品，并要求对每种产品的投入资金不低于25万元．
(1)设对乙种产品投入资金x万元，求总利润y(万元)关于x的函数关系式及其定义域；
(2)如何分配投入的资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？
【思路探究】 (1)对乙种产品投入资金x万元，则对甲种产品投入资金(150－x)万元，代入经验公式即可求得总利润y(万元)关于x的函数表达式；(2)利用(1)的结论，先换元，再利用配方法可求得总利润的最大值．
【解】 (1)对乙种产品投入资金x万元，则对甲种产品投入资金(150－x)万元(25≤x≤125)．
根据题意，得y＝(150－x)＋65＋76＋4＝－x＋4＋191，其定义域为[25,125]．
(2)令t＝，则y＝－(t－6)2＋203，
因为x∈[25,125]，所以t∈[5，5]，
当t∈[5,6]时，函数单调递增；
当t∈[6,5]时，函数单调递减，
所以当t＝6，即x＝36时，ymax＝203.
答：当对甲种产品投入114万元，乙种产品投入36万元时，总利润最大，为203万元．
规律方法
1.二次函数模型的特点是随着自变量的增加，函数值先增大后减小，有最大值，或先减小后增大，有最小值．
2．解决此类问题的一般方法是根据实际问题建立函数模型，求得解析式后，利用配方法、判别式法、换元法或函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大或用料最省等问题．
3．主要考查了数学运算、数学建模的核心素养．
某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x，若要求每天获利不少于1
300元，则日销售量x的取值范围是20≤x≤45.
解析：设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0由题意，知－2x2＋130x－500≥1
300，解得20≤x≤45，所以日销量在20至45件(包括20和45)之间时，每天获得的利润不少于1
300元．
类型三 指数函数型模型的应用
【例3】 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
天数t
病毒细胞总数N
1
1
2
2
3
4
4
8
5
16
6
32
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.301
0)
【思路探究】 根据题意，建立病毒细胞个数y与时间t的函数关系y＝2t－1，然后利用不等式求解．
【解】 (1)由题意知，病毒细胞的个数关于时间t的函数为y＝2t－1.
则由2t－1≤108两边取对数得(t－1)lg2≤8，
得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为226×2%，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞数为226×2%×2x.
由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2＋lg2－2＋xlg2≤8，得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．
规律方法
在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示．
(1)已知某市2013年底人口约为130万人，如果今后将人口的年平均增长率控制在1%，那么经过10年此市的总人口约为( A )
A．130×(1＋0.01)10
B．130×(1＋0.01)11
C．130×(1＋10×0.01)
D．130×(1＋11×0.01)
(2)工业城市空气污染对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多．据统计，某地从2004年到2013年的10年间平均每两年上升2%,2013年有1
100人患呼吸道疾病，则2003年患呼吸道疾病的人数约为1_000.(参考数据：1.023≈1.06,1.025≈1.1)
解析：设2003年患呼吸道疾病的人数为a，则2005年的人数为a(1＋0.02)，2007年的人数为a(1＋0.02)2,2009年的人数为a(1＋0.02)3,2011年的人数为a(1＋0.02)4,2013年的人数为a(1＋0.02)5，依题意，得a(1＋0.02)5＝1
100，即1.1a＝1
100，解得a＝1
000.
类型四 对数函数模型的应用
【例4】 有时可用函数f(x)＝
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N
)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增加量g(x)＝f(x＋1)－f(x)总是下降的；
(2)根据经验，学科甲，乙，丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]，当学习某学科知识5次时，掌握程度是70%，请确定相应的学科.
【思路探究】 (1)先表示出g(x)的解析式，再证明x≥7时g(x)单调递减即可；(2)由题意可知0.1＋15ln＝0.7，解出a，判断a所在的区间，即可判定该学科为丙学科．
【解】 (1)证明：当x≥7时，g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝.
任取x1，x2∈[7，＋∞)，不妨设x1>x2≥7，则
g(x1)－g(x2)＝－
＝，
因为x1>x2≥7，所以g(x1)(2)由题意可知0.1＋15ln＝0.7，得ln＝0.04，所以＝e0.04≈，得a≈130∈(127,133]，因此，该学科为丙学科．
规律方法
1.对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
2．主要考查数学建模与数学运算的核心素养．
某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为：y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年这种动物发展到300只．
解析：把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得：a＝100，
故函数关系式为y＝100log2(x＋1)，
所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
所以到第7年这种动物发展到300只．
——易错警示系列——
对题意理解不透彻导致出错
【例5】 某公司生产一种产品的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为当年产量的函数f(x)；
(2)年产量为多少时，当年公司所得到的利润最大？
(3)年产量为多少时，当年公司不亏本？(取＝4.65)
【错解】 (1)设年产量为x百件．
∴f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)．
(2)f(x)＝－(x－4.75)2＋.
∴当x＝4.75(百件)时，
f(x)max＝(万元)．
(3)∵f(x)≥0，∴－(x－4.75)2＋≥0.
∴－≤x－4.75≤.
∴0.1≤x≤9.4.
∴年产量在10件～940件之间不亏本．
【正解】 (1)利润y是生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与总成本C(x)之差．依题意，当x≤5时，产品能全部售出；当x>5时，只能售出500件．
所以y＝
＝
(2)当0≤x≤5时，y＝－x2＋4.75x－0.5.
当x＝－＝4.75(百件)时，
ymax＝10.781
25(万元)
当x>5(百件)时，y<12－0.25×5＝10.75(万元)，
所以当生产475件时，利润最大．
(3)要使企业不亏本，即要求
或
解得5≥x≥4.75－＝0.1或5∴企业年产量在10件到4
800件之间时，企业不亏本．
【错因分析】 解答忽视了条件“市场对产品的需求量为500件”．事实上，当产品生产量超过500件时，市场销售量最多只能是500件．因此这时不能用R(x)＝5x－表示收入，而是R(5)．
某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( B )
A．[5,6)
B．(5,6]
C．[6,7)
D．(6,7]
解析：若按x千米(x∈Z)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．
一、选择题
1．一根蜡烛长20
cm，点燃后每小时燃烧5
cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的( B )
解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图像知应选B.
2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( C )
A．y＝t3
B．y＝log2t
C．y＝2t
D．y＝2t2
解析：符合指数函数模型．
二、填空题
3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．
解析：设销售单价应涨x元，则实际销售单价为(10＋x)元，
此时日销售量为(100－10x)个，
每个商品的利润为(10＋x)－8＝2＋x(元)，
∴总利润y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200
＝－10(x－4)2＋360(0∴当x＝4时y有最大值，此时单价为14元．
4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2
000·ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的e6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12
000时，2
000·ln(1＋)＝12
000，
∴ln(1＋)＝6，∴＝e6－1.
三、解答题
5．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6
000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．
(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲，y乙与购买台数x之间的函数关系式；
(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？
解：(1)y甲＝
＝
y乙＝5
100x(x∈N)．
(2)当x≤10时，显然y甲>y乙；
当x>10时，令y甲>y乙，即4
200x＋18
000>5
100x，
解得x<20.
答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．
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