第一章 集 合
§1 集合的含义与表示
知识点一 元素与集合的相关概念
[填一填]
[答一答]
1．(1)集合中的元素可以是相同的吗？
提示：不可以．集合中的元素必须是不同的，同一个元素在一个集合中只可以出现一次，即集合中的元素是互异的．
(2)判断一组对象能否构成集合的关键是什么？
提示：关键是这些对象是否满足确定性与互异性．
知识点二 元素与集合的关系及元素的特性
[填一填]
(1)元素a与集合A的关系：
关系
(2)集合元素的特性：集合中元素的特性为确定性、互异性、无序性．
[答一答]
2．(1)元素与集合之间除了“∈”和“?”外，还有其他关系吗？
提示：没有．元素与集合之间只有两种关系，任何一个元素与一个集合间，两种关系必有一种成立．
(2)如何判定一个元素是否属于某个集合？
提示：判定一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否符合集合中元素的特征性质，只有符合其特征性质才是这个集合中的元素．
知识点三 列举法
[填一填]
把集合中的所有元素都列举出来，写在大括号“{ }”内表示集合的方法．
[答一答]
3．(1)列举法是否可以表示所有的集合呢？说明理由．
提示：不可以．对于集合中元素个数有无限个且没有规律的集合是不可以用列举法表示的．
(2)用列举法表示集合的关键是什么？
提示：关键是找到集合中的所有元素，并把它们一一列举出来或找到其呈现的规律．
知识点四 描述法
[填一填]
集合的特征性质及描述法
(1)集合的特征性质：
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．
(2)描述法表示集合：
[答一答]
4．(1)是否存在集合既可以用列举法表示又可以用描述法表示？请举例说明．
提示：存在．比如正奇数的集合可以表示为{1,3,5，7，…}，也可以表示为{x|x＝2n＋1，n∈N}．但是也有些集合是不可以的，如大于1的实数只能用描述法表示为{x|x>1，x∈R}．
(2)集合A＝{x|x>1}与B＝{t|t>1}是否表示同一个集合？
提示：是．虽然表示代表元素的字母不同，但都表示由大于1的所有实数组成的集合，因而表示同一个集合．
1．对集合概念的两点说明
(1)集合是数学中不加定义的原始概念，我们只对它进行描述性说明．
(2)集合是一些能够确定的不同的对象的整体，其中“整体”已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦构成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而并非个别对象．
2．0、含有一个元素0的集合A、?，三者之间的区别与联系
(1)0与A是不同的，0只是一个数字，而集合A则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是0∈A.
(2)?与A是不同的，?中没有任何元素，而A则表示含有一个元素0的集合，它们之间的关系是两个集合之间的关系．
3．对集合的分类的两点说明
(1)集合通常是按照集合中元素个数来分类，如果集合中有有限个元素，则为有限集；如果是有无限个元素，则为无限集．
(2)常见的自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集都是无限集，它们的表示符号一定要牢记．
4．列举法表示集合时应关注的五点
(1)用列举法表示集合时首先要注意元素是数、点，还是其他的对象，即确定性．
(2)元素之间用“，”隔开而非“；”．
(3)元素不能重复且无遗漏．
(4)“{ }”本身带有“所有的…”或“…的全体(全部)”的意思，因此在大括号内表示内容时，应把“所有”“全部”或“全体”等词语删去．
(5)表示有特殊规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才可以用省略号．
5．描述法表示集合应关注的五点
(1)写清楚集合中代表元素的符号，如实数或有序实数对(点)，注意集合中对代表元素符号的范围进行限制，若没有注明范围，一般是在实数范围内考虑问题．
(2)说明该集合中元素具有的性质，如方程、不等式、函数或几何图形等．
(3)描述部分若出现元素符号以外的字母时，要对新字母说明其含义并指出其取值范围．
(4)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述的语句力求简明、确切．
(5)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，并且所有描述的内容都要写在集合符号内.
类型一 集合的概念
【例1】 判断下列每组对象能否构成一个集合：
(1)数学必修1课本中所有的难题；
(2)满足不等式2x－1≥1的x的值；
(3)方程x2－3x＋1＝0在实数范围内的解；
(4)π的近似值的全体．
【思路探究】 此类题目应先分析各组对象是否具有确定性和互异性，然后再作判断．
【解】 (1)“难题”无明确的标准，对于某个题是否“难”无法客观地判断，故“数学必修1课本中所有的难题”不能构成一个集合．
(2)任意给一个实数x，可以明确地判断x是不是“满足不等式2x－1≥1的x的值”，即“x≥1”与“x<1”两者必居其一，且仅居其一，故“满足不等式2x－1≥1的x的值”能构成一个集合．
(3)任意给一个实数x，可以明确地判断x是不是方程x2－3x＋1＝0在实数范围内的解，即“x2－3x＋1＝0”与“x2－3x＋1≠0”两者必居其一，且仅居其一，故“方程x2－3x＋1＝0在实数范围内的解”能构成一个集合．
(4)“π的近似值”没有明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是π的近似值，故“π的近似值的全体”不能构成一个集合．
规律方法
判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合的元素．
下列各组对象能构成集合的有1个．
(1)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上的若干个点；
(3)不超过2
019的非负数．
解析：(1)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．
(2)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上的若干个点”不能构成一个集合．
(3)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过2
019的非负数”，即“0≤x≤2
019”与“x<0或x>2
019”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2
019的非负数”能构成一个集合．
类型二 元素和集合的关系
【例2】 (1)若3∈{m－1,3m，m2－1}，则m＝____.
(2)若2?{x|x－a≥0}，则实数a的取值范围是________．
【思路探究】 当a∈A时，若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征．若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素．当a?A时，结论相反．
【解析】 (1)因为3∈{m－1,3m，m2－1}，所以当m－1＝3时，m＝4，此时3m＝12，m2－1＝15，符合题意．当3m＝3时，m＝1，此时，m－1＝0，m2－1＝0，不符合集合中元素的互异性．当m2－1＝3时，m＝2或－2，若m＝2，则m－1＝1,3m＝6，符合题意；若m＝－2，则m－1＝－3,3m＝－6，符合题意．
综上知m＝4,2或－2.
(2)由2?{x|x－a≥0}得2－a<0，所以a>2.
【答案】 (1)4,2或－2 (2)a>2
规律方法
a∈A与a?A取决于a是不是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A，在a∈A与a?A这两种情况中必有一种且只有一种成立．
已知集合M中有两个元素3，m＋1，又4∈M，则实数m的值为( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由题意得m＋1＝4，即m＝3.
类型三 集合的表示
【例3】 用适当的方法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)式子＋(a≠0，b≠0)的所有值组成的集合C；
(3)不等式2x－7<3的解集A；
(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【思路探究】 (1)用列举法表示集合的关键是把集合的元素全部找出来，再按列举法的规则正确表示．
(2)用描述法表示集合的关键是正确描述出集合元素的共同特征，再按描述法的格式正确表示．
【解】 (1)大于1且小于6的整数有2,3,4,5，所以集合A＝{2,3,4,5}．
(2)当a>0，b>0时，＋＝2.当a<0，b<0时，＋＝－2.当a>0，b<0时，＋＝0.当a<0，b>0时，＋＝0.所以集合C＝{－2,0,2}．
(3)解2x－7<3得x<5，所以A＝{x|x<5}．
(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0，所以D＝{(x，y)|x·y＝0，x∈R，y∈R}．
规律方法
列举法表示集合时要注意集合元素的互异性、无序性和确定性，元素与元素之间用“逗号”隔开．集合所含元素较少或所含元素不易表述时适用列举法．
描述法表示集合时要表述清楚元素的属性．集合所含元素较多或所含元素较易表述时适用描述法．常用的点集与数集的表示要区分开．
用适当的方法表示下列集合．
(1)所有能被3整除的整数；
(2)满足方程x＝|x|的所有x的值构成的集合．
解：(1)能被3整除的整数可以表示为3n(n∈Z)，所以用描述法表示为{x|x＝3n，n∈Z}．
(2){x|x＝|x|}或{x|x≥0}．
类型四 集合表示法的综合应用
【例4】 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}．
(1)若A中没有任何元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求实数a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
(4)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【思路探究】 集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0的解构成的集合．二次项系数a在整个实数范围内取值，要对a＝0和a≠0进行分类讨论．A中只有一个元素，可以是方程只有一个根，也可以是方程有两个等根．
【解】 (1)若A中没有任何元素，则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实根．当a＝0时，x＝－，不符合题意；
当a≠0时，由Δ＝4－4a<0，解得a>1，
∴当a>1时，A中没有任何元素．
(2)若A中只有一个元素，则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个实数根或有两个相等的实数根．
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1；
当a＝0时，x＝－，符合题意．
∴当a＝0或1时，A中只有一个元素．
(3)由(2)知，A中只有一个元素时，a＝0或a＝1.
A中有两个元素时，有解得a<1，且a≠0，
综上，当a≤1时，A中至少有一个元素．
(4)若A中至多有一个元素，综合(1)(2)知a的取值范围为a≥1或a＝0.
规律方法
本题考查了数学建模、数据分析及数学运算的素养．分类讨论思想适用于解决从整体上难以解决的数学问题．运用该思想时，把问题进行科学规划非常必要，必须遵循不重、不漏和最简的原则．
(1)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2}，若x∈A，且x?B，则x＝( A )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：只有元素－1满足x∈A，且x?B.
(2)若集合P含有两个元素1,2，集合Q含有两个元素1，a2，且P，Q相等，则a＝±.
解析：由P，Q相等，得a2＝2，从而a＝±.经检验，符合题意．
——易错误区——
忽略集合中元素的互异性
【例5】 已知集合A是由1,3，a2＋a，a＋1四个元素构成的，若a∈A，求实数a的值．
【错解】 ①若a2＋a＝a，则a＝0；
②若a＋1＝a，则a∈?.
所以实数a的值为0,1,3.
【正解】 ①当a＝1时，集合A中元素为1,3,2,2，不满足集合中元素的互异性，舍去；
②当a＝3时，集合A中元素为1,3,12,4，符合题意；
③当a＝a2＋a，即a＝0时，集合A中元素为1,3,0,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
④当a＝a＋1时，a不存在．
综上所述，实数a的值为3.
【错因分析】 错解忽略了当a＝0或a＝1时，集合A中的元素不满足互异性．
【防范措施】 集合中元素要求具备“确定性”“互异性”“无序性”，在解题时应特别留意互异性，否则极易出现增解．
已知集合A中含有三个元素0,1，x，若x2∈A，求实数x的值．
分析：既然x2是集合中的元素，则它既可能是1，也可能是0，或者是x，需对其进行分类讨论．
解：(1)当x2＝0时，得x＝0，此时集合A中有两个相同的元素，舍去．
(2)当x2＝1时，得x＝±1.
若x＝1，此时集合A中有两个相同的元素，舍去；
若x＝－1，此时集合A中有三个元素0,1，－1，符合题意．
(3)当x2＝x时，得x＝0或x＝1，由上可知都不符合题意．
综上可知，符合题意的x的值为－1.
一、选择题
1．下列语句所描述的对象的全体能构成集合的是( C )
A．校内喜欢体育的学生
B．本班视力良好的学生
C．参与国庆60周年大阅兵的所有徒步方队
D．本班身材高大的学生
解析：判断所给的对象能否构成集合，关键是理解集合的概念，明晰集合中元素的性质，其中“确定性”是关键．选项A中“喜欢”，选项B中“良好”，选项D中“高大”均没有明确的评判标准，所描述的对象不满足集合中元素的确定性，不能构成集合，只有C选项描述的对象可以构成集合．
2．已知集合A表示不等式3－3x>0的解集，则有( C )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A
D．－1?A
解析：3－3x>0可化为x<1,0<1，－1<1，所以0∈A，－1∈A.
二、填空题
3．方程x2－2x＋1＝0的解集中，有1个元素．
解析：解方程x2－2x＋1＝0得x＝1，共有1个元素．
4．用符号“∈”或“?”填空：
(1)π?Q；(2)3.14∈Q；
(3)x2＋1＝0的根?R；(4)∈R.
解析：(1)π是无理数，故π?Q；
(2)3.14是有理数，故3.14∈Q；
(3)x2＋1＝0无实根，故x2＋1＝0的根?R；
(4)为无理数也是实数，故∈R.
三、解答题
5．设集合B＝{x∈Z|∈N}．
(1)试判断元素1，－1与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
解：(1)当x＝1时，＝3∈N.
当x＝－1时，＝?N.
因此1∈B，－1?B.
(2)∵x∈Z，∈N，∴3－x＝1,2,3,6.
此时x＝2,1,0，－3.
∴B＝{2,1,0，－3}．
PAGE§2 集合的基本关系
知识点一 子集的有关概念
[填一填]
1．Venn图
通常用平面上封闭曲线的内部代表集合．用Venn图表示集合的优点：形象直观．
2．子集
(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．
(2)符号语言：记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
(3)图形语言：用Venn图表示．
3．真子集
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A?B(B?A)．
4．集合相等
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A和集合B相等，记作A＝B.
[答一答]
1．若A?B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？
提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．
2．“∈”与“?”有什么区别？
提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“?”表示集合与集合之间的关系．
3．“?”与“<”一样吗？
提示：不一样，“?”表示集合与集合之间的关系；“<”表示代数式间的关系．
4．如何判断两个集合是否相等？
提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断；
方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足A?B且B?A.
知识点二 空集
[填一填]
不含任何元素的集合叫作空集，记为?，并规定：空集是任何集合的子集．
[答一答]
5．0，{0}，?，{?}有何区别？
提示：
?与0
?与{0}
?与{?}
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
?是集合；0是实数
?不含任何元素；{0}含一个元素0
?不含任何元素；{?}含一个元素，该元素是空集?
关系
0??
??{0}
??{?}或?∈{?}
知识点三 子集、真子集的性质
[填一填]
由子集、真子集和空集的概念可得：
(1)空集是任何集合的子集，即??A；
(2)任何一个集合是它自身的子集，即A?A；
(3)空集只有一个子集，即它自身；
(4)对于集合A，B，C，由A?B，B?C可得A?C；
(5)对于集合A，B，C，由A?B，B?C可得A?C.
[答一答]
6．对于集合A、B、C，如果A?B，B?C，则A?C，若A?B，B?C呢？若A?B，B?C呢？
提示：A?C；A?C.
7．分别写出集合{a}，{a，b}和{a，b，c}的所有子集，通过子集个数你能得出一个规律吗？
提示：集合{a}的所有子集是?，{a}，共有2个子集；
集合{a，b}的所有子集是?，{a}，{b}，{a，b}，共有4个，即22个子集；
集合{a，b，c}的所有子集可以分成四类：即?；含一个元素的子集：{a}，{b}，{c}；含两个元素的子集{a，b}，{a，c}，{b，c}；含三个元素的子集{a，b，c}．共有8个，即23个子集．
规律：集合{a1，a2，a3，…，an}的子集有2n个；真子集有(2n－1)个；非空真子集有(2n－2)个．
1．对子集概念的解读
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，即若x∈A，则一定有x∈B.
(2)注意误区：不能把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为A＝?时，A中不含任何元素，但有A?B；当A＝B时，A中含有B中的所有元素，也有A?B.
(3)当A不是B的子集时，记作“A?B(或B?A)”．
2．对真子集的理解
(1)若A是B的真子集，则A一定是B的子集，且A≠B.
(2)A是B的真子集，我们还可以理解为：A中所有元素都是B中的元素，但在B中至少存在一个元素不是A中的元素．
3．关于空集的两点说明
(1)空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素．注意?和{?}是有区别的，?是不含任何元素的集合，而{?}集合中含有一个元素?.
(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．因此遇到诸如A?B或A?B的问题时，务必优先考虑A＝?是否满足题意．
4．子集关系与其特征性质之间的关系
若A是B的子集，则由集合A中元素的特征性质可以推出集合B中元素的特征性质，反之，若由集合A中元素的特征性质可以推出集合B中元素的特征性质，则A是B的子集．
类型一 集合中子集个数的求解
【例1】 已知a是给定实数，那么集合A＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( )
A．1
B．2
C．4
D．不确定
【思路探究】 先确定集合A中的元素个数，再求其子集个数．
【解析】 方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝9－4(－a2＋2)＝1＋4a2>0，所以方程有两个不相等的实数根，故集合A中有2个元素，所以集合A的子集共有22＝4个．
【答案】 C
规律方法
1.当一个集合的元素个数较少时，可以用列举法写出它的全部子集、真子集，从而子集、真子集个数也可求出．
2．当一个集合的元素个数较多时，它的子集、真子集的个数可以按以下结论计算：(后续可学习其推导方法)
(1)含有n个元素的集合有2n个子集；
(2)含有n个元素的集合有(2n－1)个真子集；
(3)含有n个元素的集合有(2n－1)个非空子集；
(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
集合{－1,0,1}共有8个子集．
解析：(方法一：列举法)集合{－1,0,1}的子集有：?，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，共8个．
(方法二：公式法)集合{－1,0,1}共有3个元素，故子集的个数为23＝8.
类型二 集合相等及应用
【例2】 已知集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系是( )
A．A?B
B．B?A
C．A＝B
D．A
B
【思路探究】 (1)若集合A，B都是非空的集合，则集合A与集合B相等所表达的意义是：集合A与集合B中的元素是完全相同的，与元素顺序无关．
(2)若A?B且B?A，则A＝B；反之，若A＝B，则A?B且B?A.
【解析】 设x1∈A，则存在n1∈Z，使x1＝(2n1＋1)．
当n1＝2k，k∈Z时，x1＝(2n1＋1)＝(4k＋1)＝k＋，所以x1∈B；当n1＝2k－1，k∈Z时，x1＝(2n1＋1)＝(4k－1)＝k－，所以x1∈B，所以A?B.
设x2∈B，则存在n2∈Z，使x2＝n2±＝(4n2±1)．因为4n2＋1＝2×2n2＋1,4n2－1＝2(2n2－1)＋1，且2n2(n2∈Z)表示所有的偶数，2n2－1(n2∈Z)表示所有的奇数，所以4n2±1(n2∈Z)与2n＋1(n∈Z)都可以表示任意奇数，故x2∈A，所以B?A.综上所述，A＝B.
【答案】 C
规律方法
本题选项基本列出了集合A和集合B之间的四种关系，判断集合A与集合B具体是哪一种关系，应从集合中的元素入手．如本题，应设x1∈A，由元素的特征得出x1∈B，故有A?B.进一步，再判断B中的元素是否满足A中元素的特征．
设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝，则a2
018＋b2
018＝2.
解析：由{1，a＋b，a}＝易知a≠0，a≠1，
故a＋b＝0，且b＝1或＝1.
若b＝1，由a＋b＝0得a＝－1，经验证，符合题意；
若＝1，则a＝b，结合a＋b＝0，可知a＝b＝0，不符合题意．
综上知a＝－1，b＝1.
所以a2
018＋b2
018＝(－1)2
018＋12
018＝2.
类型三 集合关系的判定
【例3】 指出下列各集合之间的关系．
(1)A＝{x|－5
(2)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}；
(3)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}；
(4)A＝{不大于5的自然数}，B＝{小于6的正整数}．
【思路探究】 (1)利用数轴直接判断．
(2)根据集合中元素的特征或集合的几何意义进行判断．
(3)先化简A，B，再进行判断．
(4)用列举法表示出A，B，再进行判断．
【解】 (1)A，B两个集合在数轴上表示如下：
由图易知B?A.
(2)解法1：由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；
由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，故A＝B.
解法2：集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，故A＝B.
(3)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.
(4)A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3,4,5},0∈A，但0?B，其余元素相同，所以B?A.
规律方法
本题考查了集合间基本关系的判断方法，同时体现了数学运算的核心素养．
(1)下列关系正确的是( C )
A．3∈{y|y＝x2＋π，x∈R}
B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．{(x，y)|x2－y2＝1}?{(x，y)|(x2－y2)2＝1}
D．{x∈R|x2－2＝0}＝?
解析：A中，{y|y＝x2＋π，x∈R}＝{y|y≥π}，
∵3<π，∴3?{y|y＝x2＋π，x∈R}，故A错误；
B中，∵a与b不一定相等，∴{(a，b)}与{(b，a)}的元素不一定相同，∴{(a，b)}与{(b，a)}不一定相等，故B错误；
C中，{(x，y)|(x2－y2)2＝1}＝{(x，y)|x2－y2＝1或x2－y2＝－1}，∴{(x，y)|x2－y2＝1}?{(x，y)|(x2－y2)2＝1}，故C正确；
D中，{x∈R|x2－2＝0}＝{，－}≠?，故D错误．故选C.
(2)设集合M＝，N＝，则集合M，N之间的关系是N?M.
解析：对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；而对于集合N，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知N?M.
类型四 应用集合间的关系求参数的值(或范围)
【例4】 (1)已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|x(2)已知集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|4x＋a<0}，若B?A，求实数a的取值范围．
【思路探究】 因为A，B两个集合都是用不等式表示的数集，所以用数轴表示这两个集合，更容易发现它们之间的关系．
【解】 (1)因为A?B，所以集合A，B之间的关系可用下图表示．
由图可得a≥3，即a的取值范围是a≥3.
(2)由题意得B＝{x|4x＋a<0}＝.
因为B?A，所以集合A，B之间的关系可用下图表示．
由图可得－≤－1，即a的取值范围是a≥4.
规律方法
关于两个数集之间的关系问题，常借助数轴，利用数形结合的方法来求解．写结果时，要特别注意不等式的等号能否取到，端点的取舍需代入验证．
设集合A＝{x|a－1(1)当a＝0时，求集合A；
(2)当A?B时，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，A＝{x|－1(2)①当a－1≥2a，即a≤－1时，A＝?，满足A?B，故a≤－1符合题意．
②当a－1<2a，即a>－1时，由A?B得解得2≤a≤3.
综上，实数a的取值范围为a≤－1或2≤a≤3.
——易错警示系列——
忽视空集导致漏解
【例5】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
【错解】 欲使B?A，只需?－3≤m≤3.
∴m的取值范围是－3≤m≤3.
【正解】 ∵A＝{x|－2≤x≤5}，又B?A.
(1)若B＝?，则m＋1>2m－1，即m<2，此时，总有B?A，故m<2.
(2)若B≠?，则m＋1≤2m－1，即m≥2，集合A、B在数轴上表示如图．由B?A得解得2≤m≤3.
综合(1)(2)可知m的取值范围是(－∞，3]．
【错因分析】 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要对B＝?与B≠?两种情况分别讨论确定m的取值范围．
若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B?A，求实数a的取值范围．
解：根据题意得A＝{－3,2}．
而对于集合B中的x2＋x＋a＝0，由于B?A，
故B＝?或B＝{－3}或B＝{2}或B＝{－3,2}．
(1)当B＝?时，Δ＝1－4a<0，即a>时，B?A成立．
(2)当B＝{－3}时，Δ＝1－4a＝0，且(－3)2＋(－3)＋a＝0，此时a不存在．
(3)当B＝{2}时，Δ＝1－4a＝0，且22＋2＋a＝0，此时a不存在．
(4)当B＝{－3,2}时，Δ＝1－4a>0，且(－3)2＋(－3)＋a＝0,22＋2＋a＝0，解得a＝－6.
综上所述，a的取值范围为{a|a>或a＝－6}．
一、选择题
1．已知集合A＝{x|－1A．A>B B．A?B
C．B?A
D．A?B
解析：借助数轴，易知A包含B，即B?A.故选C.
2．在下列各关系中错误的个数是( A )
①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}?{0,1,2}；
④{0,1,2}＝{2,0,1}
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②应该是{1}?{0,1,2}；③、④都正确，故选A.
3．对于集合A，B，若B?A不成立，则下列理解正确的是( D )
A．集合B的任何一个元素都属于A
B．集合B的任何一个元素都不属于A
C．集合B中至少有一个元素属于A
D．集合B中至少有一个元素不属于A
解析：由于B?A不成立，所以集合B中存在元素不属于A，至于有没有元素属于A不能确定．
二、填空题
4．已知集合A＝{－1,3，m}，集合B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝4.
解析：∵B?A，∴B中的元素一定在集合A中，故m＝4.
5．若A?B，A?C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A有4个．
解析：∵A?B且A?C，∴A中最多含0、2两个元素．
故A＝{0}或{2}或?或{0,2}共4个．
三、解答题
6．已知三元素集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．
解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A，∵x≠xy，∴x≠0.
又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.从而x－y＝0，x＝y.
这时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}．
∴x2＝|x|，则x＝0(舍去)或x＝1(舍去)或x＝－1.
经验证x＝－1，y＝－1满足题意．
∴x＝－1，y＝－1.
PAGE§3 集合的基本运算
3．1 交集与并集
知识点一 并集
[填一填]
1．并集的定义
文字语言表述为：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫作A与B的并集，记作A∪B，读作A并B.
符号语言表示为：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．
2．并集的运算性质
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A∪A＝A；
(3)A∪?＝A；
(4)A∪B?A，A∪B?B；
(5)A?B?A∪B＝B.
[答一答]
1．“或”的数学内涵是什么？
提示：“x∈A，或x∈B”包括了三种情况：
①x∈A，但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A，且x∈B.
2．A∪B的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗？
提示：不一定，用Venn图表示A∪B如下：
当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，如上图②③④中，A∪B的元素个数都小于A与B的元素个数的和．
知识点二 交集
[填一填]
1．交集的定义
文字语言表述为：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.
符号语言表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．
2．交集的运算性质
对于任何集合A，B，有
(1)A∩B＝B∩A；
(2)A∩A＝A；
(3)A∩?＝?；
(4)A∩B?A，A∩B?B；
(5)A?B?A∩B＝A.
[答一答]
3．如何理解交集定义中“所有”两字的含义？
提示：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；
②A与B的所有公共元素都属于A∩B；
③当集合A与B没有公共元素时，A∩B＝?.
4．当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？
提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时A∩B＝?.
5．若A∩B＝A，则A与B有什么关系？A∪B＝A呢？
提示：若A∩B＝A，则A?B；
若A∪B＝A，则B?A.
1．对交集概念的四点说明
(1)两个集合中所有相同的元素一定都在它们的交集中．
(2)交集中的元素一定是它们的公共的元素．
(3)用Venn图表示交集如下：
(4)用数学语言表述交集的概念：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
2．对并集概念的三点说明
(1)并集概念中的“或”字与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的，但不是必须兼有的．x∈A，或x∈B包含三种情况：
①x∈A，但x?B；
②x∈B，但x?A；
③x∈A且x∈B.
(2)用Venn图如下所示：
因此A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(3)用数学语言表示并集的概念：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
类型一 交集运算
【例1】 (1)已知A＝{x∈N|x≤5}，B＝{x∈N|x>1}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3,4,5}
B．{2,3,4}
C．{2,3,4,5}
D．{x∈R|1【思路探究】 可用列举法把A、B中元素列出，然后求出A∩B.
【解析】 集合A表示小于或等于5的自然数组成的集合，集合B表示大于1的自然数组成的集合，故A∩B＝{2,3,4,5}．
【答案】 C
(2)已知集合M＝{x|1＋x>0}，N＝{x|>0}，则M∩N等于( )
A．{x|－1≤x<1}
B．{x|x>1}
C．{x|－1D．{x|x≥－1}
【思路探究】 先解不等式，然后画出数轴表示集合，再看它们的公共部分．
【解析】 M＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，N＝{x|>0}＝{x|x<1}．
在数轴上画出集合M和N，根据交集的定义，可得M∩N＝{x|－1【答案】 C
规律方法
用列举法表示的数集在求交集时，可直接通过观察写出两个集合的所有公共元素；用描述法表示的数集在求交集时，如果集合是无限集，且直接观察不出或不易得出运算结果，则应把两个集合在数轴上表示出来，根据交集的定义写出结果．此时要注意：①交集是公共部分；②当端点不在集合中时，在数轴上用“空心圈”表示．
(1)已知集合A＝{x|1≤x≤10，x∈N}，B＝{x|x是小于10的正奇数}，求A∩B.
(2)集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|x2>1}，求A∩B.
解：(1)A＝{1,2,3，…，10}，B＝{1,3,5,7,9}，
∴A∩B＝{1,3,5,7,9}．
(2)A＝{1,3}，B＝{x|x>1，或x<－1}，∴A∩B＝{3}．
类型二 并集运算
【例2】 设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，则A∪B＝( )
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6}
D．{2,4}
【思路探究】 根据并集的定义求解，同时注意集合中元素的互异性．
【解析】 ∵A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，故选C.
【答案】 C
规律方法
“A∪B”是所有属于集合A或属于集合B的元素并在一起所构成的集合．要求A∪B，只需：①把集合A，B中的元素合在一起；②使A，B的公共元素在并集中只出现一次．
设集合A＝{x|－1解析：集合A，B在数轴上的位置如图所示：
由图易知A∪B＝{x|－1类型三 集合中交集和并集运算的综合应用
【例3】 (1)满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有( )
A．10个
B．8个
C．6个
D．4个
(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1求①A∩B；②(A∩B)∪P.
【思路探究】 1.题(1)中根据A∪{－1,1}＝{－1,0,1}，如何确定集合A?
2．题(2)中的集合是无限集，求交集、并集时可借
助什么工具？
【解析】 (1)根据题意分析可得，集合A中必须有元素0，可能含有元素1或－1，由此列举可得全部可能的集合，集合A可能为{0}，{0,1}，{0，－1}，{0,1，－1}，共有4个．
(2)解：①因为A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1②集合A，B在数轴上表示如图，由A∩B＝{x|－1【答案】 (1)D (2)见解析
规律方法
求集合交集和并集的方法
(1)若集合是有限集，常用定义法和Venn图法求解．求解时，一般先把集合中的元素一一列举出来，然后结合集合交集、并集的定义分别求出．
(2)若集合是无限集，常借助数轴求解，求解时，一般先把集合分别表示在数轴上，然后利用交集、并集的定义求解，这样处理比较形象直观．
已知A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,3a－1，a2＋1}，C＝{x|mx＝1}，若A∩B＝{－3}．
(1)求a的值．
(2)若C?(A∩B)，求m的值．
解：(1)由A∩B＝{－3}知，－3∈B，又因为a2＋1>0，所以a－3＝－3或3a－1＝－3，解得a＝0或a＝－.
当a＝0时，A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，A∩B＝{－3,1}≠{－3}，所以a＝0舍去；
当a＝－时，A＝{，，－3}，B＝{－，－3，}，A∩B＝{－3}，符合题意．
综上可知a＝－.
(2)①当m＝0时，C＝?，符合题意．
②当m≠0时，C＝{}，所以＝－3，所以m＝－，
综上，m＝0或m＝－.
类型四 集合交集、并集的运算性质及应用
【例4】 已知集合A＝{x|－3(1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
【思路探究】 先化简集合A，B，再由集合的运算结果确定集合元素之间的关系，并借助数轴求解．
【解】 由题意知A＝{x|－2(1)由A∪B＝B，得A?B.
在数轴上画出集合A，B，如图所示，
有解得－6≤m≤－2.
故实数m的取值范围是－6≤m≤－2.
(2)若使A∩B＝?，则m＋9≤－2或m≥3，解得m≤－11或m≥3.
故实数m的取值范围是m≤－11或m≥3.
规律方法
解决集合问题应注意：
(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
(3)防范空集．在解决有关A∩B＝?，A?B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑?是否成立，以防漏解．
已知集合A＝{x|－4≤x≤9}，B＝{x|m＋1解：由A∪B＝A，得B?A.
当B＝?时，m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠?时，则有－4≤m＋1<2m－1≤9，
转化为不等式组解得2∴m的取值范围是{m|m≤5}．
——易错警示系列——
忽视集合运算中端点值的取舍而致误
【例5】 设常数a>1，集合A＝{x|x≥a或x≤1}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为( )
A．{a|1B．{a|1C．{a|a>2}
D．{a|a≥2}
【错解】 ①D或C ②A
【正解】 B 因为B＝{x|x≥a－1}．A∪B＝R，
所以A?{x|x又A＝{x|x≥a或x≤1}?1≥a－1，
解得1则a的取值范围为{a|1【错因分析】 ①处由A，B的并集是实数集，转化时搞错包含关系从而致误，而选C或选D.
②处容易漏掉等号，从而导致错选A.
设集合A＝{x|a－1解析：因为A∩B＝?，如图所示
或
所以a＋1≤1，或a－1≥5，即a≤0，或a≥6.
一、选择题
1．设集合P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,4}，则P∩Q等于( A )
A．?
B．{－2，－1,0,1,4}
C．{4}
D．{0,1}
解析：∵P与Q没有公共元素，∴P∩Q＝?，故选A.
2．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：把所有情况的M一一列举出来．M可以是{2,3}，{1,2,3}，故选B.
3．设集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则A∪B＝( D )
A．{b}
B．{b，c，d}
C．{a，c，d}
D．{a，b，c，d}
解析：本题考查了集合的并集运算，
∵A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，
∴A∪B＝{a，b，c，d}，属基础容易题．
二、填空题
4．设集合A＝{x|－5≤x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B等于{x|x≤2}．
解析：借助于数轴分别画出集合A，B，如图，
∴A∪B＝{x|x≤2}．
5．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{－3,0,2}．
解析：∵A＝{－3,2}，B＝{0,2}，
∴A∩B＝{2}，A∪B＝{－3,0,2}．
三、解答题
6．已知集合A＝{0,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a值．
(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.
解：(1)∵9∈A∩B，∴9∈A且9∈B，
∴2a－1＝9，或a2＝9，∴a＝5，或a＝±3.
而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．
所以a＝5，或a＝－3.
(2)∵{9}＝A∩B，∴由(1)得a＝5或a＝±3.
当a＝5时，A＝{0,9,25}，B＝{0，－4,9}，
A∩B＝{0,9}，不合题意．
当a＝3时，A＝{0,5,9}，B＝{－2，－2,9}，
B中元素重复，不合题意．
当a＝－3时，A＝{0，－7,9}，B＝{－8,4,9}．
A∩B＝{9}满足题意．
综上，a＝－3.
PAGE3．2 全集与补集
知识点
补集
[填一填]
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
2．补集
3.补集的性质
(1)?UU＝?；(2)?U?＝U；(3)(?UA)∪A＝U；
(4)A∩(?UA)＝?；(5)?U(?UA)＝A.
[答一答]
1．全集包含任何一个元素吗？
?AC与
?BC相等吗？
提示：全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素．
不一定．若A＝B，则?AC＝?BC，否则不相等．
2．如何理解全集与补集的关系？
提示：(1)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(2)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系．
3．设全集U＝{2,3,4,5,6}，?UA＝{3,5}，则A＝______.
提示：A是?UA相对于U的补集，所以A＝{2,4,6}．
1．对全集概念的三点说明
(1)全集的概念可以理解为在研究集合与集合之间的关系时，所要研究的集合都是某一个集合的子集，就把这个给定的集合称为全集．
(2)全集是对于所研究的问题而言的一个概念，它不是一成不变的，它会根据所研究问题的不同而有不同的选择．所以说全集是一个相对的概念．
(3)全集通常用大写的字母U表示，但没有硬性规定，只要交代清楚，可以用任何一个大写的字母来表示全集．
2．对补集概念的两点说明
(1)补集是相对于全集给出的一个概念，如果没有全集也就谈不上补集，当全集变化时，补集也随之变化．所以在说补集时必须交代清楚是相对于哪个全集的补集．
(2)集合A在全集U中的补集隐含着集合A是集合U的子集的条件.
类型一 集合的补集运算
【例1】 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{2,4,5}，集合B＝{1,4,5}，求?UA，(?UA)∪(?UB)．
(2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩(?UB)，(?UA)∪B，(?UA)∪(?UB)．
【思路探究】 这是一类涉及集合补集关系的运算，解决的关键是明确全集，求具体的补集借助于Venn图或数轴求解．
【解】 (1)因为全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
集合A＝{2,4,5}，因此?UA＝{1,3,6,7,8,9}．
又B＝{1,4,5}，则?UB＝{2,3,6,7,8,9}．
所以(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,6,7,8,9}．
(2)首先在数轴上表示出全集U和集合A，B，如下图，
则?UA＝{x|x<－2，或3A∩(?UB)＝{x|2(?UA)∪(?UB)＝{x|x<－2，或2规律方法
1.如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
2．如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意端点值能否取得．
(1)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( D )
A．{1,3,4}
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
解析：由A＝{1,2}，B＝{2,3}得A∪B＝{1,2,3}，所以?U(A∪B)＝{4}．故选D.
(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则?UM等于( C )
A．{x|－2B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|x<－2或x>2}
D．{x|x≤－2或x≥2}
解析：∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴?UM＝{x|x<－2或x>2}．
类型二 利用Venn图进行集合运算
【例2】 集合S＝{x|x≤10，且x∈N＋}，A?S，B?S，且A∩B＝{4,5}，(?SB)∩A＝{1,2,3}，(?SA)∩(?SB)＝{6,7,8}，求集合A和B.
【思路探究】 本题可用直接法求解，但不易求出结果，用Venn图法较为简单．
【解】 解法1：(1)因为A∩B＝{4,5}，所以4∈A,5∈A,4∈B,5∈B.
(2)因为(?SB)∩A＝{1,2,3}，所以1∈A,2∈A,3∈A,1?B,2?B,3?B.
(3)因为(?SA)∩(?SB)＝{6,7,8}，所以6,7,8既不属于A，也不属于B.
因为S＝{x|x≤10，且x∈N＋}，所以9,10不知所属．
由(2)(3)可知，9,10均不属于?SB，所以9∈B,10∈B.
综上可得A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
解法2：如图所示．
因为A∩B＝{4,5}，所以将4,5写在A∩B中．
因为(?SB)∩A＝{1,2,3}，所以将1,2,3写在A中．
因为(?SB)∩(?SA)＝{6,7,8}，
所以将6,7,8写在S中A，B之外．
因为(?SB)∩A与(?SB)∩(?SA)中均无9,10，所以9,10在B中．
故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
规律方法
此题解答中的解法2的巧妙之处就是运用数形结合的方法求解，即利用Venn图将已知条件在图中标出，并从图中找出所求，直观形象，一目了然，省去解法1中的推理．
设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}．求：
(1)A∩B，A∪B；
(2)(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
解：
画出Venn图如图．
(1)A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}．
(2)∵?UA＝{1,2,6,7,8}，
?UB＝{1,2,3,5,6}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{1,2,6}，
(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,5,6,7,8}．
类型三 集合交、并、补的综合应用
【例3】 已知集合A＝{y|y＝x2－2x＋5}，B＝{y|1【思路探究】 集合A＝{y|y＝x2－2x＋5}表示的是二次函数y＝x2－2x＋5的所有函数值组成的集合，故A＝{y|y≥4}，然后利用数轴法来解．
【解】 集合A＝{y|y＝x2－2x＋5}＝{y|y≥4}，在数轴上表示集合A，B，如下图．
由图可得A∪B＝{y|y>1}，?R(A∪B)＝{y|y≤1}，
(?RA)∪B＝{y|y<4}∪{y|1A∪(?RB)＝{y|y≥4}∪{y|y≤1或y≥10}＝{y|y≤1或y≥4}．
规律方法
用不等式表示一个集合元素的特征时，常用数轴法解决问题．
设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,2,3}，B＝{2,3,4}，则(?UA)∪(?UB)等于( C )
A．{0}
B．{0,1}
C．{0,1,4}
D．{0,1,2,3,4}
解析：方法1：由题意，得?UA＝{4}，?UB＝{0,1}，故(?UA)∪(?UB)＝{0,1,4}．
方法2：由题意，得A∩B＝{2,3}，所以?U(A∩B)＝{0,1,4}．因为?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，所以(?UA)∪(?UB)＝{0,1,4}．
类型四 补集运算中的含参问题
【例4】 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x<0，x∈R}．若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
【思路探究】 A∩B≠?说明集合A是由关于x的方程x2－4mx＋2m＋6＝0的实根组成的非空集合，且该方程的实根有以下三种情况：①两负根；②一负根一零根；③一负根一正根．若分别求解，将会比较麻烦，可以采用补集的思想求解，此时需求出A∩B＝?(即关于x的方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负)时实数m的取值范围．
【解】 ∵A∩B≠?，∴A≠?，∴Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0，解得m≤－1或m≥.
故可设全集U＝.
若A∩B＝?，则关于x的方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则
而关于U的补集为{m|m≤－1}，
故实数m的取值范围是m≤－1.
规律方法
利用补集思想解题时，首先要根据题意确定全集U，否则本题会导致的补集是的错误．
已知集合A＝{x|x解析：?RB＝{x|x≤1，或x≥2}，如图所示，
由于A∪(?RB)＝R，所以a≥2.
——规范解答——
由补集关系求参数的取值范围
【例5】 设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1【审题】 抓信息，找思路
(1)审条件：三个集合：全集U，集合M，集合N；一个关系：N??UM.
(2)建联系：求解实数a的取值集合，由于集合M中含有参数a，故把求实数a的取值范围的问题与集合M联系起来．
(3)找思路：根据集合间的关系N??UM，借助数轴列出关于参数a的不等关系，然后求出实数a的取值集合．
【解析】 根据题意可知，N≠?，又因为N??UM，
所以讨论时考虑集合M有空集和非空两种情况①.
若M＝?，则?UM＝R，N??UM显然成立．
于是有3a－1≥2a，得a≥1.
若M≠?，则3a－1<2a，有a<1.
这时?UM＝{x|x≤3a－1，或x≥2a}，
由
N??UM得2a≤－1或3a－1≥3②，
即a≤－或a≥，
又a<1③，故a≤－.
综上所述，a≥1或a≤－.
即a的取值集合为{a|a≥1，或a≤－}．
【点评】 警误区，促提升
失分点1：解题时若未对集合M的情况进行分析，即忽视了对①处的讨论，则会导致讨论不全面而失分．
失分点2：解题时若在②处未考虑端点的等号是否能取到，则会导致答案错误．
失分点3：解题时若忽视③处，即忽视了本例是在大前提a<1的情况下解题的，则会导致答案错误．
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2解：因为A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x<－m}，
又B＝{x|－2分析可知－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是m≥2.
一、选择题
1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?UQ)＝( D )
A．{1,2,3,4,6}
B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5}
D．{1,2}
解析：本题考查了集合的交、补运算，由已知得
P∩(?UQ)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．
2．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则?UA等于( B )
A．{0,1,2,3,4,5,6}
B．{x|x<0，或x>6}
C．{x|0D．{x|x≤0，或x≥6}
解析：由补集定义并结合数轴易知?UA＝{x|x<0，或x>6}，故选B.
3．设集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{3,4}，则?U(A∪B)等于( C )
A．{1,3,4}
B．{1,4}
C．{2}
D．{3}
解析：∵A＝{1,3}，B＝{3,4}，∴A∪B＝{1,3,4}，
又∵U＝{1,2,3,4}，∴?U(A∪B)＝{2}，故选C.
二、填空题
4．已知全集U＝{x|x<3}，集合A＝{x|－1≤x≤2}，则?UA＝{x|2解析：画出数轴，结合补集定义，易知?UA＝{x|25．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(?UC)＝{2,5}．
解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，?UC＝{1,2,5}，
∴(A∪B)∩(?UC)＝{2,5}．
三、解答题
6．设U＝R，已知集合A＝{x|－5(4)B∩(?UA)；(5)(?UA)∩(?UB)．
解：如图1，(1)A∩B＝{x|0≤x<5}．
(2)A∪B＝{x|－5(3)如图2，?UB＝{x|x<0，或x≥7}，
∴A∪(?UB)＝{x|x<5，或x≥7}．
(4)如图3，?UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，
B∩(?UA)＝{x|5≤x<7}．
(5)方法1：∵?UB＝{x|x<0，或x≥7}，
?UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，
∴如图4，(?UA)∩(?UB)＝{x|x≤－5，或x≥7}．
方法2：(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|x≤－5，或x≥7}．
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