单元素养评价(一)
(第9章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.由已知a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b=2×5-a·b=3+2,故a·b=10-5=5.
2.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于
( )
A.-
B.
C.-或
D.0
【解析】选C.因为a∥b,所以1×2-m2=0,所以m=±.
3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由已知得,=(3,-4),所以||=5,因此与同方向的单位向量是=.
4.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=
( )
A.-
B.-
C.+
D.+
【解析】选A.方法一:如图所示,
=+=+=×(+)+(-)=-.
方法二:=-=-=-×(+)=-.
5.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=,则向量a与b的夹角为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.以上都不对
【解析】选C.设向量a与b的夹角为θ,因为a+b+c=0,所以c=-(a+b),所以c2=(a+b)2,
即|c|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos
θ,
所以19=4+9+12cos
θ,所以cos
θ=,
又0°≤θ≤180°,所以a与b的夹角为60°.
6.已知正方形ABCD的面积为2,点P在边AB上,则·的最大值为
( )
A.
B.
C.2
D.
【解析】选C.如图建立平面直角坐标系,则D(,),C(,0),设P(0,t)(0≤t≤),
所以=(,-t),=(,-t),所以·=t2-t+2=+,所以当t=0或时,(·)max=2.
7.已知向量a=,b=(4,4cos
α-),若a⊥b,则sin等于
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.由a⊥b得a·b=0,
即4sin+4cos
α-=0,
所以2sin
α+6cos
α=,sin=,
所以sin=-sin=-.
8.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.3
【解析】选A.以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图的平面直角坐标系,
因为在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,∠BAD=120°,
所以A(0,0),B(1,0),D,
设C(1,m),E(x,y),所以=,
=,因为AD⊥CD,
所以·=0,
即×+=0,
解得m=,即C(1,),
因为E在CD上,所以≤y≤,
由C,E,D三点共线,得=,
即x=y-2,
因为=(x,y),=(x-1,y),
所以·=(x,y)·(x-1,y)=x2-x+y2=(y-2)2-y+2+y2=4y2-5y+6,
令f(y)=4y2-5y+6,y∈.
因为函数f(y)=4y2-5y+6在上单调递减,在上单调递增,所以f(y)min=4×-5×+6=.所以·的最小值为.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法错误的是
( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
【解析】选ABC.向量不能比较大小,但是向量的模是实数,可以比较大小.
10.下列命题错误的是
( )
A.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等
D.若a=b,b=c,则a=c
【解析】选ABC.由于零向量的方向是任意的,且规定与任意向量平行,故取a=0,则对于任意的向量b,都有a∥b,A错误;取b=0,则对于任意的向量a,c都有a∥b,b∥c,B错误;两个单位向量互相平行,方向可能相反,C错误;由两个向量相等的概念可知D正确.
11.已知向量与向量共线,下列关于向量的说法中,正确的为
( )
A.向量与向量一定同向
B.向量与向量一定共线
C.向量与向量一定相等
D.向量与向量一定共线
【解析】选BD.根据共线向量的定义,可知,,这三个向量一定为共线向量,B、D正确.
12.已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+
x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列说法正确的是
( )
A.S有5个不同的值
B.若a⊥b,则Smin与|a|无关
C.若a∥b,则Smin与|b|无关
D.若|b|>4|a|,则Smin>0
【解析】选BD.由已知得,S的取值依据含a2的个数,分三类:有0个a2,有1个a2,有2个a2.分别得S的取值为S1=4|a||b|·cos
θ+b2,S2=
2|a||b|cos
θ+a2+2b2,S3=2a2+3b2(记θ为a,b的夹角).S至多有3个不同的值,故A错误;若a⊥b,则θ=90°,易知Smin=S1=b2=|b|2,与|a|无关,故B正确;若a∥b,则S的三个值均与|b|有关,所以Smin一定与|b|有关,故C错误;若|b|>4|a|,则S1>-16a2|cos
θ|+16a2=16a2(1-
|cos
θ|)≥0,S2>-8a2|cos
θ|+a2+32a2=a2(33-8|cos
θ|)>0,S3>0,所以Smin>0,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知单位向量a,b的夹角为,则|a-b|=________.?
【解析】单位向量a,b的夹角为,则|a-b|=a2-2a·b+b2=1-2×1×
1×+1=1.
答案:1
14.(2020·全国Ⅰ卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=________.?
【解题指南】根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.
【解析】由a⊥b可得a·b=0,
又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),
所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.
答案:5
15.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.?
【解析】因为=+=+=+(+)=2++=2--,所以=-,所以λ+μ=.
答案:
【补偿训练】
如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.?
【解析】设=λ,则=+=-+m+=(m-1)+,
=+=-+.因为与共线,所以(m-1)+=0,所以m=.
答案:
16.已知点P(-3,0),M(1,2),A(0,b),Q(a,0)(a>0)满足·=0,A,M,Q三点共线,则b=________.?
【解析】=(3,b),=(a,-b),由·=0得3a=b2①,=(-1,b-2),
=(a-1,-2),A,M,Q三点共线,所以∥,
即(b-2)(a-1)=2②,由①②及a>0得b=-1或b=3.
答案:-1或3
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知|a|=1,|b|=.
(1)若a∥b且同向,求a·b;
(2)若向量a,b的夹角为135°,求|a+b|.
【解析】(1)若a∥b且同向,则a与b的夹角为0°,此时a·b=|a||b|=.
(2)|a+b|====1.
18.(12分)已知非零向量e1,e2不共线.
(1)如果=e1-e2,=3e1-e2,=3e1-5e2,求证A,B,D三点共线;
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
【解析】(1)因为=e1-e2,=+=3e1-e2+3e1-5e2=6(e1-e2)=6.所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线,所以存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线,只能有所以k=±1.
19.(12分)如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,点F在BC上,且BF=BC.
(1)以a,b为基底表示向量与;
(2)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°,求·.
【解析】(1)由已知得,=+=a+b.
=++=b+a+
=a-b.
(2)由已知得,a·b=|a||b|cos
120°=3×4×=-6,
所以·==|a|2+a·b-|b|2=×32+×(-6)-×42=-.
【补偿训练】
如图,在△ABC中,=2.
(1)若=x+y(x,y为实数),求x,y的值;
(2)若AB=3,AC=4,∠BAC=60°,求·的值.
【解析】(1)因为=2,
所以-=2(-),
=+.
又因为=x+y=(x-y)+y,
所以+=(x-y)+y.
因为与不共线,所以
所以x=1,y=.
(2)·=·(-)=·-+=.
20.(12分)已知a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),且|ka+b|=
|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求出此时a与b的夹角.
【解析】(1)由|ka+b|=|a-kb|,
得(ka+b)2=3(a-kb)2
所以k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2
所以(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
又a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),
故|a|=|b|=1,所以k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
所以a·b==.
(2)由(1)得a·b==.
由函数单调性得f(k)=在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以当k=1时,f(k)min=f(1)=(1+1)=.
设此时a与b的夹角为θ,
则cos
θ==,
又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
21.(12分)已知向量e1,e2,且|e1|=|e2|=1,e1与e2的夹角为.
m=λe1+e2,n=3e1-2e2.
(1)求证:(2e1-e2)⊥e2;
(2)若|m|=|n|,求λ的值;
(3)若m与n的夹角为,求λ的值.
【解析】(1)因为|e1|=|e2|=1,e1与e2的夹角为,所以(2e1-e2)·e2=2e1·e2-=2|e1||e2|cos-|e2|2=2×1×1×-12=0,所以(2e1-e2)⊥e2.
(2)由|m|=|n|得(λe1+e2)2=(3e1-2e2)2,
即(λ2-9)+(2λ+12)e1·e2-3=0.
因为|e1|=|e2|=1,
所以==1,e1·e2=1×1×cos=,
所以(λ2-9)×1+(2λ+12)×-3×1=0,
即λ2+λ-6=0,所以λ=2或λ=-3.
(3)由(2)知==1,e1·e2=,
所以|n|=,
|m|2=(λe1+e2)2=λ2+2λe1·e2+=λ2+λ+1,
所以|m|=,m·n=(λe1+e2)·(3e1-2e2)=3λ+(3-2λ)e1·e2-2=3λ+(3-2λ)×-2=2λ-.
由m·n=|m||n|cos
得2λ-=·×,
化简得3λ2-5λ-2=0,所以λ=2或λ=-.
经检验知λ=-不成立,故λ=2.
22.(12分)已知向量a=和向量b=(1,f(x)),且a∥b.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(2)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f=,BC=,sin
B=,求AC的长度.
【解析】由a∥b得f(x)=sin
x+cos
x
所以f(x)=sin
x+cos
x=2sin,
(1)f(x)的最小正周期为T==2π,
当sin=1时,f(x)max=2.
(2)由f=得2sin
A=,
所以sin
A=,由=,
得AC===2.
PAGE单元素养评价(一)
(第9章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于
( )
A.-
B.
C.-或
D.0
3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为
( )
A.
B.
C.
D.
4.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=
( )
A.-
B.-
C.+
D.+
5.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=,则向量a与b的夹角为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.以上都不对
6.已知正方形ABCD的面积为2,点P在边AB上,则·的最大值为
( )
A.
B.
C.2
D.
7.已知向量a=,b=(4,4cos
α-),若a⊥b,则sin等于
( )
A.-
B.-
C.
D.
8.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.3
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法错误的是
( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
10.下列命题错误的是
( )
A.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等
D.若a=b,b=c,则a=c
11.已知向量与向量共线,下列关于向量的说法中,正确的为
( )
A.向量与向量一定同向
B.向量与向量一定共线
C.向量与向量一定相等
D.向量与向量一定共线
12.已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+
x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列说法正确的是
( )
A.S有5个不同的值
B.若a⊥b,则Smin与|a|无关
C.若a∥b,则Smin与|b|无关
D.若|b|>4|a|,则Smin>0
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知单位向量a,b的夹角为,则|a-b|=________.?
14.(2020·全国Ⅰ卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=________.?
15.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.?
【补偿训练】
如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.?
16.已知点P(-3,0),M(1,2),A(0,b),Q(a,0)(a>0)满足·=0,A,M,Q三点共线,则b=________.?
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知|a|=1,|b|=.
(1)若a∥b且同向,求a·b;
(2)若向量a,b的夹角为135°,求|a+b|.
18.(12分)已知非零向量e1,e2不共线.
(1)如果=e1-e2,=3e1-e2,=3e1-5e2,求证A,B,D三点共线;
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
19.(12分)如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,点F在BC上,且BF=BC.
(1)以a,b为基底表示向量与;
(2)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°,求·.
【补偿训练】
如图,在△ABC中,=2.
(1)若=x+y(x,y为实数),求x,y的值;
(2)若AB=3,AC=4,∠BAC=60°,求·的值.
20.(12分)已知a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),且|ka+b|=
|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求出此时a与b的夹角.
21.(12分)已知向量e1,e2,且|e1|=|e2|=1,e1与e2的夹角为.
m=λe1+e2,n=3e1-2e2.
(1)求证:(2e1-e2)⊥e2;
(2)若|m|=|n|,求λ的值;
(3)若m与n的夹角为,求λ的值.
22.(12分)已知向量a=和向量b=(1,f(x)),且a∥b.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(2)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f=,BC=,sin
B=,求AC的长度.
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