课时素养评价
一 向
量
概
念
(15分钟 30分)
1.给出下列命题:
①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量;
②温度有零上温度和零下温度,因此温度也是向量;
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量;
④坐标平面上的x轴和y轴都是向量.
其中正确的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.①根据作
用力与反作用力的概念可知作用力与反作用力是一对共线向量;②温度只有大小没有方向,所以不是向量;③如图可知,是共线向量;④x轴和y轴只有方向,没有大小,所以不是向量.所以只有①③正确.
2.如图,在四边形ABCD中,=,则相等的向量是
( )
A.与
B.与
C.与
D.与
【解析】选D.由=知四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质知,||=||,且方向相同.
3.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定不成立的是
( )
A.||=||
B.与共线
C.与共线
D.=
【解析】选C.对于A,因为四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,因此||=||一定成立,故A不符合题意;对于B,根据菱形的性质,与共线一定成立,故B不符合题意;对于D,根据菱形的性质,与方向相同且模相等,因此=
一定成立,故D不符合题意;选C.
4.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K,L,M,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中,与向量相等的向量是________.?
【解析】因为K,L分别是AB,BC的中点,连接AC,所以KL∥AC,KL=AC,
同理MN∥AC,MN=AC,
所以KL∥MN,KL=MN,所以=.
答案:
5.在如图的方格纸上,每个小正方形的边长都是1,已知向量a.
(1)试以点B为终点画一个向量b,使b=a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并画出向量c的终点组成的图形.
【解析】(1)如图所示,向量即为所求向量b.
(2)向量即为一个所求向量c,向量c的终点组成的图形是一个以点A为圆心,以为半径的圆,如图所示.
【补偿训练】
如图是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量表示马走了“一步”,也可以跳到A2处,用向量表示.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
【解析】如图,马在B处只有3步可走,马在C处有8步可走,人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.下列命题中,正确命题的个数是
( )
①单位向量都共线;②长度相等的向量都相等;
③共线的单位向量必相等;④与非零向量a共线的单位向量是.
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选D.根据单位向量的定义,可知①②③明显是错误的;对于④,与非零向量a共线的单位向量是或-,故④也是错误的.
2.设O是△ABC的外心,则,,是
( )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.平行向量
D.起点相同的向量
【解析】选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心,所以点O到三个顶点A,B,C的距离相等,所以,,是模相等的向量.
3.(2020·杭州高一检测)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是
( )
A.=
B.∥
C.与共线
D.=
【解析】选D.如图,因为与方向相同,长度相等,所以A正确;
因为B,O,D三点在一条直线上,所以∥,所以B正确;
因为AB∥CD,所以与共线,所以C正确;
因为与方向不同,所以≠,D错误.
4.(多选题)在下列结论中,正确的结论为
( )
A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件
B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件
C.a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件
D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
【解析】选ACD.若a=b,则a与b方向相同,模相等,所以A对,B错,C对,D对.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.下列说法正确的有________.?
①终点相同的两个向量不共线
②若|a|>|b|,则a>b
③单位向量的长度为1
【解析】①中,两向量终点相同,若夹角是0°或180°,则共线.②中,向量是既有大小,又有方向的量,不可以比较大小.③正确.
答案:③
6.如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,在这6个向量中:
(1)有两个向量的模相等,这两个向量是__________,它们的模都等于________.?
(2)存在着共线向量,这些共线的向量是__________,它们的模的和等于________.?
【解析】(1)模相等的两个向量是,,
||=||==.
(2)共线的向量是,,
且||+||=2+3=5.
答案:(1), (2), 5
【补偿训练】
将本题条件改为如图所示的向量a,b,c,d,e(小正方形的边长为1):
(1)写出图中的共线向量;
(2)写出图中模相等的向量.
【解析】(1)a,d是共线向量,b,e是共线向量.
(2)a,c,d是模相等的向量.
三、解答题
7.(10分)一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出,,,;
(2)求B地相对于A地的位移.
【解析】(1)根据题意,可在题目给出的坐标系中作图,向量,,,如图所示:
(2)由题意得=.所以AD与BC平行且相等,所以四边形ABCD为平行四边形,所以=.则B地相对于A地的位移为“北偏东60°,6千米”.
PAGE课时素养评价
二 向量的加减法
(15分钟 30分)
1.已知下列各式:①++;②+++;③+++.其中结果为零向量的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.++=0;
+++=+++=0;+++=+.
所以结果为零向量的个数为2.
2.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于
( )
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
【解析】选A.=-=(+)-
=a+c-b.
3.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,则-+等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.-+=++=+0=.
4.(2020·绍兴高一检测)化简:(+)+(+)+=________.?
【解析】(+)+(+)+=(+)+(++)=+0=.
答案:
5.如图,在正五边形ABCDE中,若=a,=b,=c,=d,=e,求作向量a-c+b-d-e.
【解析】a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e)=(+)-(++)
=-=+.
如图,连接AC,并延长至点F,使CF=AC,
则=,所以=+,
即为所求作的向量a-c+b-d-e.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是
( )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
【解析】选D.+=,根据平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外.
2.作用在同一物体上的两个力F1=60
N,F2=60
N,当它们的夹角为120°时,则这两个力的合力大小为
( )
A.30
N
B.60
N
C.90
N
D.120
N
【解析】选B.
如图所示,由平行四边形法则作出F1与F2的合力F,
由题意可知△OF1F为正三角形,所以F=60
N.
3.如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,
=c,则等于
( )
A.a+b
B.b-a
C.c-b
D.b-c
【解析】选D.===-=b-c.
4.(多选题)下列说法正确的是
( )
A.若+=,则-=
B.若+=,则+=
C.若+=,则-=
D.若+=,则+=
【解析】选ABC.由向量的减法就是向量加法的逆运算可知,A,B,C都正确.由相反向量定义知,若+=,则+=--=-(+)=-,故D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
①+=________;?
②+=________.?
【解析】如题干图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知:
①+=+=;
②+=+=.
答案:① ②
6.若P为△ABC的外心,且+=,则∠ACB=________.?
【解析】因为+=,则四边形APBC是平行四边形.
又P为△ABC的外心,所以||=||=||.
因此,∠ACB=120°.
答案:120°
三、解答题
7.(10分)如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d;
(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
【解析】(1)在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.
(2)在平面内任取一点O,作=a,=e,
则a+e=+=,因为e为单位向量,
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,
所以||即|a+e|最大,最大值是3.
【补偿训练】
如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,设=a,=b,=c,求证:b+c-a=.
【证明】方法一:因为b+c=+=+=,+a=+=,
所以b+c=+a,即b+c-a=.
方法二:因为c-a=-=-=,=+=-b,
所以c-a=-b,即b+c-a=.
PAGE课时素养评价
三 向量的数乘
(15分钟 30分)
1.下列说法中正确的是
( )
A.λa(λ∈R)与a的方向不是相同就是相反
B.若a,b共线,则b=λa(λ∈R)
C.若|b|=2|a|,则b=±2a
D.若b=±2a,则|b|=2|a|
【解析】选D.显然b=±2a时,必有|b|=2|a|.
2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是
( )
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
【解析】选A.++=a+2b+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3(a+2b)
==3,所以A,B,D三点共线.
3.(2020·铜仁高一检测)在△ABC中,点D为AB边上一点,且=,则=
( )
A.+
B.--
C.-+
D.+
【解析】选A.因为=,
所以-=,
所以=+.
【补偿训练】
设D为△ABC所在平面内一点,=3,则
( )
A.=-+
B.=-
C.=+
D.=-
【解析】选A.由题意知=+=+=+(-)
=-+.
4.已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则λ等于________.?
【解析】因为向量a+λb与b+λa的方向相反,所以(a+λb)∥(b+λa),即存在一个负实数m,使得a+λb=m(b+λa),即(1-mλ)a=(m-λ)b.
因为a与b不共线,所以1-mλ=m-λ=0,可得m=λ<0,所以1-λ2=0,所以λ=-1.
答案:-1
5.化简:(1)×3a;
【解析】(1)原式=a=-a;
(2)原式=2a-2b-b+a=a-3b;
(3)原式=a-b+c-a-b+c
=-a-b+c.
(4)原式=a+
b
=a+b.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.点P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在
( )
A.△ABC内部
B.AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D.BC边所在的直线上
【解析】选B.因为=λ+,
所以-=λ.
所以=λ.所以P,A,C三点共线.
所以点P一定在AC边所在的直线上.
2.已知a,b是两个不共线的向量,=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),若A,B,C三点共线,则
( )
A.λ1=λ2=-1
B.λ1=λ2=1
C.λ1λ2+1=0
D.λ1λ2-1=0
【解析】选D.若A,B,C三点共线,则,共线,所以存在实数λ,使得=λ,即a+λ2b=λ(λ1a+b),即(λλ1-1)a=(λ2-λ)b,由于a,b不共线,所以1=λλ1且λ2=λ,消去λ得λ1λ2=1.
3.(2020·潍坊高一检测)△ABC内,点O满足+2+3=0,直线AO交BC于点D,则下列正确的是
( )
A.3+2=0
B.2+3=0
C.-5=0
D.5+=0
【解析】选B.因为+2+3=0,
所以2(+)=-(+).
设E,F分别为AC,BC的中点,
则2·2=-2?=-2,
所以O是线段EF的三等分点,
所以==×=,因为OF∥AB,所以===,所以=,所以==,所以=-?2+3=0,由=得=,所以=-?+5=0.
综上分析可知,只有选项B正确.
4.(多选题)下列命题中,正确的是
( )
A.0·a=0
B.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相反
C.若b=λa(a≠0),则=λ
D.若|b|=|λa|(a≠0),则=|λ|
【解析】选BD.A错误,0·a=0;B正确,λμ<0知λ,μ符号相反;根据向量数乘的概念及其几何意义可知,C错误,D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设向量a=3i+2j,b=2i-j,则
=________.?
【解析】原式=a-b-a+b+2b-a
=a+b
=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)
=i+j=-i-5j.
答案:-i-5j
6.如图所示,在?ABCD中,=a,=b,AN=3NC,M为BC的中点,则=________(用a,b表示).?
【解析】因为=3,M为BC的中点,则=+=-=-(+)=-=(b-a).
答案:(b-a)
三、解答题
7.(10分)如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近点B,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.
(1)试用a,b表示,,;
(2)证明:B,E,F三点共线.
【解题导引】(1)根据平面向量的三角形法则,用,表示出向量,和即可;
(2)用a,b表示出向量,,证明与共线,从而证明B,E,F三点共线.
【解析】(1)在△ABC中,=a,=b,
所以=-=b-a,
=+=+
=a+=a+b,
=+=-+=-a+b;
(2)=-a+b,
=+=-+
所以与共线,且有公共点B,
所以B,E,F三点共线.
PAGE课时素养评价
四 向量的数量积
(20分钟 35分)
1.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b等于
( )
A.
B.
C.1+
D.2
【解析】选B.a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos
60°=1+=.
2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)=
( )
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选A.
=2a2-b2+a·b
=2-3+1××=.
3.(2020·广州高一检测)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=
-3,则a与b的夹角是
( )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
【解析】选B.设a与b的夹角为θ,
则cos
θ===-,
因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.
【补偿训练】
已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.|a-b|=
==,
设向量a与a-b的夹角为θ,
则cos
θ===,
又因为θ∈[0,π],所以θ=.
4.如图,AB是圆C的弦,设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为________(用a或b表示).?
【解析】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,则向量在向量上的投影向量为.
因为CA=CB,所以D是AB的中点,
所以==.
答案:
5.△ABC三边的长分别为AC=3,BC=4,AB=5,若=,=,则·=________.?
【解析】由题知·=(+)·
=(+)·
=·
=+·=×42+0=.
答案:
6.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.
【解析】设a与b的夹角为θ,
由已知条件得
即
②-①得23b2-46a·b=0,
所以2a·b=b2,代入①得a2=b2,
所以|a|=|b|,所以cos
θ=
因为θ∈[0,π],所以θ=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在△ABC中,若·+=0,则在上的投影向量为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为0=·+=·(+)=·,所以⊥,又与的夹角为锐角,所以在上的投影向量为.
2.设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.设a与b的夹角为θ.
因为a·b=|a|·|b|cos
θ=|a|·|b|,
所以cos
θ=1,即a与b的夹角为0°,故a∥b;
而当a∥b时,a与b的夹角为0°或180°,
所以a·b=|a|·|b|cos
θ=±|a|·|b|,
所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件.
【补偿训练】
若|a|=1,|b|=2,则|a·b|的值不可能是
( )
A.0
B.
C.2
D.3
【解析】选D.由向量数量积的性质知|a·b|≤|a||b|=2.
3.如图,AB是圆O的直径,P是圆弧AB上的点,M,N是AB上的两个三等分点,且AB=6,则·=
( )
A.3
B.4
C.6
D.8
【解析】选D.·=(+)·(+)=-=8.
【补偿训练】
已知正三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,那么a·b+b·c+c·a的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+
2(a·b+b·c+c·a)=0,所以3+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-.
4.已知非零向量a与b的夹角为,且|b|=1,|a+2b|=2,则|a|=
( )
A.1
B.2
C.3
D.23
【解析】选B.方法一:因为|a+2b|=2,
所以|a|2+4a·b+4|b|2=4,又a与b的夹角为,|b|=1,
所以|a|2-2|a|+4=4,
所以|a|2-2|a|=0,又a≠0,所以|a|=2.
方法二:如图1,设a=(m,0)(m>0),
因为a与b的夹角为,|b|=1,
所以b=,
所以a+2b=(m-1,).
因为|a+2b|=2,所以(m-1)2+3=4.
因为m>0,所以m=2,|a|=2.
方法三:在如图2所示的平行四边形中,因为|b|=1,
所以|2b|=2,又a与b的夹角为,|a+2b|=2,
所以此平行四边形是菱形,所以|a|=2.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的是
( )
A.
B.a-b
C.a+b
D.a-b
【解析】选AD.因为a,b是单位向量,且夹角为60°,所以a·b=,|a|=|b|=1;
所以=×3=1,
=a2-a·b+b2=,
=a2+a·b+b2=,
(a-b)2=a2-2a·b+b2=1,
所以和a-b是单位向量.
6.已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则下列结论正确的是
( )
A.e1,e2的夹角是
B.e1,e2的夹角是或
C.|=1或
D.|e1+e2|=1或
【解析】选BC.因为e1,e2是两个单位向量,
且|e1+λe2|的最小值为,
所以(e1+λe2)2的最小值为,
所以(e1+λe2)2=λ2+2e1·e2λ+1=+,所以e1与e2的夹角为或,
所以|e1+e2|2=1或3,所以|e1+e2|=1或.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,·(2a-3b)=12,则|b|=________;?
b在a上的投影向量的模等于________.?
【解析】a·b=|a||b|cos
45°=4|b|cos
45°=2|b|,又·(2a-3b)
=|a|2+a·b-3|b|2
=16+|b|-3|b|2=12,
解得|b|=或|b|=-(舍去).
b在a上的投影向量的模为||b|cos
45°|
=cos
45°=1.
答案: 1
8.(2019·全国Ⅲ卷改编)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,a与c的夹角为θ,则cos
θ=________.?
【解析】因为c2=(2a-b)2
=4a2+5b2-4a·b=9,
所以|c|=3,
因为a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,
所以cos
θ===.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·株洲高一检测)如图所示,在平行四边形ABCD中,若AB=8,
AD=5,=3,
(1)若∠BAD=,求||的值;
(2)若·=2,求·的值.
【解析】(1)在平行四边形ABCD中,AB=8,AD=5,=3,当∠BAD=时,=+=+,
所以=+·+
=52+×5×8×cos
+×82=39,
所以||=;
(2)=+=+,
=+=-,
所以·=·
=-·-
=25-·-×64=2,
解得·=22.
【补偿训练】
已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.
(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;
(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos
120°
=4×2×=-4.
又|3a-4b|2=(3a-4b)2
=9a2-24a·b+16b2
=9×42-24×(-4)+16×22=304,
所以|3a-4b|=4.
(2)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=42+2a·b+22=(2)2,
所以a·b=-4,
所以cos
θ===-.
又θ∈[0,π],所以θ=.
10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角,求实数t的取值范围.
【解析】当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.
设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,
则所以
由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角,
得
所以(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,
化简得2t2+15t+7<0.解得-7所以所求实数t的取值范围是
∪.
【补偿训练】
已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
【解析】由题意得a·b=|a||b|cos
60°=2×3×=3,
又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,
所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,
又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,
所以3λ2+13λ+3>0,
解得λ>或λ<.
但是当λ=1时,向量a+λb与λa+b共线,
其夹角不是锐角,故λ的取值范围是
∪∪(1,+∞).
1.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则给出下列结论:
①·=-;
②+=-
;
③在向量上的投影向量的模为.
其中正确结论的个数为
( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选B.·=1×1×cos
135°=-,所以①正确;+=
=-,所以②正确;显然||≠1,在向量上的投影向量的模为≠,所以③错误.
2.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+tb.
(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;
(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直?
【解析】(1)|u|2=|a+tb|2=(a+tb)·(a+tb)
=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2
因为b是非零向量,所以|b|≠0,
所以当t=时,|u|=|a+tb|的值最小.
(2)垂直.因为b·(a+tb)=a·b+t|b|2
=a·b+=a·b-a·b=0,
所以b⊥(a+tb),即b⊥u.
PAGE课时素养评价五 平面向量基本定理
(15分钟 30分)
1.设e1,e2是平面内一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是
( )
A.e1-e2与e2-e1
B.2e1+3e2与-4e1-6e2
C.e1+2e2与2e1-e2
D.-e1+e2与e1-e2
【解析】选C.因为只有不共线的两个向量才能作为基底,选项A、B、D中的两个向量都是共线的,不可以作为基底.选项C中的两个向量不共线,可作为基底.
2.(2020·湖州高一检测)在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+
y,且=2,则
( )
A.x=,y=
B.x=,y=
C.x=,y=
D.x=,y=
【解析】选A.因为=2,
所以+=2+2,
即3=2+,所以=+,
即x=,y=.
3.(2020·长沙高一检测)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么=
( )
A.-
B.+
C.-
D.+
【解析】选C.=+=+
=-.
【补偿训练】
如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则=
( )
A.+
B.+
C.+
D.+
【解析】选D.根据题意得:=(+),
又=+,=,
所以=
=+.
4.如图所示,在6×4的方格中,每个小正方形的边长为1,点O,A,B,C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点),则·=________.?
【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2,则|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
由题图可知,=3e1+2e2,=6e1-3e2,
·=(3e1+2e2)·(6e1-3e2)
=18+3e1·e2-6=12.
答案:12
5.(2020·台州高一检测)如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,
=2,=2.
(1)求CD的长;
(2)求·的值.
【解析】(1)因为=2,所以=,
所以=-=-,
所以=
=
==,
即CD的长为;
(2)=-=-+
=-(-)+=+,
所以·=·
=+·
=+×2×3×=.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于
( )
A.a-b
B.2(b-a)
C.2(a-b)
D.b-a
【解析】选B.如图,a=(+),
b=(+),相减得b-a=(-),
所以=2(b-a).
2.如图,在平行四边形ABCD中,AE=AB,CF=CD,G为EF的中点,则=
( )
A.-
B.-
C.-
D.-
【解析】选A.在平行四边形ABCD中,
AE=AB,CF=CD,G为EF的中点,
=+=+=+(+)=+
=+=-.
3.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满足的关系式是
( )
A.x+y-2=0
B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0
D.2x+y-2=0
【解析】选A.由=λ,
得-=λ(-),
即=(1+λ)-λ.
又2=x+y,
所以消去λ得x+y=2.
【补偿训练】
设a,b为平面内所有向量的一组基底,已知向量=a-kb,=2a+b,
=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于
( )
A.2 B.-2 C.10 D.-10
【解析】选A.=++=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ使得=λ,即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.因为a,b为基底向量,
所以解得λ=,k=2.
4.(多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组,其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是
( )
A.
与
B.与
C.与
D.与
【解析】选AC.对于A,与不共线;对于B,=-,则与共线;对于C,与不共线;对于D,=-,则与共线.由平面向量基底的概念知A、C中的向量组可以作为平面的基底.
【补偿训练】
(2020·德州高一检测)若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是
( )
A.=a-b
B.=-a+b
C.=-a-b
D.=a+b
【解析】选BC.因为点D为边BC的中点,
所以=+=+=a+b,
所以=-a-b;因为点E为边CA的中点,所以==-a+b;
因为点F为边AB的中点,
所以=+=--
=-a-b;因为=+=a+b,
所以=-=-a-b.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点,且=x,=y,则3x+y的最小值为________.?
【解析】因为G是△ABC的重心,所以=+,又=x,=y,所以=+,因为M,G,N三点共线,所以+=1,所以3x+y=
(3x+y)=1+++≥+2=.当且仅当=,即x=,
y=时,等号成立,故3x+y的最小值为.
答案:
6.方格纸中向量a,b,c如图所示,若c=λa+μb,则λ+μ=________.?
【解析】设水平向右,竖直向上的单位向量分别为e1,e2,
则a=e1+3e2,b=3e1-e2,c=5e1+5e2,
又c=λa+μb,所以
所以即λ+μ=3.
答案:3
三、解答题
7.(10分)(2020·锦州高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若=a,=b.
(1)试以a,b为基底表示,;
(2)求证:A,G,C三点共线.
【解析】(1)=-=b-a,
=-=a-b;
(2)因为D,G,F三点共线,所以与共线,
所以存在实数λ,使得=λ,
所以=+λ
=b+λ=λa+b,
因为B,G,E三点共线,所以与共线,
所以存在实数μ,使得=μ,
所以=+μ=a+=a+μb,因为a,b不共线,
所以解得λ=μ=,
所以=(a+b)==,
所以A,G,C三点共线.
【补偿训练】
如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,
=b.
(1)用a,b表示,,,,;
(2)求证:B,E,F三点共线.
【解析】(1)如图所示,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,==(a+b),==(a+b),==b,
=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).
(2)由(1)知,=,所以,共线,又,有公共点B,所以B,E,F三点共线.
PAGE课时素养评价
六 向量坐标表示及线性运算坐标表示
(15分钟 30分)
1.已知向量a=(1,2),a+b=(3,2),则b=
( )
A.(1,-2)
B.(1,2)
C.(5,6)
D.(2,0)
【解析】选D.b=a+b-a=(3,2)-(1,2)=(2,0).
2.(2020·南充高一检测)已知A(1,1),B(-2,2),O是坐标原点,则+=
( )
A.(-1,3)
B.(3,-1)
C.(1,1)
D.(-2,2)
【解析】选D.因为B(-2,2),O是坐标原点;
所以+==(-2,2).
3.(2020·沂水高一检测)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=
( )
A.(2,4)
B.(3,5)
C.(1,1)
D.(-1,-1)
【解析】选C.=-=-
=-(-)=(1,1).
4.如图,向量a,b,c的坐标分别是________,__________,________.?
【解析】将各向量分别向基底i,j所在直线分解,则a=-4i+0·j,所以a=(-4,0);b=0·i+6j,所以b=(0,6);c=-2i-5j,所以c=(-2,-5).
答案:(-4,0) (0,6) (-2,-5)
5.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,,的坐标.
【解析】正三角形ABC的边长为2,
则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos
60°,2sin
60°),
所以C(1,),D,
所以=(2,0),=(1,),
=(1-2,-0)=(-1,),
==.
【补偿训练】
如图,取与x轴、y轴同向的两个单位向量i,j作为基底,分别用i,j表示,,,并求出它们的坐标.
【解析】由题图可知,=6i+2j,=2i+4j,=-4i+2j,它们的坐标表示为=(6,2),=(2,4),=(-4,2).
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为
( )
A.(2,0)
B.(-3,6)
C.(6,2)
D.(-2,0)
【解析】选A.=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),
设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),
所以即所以N为(2,0).
2.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),
(-1,3),(3,4),则向量的坐标是
( )
A.(2,2)
B.(3,-1)
C.(-3,1)
D.(4,2)
【解析】选B.因为平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),
所以=(-2,1)-(-1,3)=(-1,-2),
==(3,4)-(-1,3)=(4,1).
所以=+=(-1,-2)+(4,1)
=(3,-1).
3.(2020·宁波高一检测)已知A(-1,2),B(2,-1),若点C满足+=0,则点C坐标为
( )
A.
B.(-3,3)
C.(3,-3)
D.(-4,5)
【解析】选D.设C(x,y),由A(-1,2),B(2,-1),
得=(x+1,y-2),=(3,-3);
又+=0,所以=-,即
解得所以点C坐标为(-4,5).
4.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任意一向量a,下列结论中正确的是
( )
A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)
B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2
C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O
D.若x,y∈R,a的起点坐标是(1,1),且a的终点坐标是(x,y),则a=(x-1,y-1)
【解析】选AD.由平面向量基本定理知A正确;若a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;根据向量坐标的计算方法可知D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),||
=2||,则的坐标是________.?
【解析】由点C是线段AB上一点,||=2||,得=-2.设点B为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2).则解得所以向量的坐标是(4,7).
答案:(4,7)
6.已知与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,若=-4i+3j,
=i-6j,O为坐标原点,向量与互为相反向量,则点M的坐标为________.?
【解析】因为=-4i+3j,=i-6j,所以=,=,所以=+=+=,又因为向量与互为相反向量,所以=-=,所以点M的坐标为.
答案:
三、解答题
7.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),
(1)若=+,求点P的坐标;
(2)若++=0,求的坐标.
【解析】(1)因为=(1,2),=(2,1),
所以=(1,2)+(2,1)=(3,3),
即点P的坐标为(3,3).
(2)设点P的坐标为(x,y),
因为++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).
PAGE课时素养评价
七 向量数量积的坐标表示
(15分钟 30分)
1.已知两个非零向量a,b满足2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),则a·b的值为
( )
A.1
B.-1
C.0
D.-2
【解析】选B.因为2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),所以5a=2+=,所以a=,所以b=(4,5)-2(1,3)=(2,-1),所以a·b=2-3=-1.
2.(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=
( )
A.
B.2
C.5
D.50
【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|==.
【补偿训练】
已知向量a=(1,2),b=(-1,x),若a∥b,则|b|=
( )
A.
B.
C.
D.5
【解析】选C.因为向量a=(1,2),b=(-1,x),a∥b,所以=,解得x=-2,
所以|b|==.
3.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选C.2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),
a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)·(a-b)=9,|2a+b|=3,|a-b|=3.
设所求两向量的夹角为α,
则cos
α==,
因为0≤α≤π,所以α=.
4.在△ABC中,∠C=90°,=(k,1),=(2,3),则k的值为________.?
【解析】因为=-=(2,3)-(k,1)
=(2-k,2),=(2,3),
所以·=2(2-k)+6=0,所以k=5.
答案:5
5.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:
(1)2+的模;(2)cos∠BAC.
【解析】(1)如图,
=(-1,1),=(1,5),
故2+=(-2,2)+(1,5)=(-1,7),
故|2+|==5;
(2)cos∠BAC==
=
=.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是
( )
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
【解析】选A.
设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),
=(2,0),所以·=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-12.已知=(3,-1),n=(2,1)且n·=7,则n·=
( )
A.-2
B.2
C.-2或2
D.0
【解析】选B.n·=n·(-)=n·-n·=7-(2,1)·(3,-1)=7-(6-1)=2.
3.(2020·岳阳高一检测)设向量a=(3,-4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为
( )
A.(-6,8)
B.(6,8)
C.(-6,-8)
D.(8,-6)
【解析】选A.向量a=(3,-4),向量b与向量a方向相反,设b=(3x,-4x),x<0,
则|b|==-5x=10,解得x=-2,
所以向量b的坐标为(-6,8).
4.(多选题)设向量a=,b=,则下列叙述错误的是
( )
A.若k<-2,则a与b的夹角为钝角
B.的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个为
D.若=2,则k=2或-2
【解析】选CD.对于选项A,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,则k-2<0且-k≠2,解得k<2且k≠-2,故选项A正确,不符合题意;对于选项B,=≥2,当且仅当k=0时,等号成立,故选项B正确,不符合题意;
对于选项C,=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为或,故选项C错误,符合题意;
对于选项D,=2=2,即=2,解得k=±2,故选项D错误,符合题意.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点,N是边BC的中点,则·的最大值是________.?
【解析】以A为坐标原点,
AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,那么有=(1,-2),设M点坐标为(x,y),则=(x,y),其中0≤x≤2,-2≤y≤0,
·=x-2y,当x取得最大值2,y取得最小值-2时,·取得最大值6.
答案:6
6.设平面向量a=(cos
α,sin
α)(0≤α<2π),b=,若两个向量a+b与a-b的模相等,则角α=__________.?
【解析】|a|=1,|b|=1,由题意知(a+b)2=(a-b)2,化简得a·b=0,
所以-cos
α+sin
α=0,所以tan
α=.
又0≤α<2π,所以α=或α=.
答案:或
【补偿训练】
已知向量a=(λ,2),b=(-1,1),若=,则λ的值为________.?
【解析】结合条件可知,=
,
得到a·b=0,代入坐标,得到λ×+2=0,解得
λ=2.
答案:2
三、解答题
7.(10分)已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,-1).
(1)若|c|=3,且c∥a,求向量c的坐标;
(2)若b是单位向量,且a⊥(a-2b),求a与b的夹角θ.
【解析】(1)设c=(x,y),由|c|=3,c∥a可得
所以或
故c=(-3,3)或c=(3,-3).
(2)因为|a|=,且a⊥(a-2b),
所以a·(a-2b)=0,即a2-2a·b=0,
所以a·b=1,故cos
θ==,又θ∈[0,π],所以θ=.
PAGE课时素养评价
八 向量平行的坐标表示
(20分钟 35分)
1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为
( )
A.
B.
C.(3,2)
D.(1,3)
【解析】选A.设点D(m,n),则由题意得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4),故
解得即点D.
2.已知向量a=(1-sin
θ,1),b=,且a∥b,则锐角θ等于
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
【解析】选B.由a∥b,可得(1-sin
θ)(1+sin
θ)-=0,即cos
θ=±,而θ是锐角,故θ=45°.
3.已知向量a=与向量b=(x2,2x)共线,则实数x的值为
( )
A.-3
B.-3或0
C.3
D.3或0
【解析】选B.向量a=与向量b=(x2,2x)共线,则2x-x2=0,即x2+3x=0,解得x=0或x=-3,所以实数x的值为-3或0.
4.已知A,B,C三点共线,且A(-3,6),B(-5,2),若C点的纵坐标为6,则C点的横坐标为
( )
A.-3
B.9
C.-9
D.3
【解析】选A.设C(x,6),
因为A,B,C三点共线,所以∥,
又=(-2,-4),=(x+3,0),
所以-2×0+4(x+3)=0.所以x=-3.
5.(2020·嘉定高一检测)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,-2),点P满足=-3,则点P的坐标为________.?
【解析】设P(x,y),因为=-3,
所以(x,y)=-3(4-x,-2-y),
(x,y)=(-12+3x,6+3y),
解得所以P(6,-3).
答案:(6,-3)
6.已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).与是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?
【解析】=(0,4)-(2,1)=(-2,3),
=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),
因为(-2)×(-6)-3×4=0,
所以,共线.
又=-2,所以,方向相反.
综上,与共线且方向相反.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分.多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=,=,则等于
( )
A.(-2,7)
B.(-6,21)
C.(2,-7)
D.(6,-21)
【解析】选B.因为点Q是AC的中点,
所以=,所以=2-,
因为=,=,
所以=,又=2,
所以=3=.
【补偿训练】
在?ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对称中心为O,则等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.=-=-(+)
=-(1,10)=.
2.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中,正确的个数是
( )
①存在实数x,使a∥b;
②存在实数x,使(a+b)∥a;
③存在实数x,m,使(ma+b)∥a;
④存在实数x,m,使(ma+b)∥b.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.由a∥b得x2=-9,无实数解,①不对;又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,无实数解,②不对;
因为ma+b=(mx-3,3m+x),
而(ma+b)∥a,所以(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,无实数解,③不对;由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,④正确,综上,正确的个数为1.
【补偿训练】
已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么
( )
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
【解析】选D.因为a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),显然,c与d不平行,排除A、B.若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=a-b=-(-1,1),即c∥d且c与d反向.
3.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=
( )
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
【解题指南】建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.利用勾股定理可得x,通过Rt△ABE的边角关系,可得E的坐标,设=m+n,通过坐标运算性质即可得出.
【解析】选A.如图所示,建立平面直角坐标系.
不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.
所以x2+4x2=1,解得x=.
设∠BAE=θ,则sin
θ=,cos
θ=.
所以xE=cos
θ=,yE=sin
θ=.
设=m+n,
则=m(1,0)+n(0,1).
所以m=,n=.所以=a+b.
4.(多选题)下列向量中,与向量c=(2,3)共线的向量有
( )
A.(3,2)
B.
C.
D.
【解析】选BCD.由向量平行的坐标表示,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0可知,只有选项A与已知向量不共线.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与4b-2a平行,则实数x=________.?
【解析】a+b=(1,1)+(2,x)=(3,x+1),
4b-2a=4(2,x)-2(1,1)=(6,4x-2),
因为a+b与4b-2a平行,所以3(4x-2)-6(x+1)=0.即12x-6-6x-6=0,解得x=2.
答案:2
6.已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),且点P在第一、三象限的角平分线上,则λ=________.?
【解析】因为=+λ,
所以=+=++λ=+λ=(5,4)+λ(5,7)=(5+5λ,4+7λ),
由题意,可知5+5λ=4+7λ,得λ=.
答案:
三、解答题
7.(10分)已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,
=,
求证:∥.
【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
依题意有=(2,2),=(-2,3),
=(4,-1),
因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).
所以点E的坐标为.
同理点F的坐标为,=.
又×(-1)-4×=0,所以∥.
PAGE课时素养评价
九 向
量
应
用
(20分钟 35分)
1.如图,在重600
N的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( )
A.300
N,300
N
B.150
N,150
N
C.300
N,300
N
D.300
N,300
N
【解析】选C.作?OACB,使∠AOC=30°,
∠BOC=60°.在?OACB中,
∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,
||=||·cos
30°=300
N,||=||·sin
30°=300
N,||=||=
300
N.
2.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为
( )
A.
B.2
C.5
D.10
【解析】选C.因为·=0,所以AC⊥BD.
所以四边形ABCD的面积S=||||=××2=5.
3.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为
( )
A.v1-v2
B.v1+v2
C.|v1|-|v2|
D.
【解析】选B.由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.
4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且=,则
( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
【解析】选B.由=,得2=3-,即2(-)=-,
即2==-,即=-,
所以点P在线段AB的反向延长线上.
5.正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,则cos∠DOE=________.?
【解析】以OA,OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,
由题意知:=,
=,
故cos∠DOE===.
答案:
6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB.
【证明】以C为坐标原点,边CB,CA所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
由题意得,A(0,m),B(n,0),则=(n,-m),
因为D为AB的中点,
所以D,=.
所以||=,||=,
所以||=||,即CD=AB.
(30分钟 50分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为
( )
A.(-2,4)
B.(-30,25)
C.(10,-5)
D.(5,-10)
【解析】选C.设运动5秒后点P在点M(x,y)处,则=5v,所以(x,y)=(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).
2.已知△ABC满足=·+·+·,则△ABC是
( )
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选C.由题意得,=·+·+·=·(+)+
·=+·,所以·=0,
所以⊥,即CA⊥CB,所以△ABC是直角三角形.
3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=
( )
A.-
B.
C.0
D.
【解析】选B.如图建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),
所以=(-3,-4),=(3,-4).
又∠BDC为,的夹角,
所以cos∠BDC===.
4.如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,∠BAC=60°,则||=
( )
A.1
B.2
C.
D.5
【解析】选C.根据题意,O为BC的中点,
所以=(+),||2=(+2·+)=(12+2×1×3×cos
60°+32)=,所以||=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知i,j,k为共面的三个单位向量,且i⊥j,则(i+k)·(j+k)的可能取值有
( )
A.1-
B.-1-
C.-1
D.+1
【解析】选ACD.由i⊥j得i·j=0,又i,j为单位向量,则|i+j|=
=,则(i+k)·(j+k)=i·j+(i+j)·k+k2=(i+j)·k+1
=|i+j|cos+1=
cos+1,由-1≤cos≤1,得(i+k)·(j+k)的取值范围是[1-,1+].
6.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则a与b的关系有可能是
( )
A.b=a
B.b=a3+
C.b=a3-
D.b=a3
【解析】选BD.由题意,知=(0,b),=(a,a3),=(a,a3-b).因为△OAB为直角三角形,所以①若⊥,则·=0,即a3b=0,当b=0时,点O与点A重合;当a=0时,点O与点B重合,故a3b≠0,即OA与OB不垂直.
②若⊥,则·=0,
即b(a3-b)=0,又b≠0,故b=a3.
③若⊥,则·=0,即a2+a3(a3-b)=0,又a≠0,故a3+-b=0,即b=a3+.
故当△OAB为直角三角形时,
有b=a3或b=a3+.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图所示,在倾斜角为37°(sin
37°≈0.6),高为2
m的斜面上,质量为5
kg的物体m沿斜面下滑至底部,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为________J,重力所做的功为________J(g=
9.8
m/s2).?
【解析】物体m的位移大小为|s|=≈(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|cos
90°=0(J);重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|·
sin
37°≈5×9.8××0.6=98(J).
答案:0 98
8.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为________.?
【解析】如图,D为BC边的中点,
则=(+).
因为3--=0,
所以3=2,
所以=,
所以S△ABM=S△ABD=S△ABC.
答案:1∶3
四、解答题
9.(10分)一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1
000
km到达B地,因大雾无法降落,故转向C地飞行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A,C两地相距
2
000
km,求飞机从B地到C地的位移.
【解析】方法一:由题意得||=1
000
km,
||=2
000
km,∠BAC=60°,
所以||2=|-|2=+||2-2||·||·cos
60°
=2
0002+1
0002-2×2
000×1
000×
=3×106,
所以||=1
000
km,
所以||2+||2=||2,所以∠ABC=90°.
取AC的中点D,
由||=2||且∠BAD=60°,
知的方向为正南方向,有∠ABD=60°,
于是∠DBC=30°.
所以飞机从B地到C地的位移的大小为1
000
km,方向为南偏西30°.
方法二:建立如图所示的平面直角坐标系,
并取a=500,
则=(2acos
150°,2asin
150°)=(-a,a),
=(4acos
210°,4asin
210°)
=(-2a,-2a),
所以=(-a,-3a),||=2a,
即||=1
000(km).
又cos∠ACB===,
所以∠ACB=30°.
结合图形可知的方向为南偏西30°,所以飞机从B地到C地的位移的大小为
1
000
km,方向为南偏西30°.
PAGE
