课时素养评价
十八 复数的概念
(20分钟 35分)
1.(2020·潍坊高一检测)下列命题正确的是
( )
A.(-i)2=-1
B.-i2=-1
C.若a>b,则a+i>b+i
D.若z∈C,则z2>0
【解析】选A.=i2=-1,A正确;-i2=-=1,B错误;虚数无法比较大小,C错误;若z=i,则z2=-1<0,D错误.
【补偿训练】
若a,b∈R,
且a>b,那么
( )
A.ai>bi
B.a+i>b+i
C.ai2>bi2
D.bi2>ai2
【解析】选D.虚数不能比较大小,故A,B错;
因为
i2=-1,a>b,所以
ai22.如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为
( )
A.1
B.0
C.-1
D.-1或1
【解析】选B.由题意知解得m=0.
3.适合x-3i=(8x-y)i的实数x,y的值为
( )
A.x=0且y=3
B.x=0且y=-3
C.x=5且y=3
D.x=3且y=0
【解析】选A.依题意得解得
4.以i-的虚部为实部,以8i2+i的实部为虚部的复数是________.?
【解析】i-的虚部为,8i2+i=-8+i的实部为-8.
答案:-8i
5.满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的实数对(x,y)表示的点的个数为________.?
【解析】由题意知
解得或所以实数对(x,y)表示的点有,,共有2个.
答案:2
6.已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,则当实数m为何值时,复数z(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.
【解析】(1)当m2-m-6=0,
即m=3或m=-2时,z为实数.
(2)当m2-m-6≠0,即m≠-2且m≠3时,z是虚数.
(3)当即m=-1时,z是纯虚数.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·北京高一检测)已知i是虚数单位,a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.复数a+bi是纯虚数,则
所以“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件.
2.(2020·武汉高一检测)已知a为实数,若复数z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,则复数z的虚部为
( )
A.3
B.6i
C.±3
D.6
【解析】选D.因为z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,所以解得a=3,所以z=6i,则复数z的虚部为6.
3.(2020·三亚高二检测)已知复数z=x+yi,则
( )
A.z2≥0
B.z的虚部是yi
C.若z=1+2i,则x=1,y=2
D.z为实数时,x+y=0
【解析】选C.对于A选项,取z=i,则z2=-1<0,A选项错误;对于B选项,复数z的虚部为y,B选项错误;对于C选项,若z=1+2i,则x=1,y=2,C选项正确;对于D选项,z为实数时,y=0,D选项错误.
4.若复数cos
α+isin
α和sin
α+icos
α相等,则α的值为
( )
A.
B.或
C.2kπ+(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
【解析】选D.根据两个复数相等的充要条件建立关系式得cos
α=sin
α,即
tan
α=1,所以α=kπ+(k∈Z).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.对于复数z=a+bi(a,b∈R),下列结论错误的是
( )
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2
C.若b=0,则a+bi为实数
D.z为虚数时,b≠0
【解析】选AB.因为z=a+bi(a,b∈R),
当a=0且b≠0时复数为纯虚数,故A错误;
当b=0时,复数为实数,故C正确;
z为虚数时,b≠0,故D正确;
对于B:a-bi=3+2i,则即故B错误.
6.(2020·扬州高二检测)已知i为虚数单位,下列说法正确的是
( )
A.若x,y∈R,且x+yi=1+i,则x=y=1
B.任意两个虚数都不能比较大小
C.若复数z1,z2满足+=0,则z1=z2=0
D.-i的平方等于1
【解析】选AB.对于选项A,因为x,y∈R,且x+yi=1+i,根据复数相等的性质,则x=y=1,故正确;对于选项B,因为虚数不能比较大小,故正确;对于选项C,因为若复数z1=i,z2=1满足+=0,则z1≠z2≠0,故不正确;对于选项D,因为复数=-1,故不正确.
【补偿训练】
(多选题)(2020·潍坊高二检测)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
( )
A.若x,y∈C,则x+yi=3-2i的充要条件是x=3,y=-2
B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
C.若实数a与ai对应,则实数集与纯虚集一一对应
D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数
【解析】选BD.取x=-2i,y=-3i,则x+yi=3-2i,但不满足x=3,y=-2,故A错误;
?a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;若a=0,则ai不是纯虚数,故C错误;m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是________.?
【思路导引】复数值大于1,则复数必为实数,即虚部为0,实部大于1
.
【解析】因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,
所以即
解得x=-2.
答案:-2
8.复数z=cos+isin,且θ∈,若z是实数,则θ的值为________;若z为纯虚数,则θ的值为________.?
【解析】z=cos+isin
=-sin
θ+icos
θ.
当z是实数时,
cos
θ=0,因为θ∈,
所以θ=±;当z为纯虚数时
又θ∈,所以θ=0.
答案:± 0
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·通化高二检测)已知复数z:m(m-1)+(m2+2m-3)i,当m取何值时复数z是:
(1)实数;(2)纯虚数;(3)z=2+5i.
【解析】(1)因为z为实数,所以m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1,所以当m=-3或m=1时,z为实数;
(2)由z为纯虚数,可得即解得m=0,
所以当m=0时,z为纯虚数;
(3)因为z=2+5i,所以m(m-1)+(m2+2m-3)i=2+5i,所以解得
m=2,所以当m=2时z=2+5i.
10.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},且M∩NM,M∩N≠?,求整数a,b的值.
【解析】若M∩N={3i},则(a+3)+(b2-1)i=3i,即a+3=0且b2-1=3,即a=-3,b=±2.
当a=-3,b=-2时,M={3i,8},N={3i,8},
M∩N=M,不合题意,舍去;
当a=-3,b=2时,M={3i,8},N={3i,8+4i},符合题意,所以a=-3,b=2.
若M∩N={8},则8=(a2-1)+(b+2)i,
即a2-1=8且b+2=0,得a=±3,b=-2.
当a=-3,b=-2时,不合题意,舍去;
当a=3,b=-2时,M={6+3i,8},N={3i,8},符合题意.
所以a=3,b=-2.
若M∩N={(a+3)+(b2-1)i}={(a2-1)+(b+2)i},则即
此方程组无整数解.
综上可得a=-3,b=2或a=3,b=-2.
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十九 复数的加减运算
(15分钟 30分)
1.若z-3+5i=8-2i,则z等于
( )
A.8-7i
B.5-3i
C.11-7i
D.8+7i
【解析】选C.z=8-2i-(-3+5i)=11-7i.
2.复数(1-i)-(2+i)+3i等于
( )
A.-1+i
B.1-i
C.i
D.-i
【解析】选A.(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.
3.定义运算=ad-bc,则(i是虚数单位)为
( )
A.3
B.-3
C.i2-1
D.i2+2
【解析】选B.因为运算=ad-bc,所以=i2-1×2=-1-2=-3.
4.设实数x,y,θ满足以下关系:x+yi=3+5cos
θ+i(-4+5sin
θ),则x2+y2的最大值是________.?
【解析】因为x+yi=(3+5cos
θ)+i(-4+5sin
θ),
所以x2+y2=(3+5cos
θ)2+(-4+5sin
θ)2
=50+30cos
θ-40sin
θ=50+50cos(θ+φ),
其中sin
φ=,cos
φ=.
所以(x2+y2)max=50+50=100.
答案:100
5.(2020·巴楚高二检测)化简下列复数:
(1)+;
(2)+-.
【解析】(1)+,
=+i=9-3i.
(2)+-,
=+i=-11i.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.(2020·银川高二检测)设z1=2-i2,z2=-5+2i,则z1+z2=
( )
A.-2+i
B.-3+2i
C.-3+i
D.-2+2i
【解析】选D.因为z1=2+1=3,z2=-5+2i,所以z1+z2=-2+2i.
2.(2020·连云港高二检测)设复数z1=4+2i,z2=1-3i,则复数z2-的虚部是
( )
A.4i
B.-4i
C.4
D.-4
【解析】选D.z2-=(1-3i)-=-1-4i,
则其虚部是-4.
3.实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是
( )
A.1
B.2
C.-2
D.-1
【解析】选A.z1-z2=y+xi-(yi-x)=x+y+(x-y)i=2,所以所以x=y=1.所以xy=1.
二、多选题(每小题5分,共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.若z1=2a+i,z2=-2+ai(a∈R),且复数z1+z2的实部或虚部为零,则a的值可能为
( )
A.3
B.2
C.1
D.-1
【解析】选CD.z1+z2=2a+i-2+ai=(2a-2)+(1+a)i.所以2a-2=0或1+a=0,所以a=1或a=-1.
【光速解题】选CD.求出z1+z2后,把四个选项逐项代入,验证可立即得到答案.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=________.?
【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以解得a=3.
答案:3
6.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=________,z2=________.?
【解析】z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]
-[(4y-2x)-(5x+3y)i]
=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i,
所以解得
所以z1=5-9i,z2=-8-7i.
答案:5-9i -8-7i
四、解答题
7.(10分)(2020·金华高二检测)证明复数的加法满足交换律、结合律.
【证明】复数的加法满足交换律.
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则有z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,
z2+z1=+(a+bi)=(c+a)+(d+b)i,
因为a+c=c+a,b+d=d+b,所以z1+z2=z2+z1.即复数的加法满足交换律.
复数的加法满足结合律.设z1=a+bi,z2=c+di,z3=e+fi(a,b,c,d,e,f∈R)有+z3=[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)
=[(a+c)+(b+d)i]+(e+fi)
=(a+c+e)+(b+d+f)i,
z1+=(a+bi)+[(c+di)+(e+fi)]
=(a+bi)+[(c+e)+(d+f)i]
=(a+c+e)+(b+d+f)i
所以+z3=z1+,
即复数的加法满足结合律.
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二十 复数的乘除运算
(20分钟 35分)
1.(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.因为==+i,所以复数的虚部为.
【补偿训练】
(2020·沈阳高二检测)已知复数z满足z(1+i)=1-i(i为虚数单位),则z的虚部为
( )
A.-i B.i C.1 D.-1
【解析】选D.因为复数z满足z(1+i)=1-i,
所以z===-i,所以z的虚部为-1.
2.(2020·全国Ⅲ卷)复数·(1+i)=1-i,则z=
( )
A.1-i
B.1+i
C.-i
D.i
【解析】选D.因为====-i,所以z=i.
3.复数=
( )
A.--i
B.-+i
C.-i
D.+i
【解析】选C.因为i2=-1,i3=-i,i4=1,
所以===-i.
4.(2020·天津高二检测)设复数z=(i是虚数单位),则z的共轭复数=________.?
【解析】因为复数z====2-3i,所以z的共轭复数=2+3i.
答案:2+3i
5.(2020·上海高二检测)若2+i(i
是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n等于________.?
【解析】因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,所以2m+n+3+(4+m)i=0,
所以所以m+n=1.
答案:1
6.(2020·咸阳高二检测)计算:(1)(2+i)(2-i);
(2)(1+2i)2;(3)+.
【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.
(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(3)原式=+=i6+i=-1+i.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.满足=i(i为虚数单位)的复数z=
( )
A.+i
B.-i
C.-+i
D.--i
【解析】选B.因为=i,所以z+i=zi,
所以i=z(i-1).
所以z====-i.
2.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·等于
( )
A.
B.
C.1
D.2
【解析】选A.方法一:因为z=
====
=-+,所以=--,所以z·=.
方法二:因为z=,
所以|z|====,
所以z·=.
3.(2020·长春高二检测)若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则a的值为
( )
A.-2
B.2
C.1
D.-1
【解析】选B.===+i,
根据复数为纯虚数故有=0,≠0,即a=2.
【补偿训练】
(2020·郑州高二检测)已知复数z满足(1+i)z=1-3i(i是虚数单位),若复数(1+ai)z是纯虚数,则实数a的值为________;若复数z的共轭复数为,则复数=________.?
【解析】解得z=-1-2i,因为复数(1+ai)z是纯虚数,则(1+ai)(-1-2i)=-1+2a+
(-a-2)i,所以-1+2a=0,且-a-2≠0,所以实数a的值为.因为z的共轭复数为=-1+2i,所以复数=-1-i.
答案: -1-i
4.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则
( )
A.a-5b=0
B.3a-5b=0
C.a+5b=0
D.3a+5b=0
【解析】选D.因为z=+bi=+bi=+i.
由题意知,=--b,则3a+5b=0.
【误区警示】解此题时,一定要特别注意“理想复数”与共轭复数的区别,注意共轭复数的思维定式.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·济南高一检测)下面是关于复数z=的四个命题,其中的真命题为
( )
A.|z|=2
B.z2=2i
C.z的共轭复数为1+i
D.z的虚部为-1
【解析】选BD.因为z===-1-i,所以A:|z|=,B:z2=2i,C:z的共轭复数为-1+i,D:z的虚部为-1.
【光速解题】把复数z化简后,逐项验证,即可得到正确答案.
6.(2020·济南高二检测)下面关于复数的四个说法中,结论正确的是
( )
A.若复数z∈R,则∈R
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z满足∈R,则z∈R
D.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
【解析】选AC.A选项,设复数z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R),因为z∈R,所以b=0,因此=a∈R,即A正确;B选项,设复数z=a+bi(a,b∈R)则z2=
=a2-b2+2abi,
因为z2∈R,所以ab=0,若a=0,b≠0,则z?R,故B错;C选项,设复数z=a+bi(a,b∈R),
则===-i,
因为∈R,所以=0,即b=0,所以z=a∈R,故C正确;D选项,设复数z1=a+bi
(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2==+i,
因为z1z2∈R,所以ad+bc=0,若能满足ad+bc=0,但z1≠,故D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·成都高二检测)已知i2
020(m+ni)=(m∈R,n∈R),则复数z=m+ni的虚部是________.?
【解析】因为i2
020(m+ni)=(m∈R,n∈R),
所以m+ni=-+i,所以z=-+i,
所以复数z的虚部是.
答案:
【补偿训练】
(2020·济南高二检测)(多选题)已知集合M=,其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选BC.根据题意M=中n=4k时,in=1;
n=4k+1时,in=i;n=4k+2时,in=-1;n=4k+3时,in=-i,
所以M=.
选项A中=2?M;
选项B中,==-i∈M;
选项C中,==i∈M;
选项D中=-2i?M.
8.(2020·郑州高二检测)已知:复数z=+,其中i为虚数单位.若z2+a+b=2+3i,则实数a=________,b=________.?
【解析】z=+=2i+i=-1+3i,
由z2+a+b=2+3i得
+a+b=2+3i,
即+i=2+3i
所以解得
答案:-3 7
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·杭州高二检测)已知z=-+.
(1)是z的共轭复数,求++1的值;
(2)求的值.
【解析】(1)由题知=--,所以++1=--+1=0.
(2)因为z3==1,所以1-z2
019=1-=1-1=0.所以=1.
10.(2020·上海高二检测)设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围.
(2)设μ=,求证:μ为纯虚数;
(3)求ω-μ2的最小值.
【解析】(1)因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,
所以ω=z+=x+yi+=x+yi+=x++i,
可得?x2+y2=1,
此时,ω=2x?-(2)因为μ====-i,因为y≠0,-(3)ω-μ2=2x-,然后化简和计算得到ω-μ2=2(x+1)+-3≥
2-3=1.
当且仅当x=0时等号成立,所以ω-μ2的最小值为1.
1.(多选题)对任意复数ω1,ω2,定义ω1
ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:
①
z3=+;
②z1
=+;
③
z3=z1
;
④z1
z2=z2
z1.则真命题是
( )
A.①
B.②
C.③
D.④
【解析】选AB.由题意
z3==z1+z2=+,故①正确;z1
=z1=z1(+)=z1+z1=+,故
②正确;
z3==z1,z1
=z1
=z1
=z1z3,故③不正确;z1
z2=z1,z2
z1=z2,故④不正确.
2.(2020·广州高二检测)设i为虚数单位,n为正整数,θ∈,如果满足=cos
nθ+isin
nθ;
则当z=-i时计算z10.
【解析】z=-i=2×
=2,
由=cos
nθ+isin
nθ得
z10=(-i)10=210
=210
=210=512.
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二十一 复数的几何意义
(20分钟 35分)
1.(2020·周口高二检测)已知复数z1=2+i,z2=1+i,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第四象限
【解析】选D.因为z1=2+i,z2=1+i,
所以===-i,所以在复平面内对应的点为,位于第四象限.
【补偿训练】
已知i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2i,则复平面内与z对应的点在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选A.因为(1+i)z=2i,所以z===1+i,所以复平面内与z对应的点在第一象限.
2.(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则
( )
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
【解析】选C.z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,|z-i|==1,则x2+(y-1)2=1.故选C.
3.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数z2=1-i,则|
+|为
( )
A.
B.
C.2
D.
【解析】选A.因为向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),
所以|
+|=.
4.若|4+2i|+x+(3-2x)i=3+(y+5)i(i为虚数单位),其中x,y是实数,则|x+yi|=
( )
A.5
B.
C.2
D.2
【解析】选A.由已知,
得6+x+(3-2x)i=3+(y+5)i,
所以解得
所以|x+yi|=|-3+4i|=5.
5.(2020·福州高二检测)在复平面中,复数z1,z2对应的点分别为Z1,
Z2.设z1的共轭复数为,则·z2=________.?
【解析】由题意,得z1=1+2i,z2=2-i,所以=1-2i,故·z2=·=-5i.
答案:-5i
6.已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b),(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量,对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
【解析】(1)因为=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),
所以z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,所以z1+z2=(a-4)+(b-4)i,又z1+z2=1+i,
所以所以
所以z1=4-i,z2=-3+2i.
(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,
因为=2,z1-z2为实数,
所以所以
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·南昌高二检测)若复数z=在复平面内对应的点(x,y)满足x+y=0,则=
( )
A.2
B.
C.1
D.2
【解析】选B.因为复数z==-i,
所以复数z=在复平面内对应的点的坐标为,由复数z=在复平面内对应的点(x,y)满足x+y=0可得-1=0?a=2,z=1-i,
==.
2.(2020·绵阳高二检测)定义运算=ad-bc,若复数z满足=0(i为虚数单位),则z的共轭复数在复平面内对应的点在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选A.由题意=-2iz+i=0,
所以z===-i,则=+i,所以在复平面内对应的点的坐标为在第一象限.
3.(2020·无锡高二检测)已知复数z满足:=1,则的最大值为
( )
A.2
B.+1
C.-1
D.3
【解析】选B.设z=x+yi(x,y∈R),由|z-2|=1得圆的方程+y2=1,
又|z-1+i|=表示定点(1,-1)与圆上任一点(x,y)间的距离.则由几何意义得|z-1+i|max=+1=+1.
【补偿训练】
(2020·临泽高二检测)已知复数z满足|z-1+i|=1,则|z+2-3i|的最小值为________.?
【解析】由|z-1+i|=1得
复数z对应的点是圆心为,半径为1的圆上的动点,|z+2-3i|表示的是圆上的点与点的距离,所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即-1=4.
答案:4
4.设复数z满足=+1,z在复平面内对应的点的坐标为,则
( )
A.x2=2y+1
B.y2=2x+1
C.x2=2y-1
D.y2=2x-1
【解析】选B.z在复平面内对应的点的坐标为,则z=x+yi,=x-yi,因为=+1,代入可得=x+1,解得y2=2x+1.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.在复平面内,复数z1,z2对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2,|z2|=,则z2的可取值为
( )
A.4+5i
B.5+4i
C.+i
D.+i
【解析】选BD.设z2=x+yi(x,y∈R),
由条件得,
所以或
所以z2=5+4i或+i.
【光速解题】将选项代入条件|AB|=2,可以直接排除A,C,再将选项B,D代入条件|z2|=验证知BD正确.
6.(2020·苏州高二检测)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是
( )
A.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若=,则⊥
【解析】选CD.满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,A错误;
在B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=.
由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,所以解得所以z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由=
的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法,形成由各点都对应复数的“复平面”,后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.若复数z满足·z=7+i,则z对应的点位于第________象限,|z|=________.?
【解析】z==1-i,则z对应的点位于第四象限;|z|=.
答案:四
8.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=__________.?
【解析】因为|z1|=|z2|=2,
可设z1=2cos
θ+2sin
θ·i,
z2=2cos
α+2sin
α·i,
所以z1+z2=2(cos
θ+cos
α)+2(sin
θ+sin
α)·i=+i,
所以,两式平方作和得:
4(2+2cos
θcos
α+2sin
θsin
α)=4,
化简得cos
θcos
α+sin
θsin
α=-,
所以|z1-z2|=|2(cos
θ-cos
α)+2(sin
θ-sin
α)·i|
=
===2.
答案:2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·连云港高二检测)已知复数z=(m∈R,i是虚数单位).
(1)若z是纯虚数,求实数m的值;
(2)设是z的共轭复数,复数-2z在复平面上对应的点位于第二象限,求实数m的取值范围.
【解析】(1)z==3-2m-i,
因为z为纯虚数,所以解得m=.
(2)因为是z的共轭复数,所以=3-2m+i,所以-2z=2m-3+i.
因为复数-2z在复平面上对应的点位于第二象限,所以解得-10.(2020·济南高二检测)在①<0,②z2+=-2.这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,求出满足条件的复数z,以及.已知复数z1=1+i,z2=a+2i,
,________.若=+,求复数z,以及.?
【解析】方案一:选条件①,因为z1=1+i,
所以==
=,
由于<0,所以解得a=-1.
所以z2=-1+2i,=+=,
从而z====+i,
==.
方案二:选条件②.因为z2=a+2i,所以=a-2i,由z2+=2a=-2,得a=-1,
所以z2=-1+2i,=+=,
从而z====+i,
==.
复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若∠BAC是钝角,求实数c的取值范围.
【解析】在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),所以对应3+4i,对应c+(2c-6)i,由∠BAC是钝角,得cos∠BAC<0,且A,B,C不共线,
cos∠BAC=<0,
即|AB|2+|AC|2-|BC|2<0.
又因为=-对应-3-4i,=-对应(c-3)+(2c-10)i,=-对应c+(2c-6)i,得25+(3-c)2+(2c-10)2-[c2+(2c-6)2]<0,解得c>.
其中当c=9时,A,B,C三点共线,故c≠9.
所以c的取值范围是.
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