课时素养评价
二十二 棱柱、棱锥和棱台
(20分钟 35分)
1.有一个多面体,共有四个面围成,每一个面都是三角形,则这个几何体为
( )
A.四棱柱
B.四棱锥
C.三棱柱
D.三棱锥
【解析】选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.
2.如图所示,在三棱台A′B′C′-ABC中,截去三棱锥A′-ABC,则剩余部分是
( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体
【解析】选B.余下部分是四棱锥A′-BCC′B′.
3.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱对角线的条数共有
( )
A.20条
B.15条
C.12条
D.10条
【解析】选D.如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有两条:AC1,AD1,同理从B,C,D,E点出发的对角线均有两条,所以共2×5=10(条).
4.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2,则上、下底面的面积之比是________.?
【解析】由棱台的结构特征知,棱台上、下底面是相似多边形,面积比为对应边之比的平方.
答案:1∶4
5.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60
cm,则每条侧棱长为________cm.?
【解析】因棱柱有10个顶点,所以该棱柱为五棱柱,共有五条侧棱,所以侧棱长为=12(cm).
答案:12
6.如图,M是棱长为2
cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,求沿正方体表面从点A到点M的最短路程.
【解析】由题意,若以BC(或DC)为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2
cm,3
cm,故两点之间的距离是
cm.若以BB1(DD1)为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是
cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是
( )
【解析】选D.A,B,C中底面图形的边数与侧面的个数不一致,故不能围成棱柱.
2.如图,模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体,则下列选择方案中,能够完成任务的为
( )
A.模块①②⑤
B.模块①③⑤
C.模块②④⑤
D.模块③④⑤
【解析】选A.先补齐中间一层,只能用模块⑤或①,且如果补①则后续两块无法补齐,所以只能先用⑤补齐中间一层,然后用①②补齐最上层.
3.如图所示是一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的
( )
【解析】选A.由所给正方体可知4,6,8分别位于相邻的三个侧面.
【补偿训练】
如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC=
( )
A.60°
B.90°
C.45°
D.30°
【解析】选B.将展开图还原为正方体,如图所示,点A,B,C是上底面正方形的三个顶点,
则∠ABC=90°.
4.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面
( )
A.至多有一个是直角三角形
B.至多有两个是直角三角形
C.可能都是直角三角形
D.必然都是非直角三角形
【解析】选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形,这是一道开放性试题,需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多.在如图所示的长方体中,三棱锥A-A1C1D1的三个侧面都是直角三角形.
【误区警示】解答本题时一看见至多至少的问题容易受到干扰,易从三棱锥中进行研究,会忽略某些特殊情况而致错.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是:
(1)矩形的4个顶点;(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点;(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点;(4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.
其中正确结论的个数为________.?
【解题指南】作出正方体,充分发挥想象力,从平面和立体图形两方面考虑,找到四个顶点,进行判断.
【解析】如图所示,四边形ABCD为矩形故(1)满足条件;四面体D-A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体,故(2)满足条件;四面体D-B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体,故(3)满足条件;四面体C-B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体,故(4)满足条件,故正确的结论有4个.
答案:4
6.在下面的四个平面图形中,是侧棱都相等的四面体的展开图的为________.(填序号)?
【解析】由于③④中的图组不成四面体,只有①②可以.
答案:①②
三、解答题
7.(10分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.
问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?
(2)若正方形边长为2a,则每个面的三角形面积为多少?
【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥.
(2)S△PEF=a2,S△DPF=S△DPE=×2a·a=a2,S△DEF=a2.
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二十三 圆柱、圆锥、圆台和球
(20分钟 35分)
1.圆柱的母线长为10,则其高等于
( )
A.5
B.10
C.20
D.不确定
【解析】选B.圆柱的母线长与高相等,则其高等于10.
【补偿训练】
一个圆锥的高为5,母线与轴的夹角为60°,则圆锥的母线长l为
( )
A.10
B.10
C.5
D.不确定
【解析】选B.l==10.
2.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的空间图形的形状为
( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖出一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个长方体
【解析】选B.圆旋转一周形成球,圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱.
3.若圆柱被平面截成如图所示的空间图形,则它的侧面展开图是
( )
【解析】选D.结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误.
4.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是____________.?
【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.
答案:两个同底的圆锥组合体
5.用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是下面哪几种:________(填序号).?
①棱柱;②棱锥;③棱台;④圆柱;⑤圆锥;⑥圆台;⑦球.
【解析】可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥.
答案:①②③⑤
6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,求该圆锥的高.
【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
则4π=πl2,所以母线长为l=2,
又半圆的弧长为2π,圆锥的底面的周长为2πr=2π,
所以底面圆半径r=1,
所以该圆锥的高为h===.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图所示的组合体的结构特征是
( )
A.一个棱柱中截去一个棱柱
B.一个棱柱中截去一个圆柱
C.一个棱柱中截去一个棱锥
D.一个棱柱中截去一个棱台
【解析】选C.如题图,可看成是四棱柱截去一个角,即截去一个三棱锥后得到的简单组合体,故为一个棱柱中截去一个棱锥.
2.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是
( )
A.①②
B.①③
C.④
D.①⑤
【解析】选D.一个圆柱挖去一个圆锥,剩下的几何体被一个竖直的平面所截后,圆柱的轮廓是矩形除去一条边,圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.
3.上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为
( )
A.4
B.3
C.2
D.2
【解析】选D.圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+(R-r)2,求得h=2,即两底面之间的距离为2.
【补偿训练】
若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的母线长为
( )
A.4
B.2
C.3
D.
【解析】选B.如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,
由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长,且S△ABC=AB2,
所以=AB2,所以AB=2.
4.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是
( )
A.2
B.2π
C.或
D.或
【解析】选C.如图所示,设底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长,
则2πr=8,所以r=;
同理,若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长,则2πr=4,
所以r=.
【误区警示】旋转体特别是圆柱一定要找准母线和底面半径,在将白纸卷起时容易忽略分类讨论.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).?
【解析】设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r.
所以4r2=Q,解得r=,
所以此圆柱的底面半径为.
答案:
6.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,则△ABC绕边AB所在的直线旋转一周所得空间图形是________,母线长l=________.?
【解析】所得几何体是圆锥,
母线长l=AC===5.
答案:圆锥 5
三、解答题
7.(10分)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD【解析】如图所示,旋转所得的空间图形是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.
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二十四 直观图的斜二测画法
(20分钟 35分)
1.如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,其中A′B′=A′C′,那么△ABC是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选B.因为A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,所以AB⊥AC.又AC=2A′C′=2AB,所以△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.
2.如图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边上一点,且D′离B′比D′离C′近,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,
A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中
( )
A.最长的是AB,最短的是AC
B.最长的是AC,最短的是AD
C.最长的是AB,最短的是AD
D.最长的是AD,最短的是AC
【解析】选B.如图为其平面图,其中AD⊥BC,所以AC>AB>AD,结合选项可知B正确.
3.正方形O′A′B′C′的边长为1
cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是
( )
A.6
cm
B.8
cm
C.(2+3)cm
D.(2+2)cm
【解析】选B.如图OA=1
cm,在Rt△OAB中OB=2
cm,
所以AB==3(cm).
所以四边形OABC的周长为8
cm.
4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为________.?
【解析】由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4,计算得AB=5,
所求中线长为2.5.
答案:2.5
5.有一个长为5
cm,宽为4
cm的矩形,则其直观图的面积为________cm2.?
【解析】该矩形的面积为S=5×4=20(cm2),由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得直观图的面积为S′=S=5(cm2).
答案:5
6.按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.
【解析】画法:(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于O′,使∠x′O′y′=45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴上取O′E′=OE,分别过G′和H′作y′轴的平行线,并在相应的平行线上取
G′A′=GA,H′D′=HD.
(4)连接A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,x′轴与y′轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是
( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
【解析】选D.原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图分别是在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图.
2.如图,A′B′∥O′y′,B′C′∥O′x′,则直观图所示的平面图形△ABC是
( )
A.任意三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选C.因为A′B′∥O′y′,且B′C′∥O′x′,
所以原平面图形中AB⊥BC.
所以△ABC为直角三角形.
【误区警示】由平面图形的直观图判断平面图形的形状,一定要注意与坐标轴平行的边,易受到直观图形的影响.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6,O′C′=3,B′C′∥x′轴,则原平面图形的面积为________.?
【解题指南】将直观图进行还原,得到原图形,进而求面积.
【解析】在直观图中,设B′C′与y′轴的交点为D′,则易得O′D′=3,
所以原平面图形为一边长为6,高为6的平行四边形,
所以其面积为6×6=36.
答案:36
4.如图所示的是水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′,其中D′是A′C′的中点,在原△ABC中,∠ACB≠60°,则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条.?
【解析】先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形,然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段.把△A′B′C′还原后为直角三角形,则D为斜边AC的中点,所以AD=DC=BD.
答案:2
三、解答题
5.(10分)如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试画出梯形ABCD水平放置的直观图,并求直观图的面积.
【解析】在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.
由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变.如图所示,
在直观图中,O′D′=OD,梯形的高D′E′=,于是,梯形A′B′C′D′的面积S=×(1+2)×=.
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二十五 平面的基本性质
(20分钟 35分)
1.下列命题:①书桌面是平面;
②有一个平面的长是50
m,宽是20
m;
③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确命题的个数为
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
【解析】选A.平面是无大小、无面积、无厚度,向四周无限延展的一个数学概念.
【补偿训练】
两个平面若有三个公共点,则这两个平面
( )
A.相交
B.重合
C.相交或重合
D.以上都不对
【解析】选C.若三点在同一条直线上,则这两个平面相交或重合,若三点不共线,则这两个平面重合.
2.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能的交线有
( )
A.1条或2条
B.2条或3条
C.1条或3条
D.1条或2条或3条
【解析】选D.当三个平面两两相交且过同一直线时,它们有1条交线;当平面β和γ平行时,它们的交线有2条;当这三个平面两两相交且不过同一条直线时,它们有3条交线.
3.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中
( )
A.必有三点共线
B.必有三点不共线
C.至少有三点共线
D.不可能有三点共线
【解析】选B.如图①②所示,A,C,D均不正确,只有B正确.
4.空间中有五个点,其中有四个点在同一平面内,但没有任何三点共线,这样的五个点确定________个平面.?
【解析】可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
答案:7
5.设平面α与平面β相交于l,直线a?α,直线b?β,a∩b=M,则M________l.?
【解析】因为a∩b=M,a?α,b?β,
所以M∈α,M∈β.
又因为α∩β=l,所以M∈l.
答案:∈
6.如图,梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
【解析】很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上,
由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.
因为E∈AC,AC?平面SAC,所以E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD.
所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连接SE,直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则
( )
A.l?α
B.l?α
C.l∩α=M
D.l∩α=N
【解析】选A.因为M∈a,a?α,所以M∈α,同理,N∈α,
又M∈l,N∈l,故l?α.
2.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C?l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过
( )
A.点A
B.点B
C.点C,但不过点D
D.点C和点D
【解析】选D.根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体过点M,N,C1的截面图形是
( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
【解析】选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,
NB=BB1.如图,延长C1M交CD的延长线于点P,延长C1N交CB的延长线于点Q,连接PQ交AD于点E,交AB于点F,连接NF,ME,则正方体过点M,N,C1的截面图形是五边形.
4.已知空间中有A,B,C,D,E五个点,如果点A,B,C,D在同一个平面内,点B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点
( )
A.共面
B.不一定共面
C.不共面
D.以上都不对
【解析】选B.若B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面.
【误区警示】做此题容易忽略B,C,D共线的情况致错,所以考虑问题要全面.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.以下四个命题中,不正确的命题是
( )
A.不共面的四点中,其中任意三点不共线
B.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合
C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
【解析】选BCD.A正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;若三点共线,则这两个平面相交或重合,B不正确;C不正确,共面不具有传递性,若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c可能异面;D不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上,空间四边形的四个顶点就不共面.
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是
( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
【解析】选ABC.在题图中,连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,
所以A,B,C均正确,D不正确.
【光速解题】判断点共线或者共面问题时,要看从这些点出发的直线是否相交或者平行.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.?
【解析】因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.
因为l∩α=O,所以O∈α.
又因为O∈AB?β,所以O∈直线CD,
所以O,C,D三点共线.
答案:共线
【补偿训练】
如图,在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.则M,N,K三点的位置关系是________.?
【解析】因为M∈PQ,直线PQ?平面PQR,
M∈BC,直线BC?平面BCD,
所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,
所以M在平面PQR与平面BCD的交线上.
同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上.
所以M,N,K三点共线.
答案:共线
8.空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定________个平面.?
【解析】可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.
答案:4
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;
(2)直线l在平面α内,直线m不在平面α内.
【解析】(1)A∈α,B?α,图形如图所示.
(2)l?α,m?α,图形如图所示.
10.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:直线a,b,c和l共面.
【证明】如图所示,因为a∥b,所以直线a与b确定一个平面,
设为α,因为l∩a=A,l∩b=B,
所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l?α.
因为b∥c,所以由基本事实1可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l?β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由基本事实1的推论2知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.
1.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则
( )
A.A,C,O1,D1四点共面
B.D,E,G,F四点共面
C.A,E,F,D1四点共面
D.G,E,O1,O2四点共面
【解析】选ACD.因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,所以O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内,故A正确;因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F四点不共面,故B错误;由已知可知EF∥AD1,所以A,E,F,D1四点共面,故C正确;连接GO2并延长,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,
所以G,E,O1,O2四点共面,故D正确.
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8
cm,M,N,P分别是AB,A1D1,BB1的中点,
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线,以及与平面BB1C1C的交线;
(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.
【解析】(1)设M,N,P三点确定的平面为α,则α与平面AA1B1B的交线为直线MP,
设MP∩A1B1=R,则RN是α与平面A1B1C1D1的交线,
设RN∩B1C1=Q,连接PQ,则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.
(2)正方体棱长为8
cm,B1R=BM=4
cm,
又A1N=4
cm,B1Q=A1N,
所以B1Q=×4=(cm).
在△PB1Q中,B1P=4
cm,B1Q=
cm,
所以PQ==
cm.
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二十六 平
行
直
线
(15分钟 30分)
1.如图所示,在三棱锥S
-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
【解析】选A.因为E,F分别是SN和SP的中点,所以EF∥PN.同理可证HG∥PN,所以EF∥HG.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是
( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
【解析】选D.如图,连接C1D,在△C1DB中,
MN∥BD,故C正确;因为BB1⊥BD,BB1∥CC1,
所以CC1⊥BD,所以MN与CC1垂直,故A正确;
因为AC⊥BD,MN∥BD,所以MN与AC垂直,故B正确;
因为A1B1与BD异面,MN∥BD,
所以MN与A1B1不可能平行,故D错误.
3.已知直线a,b,c,下列三个命题:
①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;
②若a∥b,a和c相交,则b和c也相交;
③若a⊥b,b和c共面,则a和c也共面.
其中,正确命题的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选A.①不正确,如图;②不正确,有可能相交也有可能异面;③不正确,可能共面,也可能异面.
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是________.?
【解析】在△ABC中因为AE∶EB=AF∶FC,
所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,
BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.
答案:平行
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别为棱C1D1,C1C,DD1的中点,有以下结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④∠DAH=∠CBN.
其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).?
【解析】因为A,M,C,C1四点不共面,
所以直线AM与CC1是异面直线,故①错误;
同理,直线AM与BN也是异面直线,故②错误;
同理,直线BN与MB1是异面直线,故③正确;
易得∠DAH=∠CBN,故④正确.
答案:③④
6.在空间四边形A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的序号是________.?
①M,N,P,Q四点共面;②∠QME=∠CBD;
③△BCD∽△MEQ;④四边形MNPQ为梯形.
【解析】由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于①,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故①说法正确;对于②,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故②说法正确;对于③,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD
∽△MEQ,故③说法正确;由三角形的中位线定理,知MQBD,NPBD,所以MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故④说法不正确.
答案:①②③
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是
( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
【解析】选C.如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.
2.已知在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则
( )
A.1B.2C.1≤MN≤5
D.2【解析】选A.取AD的中点H,连接MH,NH,则MH∥BD,且MH=BD,NH∥AC,且NH=AC,且M,N,H三点构成三角形,由三角形三边关系,可得MH-NH3.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”,反之不成立.所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
4.空间两个角∠ABC和∠A′B′C′中,AB∥A′B′,BC∥B′C′,若∠ABC=55°,则∠A′B′C′=
( )
A.35°
B.125°
C.30°
D.55°或125°
【解析】选D.由等角定理可知∠A′B′C′=55°或125°.
【误区警示】做此题容易忽略角的方向是否相同,所以考虑问题要全面.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.在空间四面体ABCD中,如图,E,F,G,H分别是AB,BC,AD,DC的中点,则下列结论一定正确的选项为
( )
A.EG=FH
B.EF=GH
C.EH与FG相交
D.EG=HG
【解析】选ABC.由题意知,EG?BD,FH?BD,所以EG?FH,所以四边形EGHF为平行四边形,所以EG=FH,EF=GH.所以EH与FG共面且相交,故A,B,C正确,但EG不一定与HG相等.
6.在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则
( )
A.PQ=MN
B.PQ∥MN
C.M,N,P,Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
【解析】选BCD.由题意知PQ=DE,且DE≠MN,
所以PQ≠MN,故A不正确;又PQ∥DE,DE∥MN,
所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以B,C,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在四棱锥P-ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH=________.?
【解析】由题意知EF?AC,GH?AC,
故EF?GH,故GH=2.
答案:2
8.在空间四边形ABCD中,如图所示,=,=,则EH与FG的位置关系是________.?
【解析】在△ABD中=,则EH∥BD,同理可得FG∥BD.所以EH∥FG.
答案:平行
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点.
求证:BF∥ED1.
【证明】如图,取BB1的中点G,连接GC1,GE,
因为F为CC1的中点,所以BGC1F,
所以四边形BGC1F为平行四边形,
所以BF∥GC1,
又因为EGA1B1,A1B1C1D1
,
所以EGC1D1,
所以四边形EGC1D1为平行四边形,
所以ED1∥GC1,所以BF∥ED1.
10.如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.
【证明】(1)在△ABD中,因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EH∥BD.同理FG∥BD,则EH∥FG.
故E,F,G,H四点共面.
(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.
又因为四边形EFGH是矩形,所以EH⊥GH,故AC⊥BD.
已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,若==,
==,试判断四边形EFGH形状.
【解析】如图在△ABD中,因为==,所以EH∥BD且EH=BD.在△BCD中,因为==,所以FG∥BD且FG=BD,所以EH∥FG且EH>FG,所以四边形EFGH为梯形.
【补偿训练】
如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,则EF=________.?
【解析】如图,设BF=2FA,连接EF,A1B,CF,AC,因为A1E=2EA,
所以EF∥A1B,又易知A1B∥D1C,
所以EF∥D1C,
故EF=A1B=a.
答案:a
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二十七 异
面
直
线
(20分钟 35分)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线AA1垂直的棱有
( )
A.2条
B.4条
C.6条
D.8条
【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AA1垂直的棱为A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,
AB,BC,CD,DA,共8条.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有
( )
A.2条
B.1条
C.3条
D.4条
【解析】选B.与AD1异面的面对角线分别为:A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
3.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是
( )
A.梯形
B.矩形
C.平行四边形
D.正方形
【解析】选D.连接AC,BD.因为E,F,G,H分别为各边中点,如图.
所以FGEHBD,HGEFAC,所以四边形EFGH是平行四边形,又因为BD⊥AC且BD=AC,
所以FG⊥HG且FG=HG,所以四边形EFGH为正方形.
4.点E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,AB=6,PC=8,EF=5,则异面直线AB与PC所成的角为________.?
【解析】如图,取PB的中点G,
连接EG,FG,则EGAB,GFPC,则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角,在△EFG中,EG=AB=3,FG=PC=4,EF=5,所以∠EGF=90°.
答案:90°
5.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论正确的为________.(填序号)?
【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
答案:①③
6.如图所示,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.
【解析】(1)因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又在△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图,连接FH,
因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,又HD=FB,所以四边形HFBD为平行四边形.所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH为等边三角形,又知O为AH的中点.
所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD的中点为M,AA1的中点为N,则异面直线C1M与BN所成角为
( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
【解析】选C.如图,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD的中点为M,AA1的中点为N,取AB的中点P,连接B1P,则B1P∥C1M,易得B1P⊥BN,所以异面直线C1M与BN所成的角为90°.
2.如图,点P,Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1,BD的中点,则异面直线PQ和BC1所成的角为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.连接AC,D1C.
由P,Q分别为AD1,BD的中点,知Q为AC中点,得PQ∥CD1.
又BC1∥AD1,所以∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角.因为△ACD1为等边三角形,所以∠AD1C=60°.
即异面直线PQ和BC1所成的角为60°.
3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点.那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.取BC的中点G,连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE,OH,因为E是CC1的中点,所以GC1∥HE,所以∠OEH为异面直线OE和FD1所成的角.在△OEH中,OE=,HE=,OH=,由余弦定理可得
cos∠OEH==.
4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=
2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角是90°,则AA1的长度是
( )
A.
B.
C.2
D.2
【解析】选B.连接CD1,AC,由题意得,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1=BC,A1D1∥BC,
所以四边形A1BCD1是平行四边形,
所以A1B∥CD1,
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角,
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,
所以∠AD1C=90°,
因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
AB=BC=2,∠ABC=120°,
所以AC=2sin
60°×2=6,所以AD1=AC=3,
所以AA1===.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是
( )
A.直线CC1与直线B1E相交
B.CC1与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1垂直
【解析】选ACD.因为CE∥B1C1且CE=B1C1,所以四边形CEB1C1为梯形,CC1与B1E必相交,A正确.由几何图形可知B错误,C正确.AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,又E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,选项D正确.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,C1D1的中点,O为正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是
( )
A.直线EF,OD1是异面直线,且EF=OD1
B.直线OD1,B1B是异面直线且OD1≠B1B
C.直线EF,OD1是相交直线,且EF=OD1
D.直线OD1,B1B是相交直线且OD1=B1B
【解析】选ABD.因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AD,C1D1的中点,O为正方形ABCD的中心,如图,四边形D1EOF是矩形,直线EF,OD1是相交直线,A错误,直线OD1,B1B是相交直线,B错误;EF=OD1,OD1≠B1B,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD和AC所成角的度数为________.?
【解题指南】求异面直线所成的角要找到它们的平行线,已知条件中的角会给解题提供方向.
【解析】依题意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
答案:60°
8.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1(侧棱垂直于底面内的所有直线),其中ABCD是正方形且边长为2,高为4,则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________,异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.?
【解析】因为AA1∥DD1,所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角,连接BD,
在Rt△D1DB中,sin
∠DD1B===.
因为AD∥BC,所以∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角),连接D1C,在△D1BC中,
因为长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,
高为4,所以D1B=2,BC=2,D1C=2,
D1B2=BC2+D1C2,所以∠D1CB=90°,
所以sin∠D1BC===,故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点.若EF=.
求证:AD⊥BC.
【证明】取BD的中点H,连接EH,FH,
因为E是AB的中点,且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1,
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角,又因为EF=,所以EH2+FH2=EF2,
所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,
所以∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°.故AD⊥BC.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点.求异面直线A1M与DN所成的角的大小.
【解析】如图,
过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,E是B1C1的中点,则直线AE与BC所成的角为________,直线A1B与AC1所成角的余弦值为________.?
【解析】如图所示,连接AB1,由三棱柱的性质可得AC1=AB1,又因为E是B1C1的中点,所以AE⊥B1C1,又BC∥B1C1,所以AE⊥BC,即直线AE与BC所成的角为90°.
如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,AD,由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角(或其补角).设AB=a,因为AA1与AC,AB所成的角均为60°,
且AB=AC=AA1,所以A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos
30°=a.又∠BAC=90°,所以在矩形ABDC中,AD=a,所以A1D1=a,所以A1+A1B2=B,所以∠BA1D1=90°,所以在Rt△BA1D1中cos∠A1BD1===.
答案:90°
2.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
【解析】取AC的中点F,连接EF,BF.
在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,所以EF∥CD,所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).
在Rt△ABC中,BC=,AB=AC,所以AB=AC=1.
在Rt△EAB中,AB=1,AE=AD=,所以BE=.
在Rt△AEF中,AF=AC=,AE=,所以EF=.
在Rt△ABF中,AB=1,AF=,所以BF=.
在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===,所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
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二十八 直线与平面平行
(15分钟 30分)
1.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为
( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….
2.下列说法正确的个数为
( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;
③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.如图所示:借助长方体模型,棱AA1所在直线上有无数个点在平面ABCD外,但棱AA1所在直线与平面ABCD相交,所以①不正确.
A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD,但直线AB?平面ABCD,所以②不正确.
直线l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以③正确.
3.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出五个结论:①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点,所以O为BD的中点.在△PBD中,M是PB的中点,所以OM是△PBD的中位线,所以OM∥PD,又OM?平面PCD,且OM?平面PDA,所以OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM与平面PBA、平面PBC均相交.
4.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与平面ADE的位置关系是________.(填“平行”或“相交”)?
【解析】因为M,N分别是BF,BC的中点,
所以MN∥CF.又因为四边形CDEF为矩形,所以CF∥DE,所以MN∥DE.又因为MN?平面ADE,DE?平面ADE,所以MN∥平面ADE.
答案:平行
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,Q是PA的中点.求证:PC∥平面BDQ.
【证明】连接AC,交BD于O,连接OQ,
因为底面ABCD为正方形,所以O为AC的中点.
又因为Q是PA的中点,所以OQ∥PC,
又因为OQ?平面BDQ,PC?平面BDQ,
所以PC∥平面BDQ.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.下列说法正确的是
( )
①若一条直线a与平面α平行,则直线a与平面α没有公共点;
②若一条直线a与平面α有公共点,则直线a与平面α相交;
③若一条直线a与平面α有两个公共点,则a?α.
A.①②
B.
①③
C.
②③
D.
①②③
【解析】选B.因为当a∥α时,a与α无公共点,所以①正确;因为当直线a与平面α有两个公共点时a?α,所以②错误,③正确.
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB?α,CD?α,则CD与平面α内的直线的位置关系只能是
( )
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行或异面
【解析】选D.由条件知CD∥α,故CD与α内的直线平行或异面.
3.P是△ABC所在平面外一点,E,F,G分别是AB,BC,PC的中点,则图中与过E,F,G的截面平行的线段条数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由题意知EF∥AC,FG∥PB,EF?平面EFG,AC?平面EFG,PB?平面EFG,所以AC∥平面EFG,PB∥平面EFG,即有2条与平面EFG平行的线段.
4.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则下列说法正确的是
( )
A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形
【解析】选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EFBD,又H,G分别为BC,CD的中点,所以HGBD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得到AB∥平面MNP的图形是
( )
【解析】选AD.过AB的体对角面与面MNP平行,故A成立;D中易知AB∥NP,故D也成立.
6.如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块矩形木板绕AB转动,在转动的过程中,AB的对边CD与平面α的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.在平面α内
D.以上都有可能
【解析】选AC.在旋转过程中,CD∥AB,易得CD∥α或CD?α.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是________;与BC1平行的平面是________;与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________.?
【解析】观察图形,根据直线与平面平行的判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1;与BC1平行的平面是平面AD1;由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是CD.
答案:平面A1C1与平面AD1 平面AD1 CD
8.用一个截面去截正三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于E,F,G,H,已知A1A>A1C1,则截面的形状可以为____________(把你认为可能的结果的序号填在横线上).?
①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形.
【解析】由题意知,当截面平行于侧棱时,所得截面为矩形,当截面与侧棱不平行时,所得截面是梯形,即EF∥HG且EH不平行于FG.
答案:②⑤
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC的中点.求证:AB1∥平面DBC1.
【证明】因为A1B1C1-ABC是正三棱柱,
所以四边形B1BCC1是矩形.
连接B1C交BC1于点E,则B1E=EC.
连接DE,在△AB1C中,因为AD=DC,B1E=EC,
所以DE∥AB1.又因为AB1?平面DBC1,DE?平面DBC1,所以AB1∥平面DBC1.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1上不同于B,B1的任一点,AB1∩A1E=
F,B1C∩C1E=G.求证:AC∥FG.
【证明】因为AC∥A1C1,而AC?平面A1EC1,
A1C1?平面A1EC1.所以AC∥平面A1EC1.
而平面A1EC1∩平面AB1C=FG,AC?平面AB1C,
所以AC∥FG.
1.若AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是__________.?
【解析】这三条线段放在正方体内如图,
显然AC∥EF,AC?平面EFG,EF?平面EFG,
故AC∥平面EFG.
答案:平行
2.如图,直线l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交线.
求证:B1D1∥l.
【证明】连接BD,因为BB1DD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以B1D1∥BD.
因为B1D1?平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以B1D1∥平面ABCD.
因为平面AB1D1∩平面ABCD=l,B1D1?平面AB1D1,所以B1D1∥l.
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二十九 直线与平面垂直
(20分钟 40分)
1.已知直线l⊥α,α∥β,则
( )
A.l∥β
B.l?β
C.l⊥β
D.以上均有可能
【解析】选C.由于α∥β,则平面β内存在两条相交直线m,n分别平行于平面α内两条相交直线a,b,又l⊥α,则l⊥a,l⊥b,所以l⊥m,l⊥n,所以l⊥β.
2.已知直线a,b和平面α,下列推理中错误的是
( )
A.?a⊥b
B.?b⊥α
C.?a∥α或a?α
D.?a∥b
【解析】选D.当a∥α,b∥α时,a与b可能平行,也可能相交或异面,即D推理错误.
3.直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系为
( )
A.a⊥b且a与b相交
B.a⊥b且a与b不相交
C.a⊥b
D.a与b不一定垂直
【解析】选C.因为b∥α,所以b平行于α内的某一条直线,设为b′,因为a⊥α,且b′?α,所以a⊥b′,所以a⊥b,但a与b可能相交,也可能异面.
4.有下列四种说法,正确的序号是________.?
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;②已知两条不重合的直线m,n和平面α,若m⊥n,m⊥α,则n∥α;③a,b,l表示三条不同的直线,α表示平面,若a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,则l⊥α;④若直线a不平行于平面α,则直线a垂直于平面α.
【解析】①正确;对于②,若直线n?α,也可满足m⊥n,m⊥α,此时n∥α不正确;对于③,只有a,b相交时,才成立,否则不成立;④显然错误,因为不平行时可以相交,而垂直只是相交的一种特殊情况.故只有①正确.
答案:①
5.如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,
CD=SD=1.求证:SD⊥平面SAB.
【证明】因为AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1,所以底面ABCD为直角梯形,
AD==.
因为侧面SAB为等边三角形,所以SA=SB=AB=2.
又SD=1,所以AD2=SA2+SD2,所以SD⊥SA.
连接BD,则BD==,所以BD2=SD2+SB2,所以SD⊥SB.又SA∩SB=S,所以SD⊥平面SAB.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD.
(1)证明:PA∥平面BDE;(2)证明:AC⊥平面PBD.
【证明】(1)设AC∩BD=H,连接EH.
在△ADC中因为AD=CD,且DB平分∠ADC,
所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,
故EH∥PA,又EH?平面BDE,
且PA?平面BDE,所以PA∥平面BDE.
(2)因为PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以PD⊥AC.由题意可得,DB⊥AC,
又PD∩DB=D,
故AC⊥平面PBD.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是
( )
A.α⊥β,且m?α
B.m∥n,且n⊥β
C.α⊥β,且m∥α
D.m⊥n,且n∥β
【解析】选B.?m⊥β.
2.如图,P为△ABC所在平面α外一点,PB⊥α,PC⊥AC,则△ABC的形状为
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】选B.由PB⊥α,AC?α得PB⊥AC,
又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,AC⊥BC.
3.如图所示,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,∠PBA=θ1,∠PBC=θ2,
∠ABC=θ3.
则下列关系一定成立的是
( )
A.cos
θ1cos
θ2=cos
θ3
B.cos
θ1cos
θ3=cos
θ2
C.sin
θ1sin
θ2=sin
θ3
D.sin
θ1sin
θ3=sin
θ2
【解析】选B.?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC,
所以cos
θ1=,cos
θ2=,cos
θ3=.
则有cos
θ1cos
θ3=cos
θ2.
4.已知PA垂直平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是
( )
A.平行四边形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
【解析】选D.因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD.因为PC⊥BD,且PA∩PC=P,
所以BD⊥平面PAC,所以AC⊥BD.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.AC1⊥BD1
【解析】选ABC.在正方体中BD∥B1D1,可知选项A正确;由BD⊥AC,BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1;
从而BD⊥AC1,即选项B正确;
由以上可得AC1⊥B1D1,同理AC1⊥D1C,
因此AC1⊥平面CB1D1,即选项C正确;由于四边形ABC1D1不是菱形,所以AC1⊥BD1不正确.
6.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的有
( )
A.①
B.②
C.③
D.④
【解析】选BD.对于①由AB与CE所成角为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于②由AB⊥CE,AB⊥ED且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;对于③由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于④由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB.又可得CE⊥AB,ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图所示,PA⊥平面ABC,M,N分别为PC,AB的中点,使得MN⊥AC的一个条件为________.?
【解析】取AC中点Q,连接MQ,NQ,
则MQ∥AP,NQ∥BC,
由已知条件易得MQ⊥AC,若AC⊥BC,
则NQ⊥AC,所以AC⊥平面MNQ,
所以AC⊥MN.
答案:AC⊥BC
8.下列说法中正确的是________.?
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α
③如果直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线
④如果直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直
【解析】如图所示,
直线l与α内的无数条直线垂直.但l与α斜交,故①不正确;同理②也不正确;同样由图可知,l不垂直于α,但α内有与l垂直的直线,且这样的直线有无数条,故③不正确,④正确.
答案:④
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,O是底面正方形ABCD的中心,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:EO∥平面PAD;
(2)证明:DE⊥平面PBC.
【证明】(1)
连接AC,因为点O是底面正方形ABCD的中心,
所以点O是AC的中点,又因为E是PC的中点,所以在△PAC中EO是中位线,所以PA∥EO.因为EO?平面PAD,PA?平面PAD,所以EO∥平面PAD.
(2)因为PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,
所以PD⊥BC,因为底面ABCD是正方形,有BC⊥DC,PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.
而DE?平面PDC,所以BC⊥DE.
因为PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,
而DE是斜边PC的中线,所以DE⊥PC.
又BC,PC?平面PBC,且BC∩PC=C,
所以DE⊥平面PBC.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=
60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.
【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AC⊥CD,且PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,
所以CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,
可得AC=PA.
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,
所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB.又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,
所以AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,所以AB⊥PD.又因为AB∩AE=A,
所以PD⊥平面ABE.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1,因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求,此时F为BB1的中点.
由(1)知C1D⊥平面AA1B1B,
AB1?平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1,又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF.
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三十 距离、直线与平面所成的角
(20分钟 35分)
1.在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为
( )
A.a
B.a
C.a
D.a
【解析】选C.作PH⊥平面ABC于H,连接CH并延长,交AB于D,连接PD,由PH·CD=PC·PD,求得PH=a.
2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.
A1B1∥面D1EF,所以G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离.在△A1D1E中,过A1作A1H⊥D1E交D1E于H,显然A1H⊥面D1EF,
则A1H即为所求,在Rt△A1D1E中,A1H===.
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________.?
【解析】如图所示,取BC的中点E,连接DE,AE,则AE⊥平面BB1C1C.
所以AE⊥DE,因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE,设AB=a,则AE=a,DE=,
即有tan∠ADE=,所以∠ADE=60°.
答案:60°
4.已知正方形ABCD的边长为1,线段PA垂直于平面ABCD,且PA=1,则点P到点C的距离为________.?
【解析】如图,连接AC,则AC=.又PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD.所以PA⊥AC,又PA=1,所以在Rt△PAC中,PC=.
答案:
5.如图,边长为2的正方形ABCD在α上的射影为EFCD,且AB到α的距离为,则AD与α所成的角为________.?
【解析】在Rt△AED中,AE=,AD=2,
所以∠ADE=30°.
答案:30°
6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M为AC边上的一个动点,则PM的最小值为________.?
【解析】作CH⊥AB交AB于H,连接PH.因为PC⊥平面ABC,所以PH⊥AB,则当点M在H处时,PH最小.因为AC=8cos
60°=4,所以CH=4sin
60°=2,
所以PH==2,即PM的最小值为2.
答案:2
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.空间四点A,B,C,D每两点的连线长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则点P与Q的最小距离为
( )
A.
B.a
C.a
D.a
【解析】选B.当P,Q为中点时,PQ为AB和CD的公垂线,此时最短,求出得PQ=a.
2.如图所示,AA′⊥平面A′B′B,BB′⊥A′B′,∠BAB′=,∠ABA′=,则AB∶A′B′等于
( )
A.2∶1
B.3∶1
C.3∶2
D.4∶3
【解析】选A.由∠BAB′=,∠ABA′=,
设AB=2a,经计算BB′=a,A′B=a,所以在Rt△BB′A′中得A′B′=a,所以AB∶A′B′=2∶1.
3.在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么点D在平面ABC上的射影H必在
( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
【解析】选A.在四面体ABCD中,因为AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,又AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,又平面ABC∩平面ABD=直线AB,故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上.
4.已知平面α∥平面β,直线m?α,直线n?β,点A∈m,点B∈n,记点A,B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则
( )
A.b≤c≤a
B.a≤c≤b
C.c≤a≤b
D.c≤b≤a
【解析】选D.如图:α∥β,考虑m,n异面时,m和n的距离等于α,β间的距离,点A到n的距离为:过A作AO⊥β于O,过O作OC⊥n于C,则AC为A点到直线n的距离,显然,此时c≤b≤a.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别是2和4,则A,B的中点P到平面α的距离可能是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选AC.若A,B在α同侧,如图①,则P到α的距离为3;若A,B在α异侧,如图②,则P到α的距离为PO′-OO′=3-2=1.
6.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥底面ABCD,则在下列说法中,正确的是
( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角
D.AC⊥SO
【解析】选ABCD.连接SO,如图所示:
因为四棱锥S-ABCD的底面是正方形,所以AC⊥BD,因为SD⊥底面ABCD,
所以SD⊥AC,因为BD∩SD=D,所以AC⊥平面SBD,
因为SB?平面SBD,所以AC⊥SB,则A正确;
因为AB∥CD,AB?平面SCD,则B正确;
因为SD⊥底面ABCD,所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,因为AD=CD,SD=SD,所以∠SAD=∠SCD,则C正确;因为AC⊥平面SBD,SO?平面SBD,所以AC⊥SO,则D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.下列说法:①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是;
②直线与平面所成的角的取值范围是;
③若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行;
④若两条直线互相平行,则这两条直线与一个平面所成的角相等.
其中正确的是________(填序号).?
【解析】②应为;③中这两条直线可能平行,也可能相交或异面.
答案:①④
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面是边长为2的菱形,且∠ABC=45°,PA=AB,则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________.?
【解析】作AE⊥BC于点E,连接PE,则BC⊥平面PAE,可知点A在平面PBC上的射影在直线PE上,故∠APE为所求的角.AE=ABsin
45°=,所以tan∠APE=
=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,在棱长均为a的正三棱柱中,D为AB中点,连接A1D,DC,A1C.
(1)求证:BC1∥平面A1DC;
(2)求BC1到平面A1DC的距离.
【解析】(1)如图所示,连接AC1交A1C于E,连接DE,则DE∥BC1,而DE?平面A1DC,BC1?平面A1DC,
所以BC1∥平面A1DC.
(2)由(1)知BC1∥平面A1DC,
所以BC1上任一点到平面A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离.所以求C1到平面A1DC的距离即可.因为平面A1DC过线段AC1的中点,
所以A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离.由题意知CD⊥AB,CD⊥AA1,AB∩AA1=A,
所以CD⊥平面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线,垂足H在A1D上.在Rt△A1AD中,A1A·AD=A1D·AH,解得AH=a,即BC1到平面A1DC的距离为a.
10.如图,已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD,PA=2c,Q是PA的中点,连接QB,QD,BD.求:(1)Q到BD的距离;
(2)P到平面BQD的距离.
【解析】(1)在矩形ABCD中,作AE⊥BD,E为垂足,连接QE,因为QA⊥平面ABCD,所以QA⊥BD,又AE∩QA=A,所以BD⊥平面AEQ,得QE⊥BD,所以QE的长为Q到BD的距离.
在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,所以AE=.
在Rt△QAE中,QA=PA=c,
所以QE==.
所以Q到BD的距离为.
(2)因为平面BQD经过PA的中点Q,
所以P到平面BQD的距离等于A到平面BDQ的距离.在△AQE中,作AH⊥QE,H为垂足.因为BD⊥AE,BD⊥QE,所以BD⊥平面AQE.所以BD⊥AH,所以AH⊥平面BQE,即AH为A到平面BQE的距离.
在Rt△AQE中,因为AQ=c,AE=,
所以AH=.
所以P到平面BQD的距离为.
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,则点C到平面ABC1的距离为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.如图,取AB的中点E,连接CE,C1E,过点C作CF⊥C1E,
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,则AB⊥CC1,因为△ABC是等边三角形,所以AB⊥CE,又CE∩CC1=C,所以AB⊥平面CC1E,因为CF?平面CC1E,所以CF⊥AB,所以CF⊥平面ABC1,则CF的长即为所求.在Rt△CEC1中,CC1=1,CE=AB=,所以C1E==,由等面积得CF==.
2.如图,已知AB是圆O的直径,C为圆上一点,AB=2,AC=1,P为☉O所在平面外一点,且PA垂直于☉O所在平面,PB与平面ABC所成的角为45°.
(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)求点A到平面PBC的距离.
【解析】(1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.
因为AB是☉O的直径,C为圆上一点,
所以BC⊥AC.又因为PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC.
(2)如图,过点A作AD⊥PC于点D,因为BC⊥平面PAC,AD?平面PAC,所以BC⊥AD,
所以AD⊥平面PBC,所以AD即为点A到平面PBC的距离.因为∠PBA为PB与平面ABC所成的角,
即∠PBA=45°,所以PA=AB=2,AC=1,可得PC=.因为AD·PC=PA·AC,
所以AD==,
即点A到平面PBC的距离为.
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三十一 两平面平行
(20分钟 35分)
1.如果点M是两条异面直线a,b外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面
( )
A.只有一个
B.恰有两个
C.没有或只有一个
D.有无数个
【解析】选C.当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时,这样满足条件的平面没有;当点M不在上述两个平面内时,满足条件的平面只有一个.
2.下列说法中正确的是
( )
A.若平面α内的直线a平行于平面β内的直线b,且a∥β,b∥α,则α∥β
B.若直线a?α,a∥β,则α∥β
C.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行
D.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行
【解析】选D.对于A,若α∩β=l,a?α且a∥l,b?β且b∥l,则a∥b,但此时α与β不平行;对于B,若α∩β=l,a?α且a∥l,则a∥β,但此时α与β不平行;对于C,不符合面面平行的判定定理,这两个平面还可能相交;D是面面平行的判定定理的推论.
3.已知夹在两平行平面α,β之间的线段AB的长为6,AB与α所成的角为60°,则α与β之间的距离为________.?
【解析】过B作BC⊥α于C,则∠BAC=60°,在Rt△ABC中,BC=AB·sin
60°=3.
答案:3
4.已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面命题:
①m∥n,m⊥α?n⊥α;
②α∥β,m?α,n?β?m∥n;
③α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β.
其中正确命题的序号是________.?
【解析】用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①③正确,②中m,n可能平行或异面.
答案:①③
5.已知夹在两平行平面α,β之间的线段AB=8,且AB与α成45°角,则α与β之间的距离是________.?
【解析】如图,过A作AA′⊥平面α交α于点A′,连接A′B,则A′B为AB在平面α内的射影,
所以∠ABA′为AB与α所成的角,
所以∠ABA′=45°,
在Rt△ABA′中,AB=8,
AA′=8×=4,
又因为α∥β,所以AA′⊥β,
所以AA′为α与β之间的距离,
所以α与β之间距离为4.
答案:4
6.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1,A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
【证明】连接A1C交AC1于点E,
因为四边形A1ACC1是平行四边形,
所以E是A1C的中点,连接ED,
因为A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D=ED,
所以A1B∥ED,
因为E是A1C的中点,
所以D是BC的中点,又因为D1是B1C1的中点,
所以BD1∥C1D,A1D1∥AD,
又A1D1∩BD1=D1,
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.下列命题中正确的是
( )
A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α∥β
B.α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b(α,β,γ分别表示平面,a,b表示直线),则γ∥β
C.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边,则α∥β
D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行,则α∥β
【解析】选C.A、B中两平面也可能相交;D中若是平行四边形的对边互相平行,则两平面也可能相交.
2.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.取CD的中点H,连接EH,FH(图略).在正四面体CDEF中,由于CD⊥EH,CD⊥HF,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,则平面EFH与正方体的左右两侧面平行,则EF也与之平行,与其余四个平面相交.
3.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是
( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
【解析】选A.如图,因为EG∥E1G1,EG?平面E1FG1,E1G1?平面E1FG1,所以EG∥平面E1FG1,
又G1F∥H1E,同理可证H1E∥平面E1FG1,
又H1E∩EG=E,所以平面E1FG1∥平面EGH1.
4.已知平面α∥β∥γ,两条相交直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和D,E,F,已知AB=6,=,则AC=
( )
A.12
B.15
C.18
D.21
【解析】选B.因为α∥β∥γ,所以=.
由=,得=,
即=,而AB=6,
所以BC=9,所以AC=AB+BC=15.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.若平面α∥平面β,且α,β间的距离为d,则在平面β内,下列说法正确的是
( )
A.有且只有一条直线与平面α的距离为d
B.所有直线与平面α的距离都等于d
C.有无数条直线与平面α的距离等于d
D.所有直线与平面α的距离都不等于d
【解析】选BC.由两平行平面间的距离可知,BC正确.
6.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件中,可以判定α与β平行的条件有
( )
A.存在平面γ,使得α,β都平行于γ
B.存在平面γ,使得α,β都垂直于γ
C.α内有不共线三点到β的距离相等
D.存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β
【解析】选AD.α与β平行.此时能够判断存在平面γ使得α,β都平行于γ,所以A正确;
B.存在平面γ,使得α,β都垂直于γ,可以判定α与β平行,如正方体的底面与相对的侧面,也可能α与β不平行,所以B不正确;
C.不能判定α与β平行,如α面内不共线的三点不在β面的同一侧,此时α与β相交
D.可以判定α与β平行,因为可在α面内作l′∥l,m′∥m,则l′与m′必相交,又因为l∥β,m∥β,所以l′∥β,m′∥β,所以α∥β.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,AE⊥平面α,垂足为E,BF⊥α,垂足为F,l?α,C,D∈α,AC⊥l,则当BD与l________时,平面ACE∥平面BFD.?
【解析】由题意知l⊥平面ACE,故需l⊥平面BFD.
答案:垂直
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足________时,有MN∥平面B1BDD1.?
【解析】因为HN∥BD,HF∥DD1,HN∩HF=H,BD∩DD1=D,所以平面NHF∥平面B1BDD1,故线段FH上任意点M与N连接,有MN∥平面B1BDD1.
答案:M∈线段FH
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.
(1)求证:平面MNG∥平面ACD;
(2)求S△MNG∶S△ACD.
【解析】(1)连接BM,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于点P,F,H.
因为M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,
所以===2.
连接PF,FH,PH,有MN∥PF.
又PF?平面ACD,MN?平面ACD.
所以MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD.
又MG∩MN=M,所以平面MNG∥平面ACD.
(2)由(1)可知==,
所以MG=PH.
又PH=AD,所以MG=AD.
同理NG=AC,MN=CD.
所以△GNM∽△ACD,其相似比为1∶3.
所以S△MNG∶S△ACD=1∶9.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?
【解析】如图,设平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,点M在AA1上,由于平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO,由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,平面PAO∩平面ADD1A1=AP,可得AP∥D1M,所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点,所以M为AA1的中点,所以Q为CC1的中点,故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图所示.试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明A1E=EF=FC.
【解析】如图所示,连接A1C1,交B1D1于点O1,连接AO1,与A1C交于点E.
又因为AO1?平面AB1D1,
所以点E也在平面AB1D1内,
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
连接AC,交BD于O;连接C1O,与A1C交于点F,
则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
下面证明A1E=EF=FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,
所以EO1∥C1F,在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,
所以E是A1F的中点,即A1E=EF;
同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,
即FC=EF,所以A1E=EF=FC.
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三十二 两平面垂直
(20分钟 35分)
1.若l为一条直线,α,β,γ为三个互不重合的平面,则下列说法错误的是
( )
A.α⊥γ,β⊥γ?α⊥β
B.α⊥γ,β∥γ?α⊥β
C.l∥α,l⊥β?α⊥β
D.l⊥β,l⊥α,则α∥β
【解析】选A.α⊥γ,β⊥γ?α⊥β,A不正确,α,β可能平行;α⊥γ,β∥γ?α⊥β,B正确;l∥α,l⊥β?α⊥β,C正确;因为垂直于同一直线的两平面平行,所以D正确.
2.将锐角A为60°,边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为
( )
A.a
B.a
C.a
D.a
【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.则BD⊥CE,BD⊥A1E.
于是∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角.
故∠A1EC=60°.
因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.
所以A1E=CE=A1C=a.
3.设α-l-β是直二面角,直线a?α,直线b?β,a,b与l都不垂直,那么说法中正确的是
( )
A.a与b可能垂直,但不可能平行
B.a与b可能垂直,也可能平行
C.a与b不可能垂直,但可能平行
D.a与b不可能垂直,也不可能平行
【解析】选C.当a,b都与l平行时,
则a∥b,所以A,D错.如图,若a⊥b,
过a上一点P在α内作a′⊥l,
因为α⊥β,所以a′⊥β.
又b?β,所以a′⊥b,
所以b⊥α,与题干要求矛盾,即a与b不可能垂直.
4.已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个结论:
①若l?β,且α⊥β,则l⊥α;②若l⊥β,且α∥β,则l⊥α;
③若l⊥β,且α⊥β,则l∥α;④若α∩β=m,且l∥m,则l∥α.
则所有正确结论的序号是________.?
【解析】若l?β,α⊥β,则l,α可以平行或相交,l也可能在平面α内,故①错误;由面面平行的性质、线面垂直的判定方法,得②正确;若l⊥β,α⊥β则l∥α或l?α,故③错误;若α∩β=m,l∥m,则l∥α或l?α,故④错误.所以正确结论的序号是②.
答案:②
5.若P是△ABC所在平面外一点,而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,那么二面角P-BC-A的大小为________.?
【解析】取BC的中点O,连接OA,OP(图略),则∠POA为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=,PA=,所以△POA为直角三角形,∠POA=90°.
答案:90°
6.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD.
【证明】连接AC,交BD于点F,连接EF,
所以EF是△SAC的中位线,所以EF∥SC.
因为SC⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.
又EF?平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的序号是
( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
【解析】选C.A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m⊥α或m?α,错误;B中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α,错误;C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正确;D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α,错误.
2.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是
( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC?平面PAC,所以AC⊥平面PBC.又因为BC?平面PBC,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
3.如图所示,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时∠B′AC=60°,那么这个二面角大小是
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选D.连接B′C,则△AB′C为等边三角形,
设AD=a,则B′C=AC=a,B′D=DC=a,
所以B′C2=B′D2+DC2,
所以∠B′DC=90°.
4.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,则这个四棱锥的五个面中两两垂直的对数为
( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】选A.因为AD⊥AB,AD⊥PA且PA∩AB=A,可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,CD⊥平面PAD,由面面垂直的判定定理可得,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,共有5对.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列四个命题其中真命题的是
( )
A.过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直
B.过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行
C.如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行
D.如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内
【解析】选ACD.根据空间点、线、面间的位置关系,过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直,故A正确;过平面外一点有无数条直线与该平面平行,故B不正确;根据平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行,故C正确;根据两个平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内,故D正确.
6.设l,m是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题错误的是
( )
A.若l⊥m,m?α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
【解析】选ACD.对于A,直线l需垂直于平面α内两条相交直线才能判定线面垂直,故A错误;对于B,可用线面垂直的判定定理证明,如在平面α内作两条相交直线,由l∥m与l⊥α可证明m也垂直于这两条相交直线,即m⊥α,故B正确;对于C,也有可能是l∥β或l与β相交或l?β,故C错误;对于D,也有可能是α与β相交,故D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角,这时顶点A到BC的距离是________.?
【解析】在翻折后的图形中,∠BDC为二面角B-AD-C的平面角,
即∠BDC=60°,AD⊥平面BDC.
过D作DE⊥BC于E,连接AE,
则E为BC的中点,且AE⊥BC,
所以AE即为点A到BC的距离.
易知,AD=a,△BCD是边长为的等边三角形,
所以DE=a,AE==a.
答案:a
8.如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是________.?
【解析】如图:因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB?β,OC?β且OB∩OC=O,根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β,又OA?α,根据两平面垂直的判定定理,可得α⊥β.
答案:两平面垂直的判定定理
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在三棱锥A
-BCD中,AB⊥AD,
BC⊥BD,
平面ABD⊥平面BCD,
点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
【解题指南】(1)根据AB⊥AD,EF⊥AD,可得EF∥AB,从而得EF∥平面ABC.
(2)证明BC⊥AD,再由AB⊥AD,从而可得AD⊥平面ABC,即得AD⊥AC.
【证明】(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,
所以EF∥AB.
又因为EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
BC?平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD,所以BC⊥AD.
又因为AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以AD⊥平面ABC,
又因为AC?平面ABC,所以AD⊥AC.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1和B1C1的中点.
(1)求证:平面MNF⊥平面NEF;
(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值.
【解析】(1)因为N,F均为所在棱的中点,所以NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN?平面A1B1C1D1,所以NF⊥MN.
又因为M,E均为所在棱的中点,
所以△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形,
所以∠MNC1=∠B1NE=45°,
所以∠MNE=90°,所以MN⊥NE.
又NF∩NE=N,所以MN⊥平面NEF.
而MN?平面MNF,
所以平面MNF⊥平面NEF.
(2)在平面NEF中,过点N作NG⊥EF于点G,连接MG.
由(1)知MN⊥平面NEF,
又EF?平面NEF,所以MN⊥EF.
NG?平面NEF,所以MN⊥NG.
又MN∩NG=N,
所以EF⊥平面MNG,所以EF⊥MG.
所以∠MGN为二面角M-EF-N的平面角.
设该正方体的棱长为2.
在Rt△NEF中,NG===,
所以在Rt△MNG中,
tan∠MGN===.
所以二面角M-EF-N的平面角的正切值为.
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若E为BC边的中点,能否在棱上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
【解析】(1)如图所示,
设G为AD的中点,连接PG,BG,
因为△PAD为正三角形,所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中,因为∠BAD=60°,G为AD的中点,
所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.
因为PB?平面PGB,所以AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.
设F为PC的中点,则在△PBC中,FE∥PB.
在菱形ABCD中,GB∥DE.
因为FE?平面DEF,DE?平面DEF,EF∩DE=E,
所以平面DEF∥平面PGB.
由题意得PG⊥平面ABCD,而PG?平面PGB,
所以平面PGB⊥平面ABCD,
所以平面DEF⊥平面ABCD.
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三十三 空间图形的表面积
(20分钟 35分)
1.棱长为3的正方体的表面积为
( )
A.27
B.64
C.54
D.36
【解析】选C.根据表面积的定义,组成正方体的面共6个,且每个都是边长为3的正方形.从而,其表面积为6×32=54.
2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为
( )
A.7
B.6
C.5
D.3
【解析】选A.设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)·3=84π,解得r=7.
3.棱长都是3的三棱锥的表面积S为________.?
【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形,
所以S=4××32=9.
答案:9
4.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8
cm和18
cm,侧棱长为13
cm,则其表面积为________.?
【解析】由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h==12(cm),所以
S侧=4××(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1
012(cm2).
答案:1
012
cm2
5.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为________.?
【解析】因为l=,所以S侧=π(R+r)l=2πl2=32π,所以l=4.
答案:4
6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积为392
cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.
【解析】方法一:圆台的轴截面如图所示,根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x
cm和3x
cm.
即A′O′=x
cm,AO=3x
cm(O′,O分别为上、下底面圆心),过A′作AB的垂线,垂足为点D.
在Rt△AA′D中,∠AA′D=45°,AD=AO-A′O′=2x
cm,所以A′D=AD=2x
cm,
又S轴截面=(A′B′+AB)·A′D=×(2x+6x)×2x=392(cm2),所以x=7.
综上,圆台的高OO′=14
cm,母线长AA′=OO′=14
cm,上、下底面的半径分别为7
cm和21
cm.
方法二:圆台的轴截面如图所示,根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x
cm和3x
cm,延长AA′,BB′交OO′的延长线于点S(O′,O分别为上、下底面圆心).
在Rt△SOA中,∠ASO=45°,所以SO=AO=3x
cm,又SO′=A′O′=x
cm,所以OO′=2x
cm.
又S轴截面=×(2x+6x)×2x=392(cm2),所以x=7.
综上,圆台的高OO′=14
cm,母线长AA′=OO′=14
cm,上、下底面的半径分别为7
cm,21
cm.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的
( )
A.4倍
B.3倍
C.倍
D.2倍
【解析】选D.由已知得l=2r,==2.
2.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的全面积为
( )
A.8
B.12
C.16
D.20
【解析】选B.由题意得侧面三角形底边上的高为=2,所以该正四棱锥的全面积为22+4××2×2=12.
3.正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此棱锥的侧面积等于
( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
【解析】选A.侧棱长为=a,斜高为=,
所以S侧=×3×a×=a2.
4.将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体,则表面积增加了
( )
A.6a2
B.12a2
C.18a2
D.24a2
【解析】选B.棱长为a的正方体的表面积为S1=6a2,由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2=27×=18a2,因此表面积增加了12a2.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.若圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形,则该圆柱体的表面积可以是
( )
A.+8
B.+8
C.+8
D.+8
【解析】选BD.由题知圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形,则分两种情况:当母线长为4时,圆柱的底面半径是,此时圆柱的表面积是+8;当母线长为2时圆柱的底面半径是,此时圆柱的表面积是+8.
6.下列说法正确的有
( )
A.多面体的表面积等于各个面的面积之和
B.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
C.沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等
D.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和
【解析】选AD.A正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.B错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.C错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的.D正确.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3,若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,则孔的半径为________.?
【解析】由题意知,圆柱侧面积等于圆柱上、下底面积和,即2πr×3=2πr2,所以r=3.
答案:3
8.已知正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为4
cm,高与斜高夹角为30°,则斜高为________;侧面积为________;全面积为________.?
【解析】如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成直角△POE.因为OE=2
cm,∠OPE=30°,
所以斜高PE===4(cm),
所以S正四棱锥侧=×4×4×4=32(cm2),
S正四棱锥全=42+32=48(cm2).
答案:4
cm 32
cm2 48
cm2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的全面积.
【解析】设正三棱锥底面边长为a,斜高为h′,如图所示,过O作OE⊥AB,
则SE⊥AB,即SE=h′.
因为S侧=2S底,
所以×3a×h′=a2×2,所以a=h′.
因为SO⊥OE,
所以SO2+OE2=SE2,
所以32+=h′2.
所以h′=2,所以a=h′=6.
所以S底=a2=×62=9,S侧=2S底=18.
所以S全=S侧+S底=18+9=27.
10.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短距离为,设这条最短路线与CC1的交点为N,求:
(1)该正三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2)PC与NC的长;
(3)此棱柱的表面积.
【解析】(1)正三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形其对角线长为=.
(2)如图,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P移动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.
设PC=x,即P1C=x,在Rt△MAP1中,由勾股定理得(3+x)2+22=29求得x=2(负值舍去),所以PC=P1C=2.
因为==,所以NC=.
(3)棱柱的表面积:
S=S侧+2S底=9×4+2×××32=.
课时素养评价
三十四 空间图形的体积
(20分钟 35分)
1.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设a为正方体的棱长,R为球的半径,由6a2=4πR2得,=,
所以===.
2.如图,ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA′B′B的体积是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为VC-A′B′C′=V柱=,
所以VC-AA′B′B=1-=.
3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.?
【解析】设正方体棱长为a,则a3=8,所以a=2.
所以正方体的体对角线长为2,
所以正方体外接球的半径为,
所以球的表面积为4π·()2=12π.
答案:12π
4.半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为________.?
【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,
如图所示,设圆锥底面半径为r,高为h,
则
所以
所以它的体积为×π×12×=π.
答案:π
5.圆柱形容器内盛有高度为8
cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.?
【解析】设球的半径为x
cm,由题意得πx2×8=πx2×6x-πx3×3,解得x=4.
答案:4
6.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.
【解析】取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.
则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.
因为AB=3,所以O1C=3.
在Rt△SO1C中,SC=2,
所以SO1=.
在Rt△SCE中,Rt△SCE∽Rt△SO1C,
所以SE===4.
所以球半径R=2.
所以球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为
( )
A.6
B.
C.2
D.2
【解析】选B.由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为,可知高h=2,又因为底面积S=,所以体积V=Sh=××2=.
2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有
( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
【解析】选B.设底面圆半径为R尺.
因为米堆底部弧长为8尺,所以·2πR=8,
所以R=.
所以体积V=×·πR2×5=×π××5.
因为π≈3,所以V≈(立方尺).
所以堆放的米约为≈22(斛).
3.已知一个表面积为24的正方体,假设有一个与该正方体每条棱都相切的球,则此球的体积为
( )
A.
B.4π
C.
D.
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则6a2=24,解得a=2.又球与正方体的每条棱都相切,则正方体的面对角线长为2,等于球的直径长,所以球的半径长是,所以此球的体积为π×()3=.
4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
( )
A.3π
B.
C.π
D.1
【解析】选B.如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,故四棱锥的体积为×2×1=.则几何体的体积为2×=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则正确的是
( )
【解析】选ABC.正三棱锥内接于球,故其各个顶点均在球面上,若过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形,则根据其顶点是否在截面上,有如下讨论:
①当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时,三个点都不在截面上,则截面近似A;
②当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时,它交对棱于中点,中点不在球上,也就不在截面上,则截面近似B;
③当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时,截得的面除了B的情况外,大都是C的情况,即另两点不在球(截面)上;
④当三棱锥的三个顶点都在截面上时,截面不过球心,与题意矛盾.综上可知,只有D是错误的.
6.正三棱锥S-ABC的外接球半径为2,底面边长AB=3,则此棱锥的体积可能是
( )
A.
B.
C.
D.3
【解析】选AB.设正三棱锥的高为h,球心在正三棱锥的高所在的直线上,设H为正三棱锥底面的中心.
因为底面边长AB=3,
所以AH=AD==,
当顶点S与球心在底面ABC的同侧时,如图,
有AH2+OH2=OA2,即+(h-2)2=22,
解得h=3或h=1(舍去),
所以三棱锥的体积为××3××3=.
当顶点S与球心在底面ABC的异侧时,如图,
有AH2+OH2=OA2,即+(2-h)2=22,
解得h=1或h=3(舍去),所以三棱锥的体积为××3××1=,综上三棱锥的体积为或.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图①,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图②,这时水面恰好为中截面,则图①中容器内水面的高度是________.?
【解析】设题图①中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S△ABCh.又题图②中水组成了一个直四棱柱,其底面积为S△ABC,高度为2a,则V=S△ABC·2a,
所以h==a.
答案:a
8.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6
cm,深为1
cm的空穴,则该球半径是________cm,表面积是________cm2.?
【解析】设球心为O,OC是与冰面垂直的一条半径,冰面截球得到的小圆圆心为D,AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R
cm,则OD=R-1,
则(R-1)2+32=R2,解得R=5,
所以该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π(cm2).
答案:5 100π
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积.
【解析】在底面正六边形ABCDEF中,连接BE,AD交于O,连接BE1,
则BE=2OE=2DE=,
在Rt△BEE1中,BE1==2,
所以球的直径2R=2,则R=,
所以球的体积为V球=πR3=4π,
球的表面积S球=4πR2=12π.
10.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,求阴影部分形成的几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
【解析】如图所示,过点C作CO1⊥AB于点O1,在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=
30°,AB=2R,
所以AC=R,BC=R,CO1=R,
所以S球=4πR2,=π×R×R=πR2,
=π×R×R=πR2,
S几何体表=S球++=πR2,
所以旋转所得到的几何体的表面积为πR2.
又V球=πR3,=AO1·π·C
=πR2·AO1,
=BO1·π·C=πR2·BO1,
又AO1+BO1=2R,
V几何体=V球-(+)=πR3.
如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6
m铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01
m2).
【解析】由题意可知矩形的长即圆柱的母线长为=1.2-2r,所以塑料片面积S=πr2+2πr·(1.2-2r)=-3πr2+2.4πr=-3π(r2-0.8r)=-3π(r-0.4)2+
0.48π.所以当r=0.4时,S有最大值0.48π,约为1.51
m2.
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