课时素养评价四十三 随机事件和样本空间
(15分钟 30分)
1.下列事件中,是随机事件的是
( )
A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形
B.长度为2,3,4的三条线段可以构成一个直角三角形
C.方程x2+2x+3=0有两个不相等的实根
D.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上
【解析】选D.A为必然事件,B,C为不可能事件.
2.依次抛掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是
( )
A.第一枚是3点,第二枚是1点
B.第一枚是3点,第二枚是1点或第一枚是1点,第二枚是3点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
【解析】选B.依次抛掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第一枚是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”.
3.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是
( )
A.A?D
B.B∩D=?
C.A∪C=D
D.A∪C=B∪D
【解析】选D.对于选项A,事件A包含于事件D,故A正确.对于选项B,由于事件B,D不能同时发生,故B∩D=?正确.对于选项C,由题意知正确.对于选项D,由于A∪C=D={至少有一弹击中飞机},不是必然事件;而B∪D为必然事件,所以A∪C≠B∪D,故D不正确.
4.给出下列结论:
①集合{x||x|<0}为空集是必然事件;
②y=x2的图象关于y轴对称是随机事件;
③若x2>0,则x>0是必然事件;
④对顶角不相等是不可能事件.
其中正确的是________(填序号).?
【解析】因为|x|≥0恒成立,所以①正确;y=x2的图象关于y轴对称,所以②不正确;由x2>0知x≠0,所以③是随机事件,不正确;④正确.
答案:①④
5.设集合M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)是一个基本事件.
(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件?“a<3且b>1”呢?
(2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件?
【解析】这个试验的基本事件构成集合Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)“a+b=5”这一事件包含以下4个基本事件:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
“a<3且b>1”这一事件包含以下6个基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),
(2,3),(2,4).
(2)“ab=4”这一事件包含以下3个基本事件:(1,4),(2,2),(4,1).
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.在1,2,3,…,10这十个数字中,任取三个不同的数字,那么“这三个数字的和大于5”这一事件是
( )
A.必然事件
B.不可能事件
C.随机事件
D.以上选项均有可能
【解析】选A.从1,2,3,…,10这十个数字中任取三个不同的数字,那么这三个数字和的最小值为1+2+3=6,所以事件“这三个数字的和大于5”一定会发生,所以由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A=“出现的点数是1或2”,事件B=“出现的点数是2或3或4”,则事件“出现的点数是2”可以记为
( )
A.A∪B
B.A∩B
C.A?B
D.A=B
【解析】选B.由题意可得:A=,B=,
所以A∪B=,A∩B=.
3.先后抛掷两枚质地均匀的一角、五角的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件中包含3个样本点的是
( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上
【解析】选A.“至少一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上,五角硬币正面向下”“一角硬币正面向下,五角硬币正面向上”3个样本点,故A正确;“只有一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向下”“一角硬币正面向下,五角硬币正面向上”2个样本点,故B错误;
“两枚硬币都是正面向上”包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向上”1个样本点,故C错误;
“两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上”包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向下”“一角硬币正面向下,五角硬币正面向上”2个样本点,故D错误.
4.(多选题)10个同类产品中有2个次品,现从中任意抽出3个,随机事件是
( )
A.3个都是正品
B.至少有一个是次品
C.3个都是次品
D.至少有一个是正品
【解析】选AB.A,B是随机事件,因为只有2个次品,所以抽取的3个都是次品是不可能事件,至少有一个正品是必然事件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答,则事件N=“所取的2道题不是同一类题”的样本空间为______.(4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6)?
【解析】任取两道题的样本空间
为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}.
N={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),
(3,6),(4,5),(4,6)}.
答案:{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)}
6.在一个盒子中有3个球,蓝球、红球、绿球各1个(用1表示蓝球,2表示红球,3表示绿球),从中随机取出一个球,观察颜色后放回,然后再随机取出1个球,则样本空间为______.若事件A=“第一次取出的是红球”,事件B=“两次取出的球颜色相同”,则A∩B=______.?
【解析】有放回地取两个球的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};
事件A={(2,1),(2,2),(2,3)},
事件B={(1,1),(2,2),(3,3)},所以A∩B={(2,2)}.
答案:{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} {(2,2)}
三、解答题
7.(10分)袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和样本空间:
(1)从中任取1球;
(2)从中任取2球.
【解析】(1)条件为:从袋中任取1球.样本空间:
Ω={红、白、黄、黑}.
(2)条件为:从袋中任取2球.若记(红,白)表示一次试验中取出的是红球与白球,样本空间:
Ω={(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}.
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四十四 古
典
概
型
(20分钟 35分)
1.已知袋中有红、白、黑三个球,不放回地从中摸出2个,则红球被摸中的概率为( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选B.袋中有红、白、黑三个球,不放回地从中摸出2个,共有红白、红黑、白黑3种情况;红球被摸中的情况有红白、红黑2种,故红球被摸中的概率为.
2.某校高二年级4个文科班要举行一轮单循环(每个班均与另外3个班比赛一场)篮球赛,则所有场次中甲、乙两班至少有一个班参加的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.记4个班分别为甲、乙、丙、丁,则他们的比赛对阵场次为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种,其中甲、乙两班至少有一个班参加的有5种,则所求概率P=.
3.从1,2,3,4这4个数中,不重复地任意取两个数,两个数都是奇数的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.从1,2,3,4这4个数中,不重复地任意取两个数,共有(1,2),(1,3),
(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共12种,其中两个数都是奇数的有(1,3),(3,1)两种情况,故从1,2,3,4这4个数中,不重复地任意取两个数,两个数都是奇数的概率P==.
4.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球;从中摸出1个球,若摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为________.?
【解析】因为摸出白球的概率是0.23,所以由古典概型概率公式,知白球的个数为100×0.23=23(个),所以黑球的个数为100-23-45=32(个),所以摸出黑球的概率为=0.32.
答案:0.32
5.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________.?
【解析】从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,基本事件总数n=4×4=16,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有8个,分别为:,,,,,
,,.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为P==.
答案:
6.某地发生大地震,全国人民纷纷伸出援助之手,白衣天使更是无私奉献.现随意安排甲、乙、丙3个医生在某医疗救助点值班3天,每人值班1天,
(1)这3人值班的顺序共有多少种不同的排法?
(2)其中甲在乙之前的排法有多少种?
(3)甲排在乙之前的概率是多少?
【解析】(1)3人值班的顺序所有可能的情况如图所示:
由图知,3人值班的顺序共有6种不同的排法.
(2)由图知,甲在乙之前的排法有3种.
(3)记“甲排在乙之前”为事件A,则事件A的概率是P(A)==.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.下列概率模型不是古典概型的为
( )
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B.同时掷两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率
【解析】选C.古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等.显然A,B,D符合古典概型的特征,所以A,B,D是古典概型;
C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.
2.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的恰有一名女同学的概率为
( )
A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6
【解析】选D.设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,则任选2人的种数为ab,aA,
aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC共10种,其中恰有一名女生为aA,aB,aC,bA,bB,bC共6种,故恰有一名女同学的概率P==0.6.
3.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事:“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马”.若双方各自拥有上、中、下等马各1匹,从中随机选1匹进行1场比赛,则齐王的马获胜的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.依题意,记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C.由题意可知,可能的比赛为aA,bA,cA,aB,
bB,cB,aC,bC,cC,共9种,其中田忌可以获胜的事件为aB,aC,bC,共3种,则齐王的马获胜的概率P=1-=.
4.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设其中测量过某项指标的3只兔子为a,b,c,剩余的2只为A,B,则从这5只中任取3只样本空间为:Ω={(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),
(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(b,A,B),(c,A,B)}共10种.其中恰有2只做过测试的样本点有(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B)共6种,所以恰有2只测量过某项指标的概率为=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个球,则是基本事件的为
( )
A.(正好2个红球)
B.(1个红球,1个黑球)
C.(至少1个白球)
D.(正好2个黑球)
【解析】选ABD.从里面摸2个球,样本空间为:Ω={(2个红球),(2个白球),(2个黑球),(1红1白),(1红1黑),(1白1黑)}.“至少1个白球”包括“(1白1红),(1白1黑),(2个白球)”,包含3个样本点.
6.一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是
( )
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
【解析】选ACD.记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.A选项,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P==,A正确;
B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),
(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1)(a,2),(a,3)},共12个,B错误;
C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;
D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},共16个,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.用红、黄、蓝三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则3个矩形颜色都相同的概率是________,3个矩形颜色都不同的概率是________.?
【解析】以“红黄蓝”表示从左到右三个矩形所涂的颜色,则所有的基本事件有:红红红、红红黄、红红蓝、红黄红、红黄黄、红黄蓝、红蓝红、红蓝黄、红蓝蓝、黄红红、黄红黄、黄红蓝、黄黄红、黄黄黄、黄黄蓝、黄蓝红、黄蓝黄、黄蓝蓝、蓝红红、蓝红黄、蓝红蓝、蓝黄红、蓝黄黄、蓝黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、蓝蓝蓝,共27个基本事件,事件“3个矩形颜色都相同”所包含的基本事件有:红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝,共3个基本事件,所以3个矩形颜色都相同的概率是=.事件“3个矩形颜色都不同”所包含的基本事件有:红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝黄红、蓝红黄,共6个基本事件,所以3个矩形颜色都不同的概率是=.
答案:
8.甲、乙、丙三组学生人数分别为3,2,2,现从中抽2人,则这两人来自同一组的概率为________.?
【解析】设甲组的3名学生记为A1,A2,A3,乙组的2名学生记为B1,B2,丙组的2名学生记为C1,C2,所有的基本事件有:,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,共21种,其中,事件“所抽取的2人来自同一组”所包含的基本事件有:,,,,,因此所求事件的概率为.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本.问:
(1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少?
(2)个体a在第1次未被抽到,而第二次被抽到的概率是多少?
(3)在整个抽样过程中,个体a被抽到的概率是多少?
【解析】将6个个体编号为1,2,3,4,5,a,则从中抽出的2个个体的编号可能为(前一个编号表示第一次抽到,后一个编号表示第二次抽到):
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,a);
(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,a);
(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,a);
(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,a);
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,a);
(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5).
(1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是P==;
(2)个体a在第1次未被抽到,而第2次被抽到的概率是P==;
(3)在整个抽样过程中,个体a被抽到的概率是
P==.
10.某班数学兴趣小组有男生3名,记为a1,a2,a3,女生2名,记为b1,b2,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛.
(1)写出所有的基本事件.
(2)求参赛学生中恰好有一名男生的概率.
(3)求参赛学生中至少有一名男生的概率.
【解析】(1)根据题意,用有序实数对来表示选出学生的情况,由列举法表示如下:
,,,,,
,,,,.
(2)由(1)可得,参赛学生中恰好有一名男生的情况为:
,,,,,,共6种情况.
因此参赛学生中恰好有一名男生的概率为
P(A)==.
(3)参赛学生中至少有一名男生的情况有9种,故至少有一名男生的概率为P=.
1.如图所示是某市2019年2月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市,并停留3天.
则此人到达当日空气质量优良的概率为______;此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为______.?
【解析】在2月1日至2月12日这12天中,只有5日,8日共2天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率P==.
事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”,即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”.
“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”,其概率为=.“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”,其概率为.所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P=+=.
答案:
2.5张奖券中有2张是中奖的,先由甲抽1张,然后由乙抽1张,抽后不放回,求:
(1)甲中奖的概率P(A);
(2)甲、乙都中奖的概率P(B);
(3)只有乙中奖的概率P(C);
(4)乙中奖的概率P(D).
【解析】将5张奖券编号为1,2,3,4,5,其中4,5为中奖奖券,用(x,y)表示甲抽到号码x,乙抽到号码y,则所有可能的结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),
(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20种.
(1)甲中奖包含8个基本事件:(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4),
所以P(A)==.
(2)甲、乙都中奖包含2个基本事件:(4,5),(5,4),所以P(B)==.
(3)只有乙中奖包含6个基本事件:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),
所以P(C)==.
(4)乙中奖包含8个基本事件:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),
(4,5),(5,4),
所以P(D)==.
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四十五 频率的稳定性
(20分钟 35分)
1.一个容量100的样本,其数据的分组与各组的频数如表:
组别
(0,10]
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10,40]上的频率为( )
A.0.13
B.0.39
C.0.52
D.0.64
【解析】选C.由题意可知频数在的有:
13+24+15=52,由频率=频数÷总数可得52÷100=0.52.
2.某种彩票中奖的概率为.若购买该种彩票10
000张,则下列说法正确的是
( )
A.一定有1张中奖
B.一定有3张中奖
C.可能0张中奖
D.不可能3张中奖
【解析】选C.因为概率代表可能性,所以购买该种彩票10
000张可能0张中奖,也可能有3张中奖,所以A,B,D错误.
3.抛掷一枚质地均匀的硬币,若连续抛掷100次,则第99次出现正面向上的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.抛掷一枚质地均匀的硬币,正面向上是一个随机事件且每次发生的概率都是,与抛掷的次数无关.
4.根据多年的气象统计资料显示,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为
( )
A.0.55
B.0.35
C.0.80
D.1.00
【解析】选B.晴天的概率P=1-0.45-0.20=0.35.
5.对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如表所示.数据表中所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品,大约需抽查________件产品.?
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
【解析】由表中数据知:抽查5次,产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,
0.956,可见频率在0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格的概率均为0.95.设大约需抽查n件产品,则≈0.95,所以n≈1
000.
答案:1
000
6.用一台自动机床加工一批螺母,从中抽出100个逐个进行直径检验,结果如下:
直径
个数
直径
个数
6.88
1
6.9326
6.892
6.9415
6.9010
6.958
6.9117
6.962
6.9217
6.972
从这100个螺母中任意抽取一个,求:
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率;
(4)事件D(d≤6.89)的频率.
【解析】(1)事件A的频率f(A)==0.43.
(2)事件B的频率
f(B)==0.93.
(3)事件C的频率f(C)==0.04.
(4)事件D的频率f(D)==0.01.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在一次抛硬币的试验中,同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了45次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为
( )
A.0.45,0.45
B.0.5,0.5
C.0.5,0.45
D.0.45,0.5
【解析】选D.由频率和概率的概念,可知出现正面朝上的频率是45÷100=0.45,
出现正面朝上的概率是0.5.
2.下列说法正确的是
( )
A.某试验进行n次发生的频率就是该随机事件的概率
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,事件发生的频率一般会稳定于概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
【解析】选C.一般是用频率估计概率,概率是一个确定的值,故A错;频率是由试验的次数决定的,故B错;概率是频率的稳定值,故C正确,D错.
3.某人将一枚硬币连掷10次,正面朝上的情况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A的
( )
A.概率为
B.频率为
C.频率为8
D.概率接近于8
【解析】选B.做n次随机试验,事件A发生了m次,则事件A发生的频率为.如果多次进行试验,事件A发生的频率总在某个常数附近摆动,那么这个常数才是事件A的概率.故=为事件A的频率.
4.同时向上抛100个铜板,结果落地时100个铜板朝上的面都相同,你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况
( )
A.这100个铜板两面是相同的
B.这100个铜板两面是不相同的
C.这100个铜板中有50个两面是相同的,另外50个两面是不相同的
D.这100个铜板中有20个两面是相同的,另外80个两面是不相同的
【解析】选A.落地时100个铜板朝上的面都相同,根据概率的知识可知,这100个铜板两面是相同的可能性较大.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.给出下列四个结论,其中正确的有
( )
A.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是
B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
【解析】选CD.对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确.
6.下列说法正确的有
( )
A.随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值
B.在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生
C.任意事件A发生的概率P满足0D.若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是不可能事件
【解析】选AB.因为随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,所以A中说法正确;基本事件的特点是任意两个基本事件是不可能同时发生的,所以在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生,所以B中说法正确;必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,随机事件发生的概率大于0且小于1.所以任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P≤1,所以C中说法错误;若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是小概率事件,但不是不可能事件,所以D中说法错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.抽取样本点为20的样本数据,分组后的频数如表:
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,30)的频率为________.?
【解析】由题意知,落在[10,30)的频数为2+3=5,所以频率为=0.25.
答案:0.25
8.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为______,估计数据落在[2,10)内的概率约为________.?
【解析】数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4=64,数据落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4,由频率估计概率知,所求概率为0.4.
答案:64 0.4
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.元旦就要到了,某校将举行庆祝活动,每班派1人主持节目.高一(2)班的小明、小华和小利实力相当,都争着要去,班主任决定用抽签的方式决定,机灵的小强给小华出主意,要小华先抽,说先抽的机会大,你是怎样认为的?
【解析】其实机会是一样的.我们取三张卡片,上面标上1,2,3,抽到1就表示中签,设抽签的次序为小明、小华、小刚,则可以把情况填入下表:
情况人名
一
二
三
四
五
六
小明
1
1
2
2
3
3
小华
2
3
1
3
1
2
小利
3
2
3
1
2
1
从表格可以看出:小明、小华、小利依次抽签,一共有六种情况,第一、二两种情况,小明中签;第三、五两种情况,小华中签;第四、六两种情况,小利中签.所以小明、小华、小利中签的可能性都是相同的,即小明、小华、小利的机会是一样的,先抽后抽机会是均等的.
10.健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:
消费次数
第1次
第2次
第3次
不少于4次
收费比例
0.95
0.90
0.85
0.80
现随机抽取了100位会员统计他们的消费次数,得到数据如下:
消费次数
1次
2次
3次
不少于4次
频数
60
25
10
5
假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:
(1)估计1位会员至少消费两次的概率;
(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;
【解析】(1)根据消费次数表,估计1位会员至少消费两次的概率P==.
(2)第1次消费利润60×0.95-30=27;
第2次消费利润60×0.90-30=24;
第3次消费利润60×0.85-30=21;
第4次消费利润60×0.80-30=18;
这4次消费获得的平均利润:=22.5.
街头有人摆一种游戏,方法是投掷两枚骰子,如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况,红方胜,而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时,白方胜,这种游戏对双方公平吗?若不公平,请说明哪方占便宜.
【解析】不公平.两枚骰子点数之和如表:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种,概率是=,两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种,概率是=.所以这种游戏不公平,白方比较占便宜.
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四十六 互斥事件的概率
(20分钟 35分)
1.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.7,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为
( )
A.0.7
B.0.2
C.0.1
D.0.3
【解析】选D.因为抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,事件A={抽到一等品},P(A)=0.7,
所以抽到不是一等品的概率是1-0.7=0.3.
2.从四双不同的鞋中任意取出4只,事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”
( )
A.是对立事件
B.不是互斥事件
C.是互斥但不对立事件
D.都是不可能事件
【解析】选A.从4双不同的鞋中任意取出4只,可能的结果为:“恰有2只成对”“4只全部成对”“4只都不成对”,故事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有2只成对”+“4只都不成对”=“至少有两只成对”.所以事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是对立事件.
3.某人在打靶时,连续射击2次,事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________.?
【解析】因为“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”,所以其对立事件是“2次都中靶”.
答案:2次都中靶
4.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是________.①A与C互斥;②B与C互斥;③任何两个均互斥;④任何两个均不互斥.?
【解析】在①中,A与C能同时发生,所以A与C不是互斥事件,故①错误;
在②中,B与C不能同时发生,B与C互斥,故②正确;在③中,A与C不是互斥事件,故③错误;
在④中,B与C互斥,故④错误.
答案:①③④
5.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=________,
P()=________.?
【解析】由题意得P(A)+P(B)=1-=,
因为P(A)=2P(B),所以P(A)=,P(B)=,所以P()=1-P(A)=,P()=1-P(B)=.
答案:
6.经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?
(2)至少3人排队等候的概率是多少?
【解析】记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C.所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.抛掷一枚骰子1次,记“向上一面的点数是4,5,6”为事件A,“向上一面的点数是1,2”为事件B,“向上一面的点数是1,2,3”为事件C,“向上一面的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A,B,C,D判断错误的有
( )
A.A与B是互斥事件但不是对立事件
B.A与C是互斥事件也是对立事件
C.A与D是互斥事件
D.C与D不是对立事件也不是互斥事件
【解析】选C.在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确;
在B中,
A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确;
在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误;
在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.
2.下列各组事件中,不是互斥事件的是( )
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.同时投掷3枚硬币,恰有两枚正面向上与至多一枚正面向上
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
【解析】选B.对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件.
3.设事件A,B,已知P(A)=,
P(B)=,P=,则A,B之间的关系一定为( )
A.两个任意事件
B.互斥事件
C.非互斥事件
D.对立事件
【解析】选B.因为P(A)=,P(B)=
所以P(A)+P(B)=+=,
又P=,所以P=P(A)+P(B),
所以A,B为互斥事件.
4.口袋中装有一些大小相同的红球和黑球,从中取出2个球.两个球都是红球的概率是,都是黑球的概率是,则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意知,从袋中取出2个球的所有可能情况为2个都是红球,2个都是黑球,1个红球和1个黑球.由互斥事件的概率公式可得,取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是1--=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列命题中为真命题的是
( )
A.若事件A与事件B为对立事件,则事件A与事件B为互斥事件
B.若事件A与事件B为互斥事件,则事件A与事件B为对立事件
C.若事件A与事件B为对立事件,则事件A+B为必然事件
D.若事件A+B为必然事件,则事件A与事件B为互斥事件
【解析】选AC.对于A,对立事件首先是互斥事件,故A为真命题.
对于B,互斥事件不一定是对立事件,如将一枚硬币抛掷两次,共出现(正,正),
(正,反),(反,正),(反,反)四种结果,事件M=“两次出现正面”与事件N=“只有一次出现反面”是互斥事件,但不是对立事件,故B为假命题.
对于C,事件A,B为对立事件,则在一次试验中A,B一定有一个发生,故C为真命题.
对于D,事件A+B表示事件A,B至少有一个要发生,A,B不一定互斥,故D为假命题.
6.在一个试验模型中,设A表示一个随机事件,表示A的对立事件.以下结论正确的是
( )
A.P(A)=P()
B.P(A+)=1
C.若P(A)=1,则P()=0
D.P(A)=0
【解析】选BCD.选项A,由对立事件的性质P(A)+P()=1,
P(A)=P()不一定正确;
由对立事件的概念得A+=Ω,
即P(A+)=P(Ω)=1,B正确;
由对立事件的性质P(A)+P()=1知,P(A)=1-P(),故若P(A)=1,则P()=0,C正确;
由对立事件的概念得A=?,
即P(A)=P(?)=0,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.甲射击一次,中靶概率是p1,乙射击一次,中靶概率是p2,已知,是方程x2-5x+6=0的根,且p1满足方程x2-x+=0.则甲射击一次,不中靶概率为______;乙射击一次,不中靶概率为________.?
【解析】由p1满足方程x2-x+=0知p12-p1+=0,解得p1=,因为,是方程x2-5x+6=0的根,所以·=6,解得p2=,
所以甲射击一次不中靶的概率为1-=,
乙射击一次不中靶的概率为1-=.
答案:
8.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一枚炮弹击中飞机},D={至少有一枚炮弹击中飞机},其中为互斥事件的是________;为对立事件的是________.?
【解析】由于事件A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件;同理可得,A与C,B与C,B与D也是互斥事件.综上可得,A与B,A与C,B与C,B与D都是互斥事件.在上述互斥事件中,再根据B,D满足B+D为必然事件,故B与D是对立事件.
答案:A与B、A与C,B与C、B与D B与D
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,不够8环的概率是0.29,计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.
【解析】记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A,命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A1,A2,A3,A4,由题意知,A2,A3,A4彼此互斥,
所以P(A2+A3+A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4)
=0.28+0.19+0.29=0.76.又因为A1与A2+A3+A4互为对立事件,所以P(A1)=1-P(A2+
A3+A4)=1-0.76=0.24.
因为A1与A2互斥,且A=A1+A2,
所以P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.24+0.28=0.52.
10.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为,中二等奖或三等奖的概率是.
(1)求任取一张,中一等奖的概率;
(2)若中一等奖或二等奖的概率是,求任取一张,中三等奖的概率.
【解析】设任取一张,中一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,它们是互斥事件.由条件可得P(D)=,P(B+C)=P(B)+P(C)=.
(1)由对立事件的概率公式知P(A)=1-P(B+C+D)=1-P-P(D)=1--=,所以任取一张,中一等奖的概率为;
(2)因为P(A+B)=,而P=P(A)+P(B),所以P(B)=-=,
又P=P(B)+P(C)=,
所以P(C)=,
所以任取一张,中三等奖的概率为.
袋中装有红球、黑球、黄球、绿球各若干个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?
【解析】从袋中任取一球,记“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为事件A,B,C,D,则事件A,B,C,D两两互斥.
根据题意有P(A)=,P=P(B)+P(C)
=,P=P(C)+P(D)=,
P=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=,
联立方程,得
解得
所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是,,.
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四十七 独立事件的概率
(20分钟 35分)
1.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为1,2,3元).甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5,0.2,甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2,0.4,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为
( )
A.0.18
B.0.3
C.0.24
D.0.36
【解析】选B.由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4,所以甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为P=0.5×0.2+0.2×0.4+0.3×0.4=0.3.
2.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为,,,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.
设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=,
P(B)=,P(C)=,停车一次即为事件BC+AC+AB的发生,故概率P=××
+××+××=.
3.2019年10月20日,第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”,其中有5项成果均属于芯片领域,分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”“特斯拉全自动驾驶芯片”寒武纪云端AI芯片“思元270”赛灵思“Versal自适应计算加速平台”.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解,且学生之间的选择互不影响,则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.根据题意可知,1名学生从15项中任选1项,其选择“芯片领域”的概率为=,
故其没有选择“芯片领域”的概率为,
则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为××=,因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1-=.
4.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)=______.?
【解析】因为P()P()=,P()P(B)=P()P(A),设P(A)=x,P(B)=y,
所以,
所以x=.
答案:
5.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码.已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为,,,且他们是否破译出密码互不影响,则至少有1人破译出密码的概率是________.?
【解析】依题意,设事件A表示至少有1人破译出密码,
则事件A的对立事件表示三人都没有破译出密码,
则P(A)=1-P()=1-××=.
答案:
6.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个,从中任取1只,有放回地抽取3次.
求:(1)3只全是红球的概率;
(2)3只颜色全相同的概率;
(3)3只颜色不全相同的概率.
【解析】由于是有放回地取球,因此袋中每只球每次被取到的概率均为.
(1)3只全是红球的概率为
P1=××=.
(2)3只颜色全相同的概率为
P2=2·P1=2×=.
(3)3只颜色不全相同的概率为
P3=1-P2=1-=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.下列各对事件中,是相互独立事件的是
( )
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D.甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【解析】选B.在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因此当P(A)≠1时,P(AB)
≠P(A)·P(B),故A、B不独立.
2.下列对各事件发生的概率判断正确的是
( )
A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B.三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为,,,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为
C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为
D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是
【解析】选C.对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为×=,故A错误;
对于B,用A,B,C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为××=,所以此密码被破译的概率为1-=,故B不正确;
对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)==,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)==,故取到同色球的概率为×+×=,故C正确;
对于D,易得P(A)=P(B),
即P(A)P()=P(B)P(),
即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],
所以P(A)=P(B),又P(
)=,
所以P()=P()=,所以P(A)=,故D错误.
3.某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别为,.只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第三关的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设Ai=“第i次通过第一关”,Bi=“第i次通过第二关”,其中i=1,2;
由题意选手能进入第三关的事件为:
A1B1+A2B1+A1B2+A2B2,
所以概率为
P
=×+××+××+×××=.
4.设M,N为两个随机事件,给出以下命题:
(1)若M,N为互斥事件,且P(M)=,P(N)=,则P(M+N)=;
(2)若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件;
(3)若P()=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件;
(4)若P(M)=,P()=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件;
(5)若P(M)=,P(N)=,P(
)=,则M,N为相互独立事件;其中正确命题的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.若M,N为互斥事件,且P(M)=,P(N)=,则P(M+N)=+=,故(1)正确;
若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,
则由相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,故(2)正确;
若P()=,P(N)=,P(MN)=,
则P(M)=1-P()=,
P(MN)=P(M)P(N),
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,故(3)正确;
若P(M)=,P()=,P(MN)=
,
当M,N为相互独立事件时,P(N)=1-P()=,P(MN)=×=≠,故(4)错误;
若P(M)=,P(N)=,P(
)=,
则P(MN)=P(M)·P(N)=,
P(
)=1-P(MN),
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,故(5)正确.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是
( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
【解析】选ACD.设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,
则P(A1)=,P(A2)=,且A1,A2独立;
在A中,2个球都是红球为A1A2,其概率为×=,A正确;
在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,B错误;
在C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-×=,C正确;
2个球中恰有1个红球的概率为×+×=,D正确.
6.如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣分别为A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是
( )
A.AB所在线路畅通的概率为
B.ABC所在线路畅通的概率为
C.DE所在线路畅通的概率为
D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为
【解析】选BD.由题意知,A,B,C,D,E保险闸被切断的概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P=,
所以A、B两个箱子畅通的概率为×=,因此A错误;
D、E两个箱子并联后畅通的概率为1-×=1-=,因此C错误;
A、B、C三个箱子混联后畅通的概率为1-×=1-=,B正确;根据上述分析可知,当开关合上时电路畅通的概率为×=,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.投到某出版社的稿件,先由两位初审专家进行评审,若能通过两位初审专家的评审,则直接予以录用,若两位初审专家都未予通过,则不予录用,若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为,复审的稿件能通过评审的概率为,各专家独立评审,则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为________.?
【解析】记A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;B表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审;C表示事件:稿件能通过复审专家的评审;D表示事件:稿件被录用,则D=A+B·C,
P(A)=×=,P(B)=2××=,P(C)=,所以P(D)=P(A+B·C)=P(A)+P(B·C)
=P(A)+P(B)P(C)=+×=.
答案:
8.甲、乙两人同时参加公务员考试,甲笔试、面试通过的概率分别为和;乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试、面试都通过则被录取,且甲、乙录取与否相互独立,则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________,只有一人被录取的概率是________.?
【解析】甲被录取的概率为P1=×=,乙被录取的概率为P2=×=,
则该次考试甲、乙同时被录取的概率是P=P1P2=×=,只有一人被录取的概率是P=P1+P2(1-P1)=×+×=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.在校体育运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.在每场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率;
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
【解析】(1)若甲队获第一名且丙队获第二名,即甲胜乙,甲胜丙,且丙胜乙,
即P=××=,
即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是;
(2)当甲队恰得3分,即甲队胜了一场时,甲胜乙且丙胜甲,或甲胜丙且乙胜甲,
P=×+×=,
当甲恰得6分,即甲队胜了2场,
即P=×=,
那么该次比赛中甲队至少得3分的概率
P=+=.
10.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2
.
已知各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手被淘汰的概率;
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题被淘汰的概率.
【解析】(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i=1,2,3,4),则P(A1)=0.6,
P(A2)=0.4,P(A3)=0.5,P(A4)=0.2.该选手被淘汰的概率:P=P(+A1+A1
A2+
A1
A2
A3)=P()+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()+P(A1)P(A2)P(A3)P()
=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.976.
(2)
P=P(A1+A1
A2+A1
A2
A3)
=P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()+P(A1)·P(A2)P(A3)P()=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.576.
1.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.若按照顺时针方向跳的概率为p,则按逆时针方向跳的概率为2p,可得p+2p=3p=1,解得p=,即按照顺时针方向跳的概率为,按逆时针方向跳的概率为,若青蛙在A叶上,则跳3次之后停在A叶上,则满足3次逆时针或者3次顺时针.①若先按逆时针开始从A→B→C,则对应的概率为××=;②若先按顺时针开始从A→C→B,则对应的概率为××=,则概率为+=.
2.甲、乙两名射击运动员一次射击命中目标的概率分别是0.7,0.6,且每次射击命中与否相互之间没有影响,求:
(1)甲射击三次,第三次才命中目标的概率;
(2)甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率.
【解析】记“甲第i次射击命中目标”为事件Ai,“乙第i次射击命中目标”为事件Bi,依题意得P=0.7,P=0.6,且Ai,Bi(i=1,2,3)相互独立.
(1)“甲第三次才命中目标”为事件
A3,且三次射击相互独立,
所以P=P()P()P
=0.3×0.3×0.7=0.063.
答:甲第三次才命中目标的概率为0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标”为事件C.P(C)=1-P·P()=1-0.3×0.4=0.88.
答:甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率为0.88.
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