(共25张PPT)
7.1.1 角的推广
课标阐释
1.掌握用“旋转”定义角,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的定义.
2.掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法.
3.体会运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在跳水、体操、花样滑冰比赛中,常常听到“转体三周”的说法,那么转体三周运动员要转体多少度呢?显然转过的角是大于360°的角,我们如何认识这样的角呢?
这样的角不再局限于0°~360°的范围内,可以是任意的大小,还可以有正负,这就是本节要学习的角的概念的推广.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:任意角
1.角的概念:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形.
2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类
激趣诱思
知识点拨
微思考
始边与终边重合的角一定是零角吗?
提示不一定.只有始边没有旋转时才是零角.
微练习
经过1个小时,时针转过的角度是 .?
答案-30°
激趣诱思
知识点拨
知识点二:象限角
1.象限角
将角放在平面直角坐标系中,约定:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.
如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
2.终边相同的角
一般地,角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同,这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角,它们的差一定是360°的整数倍.因此,所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点
(1)α是任意角.
(2)“k∈Z”有三层含义:
①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.
②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).
③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,当k取正整数时,逆时针旋转;当k取负整数时,顺时针旋转;当k=0时,没有旋转.
(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)钝角是第二象限角.( )
(2)第二象限角是钝角.( )
(3)第二象限角大于第一象限角.( )
答案(1)√ (2)× (3)×
微练习
与-40°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
有关角的概念问题
例1下列说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限的角一定是锐角
C.终边相同的角之间相差360°的整数倍
D.大于90°的角都是钝角
分析根据角的概念、终边相同角的集合等概念解题,特别注意锐角、直角、钝角等特殊的角.
解析终边相同的角不一定相等,可能相差k·360°(k∈Z),故A错;因为锐角的集合是{α|0°<α<90°},而第一象限的角的集合是{α|k·360°<α
180°时,均大于90°,所以大于90°的角不一定都是钝角,故D错.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
反思感悟
判断角的概念问题的关键与技巧
(1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°~90°的角等概念.
(2)本题也可采用排除法,这时需掌握判断说法是否正确的技巧.判断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反例即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1判断下列说法是否正确:
(1)第一象限的角小于第二象限的角;
(2)若90°≤α≤180°,则α为第二象限的角.
解(1)不正确.如390°角是第一象限的角,120°角是第二象限的角,显然390°>120°,所以该说法是错误的.
(2)不正确.其中90°,180°角都不是象限角,显然该说法是错误的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
终边相同的角的问题
例2在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中:
(1)有几种终边不相同的角?
(2)在集合S中有几个在-360°~360°内的角?
分析从代数角度看,取k=…,-2,-1,0,1,2,
…,可以得α为…,-135°,-45°,45°,
135°,225°,…;从图形角度看,是以45°角为基础,依次加上(或减去)90°的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90°所得的各角,如图所示,结合图形求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45°,135°,225°,315°角终边相同的角.
(2)令-360°≤k·90°+45°<360°,
又因为k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.
所以在-360°~360°内的角共有8个.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
运用终边相同的角的注意事项
所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α(k∈Z)表示,在运用时需注意以下四点:
(1)k是整数,这个条件不能漏掉.
(2)α是任意角.
(3)k·360°与α之间用“+”连接.
(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图所示,写出终边落在直线y=
x上的角的集合.
解终边落在y=
x(x≥0)上的角的集合为
S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},
终边落在y=
x(x≤0)上的角的集合为
S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.
于是,终边落在直线y=
x上的角的集合为
S=S1∪S2={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}.因为{n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
终边相同的角的集合之间的关系
例3已知集合A={α|30°+k·180°<α<80°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
解因为30°+k·180°<α<80°+k·180°,k∈Z,
所以当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<80°+n·360°,n∈Z;
当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n·360°<α<260°+n·360°,n∈Z,
所以集合A中角的终边在如图阴影(Ⅰ)区域内,
集合B中角的终边在如图阴影(Ⅱ)区域内.
所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.
所以A∩B={α|30°+n·360°<α<45°+n·360°,n∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
区域角表示的步骤
(1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域.
(2)确定-360°<α<360°范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角.
(3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般都是利用数形结合解题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究若本例中集合A={α|30°+k·120°<α<80°+k·120°,k∈Z},求A∩B.
解对于集合A,当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°<α<80°+n·360°.
当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°<α<200°+n·360°.
当k=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°<α<320°+n·360°.
故A∩B={α|-45°+n·360°<α<-40°+n·360°或30°+n·360°<α<45°+n·360°,n∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下列叙述正确的是( )
A.三角形的内角必是第一或第二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.第四象限角一定是负角
D.钝角比第三象限角小
解析90°的角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°的角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.把-1
485°化成α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
A.315°-5×360°
B.45°-4×360°
C.-315°-4×360°
D.-45°-10×180°
解析∵0°≤α<360°,∴排除C,D选项,经计算可知选项A正确.
答案A
3.已知α是第四象限的角,则
是 象限的角.?
答案第二或第四
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.终边在120°角终边所在直线上的所有角的集合是 ,上述集合在[-180°,180°)内的角是 .?
解析所求角的集合依次为S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+2k·180°,k∈Z},
S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z},因为{n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.当n=-1或n=0时,取得在
[-180°,180°)内的角为-60°,120°.
答案{α|α=120°+n·180°,n∈Z} -60°,120°
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.若角α的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.
解以OA为终边的角为75°+k·360°(k∈Z),以OB为终边的角为
-30°+k·360°(k∈Z),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α|-30°+k·360°<α<75°+k·360°,k∈Z}.(共30张PPT)
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
课标阐释
1.理解弧度制的定义.
2.掌握角度制与弧度制的换算公式,并能熟练地进行角度与弧度的换算,熟记特殊角的弧度数.
3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,并会运用其解决问题.
4.会用信息技术进行弧度制与角度制的换算.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在日常生活中,一个量常常需要用不同的方法来度量,以此来满足我们不同的需要.如右图,日晷是我国古代利用日影角度的变化来度量时间的一种仪器.现在,我们普遍使用的时钟,是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪种方法,度量一个确定的量所得到的数量必须是唯一确定的.在初中,我们学习过利用角度来度量角的大小,那么对于角,除了角度制,还可以用其他的方法来度量吗?答案是肯定的,下面我们就来学习角的另一种度量办法.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:弧度制
1.弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1
rad,这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
2.弧度数
弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列叙述中,正确的是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度等于半径长的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位
答案D
激趣诱思
知识点拨
知识点二:角度制与弧度制的换算
激趣诱思
知识点拨
2.特殊角的弧度数.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)1弧度的角比1°的角要大.( )
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( )
(3)160°化为弧度数是
π
rad.( )
答案(1)× (2)√ (3)√
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列换算结果错误的是( )
答案C
激趣诱思
知识点拨
知识点三:扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)在应用公式l=αr和
时,要注意α的单位是弧度.
(2)在运用公式时,根据已知的是角度数还是弧度数,选择合适的公式代入.
(3)由α,r,l,S中的两个量可以求出另外的两个量.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,则
的长为 ;弓形ACB的面积为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
弧度制的概念
例1下面各命题中,是假命题的为 .(填序号)?
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位;②1度的角是周角的
,1弧度的角是周角的
;③根据弧度的定义,180°一定等于π弧度;④无论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与所在圆的半径的长短有关.
解析根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小均与所在圆的半径的长短无关,而是与圆心角的大小有关,所以④是假命题.
答案④
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下列说法正确的是( )
A.1弧度的角与1度的角大小是相等的
B.用弧度制表示角时,都是正角
C.在大小不等的圆中,1弧度的圆心角所对的弧的长度是不同的
D.用角度制和弧度制表示角时,单位都可以省略不写
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度制与弧度制的互化
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π
rad=180°是关键;
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2将下列角度与弧度进行互化:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
扇形面积公式、弧长公式的应用
例3已知扇形的周长为10
cm,则当扇形的半径和圆心角各取何值时,扇形的面积最大?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=αr,
(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究本例变为:扇形面积为10,当半径r为多少时,扇形的周长最短?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
一题多解与弧度有关的实际应用问题
典例
在一般的时钟上,自0时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?(不考虑旋转方向)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.方法一是根据时针与分针所走的时间相等列出方程求解;而方法二则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α比时针所转过的弧度数多2π,利用时针和分针的旋转速度之间的关系列出方程求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.终边在第四象限的对角线上的角的集合是( )
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.若2弧度的圆心角所对的弧长是4
cm,则这个圆的半径r= ,圆心角所在的扇形面积是 .
?
答案2
cm 4
cm2
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.(共28张PPT)
7.2.1 三角函数的定义
课标阐释
1.理解并掌握任意角的三角函数的定义.
2.能根据任意角的三角函数的定义,分析出三角函数在各象限的符号,并能根据角α的某种三角函数值符号,判断出α所在的象限.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图,它的中心离地面的高度为h0,它的直径为2R,逆时针方向匀速转动,转动一周需要360秒.
问题:1.若现在你坐在座舱中,从初始位置OA出发,过了30秒后,你离地面的高度h为多少?过了45秒呢?过了t秒呢?
2.建立如图所示直角坐标系,射线OP与单位圆交于点P,设点P(xP,yP),你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:任意角的正弦、余弦与正切的定义
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习1
答案B
激趣诱思
知识点拨
答案C
激趣诱思
知识点拨
知识点二:正弦、余弦与正切在各象限的符号
如果P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,
,由r>0可知,sin
α的正负与α终边上点的纵坐标的符号相同,所以,当且仅当α的终边在第一、二象限,或y轴正半轴上时,sin
α>0;当且仅当α的终边在第三、四象限,或y轴负半轴上时,sin
α<0.
当且仅当α的终边在第一、四象限,或x轴正半轴上时,cos
α>0;当且仅当α的终边在第二、三象限,或x轴负半轴上时,cos
α<0.
当且仅当α的终边在第一、三象限时,tan
α>0;当且仅当α的终边在第二、四象限时,tan
α<0.
激趣诱思
知识点拨
以上结果可用下图直观表示.
名师点析
正弦函数值的符号取决于y轴的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于x轴的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于x轴,y轴的符号,同号为正,异号为负.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
(1)若sin
α,cos
α都是负数,则α是第 象限角.?
(2)若tan
α<0,则α是第 象限角.?
答案(1)三 (2)二或四
激趣诱思
知识点拨
微练习2
判断下列各三角函数值的符号:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
三角函数的定义
例1已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin
α,cos
α,tan
α的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数值的求解策略
当所给角的终边上的点含有字母时,一定要注意分类讨论,并结合函数值的正负进行取舍.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
判断三角函数值的符号
例2判断下列三角函数值的符号.
(2)sin
3·cos
4·tan
5.
分析确定一个角的三角函数值的符号,关键要看角在哪一个象限;确定一个式子的符号,则需要观察该式子的结构特点及每部分的符号.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在的象限;
(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
三角函数式的化简与求值
分析按角x在第一象限,第二象限,第三象限,第四象限进行讨论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
简单的三角函数的化简求值,因给出的式子中含绝对值符号,所以要分类讨论,分类一定要全,求值一定要准.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案-8
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在三角函数定义中的应用
典例
已知角α的终边落在直线y=2x上,求sin
α,cos
α,tan
α的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
直线y=2x被点(0,0)分成两条射线,故α的终边有两种情况,需分类讨论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos
α=( )
答案A
2.若tan
θ·sin
θ<0,且tan
θ·cos
θ>0,则θ是( )
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.判断下列各式的符号(填“>”或“<”):
(1)sin
328° 0;?
解析(1)因为270°<328°<360°,所以328°是第四象限角,所以sin
328°<0.
答案(1)< (2)< (3)<
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共24张PPT)
7.2.2 单位圆与三角函数线
课标阐释
1.理解单位圆的概念.
2.理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关的问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
江南水乡,水车在河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水引进水渠,流向绿油油的大地.在水车转动的瞬间,同学们能想到些什么呢?
将图中的水车抽象出一个数学模型,建立平面直角坐标系(如图所示),设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴,过点A(1,0)作单位圆的切线,交α的终边或其反向延长线于点T,结合三角函数的定义,你能得到sin
α,cos
α,tan
α与MP,OM,AT的关系吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:单位圆
一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.
名师点析
(1)当角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)时,r=OP=1,此时sin
α=y,cos
α=x,tan
α=
(x≠0).因此我们也可以用单位圆上点的坐标表示三角函数值.
(2)单位圆的作用就是将r变为1.
微思考
角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为(cos
α,sin
α)?
激趣诱思
知识点拨
知识点二:三角函数线
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
三角函数线的作法及应用
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得出正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交角α的终边(α为第一或第四象限角)或角α终边的反向延长线(α为第二或第三角限角)于点T,即可得到正切线
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练(1)已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=-x上
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(1)解析根据正弦线的定义知,|sin
α|=1,
所以sin
α=±1,所以角α的终边在y轴上.
答案B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用三角函数线比较大小
例2比较下列各组数的大小.
分析在单位圆中正确画出各角需要比较大小的三角函数线.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点
(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案b探究一
探究二
素养形成
当堂检测
数形结合思想在三角不等式证明中的应用
三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.作三角函数线的前提是作单位圆.根据三角函数线可以判断sin
α,cos
α,tan
α的符号及大小,因此利用三角函数线可以证明三角不等式.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法点睛
要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.下列四个命题中:
①α一定时,单位圆中的正弦线一定;
②单位圆中,有相同正弦线的角相等;
③α和α+π有相同的正切线;
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.
不正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析由三角函数线的定义知①④正确,②③不正确.
答案C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( )
A.aB.bC.cD.a答案C
探究一
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答案D
答案AD
探究一
探究二
素养形成
当堂检测(共32张PPT)
7.2.3 同角三角函数的基本关系式
课标阐释
1.理解同角三角函数的基本关系式:
2.会利用同角三角函数的基本关系式解决相关问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
美国气象学家爱德华·罗伦兹1963年提出一个观点:“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风.”这就是闻名于世的“蝴蝶效应”.此效应的本义是事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.
从这个比喻我们还可以看出,南美洲亚马孙热带雨林中的一只蝴蝶与美国得克萨斯州的一场龙卷风看起来是毫不相干的两种事物,却有这样的联系,这也验证了哲学理论中事物之间是普遍联系的这一观点.
看似不相关的事物间都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数间会存在什么样的关系呢?本节课我们就来探索这个问题.
激趣诱思
知识点拨
知识点:同角三角函数的基本关系
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.
(3)sin2α是(sin
α)2的简写,读作“sin
α的平方”,不能将sin2α写成sin
α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.
激趣诱思
知识点拨
微拓展
同角三角函数基本关系式的变形
1.sin2α+cos2α=1的变形
(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α;(5)(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)sin22
021°+cos22
021°=( )
A.0
B.1
C.2
021
D.2
021°
(2)若sin
θ+cos
θ=0,则tan
θ= .?
解析(1)由平方关系知sin22
021°+cos22
021°=1.
(2)由sin
θ+cos
θ=0得sin
θ=-cos
θ,
答案(1)B (2)-1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用同角三角函数基本关系式求值
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
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探究一
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探究三
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当堂检测
反思感悟
已知角α的正切值,求由sin
α和cos
α构成的代数式的值
(1)对分式齐次式,因为cos
α≠0,一般可在分子和分母中同时除以cosnα,使所求代数式化成关于tan
α的代数式,从而得解;
(2)对整式(一般是指关于sin2α,cos2α)齐次式,把分母看为“1”,用sin2α+cos2α替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母中同时除以cos2α,即可得关于tan
α的代数式,从而得解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
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当堂检测
利用同角三角函数关系式化简
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
=|sin
40°-cos
40°|,
因为sin
40°40°,
所以|sin
40°-cos
40°|=cos
40°-sin
40°.
(2)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β
=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β
=(sin2α+cos2α)cos2β+sin2β
=cos2β+sin2β=1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
探究一
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素养形成
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探究一
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素养形成
当堂检测
利用同角三角函数关系式证明
探究一
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探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.证明恒等式的常用思路:
(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;
(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;
(3)比较法(作差法,作比法).
2.常用的技巧:
(1)巧用“1”的代换;
(2)化切为弦;
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).
探究一
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素养形成
当堂检测
变式训练3已知tan2α=2tan2β+1,求证sin2β=2sin2α-1.
探究一
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素养形成
当堂检测
平方关系的应用技巧
在sin
α+cos
α,sin
α-cos
α和sin
αcos
α三个式子中,已知其中一个可以求另外两个的值,即“知一求二”.它们的关系是(sin
α+cos
α)2=
1+2sin
αcos
α,(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α.另外,在化简、证明时,经常利用“1”的代换,将1±2sin
αcos
α化为完全平方式
(sin
α±cos
α)2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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探究一
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方法点睛
可以通过平方、切化弦、分解因式或配方等手段将所求代数式变形,从而找到所求代数式与已知代数式的关系,达到求值的目的.
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素养形成
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探究一
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答案B
探究一
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答案C
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答案sin
α
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当堂检测(共29张PPT)
7.2.4 诱导公式
课标阐释
1.掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.
2.会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和恒等式的证明.
3.通过公式的运用,学会从未知到已知、从复杂到简单的转化方法.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
同学们听了老师的记忆口诀后,更是摸不着头脑,老师随后做了解释,同学们脑洞大开,都拍手叫好.
这句话和我们学习的诱导公式有什么关系呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系
(诱导公式①)
sin(α+k·2π)=sin
α,cos(α+k·2π)=cos
α,tan(α+k·2π)=tan
α.
微练习
计算:(1)sin
390°= ;?
(2)cos
765°= ;?
(3)tan(-300°)= .?
激趣诱思
知识点拨
知识点二:角的旋转对称
一般地,角α的终边和角β的终边关于角
的终边所在的直线对称.
微练习
60°和120°角的终边关于 角的终边所在的直线对称.?
答案90°
激趣诱思
知识点拨
知识点三:角α与-α的三角函数值之间的关系(诱导公式②)
sin(-α)=-sin
α,cos(-α)=cos
α,tan(-α)=-tan
α.
微练习
计算:(1)sin(-45°)= ;?
(2)cos(-765°)= ;?
(3)tan(-750°)= .?
激趣诱思
知识点拨
知识点四:角α与π±α的三角函数值之间的关系(诱导公式③④)
诱导公式③
sin(π-α)=sin
α,cos(π-α)=-cos
α,tan(π-α)=-tan
α.
诱导公式④
sin(π+α)=-sin
α,cos(π+α)=-cos
α,tan(π+α)=tan
α.
名师点析
(1)公式①~④的概念:
α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)判断函数值的符号时,虽然把α看成锐角,但实际上,对于正弦与余弦的诱导公式,α可以为任意角;对于正切的诱导公式,α的终边不能落在y轴上,即α≠kπ+
(k∈Z).
(3)公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.
激趣诱思
知识点拨
微练习
激趣诱思
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激趣诱思
知识点拨
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直接利用诱导公式化简、求值
例1(1)已知cos
31°=m,则sin
239°tan
149°的值是( )
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟
解决化简求值问题的策略:
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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当堂检测
给值(式)求值问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
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反思感悟
解给值(或式)求值题的基本思路
给值(或式)求值,解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性,主要包括函数名称及角两个方面,然后就是巧妙地选用公式“化异为同”或代入条件式求解.有时还需对条件式或待求式进行适当化简后再作处理.
探究一
探究二
探究三
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利用诱导公式证明问题
分析观察被证等式两端,左边较为复杂,右边较为简简,可以从左边入手,利用诱导公式进行化简,逐步推向右边.
探究一
探究二
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反思感悟
三角恒等式的证明策略
(1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
素养形成
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分类讨论思想在化简中的应用
探究一
探究二
探究三
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方法点睛
对于式中含有kπ(k∈Z)的情况,将k分为k=2n和k=2n+1(k∈Z)两种情况求解更易于诱导公式的应用.
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探究一
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答案D
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探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.如果α,β满足α+β=π,那么下列式子中正确的个数是( )
①sin
α=sin
β;②sin
α=-sin
β;③cos
α=-cos
β;④cos
α=cos
β;⑤tan
α=-tan
β.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析因为α+β=π,所以sin
α=sin(π-β)=sin
β,故①正确,②错误;
cos
α=cos(π-β)=-cos
β,故③正确,④错误;tan
α=tan(π-β)=-tan
β,⑤正确.
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
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答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
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答案-5
探究一
探究二
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