(共36张PPT)
7.3.1 正弦函数的性质与图像
课标阐释
1.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并能利用正弦函数的性质与图像来解决相关的综合问题.
2.了解正弦函数图像的画法,能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图像.
3.会用信息技术作正弦曲线.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
如图将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像称为正弦曲线.它表示了漏斗相对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:正弦函数性质
1.对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin
x与之对应,因此y=sin
x是一个函数,一般称为正弦函数.
2.正弦函数的性质与图像
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
3.周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,
非零常数T称为这个函数的周期.
名师点析
对三角函数的性质的理解
(1)如果y=sin
x的定义域不是全体实数,那么它的值域就可能不是
(2)正弦函数在其定义域上不是单调的.
(3)若函数y=sin
x的定义域不是R,则一定要在给定定义域内结合函数的单调性求其值域.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
求f(x)=sin(3π+x)的最大值和单调递增区间.
微练习2
下列函数中,不是周期函数的是( )
A.y=-sin
x,x∈R
B.y=3,x∈R
C.y=sin(4π+x),x∈[-10π,10π]
D.y=sin
x,x∈(0,+∞)
答案C
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
知识点二:正弦函数的图像
1.正弦曲线:一般地,y=sin
x的函数图像称为正弦曲线.
2.“五点法”:
(1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的五个关键点
(2)将所得图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
激趣诱思
知识点拨
名师点析
对三角函数的图像的理解
(1)作正弦函数图像时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量与函数值都为实数.
(2)正弦曲线是轴对称图形,对称轴为x=
+kπ(k∈Z);正弦曲线也是中心对称图形,且对称中心为(kπ,0)(k∈Z).
(3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为π,相邻两个对称中心的距离也为π,对称中心到其相邻对称轴的距离为
.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)正弦函数y=sin
x的图像向左右和上下无限伸展.( )
(2)函数y=sin
x与y=sin(-x)的图像完全相同.( )
(3)函数y=sin
x的图像关于(0,0)对称.( )
答案(1)× (2)× (3)√
微练习1
从函数y=sin
x,x∈[0,2π)的图像来看,对应于sin
x=
的x有( )
A.1个值 B.2个值
C.3个值
D.4个值
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
在“五点法”中,正弦曲线最低点的x轴坐标与最高点的x轴坐标的差等于( )
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
正弦函数的值域、最值
例1(1)(多选)已知函数f(x)=2asin
x+a+b的定义域是[0,
],值域为
[-5,-1],则a,b的值为( )
A.a=2,b=-7
B.a=-2,b=2
C.a=-2,b=1
D.a=1,b=-2
(2)求函数f(x)=sin(π+x)-cos2x的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.
分析(1)根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.
(2)利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,换元求最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
关于与正弦函数有关的最值
(1)一次式:如果是关于正弦函数的一次式,要根据一次项的系数正负确定最值;
(2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函数配方求最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
函数奇偶性的判断
例2判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);
分析利用函数奇偶性的定义进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断函数奇偶性的方法
(1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法,即偶函数也可判断
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
正弦函数单调性的应用
例3比较下列各组数的大小:
分析变形主要有两种:一是异名函数化为同名函数;二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(4)sin
194°=sin(180°+14°)=-sin
14°,
cos
160°=cos(180°-20°)=-cos
20°=-sin
70°.
因为0°<14°<70°<90°,
所以sin
14°70°.
所以-sin
14°>-sin
70°,即sin
194°>cos
160°.
反思感悟
利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法
(1)同名函数,若两角在同一单调区间,直接利用单调性得出,若两角不在同一单调区间,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间,再进行比较;
(2)异名函数,先应用诱导公式转化为同名函数,然后再比较.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用“五点法”作函数的图像
例4用“五点法”作出函数y=1+2sin
x,x∈[0,2π]的图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
用“五点法”画函数图像的基本步骤
(1)列表:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3函数y=1-sin
x,x∈[0,2π]的大致图像为图中的( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在正弦函数中的应用
典例
求函数y=asin
x+b(a≠0)的最值.
解若a>0,当sin
x=1时,ymax=a+b.
当sin
x=-1时,ymin=-a+b.
若a<0,当sin
x=-1时,ymax=-a+b,
当sin
x=1时,ymin=a+b.
方法点睛
研究函数的最值时,不但要注意定义域,同时还需注意单调性.如y=ax+b(a≠0),当a>0时为增函数,当a<0时为减函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.函数y=-2sin
x-1的单调递减区间是 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.函数y=-sin
x+1的对称中心是 ,对称轴为 .?
解析由函数y=-sin
x+1与正弦函数图像的关系可知,函数y=-sin
x+1的对称中心为(kπ,1),k∈Z,对称轴为x=
+kπ,k∈Z.
答案(kπ,1),k∈Z x=
+kπ,k∈Z
5.求函数y=2cos2x+5sin
x-4的最大值和最小值.(共40张PPT)
7.3.2 正弦型函数的性质与图像
课标阐释
1.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像,并熟悉其变换过程.
2.会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期、频率与振幅.
3.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义,并且了解y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ对函数图像变化的影响以及它们的物理意义.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在物理上,简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数.如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图像.
将测得的图像放大,如图②所示,可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y=Asin(ωx+φ)与函数y=sin
x有什么关系呢?函数y=Asin(ωx+φ)的周期、最值分别受哪些量的影响?如何作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:正弦型函数
一般地,形如y=Asin(ωx+φ)的函数,在物理、工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0.
其中|A|称为振幅,φ称为初相,
激趣诱思
知识点拨
知识点二:正弦型函数的图像变换
由函数y=sin
x的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两种主要途径:
(1)先平移后伸缩
激趣诱思
知识点拨
(2)先伸缩后平移
激趣诱思
知识点拨
微练习
激趣诱思
知识点拨
知识点三:正弦型函数的性质
根据正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像,我们可以得到它的性质.
(1)定义域:R.
(2)值域:[-A,A].
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
“五点法”作正弦型函数的图像
分析采用“五点法”作三角函数图像,关键在于确定“五点”.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)对应的图像如图:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
正弦型函数的图像变换
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
已知图像求正弦型函数的解析式
分析先求A,再求ω,最后求φ.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
根据图像求解析式的方法
(1)由图像的最高点、最低点确定最值,从而求A.
(2)由图像的零点、最值点确定周期,从而求ω.
(3)由图像上一个点的坐标代入后根据范围求φ.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的对称性
例4已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π).
(1)若函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数,求φ的值;
(2)若函数f(x)=sin(2x+φ)关于x=
对称,求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心的坐标.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的性质较为综合,主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查.
(2)有关函数y=Asin(ωx+φ)的性质运用问题,要特别注意整体代换思想的运用.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案②③
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
整体法求复合函数的单调区间
典例
求下列函数的单调递增区间.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正的,再利用整体代换,即把ωx+φ代入相应不等式中,求解相应的变量x的取值范围.
(2)求复合函数的单调区间时,要先求定义域,同时还要遵循“同增异减”的法则.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.已知函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示.则A,ω,φ的一个数值可以是( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测(共37张PPT)
7.3.3 余弦函数的性质与图像
课标阐释
1.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间及最值.
2.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数y=cos
x和y=Acos(ωx+φ)的图像,能体会正弦曲线和余弦曲线的关系,并能利用余弦函数的图像和性质来解决相关的综合问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多原理,人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.一个基本的过山车构造中,包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径.
问题:1.函数y=cos
x的图像也像过山车一样“爬升”“滑落”,这是y=cos
x的什么性质?
2.过山车爬升到最高点,接着滑落到最低点,然后再爬升,对应y=cos
x的什么性质?y=cos
x在什么位置取得最值?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:余弦函数的性质与图像
1.余弦函数:对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos
x与之对应,所以y=cos
x是一个函数,一般称为余弦函数.
2.余弦函数的性质与图像
性质与图像
y=cos
x
定义域
R
值域
[-1,1]
周期性
最小正周期为2π
奇偶性
偶函数
单调性
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减
激趣诱思
知识点拨
3.余弦曲线:函数y=cos
x的图像称为余弦曲线.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
(多选)对于余弦函数y=cos
x的图像,有以下描述,其中正确的有( )
A.将[0,2π]内的图像向左、向右无限延展
B.与y=sin
x的图像形状完全一样,只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
激趣诱思
知识点拨
解析余弦函数y=cos
x的图像,是将[0,2π]内的图像向左、向右无限“重复”得到的,不是延展,因为延展可能是拉伸,故A错误;正弦函数y=sin
x的图像向左平移
个单位,会与y=cos
x的图像重合,故B正确;当x=kπ+
(k∈Z)时,y=cos
x=0,故余弦函数y=cos
x的图像与x轴有无数个交点,故C正确;余弦函数y=cos
x是偶函数,其图像关于y轴对称,故D正确.
答案BCD
激趣诱思
知识点拨
微练习2
函数y=2cos
x-1的最大值是 ,周期是 ,单调递增区间为 .?
答案1 2π [2kπ-π,2kπ],k∈Z
激趣诱思
知识点拨
知识点二:余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
函数
y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)
定义域
R
值域
[-A,A],最小值为-A,最大值为A
周期性
最小正周期
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析(1)先求出函数在定义域上的单调递减区间,再验证.
(2)利用诱导公式化到一个单调区间,再利用单调性比较.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案(1)B (2)A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.余弦型函数单调区间的求法
(1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正.
(2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的范围.
(3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合条件的单调区间.
2.关于三角函数值比较大小
利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
余弦函数的奇偶性、对称性
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
关于余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的对称问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与余弦函数有关的值域问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求值域或最大值、最小值问题的一般依据及方法
(1)sin
x,cos
x的有界性,即|sin
x|≤1,|cos
x|≤1;
(2)sin
x,cos
x的单调性,通常结合函数图像来解决;
(3)化为sin
x=f(y)或cos
x=f(y),再利用|f(y)|≤1来确定;
(4)通过换元转化为二次函数问题,换元时注意变量范围的一致性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
应用数形结合法解三角不等式
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
结合函数图像解不等式,可使抽象问题直观化.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.函数f(x)=cos(sin
x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解析函数的定义域为R,f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(-sin
x)
=cos(sin
x)=f(x),所以函数f(x)=cos(sin
x)是偶函数.
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(多选)已知函数f(x)=cos
x,下列结论不正确的是( )
A.函数y=f(x)的最小正周期为2π
B.函数y=f(x)在区间(-π,0)内单调递减
C.函数y=f(x)的图像关于x=π轴对称
D.把函数y=f(x)的图像向左平移
个单位可得到y=sin
x的图像
解析由题意,函数f(x)=cos
x其最小正周期为2π,故A正确.函数在
(-π,0)上单调递增,故B不正确;函数的对称轴方程是x=kπ(k∈Z),当k=1时,x=π,故C正确;把函数的图像向左平移
个单位可得
答案BD
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共28张PPT)
7.3.4 正切函数的性质与图像
课标阐释
1.能画出正切函数的图像.
2.会利用y=tan
x的性质确定与正切函数有关的函数性质.
3.会利用正切函数的单调性比较函数值大小.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
类似于正弦函数,我们可以定义正切函数:y=tan
x,其中x是自变量,对任意一个x,按照这个对应关系,都有唯一确定的正切值与之对应.我们在正弦函数中,研究了它的图像,以及定义域、值域、单调性、奇偶性等性质.那么,正切函数的图像有什么特点?它又有哪些上述的性质呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:正切函数的性质与图像
1.对于任意一个角x,只要x≠
+kπ,k∈Z,就有唯一确定的正切值
tan
x与之对应,因此y=tan
x是一个函数,称为正切函数.
激趣诱思
知识点拨
函数
y=tan
x
定义域
?
值域
R
周期
最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在每一个开区间
上都是单调递增的
零点
kπ(k∈Z)
2.正切函数的性质
激趣诱思
知识点拨
3.正切函数的图像
(1)正切函数的图像:
(2)正切曲线:y=tan
x的函数图像称为正切曲线.正切曲线是中心对
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)函数y=tan
x在其定义域上是增函数.( )
(2)函数y=tan
x的图像的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).( )
(3)函数y=tan
2x的周期为π.( )
答案(1)× (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案[0,1]
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
正切函数的定义域、周期性、奇偶性
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案(1)A (2)A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
正切函数单调性问题
(2)比较tan
1,tan
2,tan
3的大小.
分析(1)由于x的系数小于零,故应将其进行变形,化为系数为正,再根据正切函数单调性求解.
(2)可利用正切函数单调性进行比较.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求正切型函数单调区间的方法
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求函数的值域
分析利用换元法,将原函数化为二次函数的形式来解决.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
换元法求值域的关注点
使用换元法求函数值域时,一定要注意换元后自变量的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
数形结合思想在三角中的应用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
数形结合法求解问题的关键是准确地画出图像.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案[0,1](共27张PPT)
7.3.5 已知三角函数值求角
课标阐释
1.理解符号arcsin
x,arccos
x,arctan
x的意义.
2.已知一个三角函数值,能合理地表示出与它对应的角.
3.会用信息技术求角.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
特工人员发送情报时都用密码传送,接到密码的人员要把密码还原到原来的文字才能有用.这种加密与还原的过程类似于数学上求函数值与反函数值.如已知角求三角函数值是加密的过程,那么由三角函数值求角就是还原的过程.对于某一种三角函数来说,由于每一个三角函数值都有多个角对应,因此由三角函数值求角就变得比较困难.究竟如何由三角函数值求角呢?下面我们来一起学习吧!
激趣诱思
知识点拨
知识点一:利用三角函数线求角
如图所示,圆O为单位圆,分别写出sin
α的正弦线、余弦线与正切线.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
知识点二:用信息技术求角
激趣诱思
知识点拨
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知正弦值求角
分析借助正弦函数的图像及所给角的范围求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
已知正弦值求角的解题策略
给值求角,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件的约束作用.对于sin
x=a(x∈R),-1≤a≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsin
a(k∈Z)或x=2kπ+π-arcsin
a(k∈Z).从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsin
a,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知余弦值求角
例2已知cos
x=-
.
(1)若x∈[0,π],求x;(2)若x∈[0,2π],求x.
分析借助余弦函数的图像及所给角的范围求解即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
已知余弦值求角的解题策略
cos
x=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,则x=arccos
a,当x∈R时,可先求得[0,2π]内的所有解,再利用周期性可求得{x|x=2kπ±arccos
a,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知cos
x=-0.345.
(1)当x∈[0,π]时,求x;
(2)当x∈R时,求x的取值集合.
解(1)∵cos
x=-0.345,且x∈[0,π],
∴x=arccos(-0.345)=π-arccos
0.345.
(2)当x∈R时,先求出[0,2π]上的解.
∵cos
x=-0.345,∴x是第二或第三象限的角,
由(1)知x1=π-arccos
0.345为第二象限的角,
∵cos(π+arccos
0.345)=-0.345,且π+arccos
0.345∈
,
∴x2=π+arccos
0.345,因此当x=2kπ+x1或2kπ+x2,k∈Z时,
cos
x=-0.345,即所求x的集合为
{x|x=2kπ±arccos(-0.345),k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知正切值求角
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
对于已知正切值求角有如下规律:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2已知tan
x=2,且x∈[3π,4π],求x.(用符号表示)
解∵3π≤x≤4π,
∴x-3π=arctan
2,得x=3π+arctan
2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知三角函数值求角的方法
三角函数中求角的问题是一个综合性问题.如果已知一个角的三角函数值,求这个角,我们可以按照“已知三角函数值求角”的步骤来求.
已知三角函数值求角的步骤如下:
(1)由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限(或终边在哪条坐标轴上);
(2)若函数值为正数,先求出对应锐角α,若函数值为负数,先求出与其绝对值对应的锐角α;
(3)根据角所在象限,由诱导公式得出0~2π间的角.如果适合已知条件的角在第一象限,则它是α;如果适合已知条件的角在第二象限,则它是π-α;如果适合已知条件的角在第三、第四象限,则它分别是π+α和2π-α;
(4)如果要求适合条件的所有角,则利用终边相同的角的表达式来写出.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
在解决与三角形有关的问题时一定要注意两个隐含条件:一是A+B+C=π,二是三角形内角范围为(0,π).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案AB
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.若tan
x=0,则x等于( )
解析因为tan
x=0,所以x=kπ,k∈Z.
答案A
4.满足等式sin(2x+45°)=cos(30°-x)的最小正角x是 .?
解析sin(2x+45°)=sin(60°+x),要使x>0,且最小,则2x+45°=60°+x,所以x=15°.
答案15°
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共23张PPT)
7.4 数学建模活动:周期现象的描述
课标阐释
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
2.能将实际问题抽象为三角函数模型.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
江心屿
温州市区著名景点江心屿上面有座寺庙——江心寺,在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是:云朝朝,朝朝朝,朝朝朝散;下联是:潮长长,长长长,长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表:
时间/h
0
1
3
6
8
9
12
15
18
21
24
水深/m
6
6.25
7.5
5
2.84
2.5
5
7.5
5
2.5
5
激趣诱思
知识点拨
问题:1.仔细观察表格中的数据,你能从中得到一些什么信息?
2.以时间为横坐标,水深为纵坐标建立平面直角坐标系,将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中,你能得到什么结论?
激趣诱思
知识点拨
知识点:数学建模
数学建模是数学学习的一种新的方式,是对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构.(它是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果,是用精确的语言表达对象的内在特性,是利用各种数学概念、关系、表达式建立的模型.)
按广义理解,一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程以及算法系统都可称为数学模型;按狭义理解,数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构,如二元一次方程是“鸡兔同笼”问题的数学模型,“一笔划”问题是“七桥问题”的数学模型,等等.在一般情况下数学模型按狭义理解.它为我们提供了自主学习的空间,
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
把学到的知识应用于实践,使我们体验到数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,逐步提高创新意识和实践能力.
一般说来,数学建模过程可用右面的框图表示:
建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析.
中学数学中的应用问题不全属于中学数学建模活动,只有符合以上流程图的应用问题才属于数学建模范畴,其他的只属于数学求解的应用问题.
激趣诱思
知识点拨
答案√
激趣诱思
知识点拨
答案(1)2.5 (2)3π π
探究一
探究二
当堂检测
三角函数模型在物理学中的应用
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?
(3)经过多长时间小球往复振动一次?
分析确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义是解题关键.
探究一
探究二
当堂检测
解列表如下:
探究一
探究二
当堂检测
描点、连线,图像如图所示.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
三角函数模型的实际应用
例2已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
经长期观测,y=f(t)的图像可近似地看成是函数y=Acos
ωt+b的图像.
(1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动.
分析(1)根据y的最大值和最小值求A,b,确定周期后求ω.
(2)解不等式y>1,确定有多少时间可供冲浪者活动.
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
延伸探究若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何?
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
解三角函数应用问题的基本步骤
探究一
探究二
当堂检测
1.电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是
I=3sin
100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是( )
答案A
探究一
探究二
当堂检测
答案C
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
答案C
探究一
探究二
当堂检测(共30张PPT)
章末整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 扇形的弧长、面积公式的应用?
例1已知扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r.
(1)若α=120°,r=6,求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长为24,当α为多少弧度时,该扇形面积S最大?并求出最大面积.
专题一
专题二
专题三
专题四
方法规律弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练1用一根长为10
m的绳索围成一个圆心角小于π,且半径不超过3
m的扇形场地,设扇形的半径为x
m,面积为S
m2.
(1)写出S关于x的函数表达式,并求出该函数的定义域;
(2)当半径x和圆心角α为多大时,所围扇形的面积S最大,并求出最大值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 利用单位圆解三角不等式?
例2利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
方法技巧
利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
(3)写角的范围时,先抓住边界值,再注意角的范围的写法要求.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练2利用三角函数线,写出满足|cos
α|>|sin
α|的角α的集合.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 同角三角函数的基本关系式的应用?
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
名师点析
1.sin
α+cos
α,sin
α-cos
α,sin
αcos
α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin
α±cos
α)2=1±2sin
αcos
α.
2.已知tan
α=m,求关于sin
α,cos
α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sin
α,cos
α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos
α≠0,所以可除以cos
α,这样可将被求式化为关于tan
α的表示式,然后代入tan
α=m的值,从而完成被求式的求值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 利用三角函数的图像与性质解题?
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
方法技巧
1.确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的关键是φ的确定,常用方法有:
(1)代入法:把图像上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图像与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
专题一
专题二
专题三
专题四
2.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.
3.具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
规律方法三角函数最值问题的常见类型及求解方法
(1)y=asin2x+bsin
x+c(a≠0),可以利用换元思想设t=sin
x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
(2)y=Asin(ωx+φ)+b,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)的范围,最后得最值.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练5函数y=sin
2x+cos
x的最大值为 .?
