第二章
等式与不等式
2．1 等式
2．1.1 等式的性质与方程的解集
[课程目标]
1.理解等式的性质；2.区分等式与恒等式；3.理解方程解集的概念，会求简单方程的解集．
知识点一 等式的性质
[填一填]
(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c.
(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc.
知识点二 恒等式
[填一填]
1．恒等式的概念
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
2．十字相乘法
给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．
这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．
[答一答]
1．若a＋c＝b＋c，则一定有a＝b吗？
提示：有，只需等式两边加上－c即可．
2．若ac＝bc，则一定有a＝b吗？
提示：不一定，若c≠0，则两边同乘以，一定有a＝b；若c＝0，则a，b可以为任意实数，不一定有a＝b.
知识点三 方程的解集
[填一填]
一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
[答一答]
3．方程2x－1＝0的解集为x＝对吗？
提示：不对．方程的解集要写成集合的形式应为{x|x＝}或者{}．
类型一 恒等式
[例1] 求证：
(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3(立方和公式)；
(2)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)(三数和平方公式)．
[证明] (1)(a＋b)(a2－ab＋b2)
＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，
∴等式成立．
(2)∵(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，
∴等式成立．
常用公式：
(1)平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)立方和公式a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；
(4)立方差公式a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；
(5)三数和平方公式(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)；
(6)两数和立方公式(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
(7)两数差立方公式(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.
[变式训练1] 已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值．
解：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，
∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)．
∵a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，
∴a2＋b2＋c2＝8.
类型二 十字相乘法分解因式
[例2] 把下列各式因式分解：
(1)x2－2x－3;
(2)y2－7y＋12；
(3)12x2－5x－2;
(4)11x－x2－18.
[解] (1)x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．
(2)y2－7y＋12＝(y－3)(y－4)．
(3)12x2－5x－2＝(3x－2)(4x＋1)．
(4)11x－x2－18＝－(x2－11x＋18)
＝－(x－2)(x－9)．
二次项系数不为1时，需要同时分解二次项系数与常数项，因此心算或尝试的次数可能会增加.若一次不行，换成另外两个数的积，或者交换一下因数的位置、交换一下两个因数的符号，直到尝试成功.
[变式训练2] 把下列各式因式分解：
(1)x2＋5x－24;
(2)x2－2x－15；
(3)－12a2＋17a－6;
(4)3x2－10x＋3.
解：(1)∵－24＝(－3)×8，(－3)＋8＝5，
∴x2＋5x－24＝[x＋(－3)](x＋8)＝(x－3)(x＋8)．
(2)∵－15＝(－5)×3，(－5)＋3＝－2，
∴x2－2x－15＝[x＋(－5)](x＋3)＝(x－5)(x＋3)．
(3)原式＝(－3a＋2)(4a－3)＝－(3a－2)(4a－3)．
(4)原式＝(3x－1)(x－3)．
类型三 方程的解集
[例3] 求下列方程的解集：
(1)2－x＝3－x;
(2)－＝；
(3)x2－6x－7＝0;
(4)x2＝2x.
[解] (1)方程变形为(－)x＝－1，即x＝－12，因此方程的解集为{－12}．
(2)两边去分母得：2(2x＋1)－3(x－1)＝1，即x＝－4，因此方程的解集为{－4}．
(3)因为x2－6x－7＝(x－7)(x＋1)，所以方程可化为(x－7)(x＋1)＝0，因此方程的解集为{－1,7}．
(4)方程变形为x2－2x＝0，即x(x－2)＝0，因此方程的解集为{0,2}．
?1?关于一次方程变形为ax＝b，从而求解，进而得解集.
?2?关于二次方程先分解因式求解，进而得解集.
[变式训练3] 求下列方程的解集：
(1)x(2x＋1)－(2x＋1)(x－2)＝3；
(2)2x2－3x＋1＝0；
(3)x(x－1)(x＋2)2＝0.
解：(1)方程变形为(2x＋1)×2＝3，即4x＝1，解得x＝，方程的解集为{}．
(2)2x2－3x＋1＝(2x－1)(x－1)，即(2x－1)(x－1)＝0，解得x＝或x＝1，方程的解集为{1，}．
(3)解方程得x＝0,1或－2，故方程解集为{0,1，－2}．
1．若(x2＋mx＋n)(x－1)＝x3－1，则m＋n等于( D )
A．0
B．1
C．－1
D．2
解析：x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)，∴m＝1，n＝1，∴m＋n＝2，故选D.
2．方程4x2＋4x＋1＝0的解集为( B )
A．{}
B．{－}
C．{－，－}
D．{，}
解析：方程变形为(2x＋1)2＝0，∴x＝－，解集为{－}．
3．下列式子变形不正确的是( D )
A．(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝x3－64y3
B.3＝x3－x2y＋xy2－y3
C．(2x－3y＋z)2＝4x2＋9y2＋z2－12xy－6yz＋4xz
D．(x＋3)(x2－6x＋9)＝x3＋27
解析：对于A，(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝(x－4y)[x2＋x·4y＋(4y)2]＝x3－(4y)3＝x3－64y3，故A正确；
对于B，3＝3－32y＋3×xy2－y3＝x3－x2y＋xy2－y3，故B正确；
对于C，(2x－3y＋z)2＝[2x＋(－3y)＋z]2
＝(2x)2＋(－3y)2＋z2＋2[2x(－3y)＋(－3y)z＋2xz]
＝4x2＋9y2＋z2－12xy－6yz＋4xz，故C正确；
对于D，x3＋27＝x3＋33＝(x＋3)(x2－3x＋9)，故D不正确．
4．(1)a2－b2＝(a－b)；
(2)(4m＋)2＝16m2＋4m＋.
解析：(1)a2－b2＝.
(2)2＝16m2＋2××4m＋2.
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-2．1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
[课程目标]
1.会用配方法求一元二次方程的解集；2.会用根与系数的关系求解根的问题．
知识点一 一元二次方程根的解集
[填一填]
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)利用配方法，总可以写成2＝，其中Δ＝b2－4ac.
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为
；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为；
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为?.
知识点二 一元二次方程根与系数的关系
[填一填]
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
[答一答]
1．关于x的方程x4－2x2－3＝0一定有四个解吗？
提示：不对．有两解．方程配方得(x2－1)2＝4，x2－1＝±2，x2＝3或x2＝－1(舍)，所以x＝±，两解．
2．解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的步骤是什么？
提示：先因式分解，若能分解，则直接求解．若分解不开，则求Δ，根据Δ的符号确定方程解的情况．
类型一 求一元二次方程的解集
[例1] 求下列关于x的一元二次方程的解集．
(1)x2－6x－5＝0;
(2)9x2＋6x＋1＝0；
(3)－2x2＋5x－4＝0.
[解] (1)x2－6x－5＝0，配方得(x－3)2＝14，解得x－3＝±，即x＝3±，因此方程的解集为{3＋，3－}．
(2)9x2＋6x＋1＝0，配方得(3x＋1)2＝0，解得3x＋1＝0，即x＝－，因此方程的解集为{－}．
(3)－2x2＋5x－4＝0变形为2x2－5x＋4＝0，Δ＝(－5)2－4×2×4＝－7<0，因此方程的解集为?.
可先配方再求解，也可直接利用求根公式求解，最后一定要写成解集的形式.
[变式训练1] 求下列关于x的一元二次方程的解集．
(1)2x2－6x＋3＝0;
(2)x2＋x＋1＝0；
(3)4x2－12x＋9＝0.
解：(1)Δ＝(－6)2－4×2×3＝12，由求根公式得x＝＝，方程的解集为.
(2)Δ＝12－4×1＝－3<0，方程x2＋x＋1＝0的解集为?.
(3)4x2－12x＋9＝0，配方得(2x－3)2＝0，解得x＝，方程的解集为.
类型二 转化为一元二次方程求解集
[例2] 求下列关于x的方程的解集．
(1)x－4－3＝0;
(2)2x4－3x2－1＝0.
[解] (1)设＝t，则t≥0，方程变形为：t2－4t－3＝0，配方得(t－2)2＝7，解得t＝2±，∵t＝2－<0舍去，∴＝2＋，解得：x＝11＋4，故原方程解集为{11＋4}．
(2)设x2＝t，则t≥0，方程变形为2t2－3t－1＝0，则Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17>0，由求根公式得t＝＝.∵t>0，∴t＝，∴x2＝，∴x＝±，方程的解集为.
可因式分解后再求解，也可先换元转化为一元二次方程再求解，注意新元的条件，最后写成解集的形式.
[变式训练2] 求下列关于x的方程的解集．
(1)2x＋7＋4＝0;
(2)x4－6x2＋5＝0.
解：(1)设＝t，则t≥0，方程变形为2t2＋7t＋4＝0，Δ＝72－4×2×4＝17>0，由求根公式得t＝<0，故原方程解集为?.
(2)x4－6x2＋5＝0，变形为(x2－1)(x2－5)＝0，即x2－1＝0或x2－5＝0，解得x＝±1或x＝±，原方程解集为{1，－1，，－}．
类型三 一元二次方程根与系数关系的应用
[例3] 若x1，x2分别是方程x2＋2x－2
018＝0的两个实根，试求下列各式的值：
(1)x＋x；
(2)＋；
(3)(x1－5)(x2－5);
(4)|x1－x2|.
[思路分析] 本题若直接用求根公式法求出方程的两个根，再代入求值，则计算较复杂．此题应根据各式的特点，利用韦达定理来解答，使计算更简单．
[解] 由韦达定理得x1＋x2＝－2，x1x2＝－2
018.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝(－2)2－2×(－2
018)＝4
040.
(2)＋＝＝＝.
(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25
＝－2
018－5×(－2)＋25＝－1
983.
(4)|x1－x2|＝＝
＝＝2.
不求根时，可先将各式转化成与韦达定理有关的关系式，再代入系数求解.但用韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.
[变式训练3] 已知x1和x2分别是一元二次方程2x2＋3x－6＝0的两个实根，求下列各式的值：
(1)|x1－x2|；(2)＋；(3)x＋x.
解：由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝－3.
(1)|x1－x2|＝
＝＝.
(2)＋＝
＝＝.
(3)x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)
＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
＝×＝－.
1．方程x2－x＋1＝0的解集为( D )
A.
B.
C.
D．?
解析：Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，方程无解．故选D.
2．方程mx2－2x＋1＝0的解集为{1}，则m＝( A )
A．1
B．－1
C．0
D．2
解析：将x＝1代入方程得m＝1，故选A.
3．方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，则xx2＋xx1＝( A )
A．3
B．－3
C．2
D．－2
解析：由已知得，x1＋x2＝3，x1x2＝1，则xx2＋xx1＝x1x2(x1＋x2)＝3.
4．A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|2x2－3x－5＝0}，则A∩B＝( C )
A．?
B．{1}
C．{－1}
D.
解析：A＝{－1,3}，B＝{－1，}，则A∩B＝{－1}，故选C.
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-2.1.3 方程组的解集
[课程目标]
1.会求方程组的解集；2.会解二元二次方程组；3.会根据实际问题列方程组解题．
知识点一 方程组的解集
[填一填]
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
知识点二 方程组解集的分类
[填一填]
当方程组中未知数的个数小于方程的个数时，方程组的解集含有有限个元素，解集为有限集；当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素，解集为无限集．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
[答一答]
任何一个二元一次方程组都有一组解吗？
提示：不一定，有的有一组解，有的无解，有的有无数组解．
类型一 求一次方程组的解集
[例1] 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
(3)
[解] (1)两式相加得2x＝6，即x＝3，代入x＋y＝4得y＝1，故方程组的解集为{(3,1)}．
(2)方程组变形为方程无解，解集为?.
(3)先消去z得再消去y得－7x＝－7，解得x＝1，代入－x＋2y＝3求得y＝2，再代入x＋y＋z＝6，求得z＝3，故方程组的解集为{(1,2,3)}．
解方程组的主要思路是由多元变少元，最后得解，常用方法有代入法和加减消元法，结果一定要写成集合的形式.
[变式训练1] 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
解：(1)将y＝7－2x代入3x－2y＝14得：7x－14＝14，解得x＝4，代入2x＋y＝7得y＝－1，故原方程组解集为{(4，－1)}．
(2)先消去z得：再消去y得23x＝46，解得x＝2，代入x－2y＝4得y＝－1，再代入2x＋y＋z＝4得z＝1，故原方程组的解集为{(2，－1,1)}．
类型二 求二次方程组的解集
[例2] 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)将y＝2－x代入x2－y2＝1得：x2－(2－x)2＝1，解得x＝，代入y＝2－x得y＝，故原方程解集为.
(2)将y＝3－2x代入x2＝y得，x2＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3，分别代入y＝3－2x，求得y＝1或y＝9，故原方程组解集为{(1,1)，(－3,9)}．
[变式训练2] 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
解：(1)将y＝代入x2＋2y2＝3整理得，17x2－40x＋23＝0，解得x＝1或x＝，从而求得y＝－1或y＝－，故方程组的解集为.
(2)将x＝代入y2＝－2x整理得y2－3y－4＝0，解得y＝－1或y＝4，从而求得x＝－或x＝－8，故方程组的解集为.
类型三 方程组的实际应用
[例3] 我国古代数学著作《算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，求此问题中绳索长和竿长．
[解] 设绳索长、竿长分别为x尺、y尺，
依题意得解得
答：绳索长20尺、竿长15尺．
列方程组解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系，一般来说有几个未知量就必须列出几个方程.所列方程需满足：?1?方程两边表示的是同类量；?2?同类量的单位要统一；?3?方程两边所表示的数量要相等.
[变式训练3] 甲、乙、丙三人逛集邮市场，甲买了A种邮票3张、B种邮票2张、C种邮票1张，按邮票面值付款13元；乙买了A种邮票1张、B种邮票1张、C种邮票2张，按邮票面值付款7元；丙买了A种邮票2张、B种邮票3张，并卖出C种邮票1张，按邮票面值结算还要付12元．问：A，B，C三种邮票面值各为多少元？
解：设A种邮票面值为x元，B种邮票面值为y元，C种邮票面值为z元，
根据题意可得解得
答：A种邮票面值为2元，B种邮票面值为3元，C种邮票面值为1元．
1．方程组的解集为( C )
A．{1，－1}
B．(－1,1)
C．{(1，－1)}
D．{(－1,1)}
解析：将x＝－2y－1代入2x－3y＝5得y＝－1，从而求得x＝1，故选C.
2．方程组的解集为( C )
A．(3,0)
B．(0，－3)
C．{(3,0)，(0，－3)}
D．{(0,3)，(－3,0)}
解析：将x＝y＋3代入x2＋y2＝9解得y＝0或y＝－3，从而求得x＝3或x＝0，故选C.
3．方程组的解集为{(1,3)，(4,9)}．
解析：
由①得y＝2x＋1③，
把③代入②，整理得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4.
把x＝1代入③，得y＝3；
把x＝4代入③，得y＝9.
故方程组的解集为{(1,3)，(4,9)}．
4．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A种饮料每瓶需加入该添加剂2克，B种饮料每瓶需加入该添加剂3克．已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，则A种饮料生产了30瓶，B种饮料生产了70瓶．
解析：设A种饮料生产了x瓶，B种饮料生产了y瓶，
则由题意得解得
故A种饮料生产了30瓶，B种饮料生产了70瓶．
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-2．2 不等式
2．2.1 不等式及其性质
第1课时 不等关系与不等式
[课程目标]
1.理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系；2.理解实数大小与实数运算的关系，会用作差法比较两个实数的大小；3.能够运用实数的符号法则及作差比较法解决一些生活中的问题，通过具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题．
知识点一 不等关系与不等式
[填一填]
(1)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．
(2)含有不等号的式子，叫做不等式．
(3)a≥b即为a>b或a＝b；
a≤b即为a
[答一答]
1．说明a≤b或a≥b的含义．并判断“3≥3”成立吗？为什么？
提示：不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b，或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a>b与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．
从集合的观点看，若a，b是两个实数，则有{(a，b)|a≥b}＝{(a，b)|a>b}∪{(a，b)|a＝b}，同理，{(a，b)|a≤b}＝{(a，b)|a“3≥3”成立，因为a≥b即为a>b或a＝b，也可以说成a不小于b，只要a>b或a＝b之中有一个正确，则a≥b就正确．
知识点二 实数的大小比较
[填一填]
(1)数轴上的两点A、B的位置关系与其对应实数a、b的大小比较：
①数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．
②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)
(2)推出关系：
①“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p?q，读作p推出q.
②如果p?q，且q?p都是正确的命题，则记为p?q.
(3)用推出符号表示实数的差与它们大小之间的关系：
①a－b>0?a>b；
②a－b<0?a③a－b＝0?a＝b.
[答一答]
2．实数比较大小的依据是什么？
提示：
在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示(如图所示)，可以看出a与b之间具有以下性质：
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系．它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，是证明不等式和解不等式的主要依据．
类型一 用不等式表示不等关系
[例1] 用不等号表示下列关系：
(1)a与b的和是非负数；
(2)实数x不小于3；
(3)实数m小于5，但不小于－2；
(4)x与y的差的绝对值大于2，且小于或等于6.
[解] (1)a＋b≥0；(2)x≥3；(3)－2≤m<5；(4)2<|x－y|≤6.
用不等式表示不等关系，实际上就是列不等式，列不等式与列方程类似，但要注意“大于”“不小于”“不大于”等关键词与不等号的对应关系.
[变式训练1] 如下图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：
其含义分别为：
①最低限速：限制行驶时速v不得低于50
km/h；
②限制质量：装载总质量m不得超过10
t；
③限制高度：装载高度h不得超过3.5
m；
④限制宽度：装载宽度a不得超过3
m.
你能用数学式子表示上述关系吗？
解：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3.
类型二 作差法比较大小
[例2] 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[解] x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)[(x－)2＋]．
∵x<1，∴x－1<0.
又∵(x－)2＋>0，
∴(x－1)[(x－)2＋]<0，
∴x3－1<2x2－2x.
作差法比较两个数的大小可归纳为作差→变形→判断符号→下结论.其中变形是关键，一般变形越彻底越有利于下一步的判断，常用知识有因式分解，配方，通分等，另外还要注意分类讨论.
[变式训练2] 比较下列各题中两个代数式值的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)a3＋b3与a2b＋ab2，其中a＞0，b>0，a≠b.
解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－)2＋≥>0，故x2＋3>3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0，a≠b，∴(a－b)2(a＋b)>0，
故a3＋b3>a2b＋ab2.
类型三 不等关系的实际应用
[例3] 京沪铁路上，国产“和谐号”CRH380A高速动车组跑出了486.1
km/h的高速度，但这个速度的2倍再加上100
km/h，还不超过波音飞机的最高时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度的关系．
[解] 设高速动车组的速度为v1，波音飞机的最高时速为v2，普通客车的速度为v3，则v1，v2的关系：2v1＋100≤v2；v1，v3的关系：v1>3v3.
用不等式表示不等关系的关键在于找出题中体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”等.用代数式表示相应的量，并用与关键词对应的不等号连接.要注意“≤”与“≥”中的“＝”能否取到，避免错用.
[变式训练3] 《铁路旅行常识》规定：
“随同成人旅行身高1.1
m～1.4
m的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4
m时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1
m的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
……
旅客免费携带品的体积和重量是：每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160
cm，杆状物品不超过200
cm，重量不得超过20
kg……”
设身高为h(m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为P(cm)，请用不等式表示下表中的不等关系.
解析：身高在1.1
m～1.4
m之间可表示为1.1≤h≤1.4，
身高超过1.4
m可表示为h>1.4，
身高不足1.1
m可表示为0物体长、宽、高之和不超过160
cm可表示为P≤160.
1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20
000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( D )
A．5x＋4y<200
B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200
D．5x＋4y≤200
解析：据题意知，500x＋400y≤20
000，即5x＋4y≤200，故选D.
2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( A )
A．M>－5
B．M<－5
C．M≥－5
D．M≤－5
解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5
＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，
因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.故M>－5.
3．已知a＋b>0，b<0，则a，b，－a，－b的大小关系是( C )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
4．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就更甜了，试根据这个事实提炼一个不等式>(b>a>0，m>0)．
解析：由题意的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就更甜了，说明>.
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-第2课时 不等式的性质
[课程目标]
1.理解常见不等式的性质；2.会用不等式的性质进行推理证明；3.在解决有关不等式方面的问题中逐步养成逻辑推理能力和习惯．
知识点 不等式的性质
[填一填]
性质1(可加性)：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质2(可乘性)：如果a>b，c>0，那么ac>bc.
性质3(可乘性)：如果a>b，c<0，那么ac性质4(传递性)：如果a>b，b>c，那么a>c.
性质5：a>b?b推论1(移动法则)：如果a＋b>c，那么a>c－b.
推论2(加法法则)：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
推论3(乘法法则)：a>b>0，c>d>0?ac>bd.
推论4(可乘方)：a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)．
推论5(可开方)：a>b>0?>.
[答一答]
1．性质2,3是如何证明的？
提示：∵a>b，c>0，∴a－b>0.
由同号相乘得正数知c(a－b)>0，
即ac－bc>0.∴ac>bc.
又∵a>b，c<0，∴a－b>0.
由异号相乘得负数知c(a－b)<0，即ac－bc<0，
∴ac2．不等式的性质还有哪些常见结论？
提示：(1)?a－d>b－c.
(2)?>.
(3)?<，?>.
3．请对等式与不等式的性质进行比较．
提示：比较如下表：
等式的性质
不等式的性质
a＝b?b＝a
a>b?ba＝b，b＝c?a＝c
a>b，b>c?a>c
a＝b?a＋c＝b＋c
a>b?a＋c>b＋c
a＋b＝c?a＝c－b
a＋b>c?a>c－b
a＝b，c＝d?a＋c＝b＋d
a>b，c>d?a＋c>b＋d
a＝b?ac＝bc
a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?aca＝b，c＝d?ac＝bd
a>b>0，c>d>0?ac>bd
a＝b>0?an＝bn
a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)
a＝b>0?＝
a>b>0?>(n∈N，n>1)
类型一 利用不等式的性质判断命题
[例1] 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则>
C．若a
D．若a>b，>，则a>0，b<0
[解析] 方法一：∵c2≥0，∴c＝0时有ac2＝bc2，故A为假命题；由a>b>0，有ab>0?>?>，故B为假命题；
a－b>0?－>－>0?>，故C为假命题；
?ab<0.
∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题．
方法二：(特殊值排除法)
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有<，故B错．
取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C错．故选D.
[答案] D
1.
要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可.
2.举反例要遵循如下原则：①满足题设条件，②取值简单便于计算.
[变式训练1] 判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)若a(2)若ac－3>bc－3，则a>b；
(3)若a>b，且k∈N＋，则ak>bk；
(4)若a>b，b>c，则a－b>b－c.
解：(1)∵a0，∴>不一定成立，∴推不出<，∴是假命题．
(2)当c<0时，c－3<0，有a(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题．
(4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2类型二 利用不等式的性质证明不等式
[例2] 若已知a>b>0，c>d>0，求证：>
[证明] 方法一：∵a>b>0，c>d>0，∴ac>bd>0.又∵cd>0，∴>0，∴·ac>·bd>0，
∴>>0，∴>.
方法二：?>>0
?>.
方法三：∵a>b>0，c>d>0，∴ac>bd>0，
∴ac－bd>0，cd>0，
∴(
)2－(
)2＝－＝>0.
∴(
)2>(
)2，∴>.
[变式训练2] 若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)，
又bd>0，两边同除以bd得，≤.
类型三 应用不等式的性质求取值范围
[例3] 已知1≤2a＋b≤4，－1≤a－2b≤2，求10a－5b的取值范围．
[解] 令10a－5b＝x(2a＋b)＋y(a－2b)＝(2x＋y)a＋(x－2y)b，则解得
∴10a－5b＝3(2a＋b)＋4(a－2b)．
∵1≤2a＋b≤4，－1≤a－2b≤2，
∴3≤3(2a＋b)≤12，－4≤4(a－2b)≤8，
∴－1≤3(2a＋b)＋4(a－2b)≤20，
即－1≤10a－5b≤20，
故10a－5b的取值范围为[－1,20]．
本题对所求的问题用已知不等式表示，然后利用同向不等式性质解决.
[变式训练3] 已知－4解：∵2又∵－4又∵<<，
(1)当0≤a<6时，0≤<3；
(2)当－4由(1)(2)可知：－2<<3.综上可知，所求的范围分别为：－121．已知aA．4a<4b
B．－4a<－4b
C．a＋4D．a－4解析：由可乘性知，在不等式的两端同乘一负数，不等号改变方向，故选B.
2．已知a>b，ac>bc，则有( A )
A．c>0
B．c<0
C．c＝0
D．以上均有可能
解析：由可乘性知选A.
3．若2解析：由同向不等式可加性，知x＋y∈{x＋y|34．已知a>b>0，c证明：∵c－d>0.
∴0<－<－.又a>b>0，
∴－>－>0.∴>，
即－>－，两边同乘－1，得<.
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-2．2.2 不等式的解集
[课程目标]
1.掌握不等式的解集的定义，熟练求解不等式组的解集；2.掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题；3.了解绝对值不等式的几何解法；4.掌握数轴上的距离公式及中点坐标公式．
知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
[填一填]
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些解集的交集称为不等式组的解集．
[答一答]
1．确定不等式组的解集的一般步骤．
提示：(1)分别解不等式组中的每一个不等式，并求出各不等式的解集．
(2)将各不等式的解集表示在同一条数轴上．
(3)在数轴上找各不等式解集的公共部分，如果有，这个公共部分就是不等式组的解集；如果没有，则不等式组无解．
知识点二 绝对值不等式
[填一填]
1．含有绝对值的不等式的解法(同解性)
(1)|x|(2)|x|>a?
2．|ax＋b|≤c(c>0)，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法是：先化为不等式组－c≤ax＋b≤c，再利用不等式的性质求出原不等式的解集．
(2)|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法是：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再利用不等式的性质求出原不等式的解集．
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
解法1：可以利用绝对值不等式的几何意义．
解法2：利用分类讨论的思想，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号．
[答一答]
2．解绝对值不等式的常用方法有哪些？
提示：(1)分区间讨论法；(2)几何法．
知识点三 数轴上的基本公式
[填一填]
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，线段AB的中点坐标为x＝.
[答一答]
3．数轴上的基本公式中两点的位置有先后顺序吗？
提示：公式中，A，B两点的位置没有先后之分．
类型一 解不等式组
[例1] 解不等式组
[解] 解不等式①，得x>2.解不等式②，得x≤4.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下图所示．
所以该不等式组的解集是{x|21.把各不等式的解集表示在数轴上，再找出这些解集的公共部分是解决问题的关键.
2.借助数轴确定不等式组的解集，既形象直观，又不容易漏解.这体现了数学中的一种重要思想方法——数形结合法.
[变式训练1] 解不等式组
解：解不等式①，得x>5.
解不等式②，得x>－2.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下图所示．
所以该不等式组的解集为{x|x>5}．
类型二
[例2] 不等式|3x－2|>4的解集是( )
A．{x|x>2}
B．{x|x<－}
C．{x|x<－或x>2}
D．{x|－[解析] 由|3x－2|>4，得3x－2<－4或3x－2>4.即x<－或x>2.
所以原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．
[答案] C
形如|kx＋b|a?a∈R?型不等式的简单解法，即①当a>0时，|kx＋b|a?kx＋b>a或kx＋b<－a.
②当a＝0时，|kx＋b|a?|kx＋b|≠0.
③当a<0时，|kx＋b|a?kx＋b有意义.
[变式训练2] 解下列不等式：
(1)|3x＋1|≤5；
(2)|2x－a|≥b(b>0)．
解：(1)∵|3x＋1|≤5?－5≤3x＋1≤5?－6≤3x≤4?－2≤x≤，
∴原不等式的解集为.
(2)∵|2x－a|≥b(b>0)?2x－a≥b，或2x－a≤－b?2x≥a＋b，或2x≤a－b?x≥，或x≤，
∴原不等式的解集为.
类型三 数轴上两点的距离
[例3] 已知M、N、P是数轴上三点，若MN＝5，NP＝2，求MP.
[解] ∵M、N、P是数轴上三点，MN＝5，NP＝2，
∴(1)当点P在点M，N之间时(如图所示)，
MP＝MN－NP＝5－2＝3；
(2)当点P在点M、N之外时(如图所示)，
MP＝MN＋NP＝5＋2＝7，
综上所述：MP＝3或MP＝7.
1.解答本类问题时，如果两点的相对位置不确定，一定要注意分类讨论.
2.代数式|x2－x1|的数学含义：①表示实数x2－x1的绝对值；②表示数轴上两点的距离.
[变式训练3] 已知数轴上的三点A，B，P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．
(1)当P与B的距离是P与A的距离的3倍时，求P(x)．
(2)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时点P与线段AB是什么关系？
解：(1)由题意得|x－3|＝3|x＋1|，
即3(x＋1)＝x－3或3(x＋1)＝3－x，
解得x＝－3或x＝0，所以P(x)为P(－3)或P(0)．
(2)由题意知可以化为
或或或
解之得x＝1.
所以点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．
类型四 含多个绝对值的不等式的解法
[例4] 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
[解]
解法1：如图，设数轴上与－1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A、B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.
由－1－x＋1－x＝3，得x＝－.
同理设B点右侧有一点B1到A、B两点距离和为3，B1对应数轴上的x，由x－1＋x－(－1)＝3，得x＝.
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.
所以原不等式的解集是∪.
解法2：当x≤－1时，原不等式可以化为
－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－.
当－1x＋1－(x－1)≥3，即2≥3，不成立，无解．
当x≥1时，原不等式可以化为
x＋1＋x－1≥3.解得x≥.
综上所述，原不等式的解集是.
本题共展示了两种解法，其中第二种解法最为重要，值得注意的是分段讨论时要遵循分类讨论的原则，即“不重不漏”；第一种解法中关键是找到一些特殊的点.)
[变式训练4] 解关于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|>3.
解：(1)当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＝1－x＋2－3x＝3－4x，由3－4x>3，得x<0.
(2)当3，得x>2，∴x∈?.
(3)当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，由4x－3>3，得x>，∴x>.
故原不等式的解集是.
1．在数轴上M、N、P的坐标分别是3、－1、－5，则MP－PN等于( B )
A．－4
B．4
C．－12
D．12
解析：MP－PN＝|3－(－5)|－|(－1)－(－5)|＝8－4＝4.
2．已知不等式≤<，其解集在数轴上表示正确的是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：不等式≤<可转化为
解不等式①，得x≥2.
解不等式②，得x<5.
所以不等式组的解集为{x|2≤x<5}，即原不等式的解集为{x|2≤x<5}．
在数轴上的表示为选项A.
3．关于x的不等式1<|2x＋1|≤3的解集为{x|0解析：原不等式可化为
解不等式①，得－3≤2x＋1≤3.∴－2≤x≤1.
解不等式②，得2x＋1>1或2x＋1<－1，
∴x>0或x<－1.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}∩{x|x>0或x<－1}＝{x|04．解不等式|x＋3|－|x－3|>3.
解：当x<－3时，－(x＋3)＋(x－3)>3，
即－6>3，无解．
当－3≤x≤3时，x＋3＋x－3>3，
即x>，故当x>3时，x＋3－(x－3)>3，即6>3，故x>3.
综上所述，所求的解集为.
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-2．2.3 一元二次不等式的解法
[课程目标]
1.掌握一元二次不等式的概念；2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．
知识点一 一元二次不等式的概念
[填一填]
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c均为常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
知识点二 一元二次不等式的解法
[填一填]
1．因式分解法
(1)一般地，如果x10的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
(2)解一元二次不等式，先把不等式化成定义形式ax2＋bx＋c>0(其中不等号也可以是“<”“≥”“≤”等)，若ax2＋bx＋c比较容易因式分解，可先将其进行因式分解，然后根据不等式解集的形式写出不等式的解集．
2．配方法
(1)把一元二次不等式x2＋bx＋c>0化为(x＋h)2>k(h，k为常数)的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出不等式的解集．这种解一元二次不等式的方法叫做配方法．
(2)一般步骤：
一移，将含未知数的项移到不等号的左边，常数项移到不等号的右边；
二除，二次项的系数不为1时，不等号两边同时除以二次项的系数，将其化为1；
三配，不等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将其左边配成完全平方式；
四开，不等号右边是非负数时，用直接开平方法解不等式；方程右边是负数时，原不等式的解集为任意实数．
[答一答]
1．不等式x2－3x＋2>0的解集是什么？
提示：x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)>0其解集为{x|x<1或x>2}．
2．不等式(x－1)(x－a)>0(a∈R)的解是什么？
提示：当a>1时，不等式的解集是(－∞，1)∪(a，＋∞)；
当a＝1时，不等式的解集是(－∞，1)∪(1，＋∞)；
当a<1时，不等式的解集是(－∞，a)∪(1，＋∞)．
3．用配方法解不等式x2＋2x≤0.
提示：x2＋2x＝(x＋1)2－1≤0，即(x＋1)2≤1，－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，不等式的解集是[－2,0]．
类型一 因式分解法解一元二次不等式
[例1] 求下列不等式的解集：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0；
(3)x2－2x－8<0；
(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
[解] (1)因为x2－5x－6＝(x－6)(x＋1)，
所以原不等式等价于(x－6)(x＋1)>0.
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞)．
(2)原不等式等价于(x－2)(x＋3)>0，
所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
(3)因为x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)，
所以原不等式等价于(x－4)(x＋2)<0.
所以原不等式的解集为(－2,4)．
(4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2，
所以原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
因为9x2－12x＋4＝(3x－2)2，
所以原不等式等价于(3x－2)2>0，
所以原不等式的解集为{x|x≠}．
用因式分解法解一元二次不等式，首先要把不等式进行因式分解，注意先把二次项系数化为正数，否则得到相反的结论.
[变式训练1] 求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－x2＋8x－15>0；
(3)x2－4x－5<0；
(4)－3x2－2x＋8≥0.
解：(1)因为2x2＋7x＋3＝(2x＋1)(x＋3)，所以原不等式等价于(2x＋1)(x＋3)>0.
所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪(－，＋∞)．
(2)原不等式等价于x2－8x＋15<0.
因为x2－8x＋15＝(x－3)(x－5)，
所以原不等式等价于(x－3)(x－5)<0.
所以原不等式的解集为(3,5)．
(3)因为x2－4x－5＝(x＋1)(x－5)，
所以原不等式可化为(x－5)(x＋1)<0.
所以原不等式的解集为(－1,5)．
(4)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即3(x－)(x＋2)≤0，即(x－)(x＋2)≤0，
所以原不等式的解集为[－2，]．
类型二 配方法解一元二次不等式
[例2] 用配方法解下列不等式：
(1)4x2＋4x－5≤0；
(2)x2＋x＋2≥0.
[解] (1)4x2＋4x－5＝(2x＋1)2－6≤0，
即(2x＋1)2≤6，－≤2x＋1≤，
－≤x≤.
所以不等式的解集为.
(2)x2＋x＋2＝(x＋1)2＋1≥0，
因为不等式恒成立，所以不等式的解集为R.
[变式训练2] 用配方法求下列不等式的解集：
(1)x2＋6x>1；
(2)2x2＋6≥7x.
解：(1)原不等式等价于x2＋6x－1>0，
因为x2＋6x－1＝x2＋6x＋9－9－1＝(x＋3)2－10，
所以原不等式可化为(x＋3)2－10>0，即(x＋3)2>10.两边开平方，得|x＋3|>，从而可得x＋3>或x＋3<－，所以x>－3，或x<－－3.
所以原不等式组的解集为(－∞，－－3)∪(－3，＋∞)．
(2)原不等式可化为x2－x＋3≥0，因为x2－x＋3＝x2－x＋()2－()2＋3＝(x－)2－，所以原不等式可化为(x－)2－≥0，即(x－)2≥，得x－≥或x－≤－，解得x≥2或x≤.故原不等式的解集为{x|x≤或x≥2}．
类型三 含参数的一元二次不等式的解法
[例3] 解关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(a>0)．
[解] 不等式ax2＋3x＋2>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0.
当－<－1，即0原不等式的解集为；
当－＝－1，即a＝3时，
原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当－>－1，即a>3时，
原不等式的解集为.
综上所述，当0原不等式的解集为；
当a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a>3时，原不等式的解集为{x|x<－1或x>－}．
含参数的一元二次不等式要注意对参数的讨论，不重复不遗漏．如本题要依据－与－1的大小关系进行讨论．
[变式训练3] 关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是(－∞，0)．
解析：∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为
，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，∴m的取值范围是m<0.
类型四 分式不等式的解法
[例4] 解下列不等式．
(1)≥0；(2)>1.
[解] (1)∵≥0?
??x<－或x≥，
∴原不等式的解集为{x|x<－，或x≥}．
(2)方法1：原不等式可化为
或?
或?－3∴原不等式的解集为{x|－3方法2：原不等式可化为>0?>0?<0?(2x＋1)(x＋3)<0?－3∴原不等式的解集为{x|－3?1?对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.
?2?对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分?不要去分母?，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
[变式训练4] (1)下列选项中，使不等式x<A．x<－1
B．－1C．0D．x>1
解析：由x<解得所以x<－1.
(2)不等式：>1的解集为{x|－1解析：因为x2＋x＋1＝2＋>0，所以原不等式可化为x＋2>x2＋x＋1，即x2－1<0，解得－1
1．下列各式：①x2＋3>x；②2x2－3x>2x(x－1)－1；③3x2－4x>5；④x2>－＋2.其中一元二次不等式有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①③把各项移到“>”左边，右边变为0，满足一元二次不等式的概念特征，是一元二次不等式；②化简后不含二次项，不是一元二次不等式；④中含有分式，不是一元二次不等式．
2．不等式－x2－2x＋3>0的解集为( C )
A．(－2,1)
B．(－3，－1)
C．(－3,1)
D．(－1,3)
解析：原不等式等价于x2＋2x－3<0，即(x＋3)(x－1)<0，所以不等式的解集为(－3,1)．
3．不等式>0的解集是( D )
A.
B．(4，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(4，＋∞)
D．(－∞，－3)∪
解析：>0?(2x－1)(x＋3)>0?x<－3或x>.故选D.
4．不等式－x2＋5x>6的解集是(2,3)．
解析：不等式－x2＋5x>6变形为x2－5x＋6<0，
因式分解为(x－2)(x－3)<0，解得2∴不等式－x2＋5x>6的解集为(2,3)．
5．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3>0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
所以(2x＋1)(x－2)<0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
故原不等式的解集是R.
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-2．2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
[课程目标]
1.探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义；2.会用均值不等式及其变形形式解决证明不等式、比较大小、求取值范围等问题；3.掌握运用均值不等式≥求最值的常用方法及需注意的问题．
知识点一 均值不等式
[填一填]
(1)如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．此结论通常称为均值不等式，也称为基本不等式．
(2)对任意两个正实数a，b，我们称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值．因而，均值不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
[答一答]
1．如何证明均值不等式？
提示：因为a>0，b>0，所以－＝＝≥0，即≥.
当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．
2．从几何角度如何解释均值不等式？
提示：
以长为a＋b的线段为直径作圆，在直线AB上取点C，使AC＝a，CB＝b.过点C作垂直于直线AB的弦DD′，连接AD、DB，如图，连接BD′，易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2＝AC·CB，得CD＝.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即≥.当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立．
知识点二 均值不等式的应用
[填一填]
设x，y都为正数，则有如下关系：
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
[答一答]
3．如何证明“和定积最大，积定和最小”？
提示：(1)∵x，y都是正数，∴≥.
又x＋y＝s，∴xy≤()2＝，当且仅当x＝y时，取等号．故若x＋y＝s，当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)∵x，y都是正数，∴≥，当且仅当x＝y时，等号成立．又xy＝p，∴x＋y≥2.
故若xy＝p，当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
类型一 均值不等式应用的条件
[例1] 下列不等式的证明过程正确的是( )
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若x，y∈R，则＝|x|＋≥2
C．若x为负实数，则x＋≥－2＝－4
D．若x≠0，则x2＋≥2＝2
[解析] 因a，b∈R，故当a，b异号时，与均负，故直接用均值不等式是错误的，则A选项错误；若x，y∈R，＝|x|＋≥2，没有条件xy>0，不成立，所以B选项错误；C选项中，在x<0时，<0，故不能直接用均值不等式，正确书写为：x＋＝－
≤－2＝－4，故C选项错误；故选D.
[答案] D
在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式.
[变式训练1] 已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( D )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
解析：利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a2＋b2≥2ab的使用条件是a，b∈R.
对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；
对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；
对于D，因为ab>0，所以>0，>0.
所以＋≥2，即＋≥2成立．
类型二 用均值不等式证明不等式
[例2] 已知a、b、c是正实数，
求证：＋＋≥a＋b＋c.
[证明] ∵a、b、c是正实数，
∴＋≥2＝2c(当且仅当＝，即a＝b时，取等号)；
＋≥2＝2a(当且仅当＝，即b＝c时，取等号)；
＋≥2＝2b(当且仅当＝，即a＝c时，取等号)；
上面3个不等式相加得2·＋2·＋2·≥2a＋2b＋2c(当且仅当a＝b＝c时，取等号)．
∴＋＋≥a＋b＋c.
1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.
2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加?乘?得结论.
[变式训练2] 已知a>0，b>0，c>0，求证：≥abc.
证明：因为a>0，b>0，c>0，
故a2b2＋b2c2≥2＝2ab2c，
b2c2＋c2a2≥2＝2abc2，
c2a2＋a2b2≥2＝2a2bc.
将上述三式相加，得
2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2abc(a＋b＋c)，
又a＋b＋c>0，故≥abc.
[例3] 已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.
[证明] 方法一：∵a>0，b>0，c>0，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥3＋2＋2＋2＝9.
即＋＋≥9(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
方法二：∵a>0，b>0，c>0，
∴＋＋＝(a＋b＋c)(＋＋)
＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥3＋2＋2＋2＝9.
∴＋＋≥9(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a＋b＋c＝1”下，1的代换一般有两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.
[变式训练3] 已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
证明：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝－1＝≥>0，
同理－1≥>0，－1≥>0，
∴≥＝8
(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
类型三 利用均值不等式求最值
[例4] (1)已知0A.
B．1
C.
D．12
(2)已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则x＋y的最小值为________．
[解析] (1)因为00，所以x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立，所以x＝时，x(1－3x)取得最大值.
(2)∵x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·＝2＋8＋＋，x>0，y>0，∴>0，>0，x＋y≥10＋2＝18，当且仅当＝时等号成立，即y2＝4x2，∴y＝2x.又＋＝1，∴x＝6，y＝12，∴当x＝6，y＝12时，x＋y有最小值18.
[答案] (1)A (2)18
求和式的最小值时应使积为定值，求积式的最大值时应使和为定值?适当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧?，不要忽略等号成立的条件.
[变式训练4] (1)已知x>－3，则x＋的最小值为－1.
解析：因为x>－3，所以x＋3>0，则x＋＝x＋3＋－3≥2－3＝－1，当且仅当x＋3＝，即x＝－2时等号成立，所以x＋有最小值，最小值为－1.
(2)设a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值为2.
解析：因为a＋b＝2，所以(a＋b)＝1，所以＋＝(a＋b)＝，因为a>0，b>0，故>0，>0，所以＋＝≥＝2，所以＋的最小值为2.
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( B )
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＝0
解析：a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．
2．已知x<0，则x＋－2有( C )
A．最大值0
B．最小值0
C．最大值－4
D．最小值－4
解析：因为x<0，所以x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．故选C.
3．已知0解析：3x(1－x)≤3()2＝，
当且仅当x＝1－x即x＝时等号成立．
4．已知a>0，b>0，c>0，求证：
(1)＋＋≥6；
(2)··≥8.
证明：(1)＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥2＋2＋2＝6(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．
(2)··≥··
＝＝8(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．
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-第2课时 不等式的实际应用
[课程目标]
1.能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题；2.能从实际情景中抽象出不等式模型，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小、确定范围、求最值)；3.进一步了解如何从实际情景中建立数学模型，逐步体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数学意识和情感态度．
知识点一 作差法解决实际问题
[填一填]
(1)作差法的依据是a－b>0?a>b；
(2)若a>b>0，m>0，则<；
(3)若00，则>.
[答一答]
1．作差法解决实际问题的基本步骤是怎样的？
提示：(1)理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来；
(2)作差、变形；
(3)分析差的符号；
(4)得出结论，解决实际问题．
知识点二 利用均值不等式解决实际问题
[填一填]
(1)设a，b是两个正数，则≤≤≤.
(2)已知x，y是正数，如果xy是常数p，则x＋y有最小值，且这个值是2；如果x＋y是常数s，则xy有最大值，且这个值是s2.
[答一答]
2．应用均值不等式解决实际问题的步骤是怎样的？
提示：(1)理解题意，设出变量；
(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；
(3)对建立起来的关系式进行整理、变形，使之能应用均值不等式求最值；
(4)回扣实际问题，写出准确答案．
知识点三 利用一元二次不等式解决实际问题
[答一答]
3．应用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是怎样的？
提示：(1)理解题意，弄清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．
类型一 作差法解决实际问题
[例1] 甲、乙两人同时到一家米店买米两次，两次米的价格不同，甲每次购买m千克，乙每次购买n元钱的，则甲、乙两人谁的买法更便宜些？
[解] 设第一次米店的米价为a元/千克，第二次为b元/千克，则甲共买了2m千克，花了(ma＋mb)元，
两次的平均价格为＝(元/千克)．
乙共买了2n元钱的，买米(＋)千克，
两次的平均价格为＝(元/千克)．
－＝＝＝.
∵两次米价不同，∴a≠b，∴a－b≠0，(a－b)2>0.
又a>0，b>0，∴2(a＋b)>0，
∴>0，即>.
∴甲两次买米的平均价格高于乙的平均价格，
∴乙买的米更便宜些．
涉及两者大小比较的问题，解题时常用作差法比较，结合不等式的性质得到正确结论.解决此类问题的关键在于准确把需要比较大小的两个对象表示出来.
[变式训练1] 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为a2，高分别为a和b，C、D的底面积均为b2，高分别为a和b(其中a≠b)．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜，则先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
解：依题意可知A、B、C、D四个容器的容积分别为a3，a2b，ab2，b3.按照游戏规则，四个容器只有三种不同的分法：
①若先取A、B，则后取者只能取C、D.
∵(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a－b)(a＋b)2，
(a＋b)2>0，但a与b的大小不确定，
∴(a－b)(a＋b)2的正负不能确定．
②若先取A、C，则后取者只能取B、D.
∵(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a－b)(a2＋b2)，
∴类似于①的分析知，这种取法也无必胜的把握．
③若先取A、D，则后取者只能取B、C.
∵(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2，
又a≠b，a>0，b>0，∴(a＋b)(a－b)2>0，
∴a3＋b3>a2b＋ab2.故先取A、D是唯一必胜的方案．
类型二 利用一元二次不等式解决实际问题
[例2] 据市场调查：某杂志价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多，现有该杂志，若每本定价2元，则可以发行10万本，若每本价格提高0.2元，发行量就减少5
000本，要使总收入不低于22.4万元，则杂志的定价应是多少元？每本价格是多少时，可使总收入最多？
[解] 设每本价格提高0.2x(0≤x≤20)元，则发行量减少5
000x本，提价后的单价为(2＋0.2x)元，发行量为(100
000－5
000x)本．
由题意得(2＋0.2x)(100
000－5
000x)≥224
000，
即x2－10x＋24≤0，解得4≤x≤6.
最高定价：x＝6时，2＋0.2x＝3.2(元)．
最低定价：x＝4时，2＋0.2x＝2.8(元)．
故每本杂志的定价应在2.8元到3.2元之间(包括2.8元和3.2元)．
令总收入为y元，则y＝(2＋0.2x)(100
000－5
000x)
＝－1
000(x2－10x)＋200
000
∴当x＝5，即每本价格为3元时，总收入最高．
?1?本题也可设每本提高x元，或设每本定价x元求解，但都不如设每本提高0.2x元简单.,?2?解答实际应用题时，要特别注意单位的统一.
[变式训练2] 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40
km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对后同时刹车，但还是撞了．事发后，现场测量甲车的刹车距离超过12
m，但不超过15
m；乙车的刹车距离超过10
m，但不超过12
m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x甲＋0.01x，s乙＝0.05x乙＋0.005x，问谁应负主要责任？
解：由题意得下列不等式：
12<0.1x甲＋0.01x≤15， ①
10<0.05x乙＋0.005x≤12， ②
①化为1
200<10x甲＋x≤1
500，
即
由③得x甲>30或x甲<－40(舍去)．
由④得－5－5≤x甲≤－5＋5，
由③④得30同理，解②得40这表明乙车的车速超过40
km/h，超过规定限速，故乙车应负主要责任．
类型三 利用均值不等式解决实际问题
[例3] 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162
m2的三级污水处理池，平面图如图所示，水池的深度为1
m．如果水池四周墙的建造费用为400元/m2，中间两道隔墙的建造费用为248元/m2，池底建造费用为80元/m2，水池的所有墙的厚度忽略不计．
试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
[解] 设污水处理池的宽为x(x>0)
m，则长为
m，
则总造价y＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162
＝1
296x＋＋12
960
＝1
296(x＋)＋12
960
≥1
296×2＋12
960＝38
880，
当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时，等号成立．
故当长为16.2
m，宽为10
m时，总造价最低，为38
880元．
?1?在运用均值不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足均值不等式中“正”?即条件要求中字母为正数?、“定”?不等式的另一边必须为一定值?、“等”?等号取得的条件?.
?2?对于形如y＝的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的性质进行求解.
[变式训练3] 某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(万元)(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2018年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；
(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－，即k＝2.∴x＝3－.
∵每万件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x×1.5×－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8×(3－)－m
＝－[＋(m＋1)]＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1
即m＝3时，ymax＝21.
∴该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．
1．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x、y、z，则下列选项中能反映x、y、z关系的是( C )
A．x＋y＋z＝65
B.
C.
D.
解析：A、B、D中x、y、z都有可能为负数．
2．买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是( A )
A．前者贵
B．后者贵
C．一样
D．不能确定
解析：设郁金香为x元/枝，丁香为y元/枝，则
∴由不等式的性质，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者贵．
3．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为1_760元．
解析：设池底的长为x
m，因为容积为8
m3，深为2
m，所以池底的宽为
m，则水池的总造价为y＝120x·＋80＝480＋320≥480＋320×4＝1
760.所以，最低总造价为1
760元．
4．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60
m2.如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过80_m2.
解析：根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元，设建筑面积为x
m2，则根据他所选择的方案知3x－240≤0，所以x≤80，即建筑面积不超过80
m2.
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