第三章
函数
3．1 函数的概念与性质
3．1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
[课程目标]
1.理解函数的概念，了解构成函数的要素；2.会求一些简单函数的定义域和值域；3.掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法．
知识点 函数的概念
[填一填]
1．函数的定义
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域与值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域．所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为这个函数的值域．
[答一答]
1．函数的三要素是什么？
提示：定义域、值域、对应法则．
2．如何判断两个函数是否相同？
提示：两个函数只有当定义域与对应关系都分别相同时，两个函数才相同．
类型一 函数的定义
[例1] 已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|.其中能构成从M到N的函数的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
[解析] 对应关系若能构成从M到N的函数，需满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应．
①不能构成从M到N的函数：当x＝4时，y＝42＝16?N；
②不能构成从M到N的函数：当x＝－1时，y＝－1＋1＝0?N；
③不能构成从M到N的函数：当x＝－1时，y＝－1－1＝－2?N；
④能构成从M到N的函数：当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N.
[答案] D
判断某一对应是否为函数的方法,判断从集合A到集合B的对应法则是否为函数，一定要以函数概念为准则.要注意对应法则对于A中元素是否有意义，同时要注意对特殊值的分析.
[变式训练1] 对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( B )
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①③正确，②是错误的，对于不同的x，y的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．
类型二 求函数值(式)
[例2] 若f(x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f[f(2)]．
[解] f(0)＝＝1;
f(1)＝＝0；
f(1－a)＝＝(a≠2)；
f[f(2)]＝＝＝2.
?1?已知f?x?的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f?a?的值.
?2?求f?g?a??的值应遵循由里往外的原则.
注意：用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.
[变式训练2] 已知f(x)＝1－x－x2.
(1)求f－f的值；
(2)求f(t－1)；
(3)若f(a)＝1，求a的值．
解：(1)f－f
＝－
＝－＝－1.
(2)f(t－1)＝1－(t－1)－(t－1)2＝－t2＋t＋1.
(3)f(a)＝1－a－a2，
因为f(a)＝1，所以1－a－a2＝1，
所以a2＋a＝0，所以a＝0或a＝－1.
类型三 求函数的定义域
[例3] 求下列函数的定义域：
(1)y＝－；
(2)y＝.
[解] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即
∴函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，
∴x<0.
∴函数的定义域为{x|x<0}．
1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：?1?负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；?2?分式中分母不能为0；?3?零次幂的底数不为0；?4?如果f?x?由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；?5?如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.,2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
[变式训练3] 函数f(x)＝0＋的定义域为( C )
A.
B．[－2，＋∞)
C.∪
D.
解析：要使函数有意义，则所以
所以f(x)的定义域为∪，故选C.
类型四 求函数的解析式
[例4] (1)已知f(x＋1)＝x2－x＋1，则f(x)＝________；
(2)如果f＝2，则f(x＋1)＝______；
(3)如果f[f(x)]＝2x－1，则一次函数f(x)＝______；
(4)如果函数f(x)满足方程af(x)＋f＝ax，x∈R且x≠0，a为常数且a≠±1，则f(x)＝________.
[解析] (1)法一 因为f(x＋1)＝x2－x＋1＝(x＋1)2－3(x＋1)＋3，令x＋1＝t，所以f(t)＝t2－3t＋3，即f(x)＝x2－3x＋3.
法二 令t＝x＋1，则x＝t－1，于是可得
f(t)＝(t－1)2－(t－1)＋1＝t2－3t＋3，
所以f(x)＝x2－3x＋3.
(2)因为f＝2＝x2＋2＋
＝＋4＝2＋4，
所以f(x)＝x2＋4.所以f(x＋1)＝(x＋1)2＋4.
(3)因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
所以f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝2x－1，比较系数得
所以或
所以f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(4)因为af(x)＋f＝ax，
用替换上式中的x得：af＋f(x)＝.
将其看成含f(x)、f的方程．
由
①×a－②得(a2－1)f(x)＝a2x－.
因为a≠±1，所以f(x)＝.
[答案] (1)x2－3x＋3 (2)(x＋1)2＋4
(3)x＋1－或－x＋1＋ (4)
?1?直接法?代入法?：知道f?x?的解析式，求f?g?x??的解析式，直接将g?x?代入即可.
?2?换元法?有时可用“配凑法”?：已知函数f?g?x??的解析式求f?x?的解析式可用换元法?或“配凑法”?，即令g?x?＝t，反解出x，然后代入f?g?x??中求出f?t?，从而求出f?x?.
?3?解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式.
[变式训练4] 已知f(x－1)＝x2－2x＋7.
(1)求f(2)的值；
(2)求f(x)和f(x＋1)的函数关系式．
解：(1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3＋7＝10.
(2)方法一：f(x)＝f[(x＋1)－1]
＝(x＋1)2－2(x＋1)＋7＝x2＋6，
f(x＋1)＝f[(x＋2)－1]
＝(x＋2)2－2(x＋2)＋7＝x2＋2x＋7.
方法二：f(x－1)＝x2－2x＋7＝(x－1)2＋6，
∴f(x)＝x2＋6，
f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
方法三：设t＝x－1(t∈R)，则x＝t＋1(t∈R)，
∴f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋7＝t2＋6，
故f(x)＝x2＋6.
f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
1．下列对应是从集合M到集合N的函数的是( C )
A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x|
B．M＝N，N＝N
，f：x→|x－1|
C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x2
D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→
解析：对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应是集合M到集合N的函数．
2．下列四组函数中，表示同一函数的是( B )
A．f(x)＝，g(x)＝x
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝()2，g(x)＝|x|
D．f(x)＝x，g(x)＝
解析：根据同一函数的判断标准判断，即定义域相同，对应法则也相同．
3．函数f(x)＝的定义域为( A )
A．[1,2)∪(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
解析：由题意可知，要使函数有意义，需满足即x≥1且x≠2.
第2课时 函数的表示方法
[课程目标]
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．
知识点 函数的表示方法
[填一填]
(1)列表法：
用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法．
(2)图像法：
用函数的图像表示函数的方法称为图像法．
(3)解析法：
如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法．
[答一答]
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．
(1)该函数的定义域是什么？
(2)y与x满足的关系式是什么？
(3)试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．
(4)试用图像表示x与y之间的关系．
提示：(1)定义域为x∈{1,2,3,4,5}．
(2)y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．
(3)表格如下.
铅笔数x/支
1
2
3
4
5
钱数y/元
0.5
1
1.5
2
2.5
(4)如图．
类型一 函数的表示方法
[例1] 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．
[解] 这个函数的定义域是{1,2,3,4,5}．
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为：
笔记本数x/个
1
2
3
4
5
钱数y/元
5
10
15
20
25
用图像法可将函数y＝f(x)表示为如下图所示：
函数三种表示方法的适用范围
?1?列表法适用于定义域是有限集的情形.
?2?图像法适用于任何函数，函数的图像可以是连续不间断的曲线，也可以是间断的不连续的曲线或相应的点.
?3?解析法适用于对应法则可以用一个数学式子表示的情形.
?4?对于一个给定的函数其可以有几种不同的表示，比如f?x?＝1?x∈R?，也可以用图像来表示，此时图像是一条直线.
[变式训练1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试分别用列表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．
解：(1)该函数关系用列表法表示为：
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)该函数关系用图像法表示，如图所示．
(3)该函数关系用解析法表示为y＝3
000x，x∈{1,2，3，…，10}．
类型二 作函数的图像
[例2] 作出下列函数的图像，并求出其值域：
(1)y＝＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3.
[解] (1)用列表法可将函数y＝＋1，x∈[1,5]，x∈Z表示为：
x
1
2
3
4
5
y
2
3
图像如图．
值域为{，2，，3，}．
(2)∵0≤x<3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段弧(如图所示)．
值域为[－5,3)．
1.作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图像.
2.函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点.
[变式训练2] 作出下列函数的图像：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝x2－2x－3(x∈R)；
(3)y＝.
解：(1)函数y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)的定义域为{－2，－1,0,1,2}，
图像为五个点，这些点在直线y＝1－x上．
列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
3
2
1
0
－1
所画函数图像如图1.
(2)函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4且当x＝－1,3时，y＝0；
当x＝1时，y＝－4；当x＝0时，y＝－3.
所画函数图像如图2.
(3)函数y＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
则y＝＝x，函数图像如图3.
类型三 函数表示法在实际问题中的应用
[例3] 下列图像中，哪几个图像与下述三事件分别吻合得最好？请你为剩下的那个图像写出一件事．
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停车思考一番，于是返回家里找到了作业本再上学；
(2)我骑着车一路匀速行驶，只是途中遇到了一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
[解] (1)分析可知离开家的距离先逐渐增大；后来发现作业本忘家里了，返回家的过程中离开家的距离又逐渐减小；找到作业本后离开家的距离又逐渐增大，故(1)对应D.
(2)分析可知离开家的距离先逐渐增大；后因为交通堵塞，在一段时间内没有前进，因此离开家的距离未变化；交通通畅后继续前进，离开家的距离又逐渐增大，故(2)对应A.
(3)刚开始缓缓前进，所以离开家的距离缓缓增加；加速后离开家的距离急剧增加，故(3)对应B.
剩下的图像C为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢．
函数表示在实际问题中的解题策略
?1?提取信息：仔细阅读题目条件、认真观察分析图像或数表中的信息，不轻易放弃对提供的条件、图像、图形和数据的利用，在解答过程中要尽可能地利用题目所提供的数据和信息.
?2?合理选择：根据实际问题的特征选择合适的方法表示函数，比如自变量有限函数值确定则可以选择列表法也可以用图像法，如果自变量的取值为区间的形式则一般选择解析法.
[变式训练3] 某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间适合关系式：y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y关于x的解析式．
(2)用列表法表示此函数．
解：(1)把x＝2，y＝100；x＝7，y＝35分别代入得
解得
∴函数解析式为y＝x＋(x∈N
,0
(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
197
100
68.3
53
44.2
38.7
35
32.5
30.8
29.6
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
28.8
28.3
28.1
28
28.1
28.25
28.5
28.9
29.3
29.8
类型四 待定系数法求函数解析式
[例4] 求满足下列条件的二次函数的解析式．
(1)已知二次函数的图像经过A(3,0)，B(0，－3)，C(－2，5)三点；
(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图像上；
(3)已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上．
[解] (1)设所求函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定．根据已知条件得：
解得因此所求函数为y＝x2－2x－3.
(2)设所求函数为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定．根据已知条件得：a(2－4)2＋2＝0，解得a＝－，因此所求函数为y＝－(x－4)2＋2＝－x2＋4x－6.
(3)y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4，
∴顶点A(2，h－4)，
由已知得：(－4)×2－1＝h－4，h＝－5，
因此所求函数为y＝x2－4x－5.
用待定系数法求函数解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式，再由已知条件列方程或方程组，然后解出待定系数即可.注意设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行，要根据条件选取适当的形式.
[变式训练4] 二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同．已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式．
(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；
(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．
解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，可知二次项系数相同，若顶点坐标为(h，k)，则其解析式为y＝a(x－h)2＋k.
(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)的图像的顶点是(4，－7)，
所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9.
(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g(x)＝－2(x＋1)2与y＝－2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，
又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，
所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.
1．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，在下面的图形中，能表示f(x)的图像的只可能是( D )
解析：作一条垂直于x轴的直线，此直线与图像有唯一交点的图像可能为函数f(x)图像，从而选项A、C不正确，再结合定义域、值域可得只有选项D正确．故选D.
2．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( D )
A．y＝2x
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})
D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.
3．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( D )
A．y＝2(x－1)2＋3
B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3
D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析：设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
4．已知函数y＝f(x)由表格给出，若f(a)＝3，则a＝－1.
x
3
－1
2
y
2
3
－1
解析：∵f(a)＝3，由题中表格可知a＝－1.
第3课时 分段函数
[课程目标]
1.通过具体实例，了解简单的分段函数定义及表达式；2.会求分段函数的函数值；3.了解分段函数的简单应用．
知识点 分段函数
[填一填]
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．分段函数因其特点可以分成两个或多个区间及其相应的解析式，分段函数是一个函数．
[答一答]
1．分段函数由几部分构成，就是几个函数吗？
提示：不是，分段函数是一个函数而非多个函数，只不过在定义域的不同子集内的对应法则不同而已．
2．怎样确定分段函数的定义域、值域？
提示：分段函数的定义域、值域分别为各段上定义域、值域的并集，且各段上的定义域的交集为空集．
类型一 分段函数的求值
[例1] 已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f(－)＝－＋1＝－，－2<－<2，
∴f(f(－))＝f(－)＝(－)2＋2×(－)
＝－3＝－.
(2)①当a≤－2时，a＋1＝3，
∴a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2∴(a－1)(a＋3)＝0，∴a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，∴a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
?1?求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值.
?2?已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论，逐段用不同的函数解析式求解，最后检验所求结果是否适合条件.
[变式训练1] 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－)))的值．
(2)若f(x)＝2，求x的值．
解：(1)f(－)＝(－)＋2＝.
∴f(f(－))＝f()＝()2＝，
∴f(f(f(－)))＝f()＝×＝.
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x<0.
当f(x)＝x2＝2时，x＝±，其中x＝符合0≤x<2.
当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2.
综上，x的值是或4.
类型二 分段函数的图像的应用
[例2] 已知函数f(x)定义在[－1,1]上的图像如图所示，那么f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
[解析] 当x∈[－1,0]时，设f(x)＝ax＋b，
因为图像过点(－1,0)和(0,1)，
所以解得a＝1，b＝1，所以f(x)＝x＋1；
当x∈(0,1]时，设f(x)＝kx，由图像过(1，－1)，得k＝－1，所以f(x)＝－x.所以f(x)＝
[答案] C
“数形结合”是我们研究数学的一种重要方法，画函数的图像是学习数学必须掌握的一个技能.函数图像直观清晰，能够帮助我们理解其概念和有关性质.因此，我们在学习中要养成画图的习惯，并会利用函数的图像来理解函数的性质.
[变式训练2] 设x∈R，定义符号函数sgnx＝则函数f(x)＝|x|sgnx的图像大致是( C )
解析：函数f(x)＝|x|sgnx＝
故函数f(x)＝|x|sgnx的图像为直线y＝x，故选C.
类型三 分段函数在实际问题中的应用
[例3] 为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．
[解] 由题意知，当0当5当6所以应交的水费y＝
对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域.注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.
[变式训练3] 某市住宅电话通话费为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．
(1)在平面直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图像；
(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数解析式(可用表示不小于t的最小整数)．
解：(1)函数图像如下图所示．
(2)由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数关系．当03时，话费应为(0.2＋×0.1)元．
故y＝
1．函数y＝x＋的图像是( C )
解析：对于y＝x＋，显然x≠0.
当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.
所以y＝故其图像应为C.
2．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝( B )
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
解析：当a≤0，f(a)＝－a＝4，∴a＝－4；
当a>0时，f(a)＝a2＝4，∴a＝2.
综上可知a＝－4或a＝2.
3．已知f(x)＝则f()＋f(－)等于( B )
A．－2
B．4
C．2
D．－4
解析：f()＝2×＝，f(－)＝f(－＋1)＝f(－)＝f(－＋1)＝f()＝×2＝，所以f()＋f(－)＝＋＝4.
4．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝2.
解析：由题意知f(0)＝2.又f(2)＝22＋2a，所以22＋2a＝4a，即a＝2.
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4
-3．1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明(1)
[课程目标]
1.理解函数的单调性的概念；2.会用函数单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性；3.能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间；4.掌握函数单调性的一些简单应用．
知识点一 增函数与减函数
[填一填]
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I?D：
(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)，如图(1)所示；
(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有f(x1)[答一答]
1．若把增、减函数定义中的“任意x1，x2”改为“存在x1，x2”可以吗？
提示：不可以，如图：
虽然x2－x1＝2－(－1)>0，f(2)－f(－1)>0，但f(x)在[－1,2]上并不是单调函数．因此“任意”两字不能忽视，更不能用“存在”代替．
知识点二 单调性与单调区间
[填一填]
如果一个函数在某个区间I上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间I上具有单调性(区间I称为单调区间)．
[答一答]
2．“函数y＝在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数”是否正确？
提示：不正确．f(x)＝有两个减区间(－∞，0)和(0，＋∞)，但在定义域上不是单调的．
一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”而常用“和”或“，”来表示．
类型一 用定义证明函数的单调性
[例1] 判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．
[解] 函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．
证明如下：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝
＝.
∵x10.
∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴x2＋x1>0，x－1>0，x－1>0，
∴>0，即f(x1)>f(x2)，
由单调性的定义可知函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．
利用定义证明函数单调性的步骤如下：?1?取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1[变式训练1] 证明：函数y＝x＋在(0,3]上单调递减．
证明：任取00，
y2－y1＝(x2＋)－(x1＋)
＝(x2－x1)－＝(x2－x1)(1－)．
∵0∴x2－x1>0，>1，即1－<0，
∴y2－y1<0，∴函数y＝x＋在(0,3]上单调递减．
类型二 求函数的单调区间
[例2] 画出下列函数的图像，并写出单调区间：
(1)f(x)＝1－x2；(2)g(x)＝.
[解] (1)函数图像如图(1)所示，增区间为(－∞，0)，减区间为[0，＋∞)．
(2)函数图像如图(2)所示，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个减区间．
利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.,注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
[变式训练2] 作出函数f(x)＝
的图像，并指出函数的单调区间．
解：f(x)＝的图像如图所示．
由图像可知：函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．
类型三
函数单调性的应用
[例3] 已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
(1)函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
[解析] f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]．
(1)由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.
(2)由题意得－a－1＝3，a＝－4.
[答案] (1)(－∞，－4] (2)－4
函数的单调区间与函数在某一区间上单调是两个不同的概念，其中后者的区间是函数单调区间的子集.
[变式训练3] 已知函数f(x)＝若f(x)在R上是减函数，则实数k的取值范围为.
解析：若f(x)＝在R上是减函数，
故只需满足解得：k∈.
1．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则该函数的减区间为( C )
A．(－3,1)∪(1,4)
B．(－5，－3)∪(－1,1)
C．(－3，－1)，(1,4)
D．(－5，－3)，(－1,1)
解析：在某个区间上，若函数y＝f(x)的图像是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．
2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( D )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝
C．f(x)＝x2－2x－1
D．f(x)＝－|x|
解析：设任意x1，x2∈(－∞，0)，且x13．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则( C )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a＋3)>f(a－2)
D．f(6)>f(a)
解析：因为函数f(x)是增函数，且a＋3>a－2，所以f(a＋3)>f(a－2)．
4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
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1
-第2课时 单调性的定义与证明(2)
[课程目标]
1.理解函数的最大(小)值及其几何意义；2.会求一些简单函数的最大值或最小值；3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用．
知识点一 最大、小值
[填一填]
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
[答一答]
若函数y＝f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
知识点二 单调函数的最大、小值
[填一填]
(1)y＝f(x)在[a，b]上是增函数，则f(x)的最小值为f(a)，最大值为f(b)．
(2)y＝f(x)在[a，b]上是减函数，则f(x)的最小值为f(b)，最大值为f(a)．
类型一 图像法求最值
[例1] 已知f(x)＝2|x－1|－3|x|.
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)根据函数图像求其最值．
[解]
(1)当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
所以y＝
结合上述解析式作出图像，如图所示．
(2)由图像可以看出，当x＝0时，y取得最大值ymax＝2.函数没有最小值．
利用图像求函数最值的方法：①画出函数y＝f?x?的图像；②观察图像，找出图像的最高点和最低点；③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
[变式训练1] 已知函数f(x)＝
求f(x)的最大值、最小值．
解：
如图所示，当－≤x≤1时，由f(x)＝x2得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；当1综上，f(x)max＝1，f(x)min＝0.
类型二 单调性法求最值
[例2] 已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(2)求函数f(x)在区间[1,17]上的最大值和最小值．
[解] (1)证明：f(x)＝＝2－，设x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1>x2>0，所以x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，所以>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间[1,17]上的最小值为f(1)＝，最大值为f(17)＝.
?1?由函数单调性结合函数图像找出最高?低?点的纵坐标即为函数的最大?小?值.
?2?分段函数的最大?小?值是函数整体上的最大?小?值.
[变式训练2] 已知函数f(x)＝x＋.
(1)判断并证明f(x)在(3，＋∞)上的单调性；
(2)求函数f(x)在[6,9]上的最值．
解：(1)函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增，
证明：任取x1，x2∈(3，＋∞)，且x1>x2.
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝.
因为x1>3，x2>3，所以x1·x2>9，即x1x2－9>0，
又因为x1>x2，则x1－x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在(3，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在(3，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在[6,9]上单调递增．
故f(x)在[6,9]上的最小值为f(6)＝6＋＝，
最大值为f(9)＝9＋＝10.
1．函数f(x)＝x2＋1的最小值为( B )
A．0
B．1
C．－1
D．2
2．函数y＝－在区间[1,2]上的最大值为( A )
A．－
B．－
C．－1
D．不存在
3．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图像如图所示，则函数的最小值为不存在；最大值为3.
4．若命题“p：?x>0，x＋≥m”为真命题，则实数m的取值范围是(－∞，2]．
解析：设f(x)＝x＋，而f(x)≥m恒成立，说明m≤f(x)min，而f(x)≥2＝2，所以m≤2，故实数m的取值范围为(－∞，2]．
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1
-第3课时 函数的平均变化率
[课程目标]
1.理解函数的平均变化率与函数单调性的关系；2.了解直线斜率的概念；3.会用函数的平均变化率证明函数的增减性．
知识点一
直线的斜率
[填一填]
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．
[答一答]
1．平面直角坐标系中三个点共线的充要条件是什么？
提示：任意两点确定的直线斜率相等或不存在．
知识点二 函数的平均变化率
[填一填]
1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝(即＝)，则：
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立．
一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x12．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性为：
(1)当a>0时，f(x)在(－∞，－]上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增，函数没有最大值，但有最小值f＝；
(2)当a<0时，f(x)在(－∞，－]上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减，函数没有最小值，但有最大值f＝.
[答一答]
2．增函数上任意两点连线的斜率都大于零吗？减函数都小于零吗？
提示：增函数上任意两点连线的斜率都大于零，减函数都小于零．
类型一
三点共线问题
[例1] 已知平面上三点A、B、C，其中A(2,1)，B(3,2)，C(x,4)，则直线AB的斜率为________，若A、B、C三点共线，则x＝________.
[解析] 直线AB的斜率为＝1，因为A、B、C三点共线，所以AB与BC斜率相等，即＝1，解得x＝5.
[答案] 1 5
直线斜率的计算方法
?1?判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；
?2?若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝?其中x1≠x2?进行计算；
?3?判断三点共线的问题，就是由这三点任意构造两条直线，若构造的两条直线的斜率相等，则三点共线，否则此三点不共线.
[变式训练1] (1)已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为( B )
A．3
B．－2
C．2
D．不存在
解析：直线AB的斜率为＝－2，故选B.
(2)求证：A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三点共线．
证明：直线AB的斜率为＝2，直线BC的斜率为＝2，因此A、B、C三点共线．
类型二 用函数的平均变化率判断函数的增减性
[例2] 判断函数y＝在[0,3]上的单调性，并求这个函数的最值．
[解] 设x1≠x2，＝
＝
＝＝.
∵x1，x2∈[0,3]，∴>0，∴y＝在[0,3]上为增函数，当x＝0时，有最小值1.当x＝3时，有最大值2.
用平均变化率判断函数的增减性通常对\f(Δy,Δx)进行化简、变形，利用配方、分解因式、有理化等方法确定\f(Δy,Δx)的符号，从而判断函数的增减性.
[变式训练2] 证明函数f(x)＝3＋4x－x2在(－∞，2]上是增函数，在[2，＋∞)上是减函数，并求这个函数的最值．
证明：设x1≠x2，则
＝
＝＝
＝4－(x1＋x2)．
当x1，x2∈(－∞，2]时，有x1＋x2<4，从而>0，
因此f(x)在(－∞，2]上为增函数；
当x1，x2∈[2，＋∞)时，有x1＋x2>4，从而<0，
因此f(x)在[2，＋∞)上为减函数．
所以函数f(x)＝3＋4x－x2没有最小值，有最大值f(2)＝7.
类型三 根据平均变化率了解函数图像的变化
[例3] 向一杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图像如图所示，则杯子的形状可能是( )
[解析] 函数图像的走势是稍陡、陡、平，水面高度的变化与所给容器的粗细有关，容器应为下粗上细且上下两部分均为柱体，水面上升速度是匀速的，故选A.
[答案] A
根据图像的变化情况确定函数变化率情况进而确定杯子形状.
[变式训练3] 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，则图像可能是( A )
解析：汽车启动，瞬时速度在变大，所以曲线上升得越来越快；加速行驶过程中，曲线上升得更快；匀速行驶过程中，速度不变，路程均匀增加；减速行驶过程中，瞬时速度在变小，所以曲线上升得越来越慢，故选A.
1．直线l经过两点A(－1,3)，B(－1,6)，则直线l的斜率是( D )
A．1
B．－1
C.
D．不存在
2．斜率为2的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b等于( C )
A．4
B．－7
C．1
D．－1
解析：由题意得2＝＝，∴a＝4，b＝－3，
∴a＋b＝1.
3．已知函数y＝3x－4，则( A )
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
4．判断函数y＝在[3,4]上的单调性并求最值．
解：设x1≠x2，＝
＝
＝＝.
∵x1，x2∈[3,4]，∴x2－1>0，x1－1>0，∴<0，
∴y＝在[3,4]上为减函数，当x＝3时，有最大值.当x＝4时，有最小值3.
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3
-3．1.3 函数的奇偶性
第1课时 函数的奇偶性(1)
[课程目标]
1.结合具体函数，了解函数的奇偶性的含义；2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性；3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图像等．
知识点一 奇、偶函数的定义
[填一填]
(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．
(2)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．
[答一答]
1．从奇(偶)函数的定义来考虑，若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x，它的相反数－x也在定义域内吗？由此得到什么结论？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？
提示：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)
2．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？
提示：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，
即2f(0)＝0，f(0)＝0.
知识点二 奇、偶函数的图像特征
[填一填]
1．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
2．如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
[答一答]
3．观察下列函数的图像，判断函数的奇偶性．
提示：由题图可看出①②的图像均关于y轴对称，所以这两个函数均为偶函数；
③④的图像关于原点对称，所以这两个函数均为奇函数．
类型一 判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2－2x；
(2)f(x)＝x3＋；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝2－|x|.
[解] (1)f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x≠f(x)，
且f(－x)≠－f(x)，
所以f(x)为非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．因为f(－x)＝(－x)3＋＝－(x3＋)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为{－1,1}，是两个具体数，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
∴f(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．
(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
[变式训练1] 判断下列各函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2＋；
(2)f(x)＝(x－2)；
(3)f(x)＝
解：(1)f(－x)＝x2－≠f(x)，f(－x)＝x2－≠－f(x)，所以f(x)＝x2＋是非奇非偶函数．
(2)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(3)当x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，
∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
当x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，
f(－x)＝－x＋2＝f(x)．
当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，
f(－x)＝0＝f(x)．
∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，
因此f(x)是偶函数．
类型二 奇、偶函数的图像特征
[例2] 已知偶函数f(x)的一部分图像如图所示，
(1)请画出f(x)的另一部分图像；
(2)判断f(x)是否有最大值或最小值；
(3)设f(x)＝0的根为x1，x2，求x1＋x2.
[解] (1)由题意知，f(x)的图像关于y轴对称，作图如下．
(2)由图像知f(x)有最小值，无最大值．
(3)因为f(x)的图像关于y轴对称，所以x1，x2互为相反数，从而x1＋x2＝0.
已知函数的奇偶性及部分图像，根据对称性可补出另一部分图像.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反.
[变式训练2] 已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图像如图所示，则f(x)的值域为[－3，－2)∪(2,3]．
解析：根据奇函数的图像性质可以得到函数f(x)在[－2，0)上的图像，如图所示．
由图像可知，函数f(x)的值域为[－3，－2)∪(2,3]．
类型三
利用函数奇偶性求参数
[例3] (1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；
(2)已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
[解析] (1)法1(定义法) 由已知得f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
法2(特值法) 由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
整理得a＝－1.
(2)(特值法) 由f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，
即a×(－1)2＋(－1)＝－(－12＋1)，
整理得a－1＝0，解得a＝1.
[答案] (1)－1 (2)1
由函数的奇偶性求参数应注意两点
?1?函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
?2?利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.
[变式训练3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝，b＝0；
解析：由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝.又f(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，即－＝0，解得b＝0.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝0.
解析：由f(x)为奇函数得f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，所以a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0，即2ax2＝0，所以a＝0.
1．下列说法中错误的个数为( C )
①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数；
②图像关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图像一定过坐标原点；
④偶函数的图像一定与y轴相交．
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图像不过原点，所以③说法错误；对于④，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图像不与y轴相交，所以④说法错误．故选C.
2．下列函数不具备奇偶性的是( C )
A．y＝－x
B．y＝－
C．y＝
D．y＝x2＋2
解析：y＝－x与y＝－都是奇函数，y＝x2＋2是偶函数，y＝的定义域为{x∈R|x≠－1}，不关于原点对称，故y＝为非奇非偶函数，故选C.
3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( A )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)解析：∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(2)4．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m＝0，n＝0.
解析：因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝满足f(0)＝0，所以m＝0.
又f(x)＝是奇函数，则x2＋nx＋1为偶函数，n＝0.
综上知，m＝0，n＝0.
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1
-第2课时 函数的奇偶性(2)
[课程目标]
1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式；2.能利用函数的奇偶性与单调性分析，解决较简单的问题．
知识点 函数奇偶性的性质
[填一填]
(1)奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)在公共定义域上奇函数y＝f(x)与奇函数y＝g(x)，则y＝f(x)＋g(x)为奇函数，可简记为奇＋奇＝奇，类比上述结论，则有：奇－奇＝奇；偶＋偶＝偶，偶－偶＝偶；奇×奇＝偶；奇×偶＝奇；偶×偶＝偶．
[答一答]
函数y＝f(x)在x＝0处有定义，且f(0)＝0，则f(x)一定是奇函数吗？
提示：不一定，如f(x)＝x2，满足f(0)＝0，但它是偶函数.
类型一 利用奇偶性求函数值
[例1] 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＋m(m为常数)，则f(－3)＝________.
[解析] 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即m＝0，所以f(x)＝x2＋2x，故f(3)＝32＋2×3＝15，又f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－15.
[答案] －15
本题中当x≥0时，函数解析式含参数m，因此需利用奇函数在原点处有定义，则f?0?＝0的性质，求出m的值，然后根据奇函数性质求f?－3?的值.
[变式训练1] 已知函数f(x)＝是奇函数，则实数a的值为2.
解析：因为f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，所在f(0)＝＝0，所以a＝2，此时，f(x)＝是奇函数，符合题意，故答案为2.
类型二
利用奇偶性求函数f(x)的解析式
[例2] (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x－3，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
[解] (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3.
又因为f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝x2＋2x－3，
所以f(x)＝－x2－2x＋3(x<0)．
当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)＝
(2)设x>0，则－x<0，
由题意知f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.
又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝－x3－x＋1(x>0)，
故f(x)的解析式为f(x)＝
利用函数奇偶性求解析式时的注意事项
?1?求哪个区间上的解析式，就在哪个区间上取x；
?2?然后要利用已知区间的解析式写出f?－x?；
?3?利用f?x?的奇偶性把f?－x?写成－f?x?或f?x?，从而解出f?x?；,?4?要注意R上的奇函数定有f?0?＝0.,若是求整个定义域内的解析式，各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式，此点易忽略.
[变式训练2] (1)已知函数f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋b，若f(－3)＝5，则x<0时函数解析式为f(x)＝x＋8；
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝5.
所以f(3)＝－5.
又x>0时，f(x)＝x＋b，所以3＋b＝－5，所以b＝－8.
所以x>0时，f(x)＝x－8.
设x<0，则－x>0，即f(－x)＝－x－8.
又f(x)是奇函数，所以－f(x)＝－x－8，
即f(x)＝x＋8.
(2)已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x－x2.
解析：设x>0，则－x<0，
所以f(－x)＝(－x)－(－x)2＝－x－x2，
又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
故f(x)＝－x－x2.
类型三 函数的奇偶性与单调性的综合
[例3] 已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解关于实数t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.
[解] (1)函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f(0)＝0，得到b＝0.
由于f＝，所以＝，解得a＝1.
所以f(x)＝.
(2)证明：设－1f(x2)－f(x1)＝－＝.
由于－10，x1x2<1，即1－x1x2>0.
所以>0，即f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)由于函数是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(t－1)＋f(t)<0，所以f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
则解得0所以不等式的解集为.
[变式训练3] (1)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．aB．a>b
C．|a|<|b|
D．0≤ab≥0
解析：因为f(x)＝f(|x|)，所以由f(a)(2)奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( C )
A．10
B．－10
C．9
D．15
解析：由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1，
又∵f(x)是奇函数，∴f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9，故选C.
1．已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是( C )
A．4
B．3
C．2
D．1
2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则使得f(x)>0的x的取值范围是( D )
A．(－∞，3)
B．(－2,2)
C．(－3,3)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
3．已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x(x＋1)，则当x>0时，f(x)等于( A )
A．x(x－1)
B．x(x＋1)
C．－x(x－1)
D．－x(x＋1)
4．已知f(x)＝为奇函数，则g(x)等于( D )
A．－2x3－x2
B．－2x3＋x2
C．2x3－x2
D．2x3＋x2
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-3．2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点
[课程目标]
1.理解函数零点的概念；2.会求一次函数、二次函数的零点；3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图像与x轴交点的横坐标之间的关系．
知识点 函数的零点
[填一填]
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．在坐标系中表示图像与x轴的公共点的横坐标．
[答一答]
1．函数的零点是一个点吗？
提示：不是．零点是函数的图像与x轴的公共点的横坐标，它是一个实数．
2．任何函数都有零点吗？
提示：不是．如果函数的图像与x轴没有交点，则函数就没有零点，如函数f(x)＝就没有零点．
类型一 求函数的零点
[例1] (1)求函数f(x)＝－3x2－7x＋6的零点；
(2)求函数f(x)＝x4－2x2－3的零点．
[解] (1)由方程－3x2－7x＋6＝0得x1＝－3，x2＝，所以函数f(x)＝－3x2－7x＋6的零点为－3，.
(2)f(x)＝(x2＋1)(x2－3)
＝(x2＋1)(x＋)(x－)＝0.
解得x1＝－，x2＝，
所以f(x)的零点是－，.
函数零点的求法
?1?代数法：求方程f?x?＝0的实数根；
?2?几何法：对于不能用求根公式求解的方程f?x?＝0，可以将它与函数y＝f?x?的图像联系起来，图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点.
[变式训练1] 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
解：(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1.
故函数的零点是－3,1.
(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.
故函数的零点是－1,1.
类型二 函数零点的判断
[例2] 观察下图中四个函数图像，指出在(－∞，0)上哪个函数有零点，并说明理由．
[解] f1(x)和f2(x)．理由：观察函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图像，知在(－∞，0)上f1(x)，f2(x)与x轴都有交点，即函数有零点；而在(－∞，0)上f3(x)，f4(x)与x轴都没有交点，即函数没有零点．
?1?方程与不等式的解的问题通常可以转化为函数的图像与横轴的交点及其对应的区间来解决，而求函数的零点问题，常常转化为相应方程的解的问题.
?2?函数与方程之间的相互转化关系，本质上是图形的直观作用与数值的精确性之间的相互补充.
[变式训练2] 下列图像表示的函数中没有零点的是( A )
解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故图像表示的函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故A的图像表示的函数没有零点．
类型三 函数零点的应用
[例3] 已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．
[解] 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.
∴f(x)的大致图像如图所示：
则a应满足或
即
或解得0∴a的取值范围为(0,5)．
解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式?组?，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论.
[变式训练3] 讨论关于x的方程|x2－4x＋3|＝a(a∈R)的实数解的个数．
解：作两个函数y＝|x2－4x＋3|＝|(x－2)2－1|
＝及y＝a的图像，如图所示，方程|x2－4x＋3|＝a的实数解就是两个函数图像的交点(纵坐标相等)的横坐标x的值．
因此原方程解的个数就是两个函数图像的交点个数，由图可知：
①当a∈(－∞，0)时，原方程没有实数解；
②当a＝0或a∈(1，＋∞)时，原方程有两个实数解；
③当a＝1时，原方程有三个实数解；
④当01．函数y＝2x－1的图像与x轴交点坐标及零点分别是( B )
A.，
B.，
C．－，－
D.，－
解析：由2x－1＝0，∴x＝.
∴图像与x轴交点为，零点是.故选B.
2．函数f(x)＝x＋的零点个数为( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选A.
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( D )
A．{1,3}
B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3}
D．{－2－，1,3}
解析：当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－(正根舍去)．故选D.
4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为(－1,0)．
解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴即∴－1PAGE
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-第2课时 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
[课程目标]
1.理解一元二次不等式的概念；2.会解一元二次不等式；3.了解含参数的一元二次不等式的解法．
知识点一 二次函数、二次方程、二次不等式间的关系
[填一填]
设y＝ax2＋bx＋c(a>0).
知识点二 一元二次不等式的解法
[填一填]
一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：
(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)．
上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根确定，Δ＝b2－4ac，则：
①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不同的解x1，x2，设x1②Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相同的解，设x1＝x2，此时不等式(1)的解集为{x|x≠x1}，不等式(2)的解集为?.
③Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0无解，不等式(1)的解集为R，不等式(2)的解集为?.
[答一答]
解一元二次不等式的一般步骤是怎样的？
提示：第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)．
第二步：求Δ＝b2－4ac.
第三步：若Δ≤0，根据二次函数图像直接写出解集；
若Δ>0，求出对应方程的根，写出解集.
类型一 用图像法解一元二次不等式
[例1] 解不等式：(1)x2－8x＋15>0；(2)－x2－2x>－3.
[解] (1)由方程x2－8x＋15＝0的判别式
Δ＝(－8)2－4×15＝4>0，
得方程两根分别为x1＝3，x2＝5.
作函数y＝x2－8x＋15的图像，如图所示．
由图可知y＝x2－8x＋15图像在x轴上方(即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是x<3或x>5.
故原不等式的解集为{x|x<3或x>5}．
(2)原不等式可化为x2＋2x－3<0.
由方程x2＋2x－3＝0的判别式
Δ＝22－4×(－3)＝16，
得方程两根分别为x1＝－3，x2＝1.
∴原不等式的解集为{x|－3先判断判别式的符号，求根，然后根据不等号的方向及首项系数的符号写出解集，这是解一元二次不等式的基本方法，应当熟练掌握.
[变式训练1] 求下列不等式的解集．
(1)2x2＋7x＋4>0;
(2)－x2＋8x－3>0；
(3)2x2＋13x＋21<0;
(4)－4x2＋18x－≥0.
解：(1)因为Δ＝72－4×2×4＝17>0，所以方程2x2＋7x＋4＝0有两个实数根x1＝，x2＝.
由二次函数y＝2x2＋7x＋4的图像，得原不等式的解集为{x|x>或x<}．
(2)原不等式可化为x2－8x＋3<0.
因为Δ＝(－8)2－4×1×3＝52>0，所以方程x2－8x＋3＝0有两个实数根x1＝4－，x2＝4＋.
由二次函数y＝x2－8x＋3的图像，
得原不等式的解集为(4－，4＋)．
(3)原不等式可化为(x＋3)(2x＋7)<0，方程(x＋3)(2x＋7)＝0有两个实数根x1＝－3，x2＝－.
由二次函数y＝2x2＋13x＋21的图像，
得原不等式的解集为(－，－3)．
(4)原不等式可化为(2x－)2≤0，
所以原不等式的解集为{x|x＝}．
类型二 一元二次不等式解法的逆向问题
[例2] 已知不等式ax2＋5x＋c>0的解集为(，)，求a，c的值．
[解] 因为不等式ax2＋5x＋c>0的解集为(，)，
所以x1＝与x2＝是方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根，且a<0.
解法一：将x1＝与x2＝分别代入方程ax2＋5x＋c＝0，得解得
∴a＝－6，c＝－1.
解法二：由根与系数的关系，得
解得∴a＝－6，c＝－1.
本题是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的灵活运用，注意不等式的解集结构与二次项系数符号的关系，不等式的解集的端点值即为方程的根.
[变式训练2] 已知不等式ax2－bx＋2<0(a≠0)的解集为(1,2)，求a，b的值．
解：方法一：由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知解得
方法二：把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得解得
[例3] 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－3,4)，求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．
[解] 因为ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3由一元二次方程根与系数的关系可得
即所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化为
－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，
故所求不等式的解集为(－3,5)．
1.当已知某一元二次不等式的解集时，首先应注意判断其对应的二次函数的开口方向，与x轴交点坐标等信息，并列出参数所满足的等式?或不等式?，进而求解.,2.熟练掌握“三个二次”的关系及根与系数的关系是本类问题的解题关键.
[变式训练3] 已知{x|ax2＋bx＋c>0}＝{x|－解析：由题设知，－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的解，且a<0，
＝－×2<0，∴c>0.又方程cx2＋bx＋a＝0可变形成x2(a·＋b·＋c)＝0，即知此方程的根与原方程的根互为倒数，所以它的两根为－3，.∵c>0，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为(－3，)．
类型三 含参数的一元二次不等式
[例4] 解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
[解] (1)当a＝0时，不等式变为－2x<0，∴x>0；
(2)当a>0时，Δ＝4－4a2，
①当Δ>0，即0方程ax2－2x＋a＝0的两根为.
∴不等式的解集为{x|②当Δ＝0，即a＝1时，不等式的解集为?.
③当Δ<0，即a>1时，不等式的解集为?.
(3)当a<0时，
①当Δ>0，即－1}．
②当Δ＝0，即a＝－1时，不等式可化为(x＋1)2>0，
∴不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，不等式的解集为R.
综上所述，原不等式的解集为：
当a≥1时，不等式的解集为?；
当0{x|当a＝0时，不等式的解集为{x|x>0}；
当－1{x|x<或x>}；
当a＝－1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，不等式的解集为R.
[变式训练4] 解关于x的不等式：ax2－(a2＋2)x＋2a≤0.
解：(1)当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥0}．
(2)当a>0时，原不等式化为(x－)(x－a)≤0.
①当时，
原不等式的解集为{x|≤x≤a}；
②当>a，即0原不等式的解集为{x|a≤x≤}；
③当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}．
(3)当a<0时，原不等式化为(x－)(x－a)≥0.
①当原不等式的解集为{x|x≥a或x≤}；
②当>a，即a<－时，
原不等式的解集为{x|x≥或x≤a}；
③当a＝－时，原不等式的解集为R.
类型四 高次不等式的解法
[例5] 解不等式：(1)(x－1)(3－x)(x＋)<0；
(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.
[解] (1)原不等式化为(x－1)(x－3)(x＋)>0，令y＝(x－1)(x－3)(x＋)，则y＝0的根为1,3，－，将其分别标在数轴上，如图所示：
∴不等式的解集是{x|－3}．
(2)令y＝x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)，则y＝0的根为0,1，－1，－2，画出示意图如下：
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
?1?本题是用数轴穿根法来解答的，解题过程简洁.
?2?要注意所标出的区间是否是不等式的范围，可取特殊值作检验，以防不慎造成失误.
?3?有些点是否要舍掉，要仔细检验.
[变式训练5] 解不等式：(x＋1)(1－x)(x－2)>0.
解：原不等式等价于(x－1)·(x－2)
(x＋1)<0.令y＝(x－1)(x－2)(x＋1)．则y＝0的根分别为1,2，－1，结合图(如图)可得，不等式解集为{x|x<－1，或11．不等式x(2－x)>0的解集为( D )
A．{x|x>0}
B．{x|x<2}
C．{x|x>2或x<0}
D．{x|0解析：原不等式化为x(x－2)<0，故02．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为( A )
A．{x|－4≤x<－2或3B．{x|－4C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x<－2或x≥3}
解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或33．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则实数a＝－2，实数b＝3.
解析：由题意可知－，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根且a<0.
由根与系数的关系得
解得a＝－2，b＝3.
4．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为(－，)，求－cx2＋2x－a>0的解集．
解：由ax2＋2x＋c>0的解集为，知a<0，－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根．
由根与系数的关系得－＋＝－，－×＝，
解得a＝－12，c＝2.
所以－cx2＋2x－a>0即－2x2＋2x＋12>0，
整理得x2－x－6<0，其解集为{x|－2PAGE
-
1
-第3课时 零点的存在性及其近似值的求法
[课程目标]
1.掌握二分法求函数零点的步骤及原理；2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．
知识点一 函数零点存在定理
[填一填]
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即?x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
知识点二 二分法
[填一填]
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下：
第一步：检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步：计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f()＝0，取x1＝，计算结束；若f()≠0，转到第三步．
第三步：若f(a)f()<0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有f()f(b)<0，将的值赋给a，回到第一步．
[答一答]
1．什么样的零点可用二分法求？
提示：二分法只适合求变号零点，不适合求不变号零点．
2．下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是哪个？为什么？
提示：因为①的零点为不变号零点，所以不适合用二分法．
类型一 零点类型的判断
[例1] 分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点．
(1)f(x)＝3x－6；
(2)f(x)＝x2－x－12；
(3)f(x)＝x2－2x＋1；
(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.
[解] (1)零点是2，是变号零点．
(2)零点是－3和4，都是变号零点．
(3)零点是1，是不变号零点．
(4)零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.
函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图像来看，若图像穿过x轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.
[变式训练1] 已知函数y＝f(x)的图像如图所示．下列结论正确的序号是( D )
①该函数有三个变号零点；
②所有零点之和为0；
③当x<－时，恰有一个零点；
④当0A．①②
B．①②④
C．②③
D．①②③
解析：函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确．
类型二 用二分法求函数的零点
[例2] 用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确度为0.1)．
[解] 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表.
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
f(1)＝－2，f(2)＝4
(1,2)
x0＝＝1.5
f(x0)＝－0.125<0
(1.5,2)
x1＝＝1.75
f(x1)≈1.609
4>0
(1.5,1.75)
x2＝＝1.625
f(x2)≈0.666
0>0
(1.5,1.625)
因为精确度ε＝0.1，由表中数据可知，区间(1.5,1.625)中，1.625－1.5＝0.125<2ε＝0.2，所以函数的一个正实数零点可近似取为x＝＝1.562
5.
1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.
2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.
[变式训练2] 借助计算器，用二分法求函数f(x)＝2x2－3x－1的一个正零点(精确度为0.1)．
解：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
x1＝＝1.5
f(x1)＝－1<0
(1.5,2)
x2＝＝1.75
f(x2)＝－0.125<0
(1.75,2)
x3＝＝1.875
f(x3)＝0.406
25>0
(1.75,1.875)
因为精确度ε＝0.1，由上表可知，区间(1.75,1.875)的左右端点满足1.875－1.75＝0.125<2ε＝0.2，所以可以取该区间中点x＝＝1.812
5为所求函数的一个正零点近似值．
类型三 二分法在实际生活中的应用
[例3] 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10
km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10
km长，大约有200多根电线杆呢．
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一次，可以把待查的线路长度缩减到上一次的一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100
m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？
[解] 如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查，…，这样每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100
m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了．
这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用.二分法不仅可用于查找线路、水管、气管故障，还可用于实验设计、资料查询，也是求根的常用方法.
[变式训练3] 在26个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠(铜珠稍重)，现只有一台天平，你能否利用二分法设计一个方案，称较少的次数把铜珠找出来．
解：把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而利用二分法最多称4次便可把铜珠找出来．
1．函数f(x)的图像如图所示，函数f(x)的变号零点个数为( D )
A．0
B．1
C．4
D．3
解析：由题图可知，图像与x轴有4个公共点，3个穿过x轴，共有4个零点，其中有3个变号零点．
2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( C )
A．0.68
B．0.72
C．0.7
D．0.6
解析：已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又0.68＝(0.64＋0.72)÷2，且f(0.68)<0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
3．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( A )
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过6次分割后区间的长度变为<2×0.01＝0.02，此时可直接取该区间中点为近似值，故需判断6次中点函数值符号．
4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是(2,2.5)．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，f(x)图像在[2,3]上连续不断，
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(x0)＝f(2.5)＝5.625>0，∴f(2)·f(2.5)<0，
故下一个有根区间是(2,2.5)．
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-
1
-3．3 函数的应用(一)
[课程目标]
1.利用所学知识，解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题；2.掌握求解函数应用题的基本步骤，培养学生的数学应用意识．
知识点 函数的模型
[填一填]
1．已知函数的模型(如一次函数、二次函数等)，求解析式时，一般方法是设出函数的解析式，根据题设条件，用待定系数法求系数，解题中要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用图形的直观性．
2．数学建模就是通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法．
[答一答]
“用一根长为12
m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是多少？”本问题可以建立一个什么样的数学模型去解决？
提示：可设矩形框架一边长x
m，
则另一边长为＝6－x(m)．
∴面积S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9
≤9(m2)．
∴本问题可以建立二次函数模型利用二次函数的性质解决．
类型一 一次函数模型
[例1] 某市有A、B两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费标准不同，A俱乐部每张球台每小时5元，B俱乐部按月收费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在A俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在B俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)的解析式；
(2)问选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
[解] (1)由题意可得f(x)＝5x(15≤x≤40)，
当15≤x≤30时，g(x)＝90，
当30∴g(x)＝
(2)当15≤x<18时，75≤f(x)<90，g(x)＝90，
∴f(x)当x＝18时，f(x)＝g(x)＝90；
当18而f(x)＝5x>5×18＝90，
∴f(x)>g(x)；
当305×30＝150，
∴f(x)>g(x)．
∴当15≤x<18时，选A俱乐部比较合算；
当x＝18时，两家一样；
当18求解一次函数模型应用题的策略
?1?一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理.
?2?对于给出图像?是一次函数图像?的应用题，可以先利用函数的图像用待定系数法求出解析式，再反过来，用函数解析式来解决问题，最后翻译成具体问题作出解答.
[变式训练1] 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；
(2)按购买总价的92%付款．
某顾客需购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x(个)，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？
解：付款分为两部分，茶壶款和茶杯款，需要分别计算．
由优惠办法(1)得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N＋)．
由优惠办法(2)得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N＋)．
当该顾客需购买茶杯40个时，应选择优惠办法(2)．理由如下：
采用优惠办法(1)应付款y1＝5×40＋60＝260元；
采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y2类型二 二次函数模型
[例2] 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[解] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N＋)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9
600(50≤x≤55，x∈N＋)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9
600＝－3(x－60)2＋1
200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N＋，
所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1
125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1
125元．
二次函数模型的解析式为f?x?＝ax2＋bx＋c?a≠0?.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答.
[变式训练2] 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
解：设客房日租金每间提高x个2元，则每天客房出租数为300－10x，由x>0，且300－10x>0得：0000(0000.所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，每天为8
000元．
类型三 分段函数模型
[例3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入－总成本＝利润)
[解] (1)设月产量为x台，则总成本为(20
000＋100x)元，则f(x)＝
(2)当0
≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－20
000
＝－(x－300)2＋25
000，
∴当x＝300时，f(x)max＝25
000；
当x>400时，f(x)＝－100x＋60
000，
此时f(x)在定义域上是减函数，
∴f(x)000.
综合以上情形可知，当x＝300时，f(x)的最大值为25
000.
即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25
000元．
?1?在求分段函数解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重，不漏”.
?2?求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判别是否属于所在区间.
[变式训练3] 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．
(1)把汽车与A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；
(2)求汽车行驶5小时后与A地的距离．
解：(1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.5x＝
(2)当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，
即汽车行驶5小时后离A地75千米．
1．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( C )
A．15
B．40
C．25
D．130
解析：令y＝60.
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用25人．
2．化工厂在一月份生产某种产品200
t，三月份生产y
t，则y与月平均增长率x之间的关系是( D )
A．y＝200x
B．y＝200x2
C．y＝200(1＋x)
D．y＝200(1＋x)2
解析：一月份为200
t，二月份为200x＋200＝200(x＋1)
t，三月份为200(x＋1)x＋200(x＋1)＝200(x＋1)(x＋1)＝200(x＋1)2
t，即y＝200(x＋1)2.
3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( A )
A．10元
B．20元
C．30元
D.元
解析：设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
4．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)当一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式．
(3)求当销售商一次订购500个零件、1
000个零件时，该厂获得的利润．
解：(1)设一次订购x0个时，单价恰降为51元，则
x0＝100＋＝550.
因此，当一次订购550个时，每个零件的实际出厂单价恰好降为51元．
(2)当0当100当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝
(3)设销售商一次订x个时，厂家获利为y元，则
y＝(P－40)x＝
所以当x＝500时，y＝22×500－＝6
000(元)；
当x＝1
000时，y＝11
000(元)．
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6
000元；如果订购1
000个，获得的利润是11
000元．
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