2020-2021学年河南省濮阳市台前县九年级上学期期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年河南省濮阳市台前县九年级上学期期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 947.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-25 00:00:00 | ||
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文档简介
2020-2021学年河南省濮阳市台前县九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则a的值为（ ）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
3．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
4．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）
5．（3分）将抛物找y＝2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣4）2+1 B．y＝2（x﹣4）2﹣1
C．y＝2（x+4）2+1 D．y＝2（x+4）2﹣1
6．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（ ）
A．57° B．60° C．63° D．66°
7．（3分）将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，b） D．（a，b）
8．（3分）下列命题中正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦
②经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半
④平面内三点确定一个圆
⑤三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（2，﹣5）
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＝3时，y＝0；
②3a+b＞0；
③﹣1≤a≤﹣；
④≤n≤4．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝ °．
13．（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
14．（3分）今年十一长假某公园旅游高峰，第一天游客人数是1.2万人，第三天是2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为 ．
15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG，当GC＝GB时，∠α的大小为 ．
三.解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）．
17．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 ．
18．（9分）已知二次函数y＝2x2+m．
（1）若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB＝，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当的长度是 时，四边形ABDE是菱形；
②当的长度是 时，△ADE是直角三角形．
20．（9分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
21．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ ．
（2）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s），都在抛物线y＝ax2+bx+c上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．
22．（10分）已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于B，连接CB．
问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为 ，BD，AB，CB之间的数量关系为 ．
拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并证明；
解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线MN的两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2，则CB＝ ．
23．（11分）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．不是中心对称图形，不合题意；
B．不是中心对称图形，不合题意；
C．是中心对称图形，符合题意；
D．不是中心对称图形，不合题意；
故选：C．
2．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则a的值为（ ）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2+3x+a＝0，得：4﹣6+a＝0，
解得：a＝2，
故选：B．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
4．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）
解：∵抛物线为y＝（x+2）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2），
故选：D．
5．（3分）将抛物找y＝2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣4）2+1 B．y＝2（x﹣4）2﹣1
C．y＝2（x+4）2+1 D．y＝2（x+4）2﹣1
解：将抛物找y＝2x2向左平移4个单位所得直线解析式为：y＝2（x+4）2；
再向下平移1个单位为：y＝2（x+4）2﹣1．
故选：D．
6．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（ ）
A．57° B．60° C．63° D．66°
解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣66°＝114°，
由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝57°，
故选：A．
7．（3分）将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，b） D．（a，b）
解：∵将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，
∴A与A′关于原点对称，
∵点A的坐标为（a，b），
∴点A′的坐标为（﹣a，﹣b），
故选：A．
8．（3分）下列命题中正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦
②经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半
④平面内三点确定一个圆
⑤三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①错误；
经过半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，所以②错误；
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以③错误；
平面内不共线的三点确定一个圆，所以④错误；
三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等，所以⑤正确．
故选：A．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（2，﹣5）
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，
∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故选：C．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＝3时，y＝0；
②3a+b＞0；
③﹣1≤a≤﹣；
④≤n≤4．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①由抛物线的对称性可知：
抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2﹣（﹣1）＝3，
即点B的坐标为（3，0），
∴当x＝3时，y＝0，①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
3a+b＝a＜0，②不正确；
③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3．
令x＝﹣1，则有a﹣b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，
∴3a＝﹣c，即﹣3≤3a≤﹣2，
解得：﹣1≤a≤﹣，③正确；
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），
∴n＝＝c﹣，
又∵b＝﹣2a，2≤c≤3，﹣1≤a≤﹣，
∴n＝c﹣a，≤n≤4，④正确．
综上可知：正确的结论为①③④．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞3 ．
解：从表格可以看出，当x＝﹣1或3时，y＝0；
因此当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
故答案为x＜﹣1或x＞3．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝ 80 °．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠B＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，
故答案为：80
13．（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＞y1＞y2 ．
解：A（4，y1），B（，y2），在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵＜4，
∴y2＜y1，
∴点A离直线x＝2近，点C离直线x＝2最远，
而抛物线开口向上，
则y3＞y1，
故y3＞y1＞y2，
故答案是：y3＞y1＞y2．
14．（3分）今年十一长假某公园旅游高峰，第一天游客人数是1.2万人，第三天是2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为 1.2（1+x）2＝2.3 ．
解：设每天游客增加的百分率相同且设为x，
第二天的游客人数是：1.2（1+x）；
第三天的游客人数是：1.2（1+x）（1+x）＝1.2（1+x）2；
依题意可列方程：1.2（1+x）2＝2.3．
故答案为：1.2（1+x）2＝2.3．
15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG，当GC＝GB时，∠α的大小为 60° ．
解：如图，连接DG，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG，
∴AG＝AD，∠DAG＝α，
∵GC＝GB，
∴点G在BC的垂直平分线上，
∴点G在AD的垂直平分线上，
∴DG＝AG，
∴AD＝AG＝DG，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°＝α，
故答案为：60°．
三.解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）．
解：（1）∵2x2+5x﹣3＝0，
∴（x+3）（2x﹣1）＝0，
则x+3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝0.5；
（2）∵2（x﹣3）2＝x（x﹣3），
∴2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
17．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 （1，0） ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 （﹣2，3） ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 π ．
解：（1）如图，△A1O1B1为所作，点B1的坐标为（1，0）；
（2）如图，△A2OB2为所作，点A2的坐标为（﹣2，3）；
（3）OA＝＝，
所以在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积＝＝π．
故答案为（1，0），（﹣2，3），π．
18．（9分）已知二次函数y＝2x2+m．
（1）若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．
解：（1）x＝﹣2时，y1＝2×（﹣2）2+m＝4+m，
x＝3时，y＝2×32+m＝18+m，
∵18+m﹣（4+m）＝14＞0，
∴y1＜y2；
故答案为：＜；
（2）∵二次函数y＝2x2+m的图象经过点（0，﹣4），
∴m＝﹣4，
∵四边形ABCD为正方形，
又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，
∴OD＝OC，S阴影＝S矩形BCOE，
设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），
∵点B在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，
∴2n＝2n2﹣4，
解得，n1＝2，n2＝﹣1（舍负），
∴点B的坐标为（2，4），
∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝8．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB＝，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当的长度是 π 时，四边形ABDE是菱形；
②当的长度是 π或π 时，△ADE是直角三角形．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝BC，
∵D是BC的中点，
∴BD＝BC，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODB＝∠BAO＝90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线．
（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；
如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE＝2DM，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2DM，∴DE＝CD＝AB＝BC，
∵∠BAC＝90°，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB＝BD，
∴四边形ABDE是菱形；
∵AD＝BD＝AB＝CD＝BC＝，
∴△ABD是等边三角形，OD＝CD?tan30°＝1，
∴∠ADB＝60°，
∵∠CDE＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠CDE＝60°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝120°，
∴的长度为：＝π；
故答案为：；
②若∠ADE＝90°，则点E与点F重合，此时的长度为：＝π；
若∠DAE＝90°，则DE是直径，则∠AOE＝2∠ADO＝60°，此时的长度为：＝π；
∵AD不是直径，
∴∠AED≠90°；
综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为：π或π．
20．（9分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），
即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x1＝50，x2＝64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600
＝﹣10（x﹣57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890＝2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
21．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ 2 ．
（2）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s），都在抛物线y＝ax2+bx+c上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．
解：（1）设一元二次方程x2﹣3x+c＝0的根是a，2a，
则a+2a＝3，得a＝1，则2a＝2，
∴1×2＝，得c＝2，
故答案为：2；
（2）∵不同的两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝＝，
设抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），
∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝5，
假设x1＝2x2，
则3x2＝5，得x2＝，则x1＝，
即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根是或．
22．（10分）已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于B，连接CB．
问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为 BD＝AE ，BD，AB，CB之间的数量关系为 BD+AB＝CB ．
拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并证明；
解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线MN的两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2，则CB＝ ﹣ ．
解：问题发现：∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵DB⊥MN，
在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠CDB＝360°，
∴∠BAC+∠CDB＝180°，
∵∠CAE+∠BAC＝180°，
∠CAE＝∠CDB，
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∵∠ECB＝90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE＝CB，
∴BE＝AE+AB＝DB+AB，
∴BD+AB＝CB；
故答案为：BD＝AE，BD+AB＝CB；
拓展探究：猜想：BD﹣AB＝CB，
理由如下：过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠BDC＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴∠CAE＝∠BDC，
∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∵∠ECB＝90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE＝CB，
∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB，
∴BD﹣AB＝CB；
解决问题：如图③，过点C作⊥CB交MN于点E，过点D作DH⊥BC，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
∠BCD＝90°﹣∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠CDB，
∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∵∠ECB＝90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE＝BC，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB，
∴AB﹣DB＝CB；
∵△BCE为等腰直角三角形，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBH＝45°
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD＝BH＝2，
∴BH＝DH＝，
在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝，
∴CH＝DH＝×＝，
∴BC＝CH﹣BH＝﹣；
故答案为：﹣．
23．（11分）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），
将x＝0，y＝2代入y＝﹣x2+bx+c得c＝2，
将x＝4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣16+4b+2，解得b＝，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如答图1，设MN交x轴于点E，
则E（t，0），则M（t，2﹣t），
又N点在抛物线上，且xN＝t，∴yN＝﹣t2+t+2，
∴MN＝yN﹣yM＝﹣t2+t+2﹣（2﹣t）＝﹣t2+4t，
∴当t＝2时，MN有最大值4；
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）
由AD＝MN，得|a﹣2|＝4，解得a1＝6，a2＝﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2），
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，
易得D1N的方程为y＝x+6，D2M的方程为y＝x﹣2，
由两方程联立解得D为（4，4）
故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．
一、选择题
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则a的值为（ ）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
3．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
4．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）
5．（3分）将抛物找y＝2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣4）2+1 B．y＝2（x﹣4）2﹣1
C．y＝2（x+4）2+1 D．y＝2（x+4）2﹣1
6．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（ ）
A．57° B．60° C．63° D．66°
7．（3分）将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，b） D．（a，b）
8．（3分）下列命题中正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦
②经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半
④平面内三点确定一个圆
⑤三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（2，﹣5）
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＝3时，y＝0；
②3a+b＞0；
③﹣1≤a≤﹣；
④≤n≤4．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝ °．
13．（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
14．（3分）今年十一长假某公园旅游高峰，第一天游客人数是1.2万人，第三天是2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为 ．
15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG，当GC＝GB时，∠α的大小为 ．
三.解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）．
17．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 ．
18．（9分）已知二次函数y＝2x2+m．
（1）若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB＝，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当的长度是 时，四边形ABDE是菱形；
②当的长度是 时，△ADE是直角三角形．
20．（9分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
21．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ ．
（2）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s），都在抛物线y＝ax2+bx+c上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．
22．（10分）已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于B，连接CB．
问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为 ，BD，AB，CB之间的数量关系为 ．
拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并证明；
解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线MN的两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2，则CB＝ ．
23．（11分）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．不是中心对称图形，不合题意；
B．不是中心对称图形，不合题意；
C．是中心对称图形，符合题意；
D．不是中心对称图形，不合题意；
故选：C．
2．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则a的值为（ ）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2+3x+a＝0，得：4﹣6+a＝0，
解得：a＝2，
故选：B．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
4．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）
解：∵抛物线为y＝（x+2）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2），
故选：D．
5．（3分）将抛物找y＝2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣4）2+1 B．y＝2（x﹣4）2﹣1
C．y＝2（x+4）2+1 D．y＝2（x+4）2﹣1
解：将抛物找y＝2x2向左平移4个单位所得直线解析式为：y＝2（x+4）2；
再向下平移1个单位为：y＝2（x+4）2﹣1．
故选：D．
6．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（ ）
A．57° B．60° C．63° D．66°
解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣66°＝114°，
由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝57°，
故选：A．
7．（3分）将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，b） D．（a，b）
解：∵将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，
∴A与A′关于原点对称，
∵点A的坐标为（a，b），
∴点A′的坐标为（﹣a，﹣b），
故选：A．
8．（3分）下列命题中正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦
②经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半
④平面内三点确定一个圆
⑤三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①错误；
经过半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，所以②错误；
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以③错误；
平面内不共线的三点确定一个圆，所以④错误；
三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等，所以⑤正确．
故选：A．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（2，﹣5）
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，
∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故选：C．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＝3时，y＝0；
②3a+b＞0；
③﹣1≤a≤﹣；
④≤n≤4．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①由抛物线的对称性可知：
抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2﹣（﹣1）＝3，
即点B的坐标为（3，0），
∴当x＝3时，y＝0，①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
3a+b＝a＜0，②不正确；
③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3．
令x＝﹣1，则有a﹣b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，
∴3a＝﹣c，即﹣3≤3a≤﹣2，
解得：﹣1≤a≤﹣，③正确；
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），
∴n＝＝c﹣，
又∵b＝﹣2a，2≤c≤3，﹣1≤a≤﹣，
∴n＝c﹣a，≤n≤4，④正确．
综上可知：正确的结论为①③④．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞3 ．
解：从表格可以看出，当x＝﹣1或3时，y＝0；
因此当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
故答案为x＜﹣1或x＞3．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝ 80 °．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠B＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，
故答案为：80
13．（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＞y1＞y2 ．
解：A（4，y1），B（，y2），在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵＜4，
∴y2＜y1，
∴点A离直线x＝2近，点C离直线x＝2最远，
而抛物线开口向上，
则y3＞y1，
故y3＞y1＞y2，
故答案是：y3＞y1＞y2．
14．（3分）今年十一长假某公园旅游高峰，第一天游客人数是1.2万人，第三天是2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为 1.2（1+x）2＝2.3 ．
解：设每天游客增加的百分率相同且设为x，
第二天的游客人数是：1.2（1+x）；
第三天的游客人数是：1.2（1+x）（1+x）＝1.2（1+x）2；
依题意可列方程：1.2（1+x）2＝2.3．
故答案为：1.2（1+x）2＝2.3．
15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG，当GC＝GB时，∠α的大小为 60° ．
解：如图，连接DG，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG，
∴AG＝AD，∠DAG＝α，
∵GC＝GB，
∴点G在BC的垂直平分线上，
∴点G在AD的垂直平分线上，
∴DG＝AG，
∴AD＝AG＝DG，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°＝α，
故答案为：60°．
三.解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）．
解：（1）∵2x2+5x﹣3＝0，
∴（x+3）（2x﹣1）＝0，
则x+3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝0.5；
（2）∵2（x﹣3）2＝x（x﹣3），
∴2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
17．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 （1，0） ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 （﹣2，3） ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 π ．
解：（1）如图，△A1O1B1为所作，点B1的坐标为（1，0）；
（2）如图，△A2OB2为所作，点A2的坐标为（﹣2，3）；
（3）OA＝＝，
所以在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积＝＝π．
故答案为（1，0），（﹣2，3），π．
18．（9分）已知二次函数y＝2x2+m．
（1）若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．
解：（1）x＝﹣2时，y1＝2×（﹣2）2+m＝4+m，
x＝3时，y＝2×32+m＝18+m，
∵18+m﹣（4+m）＝14＞0，
∴y1＜y2；
故答案为：＜；
（2）∵二次函数y＝2x2+m的图象经过点（0，﹣4），
∴m＝﹣4，
∵四边形ABCD为正方形，
又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，
∴OD＝OC，S阴影＝S矩形BCOE，
设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），
∵点B在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，
∴2n＝2n2﹣4，
解得，n1＝2，n2＝﹣1（舍负），
∴点B的坐标为（2，4），
∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝8．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB＝，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当的长度是 π 时，四边形ABDE是菱形；
②当的长度是 π或π 时，△ADE是直角三角形．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝BC，
∵D是BC的中点，
∴BD＝BC，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODB＝∠BAO＝90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线．
（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；
如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE＝2DM，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2DM，∴DE＝CD＝AB＝BC，
∵∠BAC＝90°，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB＝BD，
∴四边形ABDE是菱形；
∵AD＝BD＝AB＝CD＝BC＝，
∴△ABD是等边三角形，OD＝CD?tan30°＝1，
∴∠ADB＝60°，
∵∠CDE＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠CDE＝60°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝120°，
∴的长度为：＝π；
故答案为：；
②若∠ADE＝90°，则点E与点F重合，此时的长度为：＝π；
若∠DAE＝90°，则DE是直径，则∠AOE＝2∠ADO＝60°，此时的长度为：＝π；
∵AD不是直径，
∴∠AED≠90°；
综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为：π或π．
20．（9分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），
即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x1＝50，x2＝64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600
＝﹣10（x﹣57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890＝2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
21．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ 2 ．
（2）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s），都在抛物线y＝ax2+bx+c上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．
解：（1）设一元二次方程x2﹣3x+c＝0的根是a，2a，
则a+2a＝3，得a＝1，则2a＝2，
∴1×2＝，得c＝2，
故答案为：2；
（2）∵不同的两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝＝，
设抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），
∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝5，
假设x1＝2x2，
则3x2＝5，得x2＝，则x1＝，
即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根是或．
22．（10分）已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于B，连接CB．
问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为 BD＝AE ，BD，AB，CB之间的数量关系为 BD+AB＝CB ．
拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并证明；
解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线MN的两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2，则CB＝ ﹣ ．
解：问题发现：∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵DB⊥MN，
在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠CDB＝360°，
∴∠BAC+∠CDB＝180°，
∵∠CAE+∠BAC＝180°，
∠CAE＝∠CDB，
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∵∠ECB＝90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE＝CB，
∴BE＝AE+AB＝DB+AB，
∴BD+AB＝CB；
故答案为：BD＝AE，BD+AB＝CB；
拓展探究：猜想：BD﹣AB＝CB，
理由如下：过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠BDC＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴∠CAE＝∠BDC，
∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∵∠ECB＝90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE＝CB，
∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB，
∴BD﹣AB＝CB；
解决问题：如图③，过点C作⊥CB交MN于点E，过点D作DH⊥BC，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
∠BCD＝90°﹣∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠CDB，
∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∵∠ECB＝90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE＝BC，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB，
∴AB﹣DB＝CB；
∵△BCE为等腰直角三角形，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBH＝45°
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD＝BH＝2，
∴BH＝DH＝，
在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝，
∴CH＝DH＝×＝，
∴BC＝CH﹣BH＝﹣；
故答案为：﹣．
23．（11分）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），
将x＝0，y＝2代入y＝﹣x2+bx+c得c＝2，
将x＝4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣16+4b+2，解得b＝，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如答图1，设MN交x轴于点E，
则E（t，0），则M（t，2﹣t），
又N点在抛物线上，且xN＝t，∴yN＝﹣t2+t+2，
∴MN＝yN﹣yM＝﹣t2+t+2﹣（2﹣t）＝﹣t2+4t，
∴当t＝2时，MN有最大值4；
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）
由AD＝MN，得|a﹣2|＝4，解得a1＝6，a2＝﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2），
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，
易得D1N的方程为y＝x+6，D2M的方程为y＝x﹣2，
由两方程联立解得D为（4，4）
故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．
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