2020-2021学年陕西省西安市蓝田县高二上学期期中数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年陕西省西安市蓝田县高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞1} B．{x|x＜﹣1或x＞2}
C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}
2．在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和，a6＝5，则S11的值是（　　）
A．60 B．11 C．50 D．55
3．设P＝2a2﹣4a+3，Q＝（a﹣1）（a﹣3），a∈R，则有（　　）
A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝1，A＝120°，则此三角形解的情况为（　　）
A．无解 B．只有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
5．已知数列{an}的前项和Sn＝2n2+1，n∈N*，则a5＝（　　）
A．20 B．17 C．18 D．19
6．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C． D．﹣2a＜﹣2b
7．若关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为?，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，4] B．（0，4）
C．（﹣∞，0]∪（4，+∞） D．[0，4）
8．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为（　　）
A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1﹣cosA＝，则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
10．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an+1＝，数列{an}前n项和为Sn，则S2016为（　　）
A．504 B．588 C．﹣588 D．﹣504
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，a62+2a5a9+a82＝25，则a1a13的最大值是（　　）
A．25 B． C．5 D．
12．数列{an}满足a1＝1，对?n∈N*，都有an+1＝a1+an+n，则++……+＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．不等式≤0的解集为　 　．
14．若1＜α＜3，﹣4＜β＜2，则α﹣|β|的取值范围是　 　．
15．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为　 　．
16．如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为　 　海里．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+2b＝2ccosA．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若a＝1，△ABC的面积为，求c．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝33n﹣n2．
（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）求Sn的最大值及取得最大值时n的值．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b﹣a）sinB+asinA＝csinC，c＝2．
（Ⅰ）求△ABC的外接圆半径R；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
20．（12分）已知正项等比数列{an}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{bn}满足bn＝1+2log2an．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an?bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a2+2）x+2a．
（1）若不等式f（x）+6x≤0的解集是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞），求a的值；
（2）当a≤0时，求不等式f（x）≤0的解集．
22．（12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，
（1）求该仓库面积S的最大值
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞1} B．{x|x＜﹣1或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【分析】根据一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0，即或，即可求解
解：一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0
即或，解得：﹣2＜x＜1
∴一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}；
故选：C．
2．在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和，a6＝5，则S11的值是（　　）
A．60 B．11 C．50 D．55
【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式能求出S11．
解：∵在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和，a6＝5，
∴S11＝×（a1+a11）＝×2a6＝11a6＝11×5＝55．
故选：D．
3．设P＝2a2﹣4a+3，Q＝（a﹣1）（a﹣3），a∈R，则有（　　）
A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q
【分析】直接利用作差法即可比较大小．
解：P﹣Q＝2a2﹣4a+3﹣（a﹣1）（a﹣3）＝2a2﹣4a+3﹣a2+4a﹣3＝a2≥0，
则P≥Q，
故选：A．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝1，A＝120°，则此三角形解的情况为（　　）
A．无解 B．只有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
【分析】利用正弦定理求解∠B的大小即可．
解：在△ABC中，即．
∴即B＝30°或150°（舍去）．
所以此三角形只有一解．
故选：B．
5．已知数列{an}的前项和Sn＝2n2+1，n∈N*，则a5＝（　　）
A．20 B．17 C．18 D．19
【分析】利用a5＝S5﹣S4即可得出．
解：∵数列{an}的前项和Sn＝2n2+1，n∈N*，
则a5＝S5﹣S4＝2×52+1﹣（2×42+1）＝18．
故选：C．
6．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C． D．﹣2a＜﹣2b
【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．
解：∵a，b，c∈R且a＞b，∴取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝﹣1可排除C．
由不等式的性质知当a＞b时，﹣2a＜﹣2b，故D正确．
故选：D．
7．若关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为?，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，4] B．（0，4）
C．（﹣∞，0]∪（4，+∞） D．[0，4）
【分析】对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为?化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，不等式化为1≤0，解集为空集，符合要求；
当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为?，即所对应图象均在x轴上方，
∴，
解得0＜a＜4；
综上，满足要求的实数a的取值范围是[0，4）．
故选：D．
8．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为（　　）
A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出立夏的日影子长．
解：∵从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{an}，设其公差为d，
冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，
∴
解得d＝﹣1，a1＝15.5．
∴a10＝a1+9d＝15.5﹣9＝6.5，
立夏的日影子长为15.5尺．
故选：D．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1﹣cosA＝，则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【分析】由已知利用余弦定理化简可得a2+b2＝c2，即可判断△ABC的形状为直角三角形．
解：因为1﹣cosA＝，
所以cosA＝1﹣＝＝，整理可得a2+b2＝c2，
可得△ABC的形状为直角三角形．
故选：B．
10．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an+1＝，数列{an}前n项和为Sn，则S2016为（　　）
A．504 B．588 C．﹣588 D．﹣504
【分析】由条件可得数列的前几项，可得数列{an}为周期为4的数列，即有an+4＝an，即可得到S2016．
解：由题意可得a1＝2，a2＝＝，
a3＝＝﹣，a4＝＝﹣3，
a5＝＝2，…，
可得数列{an}为周期为4的数列，即有an+4＝an，
则S2016＝a1+a2+a3+…+a2016＝（2+﹣﹣3）+…+（2+﹣﹣3）
＝﹣×504＝﹣588．
故选：C．
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，a62+2a5a9+a82＝25，则a1a13的最大值是（　　）
A．25 B． C．5 D．
【分析】根据{an}为各项均为正数的等比数列即可得出a6+a8＝5，并且a1a13＝a6a8，然后根据基本不等式即可求出a1a13的最大值．
解：∵等比数列{an}的各项都为正数，
∴，
∴a6+a8＝5，
∴，当且仅当时取等号，
∴a1a13的最大值是．
故选：B．
12．数列{an}满足a1＝1，对?n∈N*，都有an+1＝a1+an+n，则++……+＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题将a1＝1代入递推公式后可计算得到an+1﹣an＝n+1．然后代入n的具体值，运用累加法可计算出数列{an}的通项公式，然后计算出的表达式，再运用裂项相消法计算出结果，得到正确选项．
解：由题意，可知an+1＝an+n+1，
即an+1﹣an＝n+1．
∴a2﹣a1＝2，
a3﹣a2＝3，
?
?
?
an﹣an﹣1＝n．
各项相加，可得
an﹣a1＝2+3+…+n，
∴an＝a1+2+3+…+n＝1+2+3+…+n＝，n∈N*，
＝＝2（﹣），
则++…+
＝2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）
＝2（1﹣+﹣+…+﹣）
＝2（1﹣）
＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．不等式≤0的解集为　[1，3）　．
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．
解：不等式等价为，
即，即1≤x＜3，
则不等式的解集为[1，3），
故答案为：[1，3）．
14．若1＜α＜3，﹣4＜β＜2，则α﹣|β|的取值范围是　（﹣3，3）　．
【分析】由﹣4＜β＜2，可得|β|＜4，故 0﹣4＜﹣|β|≤0 ①，再由1＜α＜3 ②，把①②相加可得 α﹣|β|的取值范围．
解：∵﹣4＜β＜2，∴|β|＜4，故 0﹣4＜﹣|β|≤0 ①，
再由1＜α＜3 ②，
把①②相加可得﹣4+1＜α﹣|β|＜0+3，即﹣3＜α﹣|β|＜3，
故答案为：（﹣3，3）．
15．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为　6　．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝3x+2y得y＝﹣x+z，
平移直线y＝﹣x+z，
由图象知当直线y＝﹣x+z经过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，此时z最大，
最大值为z＝3×2＝6，
故答案为：6
16．如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为　5　海里．
【分析】先利用正弦定理求解AD的长，BD，再利用余弦定理求出AB．
解：由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，
在三角形ACD中，，∴AD＝，
在直角三角形BCD中，BD＝10，
在三角形ABD中，AB＝＝5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+2b＝2ccosA．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若a＝1，△ABC的面积为，求c．
【分析】（Ⅰ）结合正弦定理和a+2b＝2ccosA，将边化为角，得sinA+2sinB＝2sinCcosA，再结合A+B+C＝π与正弦的两角和公式化简可得，由于C∈（0，π），所以；
（Ⅱ）＝，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcosC代入已知数据进行运算即可得解．
解：（Ⅰ）由正弦定理得，sinA+2sinB＝2sinCcosA，
而sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
所以sinA+2sinAcosC＝0，
又因为sinA≠0，所以，
由于C∈（0，π），所以．
（Ⅱ）因为△ABC的面积为，所以＝，解得b＝4，
由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝，故．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝33n﹣n2．
（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）求Sn的最大值及取得最大值时n的值．
【分析】（Ⅰ）当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝34﹣2n，验证当n＝1时也满足，于是可求得{an}的通项公式为an＝34﹣2n，利用等差数列的定义证明即可；
（Ⅱ）令an≥0可求得n≤17，从而可得答案．
解：（Ⅰ）证明：当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝34﹣2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34﹣2×1满足an＝34﹣2n，
故{an}的通项公式为an＝34﹣2n，
所以an+1﹣an＝34﹣2（n+1）﹣（34﹣2n）＝﹣2，
故数列{an}是以32为首项，﹣2为公差的等差数列；
（Ⅱ）an≥0，即34﹣2n≥0，解得n≤17，
故数列{an}的前16项或前17项和最大，
此时S16＝S17＝33×17﹣172＝272．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b﹣a）sinB+asinA＝csinC，c＝2．
（Ⅰ）求△ABC的外接圆半径R；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理求出cosC，再求C的值，利用正弦定理求出△ABC外接圆半径．
（Ⅱ）求出△ABC的面积，利用基本不等式求出面积的最大值．
解：（Ⅰ）△ABC中，（b﹣a）sinB+asinA＝csinC，
所以（b﹣a）b+a2＝c2，
即a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理得cosC＝＝；
又C∈（0，π），
所以C＝；
所以△ABC的外接圆半径为
R＝＝＝．
（Ⅱ）△ABC的面积为S△ABC＝absin＝ab，
由a2+b2﹣c2＝ab，c＝2，得a2+b2＝ab+4；
又a2+b2≥2ab，所以ab+4≥2ab，
解得ab≤4；
所以S△ABC＝ab≤，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，
所以△ABC面积的最大值为．
20．（12分）已知正项等比数列{an}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{bn}满足bn＝1+2log2an．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an?bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
【分析】（1）根据等比数列递推公式可得得正向等比数列{an}的公比为2，从而得到数列的通项公式；
（2）由（1）可得cn＝an?bn＝（2n+1）?2n，利用错位相减法可以得到Sn．
解：（1）由已知得，2a2＝a2?q2﹣a2?q，解之得，q1＝﹣1（舍），q2＝2，故q＝2，
所以an＝a1?qn﹣1＝2n，bn＝1+2log22n＝2n+1．
（2）cn＝an?bn＝（2n+1）?2n，根据题意利用错位相减法可得：
Sn＝3×21+5×22+7×23+…+（2n+1）?2n…①
2Sn＝3×22+5×23+…+（2n﹣1）?2n+…+（2n+1）?2n…②
①﹣②得，﹣Sn＝6+23+24+…+2n+1﹣（2n+1）?2n+1＝6+﹣（2n+1）?2n+1＝﹣2﹣（2n﹣1）?2n+1，
故Sn＝（2n﹣1）?2n+1+2．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a2+2）x+2a．
（1）若不等式f（x）+6x≤0的解集是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞），求a的值；
（2）当a≤0时，求不等式f（x）≤0的解集．
【分析】（1）由题意可得﹣1和﹣2是ax2﹣（a2﹣4）x+2a＝0的两个实数根，且a＜0，再利用韦达定理，求得a的值．
（2）不等式即即（ax﹣2）（x﹣a）≤0，分类讨论a的符号以及a与的大小关系，利用二次函数的性质，求出它的解集．
解：（1）∵不等式f（x）+6x≤0的解集是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞），
即ax2﹣（a2+2）x+2a+6x≤0的解集是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞），
∴﹣1和﹣2是ax2﹣（a2﹣4）x+2a＝0的两个实数根，且a＜0，
∴，求得a＝﹣4．
（2）当a≤0时，不等式f（x）≤0，即ax2﹣（a2+2）x+2a≤0，即（ax﹣2）（x﹣a）≤0．
当a＝0时，不等式即﹣2x≤0，∴x≥0．
当a＜0时，不等式即（x﹣）（x﹣a）≥0，
若a＝，即a＝﹣时，不等式的解集为R；
若a，即﹣＜a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，]∪[a，+∞）；
若a＜，即 a＜﹣时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[，+∞）；
综上所述，原不等式的解集情形如下：
当a＝0时，不等式的解集为[0，+∞）；
当a＝﹣时，不等式的解集为R；
当﹣＜a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，]∪[a，+∞）；
当a＜﹣时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[，+∞）．
22．（12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，
（1）求该仓库面积S的最大值
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？
【分析】（1）设铁栅长x，一侧砌墙长y，根据基本不等式求出xy的最大值即可；
（2）根据基本不等式求出xy的范围，得出结论．
解：（1）设铁栅长为x（x＞0）米，一侧砖墙长为y（y＞0）米，则仓库面积S＝xy，
由题意可得：40x+2×45y＝3200，∴4x+9y＝320，
∵4x+9y≥2＝12，当且仅当4x＝9y时取等号，
∴320≥12，
∴xy≤，即仓库的面积S的最大值为．
（2）由题意得：40x+2×45y+20xy＝3200，
由基本不等式得，
当且仅当40x＝90y时取等号，
则，解得：，∴0＜S≤100，
所以S的最大值是100．此时4x＝9y且＝10，即x＝15，
即铁栅的长是15米．