2.1.1等式的性质与方程的解集
1.多项式可分解为,则的值分别为(
)
A.
10
和-2
B.
-10
和
2
C.
10
和
2
D.
-10
和-2
2.已知关于x的方程的解是,则m的值是（
）
A.
B.
C.
D.
3.利用十字相乘法,可因式分解为(
)
A.
B.
C.
D.
4.若,则对任意的实数z,下列说法正确的有(
)
①;②;③;④当时，.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.若实数满足条件，则下列不等式一定成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
6.下列结论正确的是(
)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7.若且,则下列结论恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知，下列不等式中必成立的一个是(
)
A.
B.
C.
D.
9.已知，则下列不等式中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
10.不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
11.若，则的值是__________.
12.用”>”“<”或“=”填空:
①已知,则________;
________;________.
②已知,则________
13.给出四个条件:
①;
②;
③;
④.
其中能推出成立的是________.
14.和同时成立的条件是________
15.求方程的解集.
答案以及解析
1.答案：D
解析：
由题意，得,
所以，即.
2.答案：A
解析：
把代入方程，得,解得,故选A.
3.答案：D
解析：
因为,且,所以可将因式分解为.
4.答案：D
解析：
由等式的性质，可知四种说法都正确,故选D.
5.答案：D
解析：根据题意，依次分析选项：
A.
时，有成立，故A错误；
B.
时，有成立，故B错误；
C.
时，有成立，故C错误；
D.
由不等式的性质分析可得若,必有成立，则D正确.
故选：D.
6.答案：C
解析：对于A:若，则A不成立，
对于B:例如满足，但是，则B不成立，
对于C:根据不等式的性质即可判断成立，
对于D:若，则，则D不成立，
故选：C
7.答案：D
解析：取可排除A,取可排除B,取可排除C,由可得,展开得,故选D.
8.答案：A
解析：∵，∴，
∵，∴，
根据不等式的传递性可得：.
故选：A.
9.答案：B
解析：∵,
.∴只有B正确。故选：B.
10.答案：D
解析：
，故选D
11.答案：9
解析：
∵，∴，∴.
12.答案：>；<；>；>
解析：
又
再由
13.答案：①②④
解析：由①，有，所以；由②，有，故有；由③，有；由④，得
14.答案：
解析：若，由，两边同除以，得，即；
若，则，所以和同时成立的条件是
15.答案：
由方程，可得或或或,
解得或或或，
所以方程的解集为.
解析：
PAGE2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
1.已知是方程的两个根,则的值为(
)
A.8
B.5
C.3
D.2
2.若代数式与代数式的值相等,则的值是(
)
A.或3
B.2或3
C.或6
D.1或
3.已知是一元二次方程的两个实根,则的值为(
)
A.
B.
C.
D.36
4.已知一元二次方程的两根分别是4和,则这个一元二次方程可以是(
)
A.
B.
C.
D.
5.一元二次方程的根的情况是(
)
A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3
D.有两个正根,且有一根大于3
6.已知为方程的两根，则(
)
A.
11
B.7
C.40
D.32
7.已知是方程的两个实数根，则的值为(
)
A.
-1
B.
C.
D.
1
8.已知一元二次方程的两根分别是4和-5,则这个一元二次方程可以是（
）
A.
B.
C.
D.
9.方程的根的情况是（
）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
10.不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
11.填空：
(1)方程的解集为______________；
(2)方程的解集为_______________.
12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是_____________________.
13.设方程的两个根为，则
.
14.方程的解集为
.
15.已知关于x的一元二次方程,有两个实数根,且满足
(1)求实数a的值；
(2)求该一元二次方程的两个实数根.
答案以及解析
1.答案：A
解析：是方程的两个根,.
2.答案：B
解析：由题意,得,即,即,解得或3.故选B.
3.答案：A
解析：由题意得.故选A.
4.答案：D
解析：方法一
设所求方程为,则由题意,可得,即,验证四个选项,只有D项符合条件.
方法二
根据题意可知所求方程为,即,当时,方程为,故D符合条件.
5.答案：D
解析：一元二次方程化简得,所以方程的两根为.又,,所以该方程有两个正根,且有一根大于3.故选D.
6.答案：C
解析：由题意，可得,所以
7.答案：C
解析：因为是方程的两个实数根，所以,所以,故选C.
8.答案：D
解析：设所求方程为，则由题意，可得，即，验证四个选项，只有D项符合条件.
9.答案：A
解析：，方程有两个不相等的实数根.故选A.
10.答案：D
解析：不等式可化为
?，
解得，或?；
∴?不等式的解集是.?
故选：D.
11.答案：(1)；
(2).
解析：(1)方法一(十字相乘法)
原方程可化为,解得方程的解集是.
方法二(配方法)
,即,解得方程的解集是.
方法三(公式法)
原方程可化为,方程的解集是.
(2)①当时,原方程可化为,即,解得或；②当时,原方程可化为,即,解得或.因此,原方程的解集为.
12.答案：
解析：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,,即,解得且的取值范围为.
13.答案：
解析：由根与系数的关系，得，则
14.答案：
解析：因为,所以该方程有两个不相等的实数根，由求根公式，可得
,,所以该方程的解集为.
15.答案：(1)
,解得.
(2)由(1)知，方程可化为,
即,
或
或
解析：
PAGE2.1.3方程组的解集
1.方程组有唯一的一组解,则实数的值是(
)
A.
B.
C.
D.以上答案都不对
2.若方程组的解和的值互为相反数,则实数的值等于(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
3.已知,则(
)
A.
B.
C.
D.
4.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二,直金十两；牛二、羊五,直金八两.问：牛、羊各直金几何?”
译文：“假设有5头牛、2只羊,值金10两；2头牛、5只羊,值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两?”(
)
A.
B.
C.
D.
5.方程组的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
6.方程组有唯一的一组解，则实数m的值是（
）
A.
B.
C.
D.以上答案都不对
7.已知，则(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知是方程组的解集，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
9.若方程组的解x和y的值互为相反数，则实数k的值等于(
)
A.0
B.
1
C.2
D.3
10.小亮解得方程组的解集为,由于不小心,滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,则●的值为________________.
11.已知二次函数的图像经过点,则该函数的解析式为
.
12.求下列方程组的解集：
(1)；
(2).
13.甲、乙两位同学在求方程组的解集时，甲解得正确答案为，乙因抄错了
c
的值，解得答案为，求的值.
14.某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元,应该怎样安排这三种农作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的设备资金正好够用?
15.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动
力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备资金上投入67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用？
答案以及解析
1.答案：C
解析：由,得,代入,得到关于的方程,由题意,可知,解得,故选C.
2.答案：C
解析：由题意,可知,代入,得,所以.将代入,得,所以.
3.答案：C
解析：解方程组,得或,所以.故选C.
4.答案：A
解析：设每头牛值金两,每只羊值金两,由题意,可得,解得.故选A.
5.答案：A
解析：由,得,代入,得,解得,所以.故方程组的解集为.故选A.
6.答案：C
解析：由,得，代入,得到关于x的方程,由题意，可知,解得.故选
C.
7.答案：C
解析：解方程组，得或，所以.故选
C.
8.答案：A
解析：把代入方程组，得，解得，故选
A.
9.答案：C
解析：由题意，可知，代入，得，所以.将代入，得,所
以.
10.答案：8
解析：把代入中,得,解得的值为.
11.答案：
解析：设所求函数的解析式为，因为点在函数图像上，所以，解得，所以函数的解析式为.
12.答案：(1)记,
由①得,代入②得,
化简,得,解得或.
当时,；当时,,
所以方程组的解集为.
(2)记,
由①得,所以③或④.
由②①得,所以,
所以⑤或⑥.
由③⑤得,解得；
由③⑥得,解得；
由④⑤得,解得；
由④⑥得,解得.
因此,原方程组的解集为.
解析：
13.答案：将代入方程组，得
将代入，得.
联立①②③，解得,
所以
解析：
14.答案：设水稻、棉花和蔬菜的种植面积分别为公顷、公顷和公顷,
则,解得.
答：种植水稻15公顷、棉花20公顷、蔬菜16公顷,才能使所有职工都有工作,而且投入的设备资金正好够用.
解析：
15.答案：设水稻、棉花和蔬菜的种植面积分别为x公顷、y公顷和z公顷，
则，解得
所以种植水稻15公顷、棉花20公顷、蔬菜16公顷，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用.
解析：
PAGE2.2.1不等式及其性质
1.(多选)设为正实数，则下列命题为真命题的是(
)
A.若,
B.若,则
C.若,则
D.若，则
2.已知,则下列不等式中一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.若均为不等于零的实数，条件甲：对任意的恒成立；条件乙：,则甲是乙
的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知,记,
,则与的大小关系是(??
?)
A.
B.
C.
D.不确定
5.已知，,则
p与q的大小关系为（
)
A.
B.
C.
D.
6.若,则下列结论中不正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知，则下列不等式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
8.下列结论中正确的是（
）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
9.若不等式组的解集是，则
.
10.用”>”“<”或“=”填空:
①已知,则________;
________;________.
②已知,则________
11.给出四个条件:
①;
②;
③;
④.
其中能推出成立的是________.
12.已知三个不等式:①;②;③,以其中两个作条件余下一个作结论,则可组成________个真命题.
13.已知,则下列不等式:
①;
②;
③;
④;
⑤中,你认为正确的是________.(填序号)
14.如果,那么与中较大的是________
15.已知
(1)当时,求的解集
(2)当,且当时,恒成立,求实数的最小值
答案以及解析
1.答案：AD
解析：对于A,由为正实数,,故.若，则，这与矛盾，故成立，所以A为真命题;对于B，取,则,但,所以B为假命题;对
于C，取，则，但不成立，所以C为假命题;对于
D，，即，所以D为真命题.综上可知，真命题为A，D.
2.答案：C
解析：因为，，所以，所以又，所以可得.
3.答案：A
解析：当时，恒有成立，当时，,当时，，甲乙.当
时，，但当时,，此时，乙甲，甲是乙的充分不必要条件.
4.答案：B
解析：由题意得,故.
5.答案：C
解析：因为,所以,故选
C.
6.答案：D
解析：中结论均正确，中结论错误.故选D.
7.答案：C
解析：由以及不等式的性质，得，故选C.
8.答案：C
解析：当时,,故选项A不正确；取，，故选项B不正确；由，知,所以,所以,故选项C正确；当时,,故选项D不正确.
9.答案：0
解析：解不等式组,得,由已知条件，可知，解得，所以.
10.答案：>；<；>；>
解析：
又
再由
11.答案：①②④
解析：由①，有，所以；由②，有，故有；由③，有；由④，得
12.答案：3
解析：由不等式性质,得；；
13.答案：④
解析：当时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数是增函数可知当时，有，因此④正确
14.答案：
解析：
15.答案：(1)当时，，即
或
(2)方法一 因为
所以在上恒成立
即在上恒成立
而
当且仅当，即时取到等号
所以，即，所以的最小值是
方法二 在上恒成立
即在上恒成立
令
当时，在上恒成立，符合
当时，易知在上恒成立，符合
当时，则，所以
综上所述，
所以的最小值是
解析：
PAGE2.2.2不等式的解集
2.2.3一元二次不等式的解法
1.不等式的解集是（
）
A.
B.
C.
D.
2.不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
3.不等式的解集用区间可表示为(
)
A．
B．
C．
D．
4.下列不等式中是一元二次不等式的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
6.不等式的解集是（
）
A.
B.R
C.
D.
7.不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
8.若方程的两个不等实根均大于2，则实数a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
9.不等式对于恒成立,那么a的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
10.关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
11.设，则关于x的不等式的解集是__________.
12.不等式的解集为__________.
13.若不等式的解集是,则_________.
14.对于,都有,则实数的取值范围是________
15.若不等式的解集为空集,求实数的取值范围
答案以及解析
1.答案：D
解析：法一：当时，不成立，可排除A，B；
当时，成立，可排除C，故选D；
法二：当时，不等式可化为
解得：
当时，不等式可化为：恒成立
当时，不等式可化为
解得，故不等式解集为，
故选D
2.答案：C
解析：方法一：①.时，原不等式等价于
即不成立
②.时，原不等式等价于得
∴
③.时，不等式等价于
即恒成立
∴
综上
∴不等式的解集为，选C
方法二：排除法
为不等式的解，排除A，B，D选C
3.答案：D
解析：解不等式，得，所以其解集用区间可表示为．故选D．
4.答案：C
解析：选项A中，时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C
5.答案：D
解析：不等式可化为
?，
解得，或?；
∴?不等式的解集是.?
故选：D.
6.答案：D
解析：∵
∴
∴
∴
∴
7.答案：C
解析：由,得,故原不等式的解集为
8.答案：D
解析：设函数，则由题意，得,即,解得
9.答案：B
解析：当时,不等式为,对恒成立,当时,则,解得,所以.综上,实数a的取值范围是,故选B.
10.答案：B
解析：∵关于x的不等式的解集为,
∴是的两根,
∴,
∴,
∴不等式即为,
∴或,故选B.
11.答案：
解析：时，，且，
则关于的不等式可化为，
解得或，
所以不等式的解集为.
12.答案：
解析：不等式可化为，
解得或，
∴不等式的解集为
13.答案：2
解析：因为不等式的解集为所以方程的两个实数根为和1，且所以解得所以
14.答案：
解析：对于,都有
在上为减函数
15.答案：①当时，原不等式化为，解集为空集
符合题意
②当时
不等式的解集为空集
二次函数的图象开口向上，且与轴最多有一个交点
解得
综上可知，实数的取值范围是
解析：
PAGE2.2.4均值不等式及其应用
1.若,则
的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
2.设,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知正数满足,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知实数，若，则的最小值是(
)
A．
B．
C．
4
D．8
5.设为正数，且，则的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
6.已知且,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
7.设为正数，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
8.已知，则的最小值是（
）
A．
B．4
C．
D．5
9.函数的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
10.设均为正数,且,则的最小值为(
)
A.1
B.3
C.6
D.9
11.若，且，则的最小值为_________．
12.已知，且，则的最小值为_________.
13.若，且，则的最小值是________.
14.已知则的最小值等于_______.
15.设,且.
(1)求的最大值;
(2)求的最小值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意知，
又，
∴，
当且仅当,即时取“=”；
所以的最大值为.
故选：C.
2.答案：A
解析：,,当且仅当,即,时,取“=”.故选A.
3.答案：A
解析：因为,所以,于是
当且仅当,即时,等号成立,故选A.
4.答案：D
解析：∵实数，，
则，,当且仅当时取等号。
故选：D.
5.答案：D
解析：当时，
，
因为，
当且仅当时，即取等号，则.
6.答案：A
解析：,,,且,的最小值为.
7.答案：D
解析：当时，
,
因为，
当且仅当，即时取等号，则．
8.答案：A
解析：，当且仅当时取等号，所以选A.
9.答案：C
解析：
时等号成立.
故答案选C
10.答案：D
解析：因为均为正数，且，所以，整理可得，再由均值不等式可得，整理可得，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，故答案为D
11.答案：18
解析：∵,且，解得.
∴
，
当且仅当时取等号，此时的最小值为18.
故答案为：18.
12.答案：4
解析：依题意得，当且仅当即时取等号.因此，的最小值为4.
13.答案：5
解析：∵，
∴，
∴
，
当且仅当即时取等号，
14.答案：
解析：由题意得,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.
15.答案：(1)∵,∴.
又∵,
∴.当且仅当时取“=”.
∴的最大值为1.
(2)∵,∴.
当且仅当,即时取“=”.
∴的最小值为9.
PAGE
