（6）等式性质与不等式性质
1.若，且，则下列不等式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知，且不为0，那么下列不等式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知，则下列命题正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知，则下列不等式：
①；
②；
③；
④中恒成立的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
5.如果且，那么下列不等式中不一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.若，且，则下列代数式中值最大的是(
)
A.
B.
C.
D.
7.设，则A与B的大小关系是(
)
A.
B.
C.
仅有时，
D.
以上结论都不成立
8.已知，则(
)
A.
B.
C.
D.
9.若，把中最大与最小者分别记为和，则(
)
A.
B.
C.
D.
10.设，与的大小关系(
)
A.
B.
C.
D.
11.和同时成立的条件是________.
12.给出四个条件：
①；
②；
③；
④；
其中能推出成立的是________.
13.已知且，则的符号是________.(填“正”或“负”)
14.已知三个不等式:①；②；③，以其中两个作条件余下一个作结论，则可组成________个真命题.
15.若，则的取值范围为________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：当时，，故A错；当时，B错；当时，C错．，又，.故选D.
2.答案：C
解析：由，得，故选C.
3.答案：C
解析：由，得，，故选C.
4.答案：A
解析：因为，所以由不等式的同向可加性可得①成立；
②不成立，例如，但；
③不成立，例如；
④不成立，例如.
5.答案：D
解析：A是不等式两边同乘，正确；B，正确；C，由，得，所以正确；D是不等式两边同乘，但不知道的符号，不一定成立，故选D.
6.答案：A
解析：方法一：特殊值法
令，则，，
，最大的数应是.
方法二：作差法
，且，
，
，
又，
，
，
.
.
，
，
，
.
综上可知，最大的数应为.
7.答案：D
解析：，令，得或，令，得，所以的大小不确定.
8.答案：B
解析：由知，三数中一正两负．不妨设，则
.
.
9.答案：A
解析：因为，所以取，可以验证最大者为，最小者为.
10.答案：B
解析：.
，则可知.
那么可知，可得到，故选B.
11.答案：
解析：若，由，两边同除以，得，即；
若，则，所以和同时成立的条件是.
12.答案：①②④
解析：由①，有，所以；由②，有，故有；由③，有；由④，得.
13.答案：正
解析：且，
，
，
又，
，即的符号为正.
14.答案：3
解析：由不等式性质，得；；.
15.答案：
解析：，，
又。.
PAGE（7）基本不等式
1.设，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
2.若，则
的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
3.函数在区间上的最小值是(
)
A.3
B.5
C.
4
D.
4.若，则下列不等式中不成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知，则的最大值为(
)
A.
B．1
C．
D．
6.如果正数满足，那么(??
)
A.
且等号成立时的取值唯一
B.
且等号成立时的取值唯一
C.
且等号成立时的取值不唯一
D.
且等号成立时的取值不唯一
7.设为正数，且，则的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
8.正实数满足，则的最小值为(
)
A.
B.1
C.2
D.
9.设都是正数，，，则(
)
A.
B.
C.
D.的大小关系不确定
10.已知正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为(
)
A.3
B.
C.1
D.0
11.已知正实数满足，则的最小值是_________.
12.已知，则的最大值为____________.
13.已知，，则最小值为________．
14.已知对恒成立，则的取值范围为________
15.已知为正数，且，证明：
(1)
；
(2)
.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，，当且仅当，即，时，取“=”.故选A.
2.答案：C
解析：由题意知，
又，
∴，
当且仅当，即时取“=”；
所以的最大值为.故选C.
3.答案：C
解析：由于，
则函数，
当且仅当，即有，取得最小值4.故选C.
4.答案：D
解析：显然有，又，所以，故选D.
5.答案：C
解析：，且，
，当且仅当时取等号，
故则的最大值为.
6.答案：A
解析：是正数，有，当等号成立时，，，当等号成立时，.综上可知，当等号成立时，
.故选A.
7.答案：D
解析：当时，
，
因为，
当且仅当时，即取等号，则.
8.答案：B
解析：由题意可得，
所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为1，故选B.
9.答案：A
解析：因为，，，三式相加得，故.故选A.
10.答案：C
解析：由正实数满足，得，当且仅当，即时，取最大值.
又因为，所以此时，所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为1.
11.答案：
解析：因为，，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值是.
12.答案：
解析：因为，所以。所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为.
13.答案：3
解析：因为
所以，等号成立当且仅当，.
所以.
所以的最小值是3.
14.答案：
解析：
(当且仅当时等号成立)，所以.而对恒成立，所以.
15.答案：（1）将平方得：，
由基本不等式知：
三式相加得：
则，
所以，当且仅当时等号成立.
（2）由，
同理
则
即当且仅当时等号成立.
PAGE（8）二次函数与一元二次方程、不等式
1.若存在，使，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
2.不等式的解集为，则(
)
A.
B.
C.
D.
3.若不等式对于一切恒成立，则的最小值是(
)
A.
0
B.
C.
D.
4.已知二次函数在区间上的最小值为-5，最大值为4，则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
5.不等式的解集是，则的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
6.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.若函数在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则(
)
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关
D.与a无关，但与b有关
8.若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
9.用长度为的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道墙，要使矩形的面积最大，则隔墙长度为(
)
A.
B.
C.
D.
10.在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为(
)
A．
B．
C．
D．
11.若关于x的不等式的解集是，
则________.
12.若不等式的解集是，则_________.
13.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是____________
14.若不等式的解集为，则的解集为__________.
15.设不等式的解集为.
(1)求集合；
(2)设关于的不等式的解集为.若条件，条件，且是的充分条件，求实数的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：当时，显然存在，使；
当时，需，解得，故.
综上所述，实数的取值范围是.
2.答案：C
解析：不等式的解集为，为方程的两根，则根据根与系数关系可得，故选C.
3.答案：C
解析：对一切恒成立，
当时，，，故选C.
4.答案：C
解析：因为，所以函数图象的对称轴为直线，所以实数a的取值范围是，故选C.
5.答案：C
解析：不等式的解集是，不等式，即为，.
6.答案：A
解析：对于恒成立，对于恒成立，.故选A.
7.答案：B
解析：，①当时，，，∴，与a有关，与b无关；②当时，在[0，1]上单调递增，∴，与a有关，与b无关；③当时，在[0，1]上单调递减，∴，与a有关，与b无关，综上所述，与a有关，但与b无关，故选B.
8.答案：A
解析：原不等式等价于，
当时，对任意的，不等式都成立;
当，即时，
，解得，故，
综上，得.故选A.
9.答案：A
解析：设隔墙长为，矩形面积为，
则，
其中，所以当时，y有最大值.
10.答案：A
解析：由题意知，不等式化为，即；
设，
则的最大值是；
令，即，解得，
∴实数的取值范围是.
11.答案：2
解析：∵关于x的不等式的解集为，
∴方程的两个实数根1和m，且；
由根与系数的关系得，
，
解得或；
∴.
故答案为：2.
12.答案：2
解析：因为不等式的解集为，所以方程的两个实数根为和1，且，所以，解得，所以.
13.答案：
解析：当时，不等式显然成立，
当时，，
.
14.答案：
解析：∵不等式的解集为，
∴；
∴不等式可化为，解得，
它的解集为.
故答案为：
15.答案：(1)不等式，化为，因式分解为，解得.
解集.
(2)不等式，化为，
当时，解集.
当时，解集.
综上可得不等式的解集.
是的充分条件，，
实数的取值范围是.
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