6.1.1向量的概念
1.下列说法正确的是(
)
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
2.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是(
)
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
3.如图所示,在正六边形中,点O为其中心,则下列判断错误的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.四边形中,若,则四边形是(
)
A.平行四边形
B.梯形
C.平行四边形或梯形
D.矩形
5.下列各命题中假命题的个数为(
)
①向量的长度与向量的长度相等;
②若向量与向量平行,则与的方向相同或相反;
③两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同;
④两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
⑤若向量与向量是共线向量,则点必在同一条直线上;
⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.
A.2
B.3
C.4
D.5
6.下列各种情况中,向量的终点在平面内能构成什么图形?
①把所有单位向量移到同一个起点;
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一个起点;
③把平行于某一直线的一切向量移到同一个起点.
①__________;②__________;③__________.
7.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成,方格纸中有两个定点,点C为小正方形的顶点,且.
(1)画出所有的向量;
(2)求的最大值与最小值.
8.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使,点A在点O北偏东方向;
(2),使,点B在点A正东方向;
(3),使,点C在点B北偏东方向.
9.如图所示,在长方体中,,则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中:
(1)单位向量是哪些?
(2)模为的向量是哪些?
(3)与相等的向量是哪些?
(4)的相反向量是哪些?
10.如图所示,
的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:
1.与相等的向量共有几个?
2.与方向相同且模为的向量共有几个?
答案以及解析
1.答案：D
解析：根据向量的定义,显然D正确.
2.答案：D
解析：由物理知识可得:密度、温度、质量、功只有大小,没有方向,因此是数量;而速度、位移既有大小,又有方向,因此是向量.
3.答案：D
解析：由正六边形的性质可得,显然的方向不同,所以.
4.答案：C
解析：∵在四边形中,,且与的大小未知,∴四边形是平行四边形或梯形.
5.答案：C
解析：①向量的长度与向量的长度相等,真命题;
②向量与向量平行,向量有可能为零向量,假命题;
③两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同,真命题;
④两个有共同终点的向量,不一定是共线向量,假命题;
⑤向量与向量是共线向量,点不一定在同一条直线上,假命题;
⑥向量可以用有向线段表示,假命题.
6.答案：①单位圆;②距离为2个单位的两个点;③一条直线
7.答案：(1)如图所示.
(2)由(1)中所画的图知:①当点C位于点或处时,取得最小值,为;②当点C位于点或处时,取得最大值,为.
8.答案：如图所示.
9.答案：(1)由于长方体的高为1,所以向量为单位向量
(2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为故模为的向量有
.
(3)与相等的向量有
(4)的相反向量为.
10.答案：1.与向量相等的向量共有个(不包括本身).如图.
2.与向量方向相同且模为的向量共有个,如图.
PAGE6.1.2向量的加法
1.已知点是正方形的中心,点为正方形所在平面外一点,则(
)
A.
B.
C.
D.
2.如图所示,在正六边形中,若,则(
)
A.1
B.2
C.3
D.
3.为非零向量,且,则(
)
A.,且与方向相同
B.反向
C.
D.无论什么关系均可
4.如图所示,点O是正六边形的中心,则(
)
A.
B.0
C.
D.
5.若在中,,且,则的形状是(??
)
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.斜三角形
D.等腰直角三角形
6.在平行四边形中,_________.
7.若向量满足,则的最小值是_________;当非零向量(不共线)满足__________时,能使平分的夹角(是向量的夹角,).
8.已知长度相等的三个非零向量满足,则由三点连接而成的的形状是__________三角形.
9.已知向量的夹角为,,则___________.
10.如图6-2-3,已知向量不共线,作向量。
11.你能证明当向量共线时仍然成立吗？
12.一艘船以的速度向垂直于对岸的方向行驶,该船实际的航行方向与水流方向成角,求水流速度大小和船的实际速度大小.
答案以及解析
1.答案：A
解析：方法一
.又四边形是正方形,是它的中心,所以,故.
方法二
因为四边形是正方形,是它的中心,所以为的中点,也为的中点,所以.
2.答案：B
解析：,故选B.
3.答案：A
解析：当两个非零向量与不共线时,的方向与的方向都不相同,且;向量与同向时,的方向与的方向都相同,且;向量与反向且时,的方向与的方向相同(与的方向相反),且.故选A.
4.答案：A
解析：∵,∴,故选A.
5.答案：D
解析：如图,∵,,∴为等腰直角三角形.
6.答案：
解析：因为,,所以.
7.答案：
解析：由已知及向量的三角形不等式,知,当且仅当与反向时,等号成立,故的最小值为4.由向量加法的平行四边形法则,知时,平行四边形为菱形,对角线平分一组内角.
8.答案：等边
解析：如图,以为邻边作菱形,则.
∴,∴,
∴三点共线.
∵四边形是菱形,
∴垂直平分,
∴.
同理.
∴为等边三角形.
9.答案：
解析：,所以.
10.答案：方法一：如图(1),在平面内作,则；再作,则。
方法二：如图(2),在平面内作,以与为邻边作平行四边形,则；
再作,以与为邻边作平行四边形,则。
11.答案：(1)若向量中至少有一个为零向量,则等式显然成立。
(2)若向量为非零向量,
①当同向时,向量与同向,且；
向量与同向,且,
故。
②当反向时,不妨设,
则向量与同向,且；
向量与同向,且,
故。
综上可得,若向量共线,则仍然成立。
12.答案：如图所示,表示水流速度,表示船垂直于对岸方向行驶的速度,表示船实际航行的速度,则.
∵四边形为矩形,∴,
∴,
∴水流速度为,船的实际速度为.
PAGE6.1.3向量的减法
1.已知正方体中,的中点为,则下列互为相反向量的是(
)
A.与
B.与
C.与
D.与
2.边长为1的正三角形中,(
)
A.1
B.2
C.
D.
3.在平行四边形中,,则有(
)
A.
B.或
C.四边形是矩形
D.四边形是菱形
4.为非零向量,且,则(
)
A.与同向
B.与反向
C.与同向且
D.与反向且
5.在如图所示的四边形中,设,则(
)
A.
B.
C.
D.
6.已知非零向量满足,则___________.
7.已知非零向量满足,且,则_________.
8.如图6-2-7,已知向量,求作向量。
9.如图所示,已知在矩形中,,.设,求.
10.如图6-2-8,已知正方形的边长等于1,设,求作下列向量：
(1),并求；
(2),并求。
答案以及解析
1.答案：ACD
解析：A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量.
2.答案：D
解析：如图所示,延长到点D,使,连接,则.在中,,易得,∴.
3.答案：C
解析：与分别是平行四边形的两条对角线的长,且,∴四边形是矩形,故选C.
4.答案：D
解析：当与反向且时,.
5.答案：A
解析：,故选A.
6.答案：
解析：如图,设,则.
∵,∴.
∴为正三角形,设其边长为1,
则.
∴.
7.答案：4
解析：如图所示,设,,则.
以为邻边作平行四边形,则.
由于,故,
所以是直角三角形,,
从而,所以平行四边形是矩形.
根据矩形的对角线相等得,即.
8.答案：如图所示,以为起点分别作向量和,使。连接,得向量,再以为起点作向量,使。连接,得向量。则向量即为所求作的向量。
9.答案：如图,,
则.
10.答案：(1)如图所示,依题知,作,则,故,且依平面几何知识知,,即。
(2),过作,则。
依平面几何知识知,。
PAGE6.1.4数乘向量
1.等于(
)。
A.
B.
C.
D.
2.已知实数和向量,有下列说法：
①；
②；
③若,则；
④若,则。
其中,正确的说法是(
)。
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
3.点C在线段上,且,则(
)
A.
B.
C.
D.
4.在中,是边上一点。若,则的值为(
)。
A.
B.
C.
D.
5.已知,,则(
)
A.
B.
C.
D.
6.如图所示,已知点M是的边的中点,点E在边上,且,则向量等于(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知的三个顶点及平面内一点P,且,则(
)
A.P在内部
B.P在外部
C.P在边上或其延长线上
D.P在边上
8.已知和点M满足.若存在实数m使得成立,则(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
9.化简_________.
10.已知和点M满足.若存在实数m使得成立,则_________.
11.O是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点的轨迹所在直线一定通过的__________心.
12.已知与,且,求.
答案以及解析
1.答案：B
解析：原式。
2.答案：B
解析：①和②属于向量数乘运算的分配律,正确；③中,当时,,但与不一定相等,故③不正确；④正确,因为由,得,又因为,所以,即。
3.答案：C
解析：依题意,可得,又和方向相反,所以.
4.答案：A
解析：由条件可得,整理得,即,故,故选A。
5.答案：B
解析：因为,两边平方可得,所以,,故选B.
6.答案：B
解析：由题意结合向量的加法法则可得:
.
7.答案：D
解析：,∴,∴P在边上.
8.答案：B
解析：设的中点为D,则.由已知条件可得M为的重心,则,故,即.
9.答案：0
解析：
.
10.答案：3
解析：∵,∴.
又,
则,
即,
∴,∴.
11.答案：重
解析：设的中点为M,则,则有,即,∴P点的轨迹所在直线一定通过的重心.
12.答案：将的两边同乘以2,得,
与相加得,即.
所以.
PAGE6.2.1向量基本定理
1.下面三种说法中,正确的是(
)。
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量。
A.
①②
B.
②③
C.
①③
D.
①②③
2.若是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使成为空间的一个基底的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.在中,.若点D满足,则(
)
A.
B.
C.
D.
5.在中,M为边上任意一点,N为的中点,,则的值为(
)
A.
B.
C.
D.1
6.已知向量不共线,实数满足,则_________.
7.向量在基底下可以表示为,若在基底下可以表示为,则_________,_________.
8.如图,在中,,点M是上靠近点B的一个三等分点,点N是上靠近A的一个四等分点.若与相交于点P,求.
9.如图,在中,为的中点,N为上靠近B的三等分点,求证:三点共线.
10.在中,点M是的中点,点N在上且,交于点P,求与的比值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：只要平面内一对向量不共线,就可以作为该平面向量的一组基底,故①不正确,②正确；因为零向量与任意一个向量平行,所以③正确,故选B。
2.答案：D
解析：选项A,B,C中的向量都是共线向量,不能作为平面向量的基底.
3.答案：C
解析：对于选A,四点共面,知共面;对于选项B,D,易知共面,故选C.
4.答案：A
解析：由题意可得.故选A.
5.答案：A
解析：∵M为边上任意一点,∴可设.∵N为的中点,∴.∴.
6.答案：3
解析：∵不共线,∴,两式相减,得.
7.答案：
解析：由条件可知,解得.
8.答案：.
因为与共线,所以可设,则.
又因为与共线,所以可设,则
.
所以,解得,所以.
9.答案：在中,,∵,∴.
∵点N是上靠近B的三等分点,∴.
∵,∴①.
∵M为的中点,∴,
∴②.
由①②可得.由共线向量定理知,
又∵与有公共点C,∴三点共线.
解析：
10.答案：设,则,.
∵和分别共线,
∴存在实数使.
∴.
又∵,由平面向量基本定理得.解得.
则.
∴与的比值为.
PAGE6.2.2直线上向量坐标及其运算
1.已知数轴上点A的坐标为,则点B的坐标是(
)
A.-2
B.2
C.12
D.-12
2.已知数轴上两点的坐标分别为,则
(1)当时,__________;
(2)当,时,__________.
3.已知数轴上两点的坐标分别为,若,且,则__________.
4.已知在数轴上三点的坐标分别为.
(1)求的坐标和长度;
(2)若,求点D的坐标;
(3)若,求点E的坐标.
5.已知数轴上四个点的坐标分别是.
(1)若,求c的值;
(2)若,求d的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：∵,∴,∴.
2.答案：(1)-8;(2)1或-3
解析：(1),∴,∴;
(2)∵,,∴,解得或.
3.答案：6
解析：,∴.
4.答案：(1)∵三点的坐标分别为,
∴,;
;
.
(2)设点D的坐标为x,则,
∴,即点D的坐标为1.
(3)设点E的坐标为y,则,解得或,即点E的坐标为5或9.
5.答案：(1),解得.
(2),解得或.
PAGE
Ks5u,您身边的高考专家6.2.3平面向量的坐标及其运算
1.如果用分别表示x轴和y轴方向上的单位向量,且,则可以表示为(
)
A.
B.
C.
D.
2.在平行四边形中,为一条对角线,若,则(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知四边形为平行四边形,其中,则顶点D的坐标为(
)
A.
B.
C.
D.
4.在中,点P在上,且,点Q是的中点,若,则(
)
A.
B.
C.
D.
5.给出下列几种说法:
①相等向量的坐标相同;
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;
③一个坐标对应唯一的一个向量;
④平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应
其中正确说法的个数是(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.已知平面向量,则向量(
)
A.平行于第一、三象限的角平分线
B.平行于y轴
C.平行于第二、四象限的角平分线
D.平行于x轴
7.已知,且三点共线,则点C的坐标可以是(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知的顶点,边的中点,的重心,则顶点B的坐标是__________,C的坐标是_________.
9.的三个顶点分别是为的中点,则向量的坐标为__________.
10.已知边长为1的正方形,若点A与坐标原点重合,边分别落在x轴、y轴的正方向上,则向量的坐标为__________.
11.已知点及求:
(1)t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第二象限内?
(2)四边形能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
12.已知点及,求和的坐标.
13.已知点.
(1)求实数x的值,使向量与共线;
(2)当向量与共线时,点是否在一条直线上?
答案以及解析
1.答案：C
解析：记O为坐标原点,则,,所以.
2.答案：B
解析：∵,∴,∴,故选B.
3.答案：D
解析：设,由,得,∴.
4.答案：B
解析：如图,∵,∴,∴.
5.答案：C
解析：由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误.其他均正确.
6.答案：B
解析：因为,且y轴的单位向量,所以,所以,即平行于y轴.
7.答案：C
解析：设,则,由三点共线,得,即.∴,故,把选项代入验证即可.
8.答案：
解析：设,
∵D是的中点,
∴,解得,∴.
又G是的重心,
∴,解得,
∴.
9.答案：
解析：由题意得,∴.
10.答案：
解析：根据题意建立坐标系如图,则.
∴.
∴.
11.答案：(1)设,由得,即.
若P在x轴上,则,即,所以.
若P在y轴上,则,即,所以.
若P在第二象限内,则.
(2)不能,理由如下:若四边形能构成平行四边形,则,即.
所以,这是不可能的.故四边形不能成为平行四边形.
12.答案：设点,
由题意可得,
.
∵,
∴,
,
则有,且,
解得,且.
∴的坐标分别为和.
∴.
13.答案：(1).
∵,∴,解得.
(2)由(1)得当与共线时,.
①当时,.
∴,∴和不平行,
∴三点不共线.
∴点不在一条直线上;
②当时,.
∴,∴.
∵和有公共点B,∴三点共线.
同理可得,∴.
又和有公共点C,∴三点共线.
∴四点在一条直线上.
综上,当时,点不在一条直线上;当时,点在一条直线上.
PAGE6.3平面向量线性运算的应用
1.已知两个力的夹角是直角,且已知它们的合力与的夹角为,则的大小分别为(
)
A.
B.
C.
D.
2.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，则物体的重力大小为_________.
3.已知的面积为是所在平面上的一点,满足,则的面积为___________.
4.已知点为坐标原点,向量,且,则的最小值为__________.
5.已知正方形的边长为为的中点,则__________.
6.若菱形的边长为2，则_____________.
7.如图,在中,D是的中点,E在边上,与交于点O.若,则的值是__________.
8.如下图所示，在矩形中，已知,,垂足为E，则___________.
9.已知直角梯形中,,过点C作,垂足为为的中点,用向量的方法证明:
(1);
(2)三点共线.
10.已知三个大小相同的力作用在同一物体P上,使物体P沿方向做匀速运动,设,判断的形状.
答案以及解析
1.答案：A
解析：如图所示,.
2.答案：20
解析：如图
所以物体重力大小为20
3.答案：6
解析：由,得,所以,所以,由此可得与平行且,故的面积为的面积的,故.
4.答案：
解析：方法一
,点在直线上.的最小值为原点到直线的距离,即最小值为.
方法二
,.当,即时,取得最小值为.
5.答案：2
解析：如图,建立以A为坐标原点,所在的直线为x轴,所在的直线为y轴的平面直角坐标系.
可得,
∴.
∴.
6.答案：2
解析：,因为菱形的边长为2，所以.
7.答案：
解析：如图,过点D作交于点F,由D是的中点,可知F为的中点.又,则知,从而可得,则有,所以,整理可得,所以.
8.答案：
解析：以A为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则,,设，
则E的坐标为，故.
因为,所以，即，
解得，所以.
故，即.
9.答案：(1)如图所示,以E为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴建立平面直角坐标系,令,则.∵,且,∴四边形为正方形.
∴可求得各点的坐标分别为.
∵,
∴,∴,即.
(2)连接.∵M为的中点,∴,
∴,
.
∴,∴.
又与有公共点M,∴三点共线.
10.答案：由题意得,由于在合力作用下物体做匀速运动,故合力为,即.所以.
如图,作平行四边形,则其为菱形.
因为,所以.
同理,.
又因为,所以为等边三角形.
PAGE
