第一章
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理
[目标]
1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用；2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．
[重点]
应用正弦定理进行边角转化，解决三角形问题．
[难点]
正弦定理的理解及推导．
知识点一 正弦定理
[填一填]
[答一答]
1．在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
提示：这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径2R，即＝＝＝2R，其中R是该三角形外接圆的半径．
2．在△ABC中，a＝4b，则＝4.
解析：由正弦定理＝，得＝＝＝4.
知识点二 解三角形
[填一填]
1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
2．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
[答一答]
3．利用正弦定理能解什么条件下的三角形？
提示：正弦定理的等式中有四个量，所以知其中三个，可求第四个．因此，知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形．
4．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，判断三角形解的个数．
提示：由正弦定理和已知条件，得sinC＝＝，
∴C＝60°或C＝120°且均符合题意．
∵①若C＝60°，则A＝90°，于是a＝＝6.
②若C＝120°，则A＝30°，于是a＝b＝3.
∴C＝60°，A＝90°，a＝6或C＝120°，A＝30°，a＝3.
∴三角形有两个解．
知识点三
正弦定理的变形公式
[填一填]
①a＝＝，b＝＝，c＝＝；
②a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
③sinA＝，sinB＝，sinC＝；
④a?b?c＝sinA?sinB?sinC.
其中，R为△ABC外接圆的半径．
这些常见的公式的变形形式应熟练掌握，在解决具体问题时，根据不同的题设条件灵活选用不同的变形公式．
[答一答]
5．正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是什么？
提示：由正弦定理的变形公式可以实现三角形中边与角之间的相互转化，正弦定理对任意的三角形都成立．
6．在△ABC中，A>B与sinA>sinB的关系怎样？
提示：在△ABC中，若A>B，则a>b.由正弦定理得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB.
若sinA>sinB，则2RsinA>2RsinB(R是△ABC的外接圆半径)．由正弦定理得a>b.
综上所述，在△ABC中，A>B与sinA>sinB等价．
类型一 已知两角和任意一边，解三角形
[例1] 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
[分析] 由三角形的内角和定理可求A的度数．根据正弦定理可求a，c.
[解] 因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2(＋)．
已知两角及一边解三角形的解题方法,1.若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.,2.若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
[变式训练1] 在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，解三角形．
解：∠A＝180°－(∠B＋∠C)
＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由＝得b＝＝＝4.
由＝得c＝＝＝
＝4(＋1)．
所以∠A＝45°，b＝4，c＝4(＋1)．
类型二 已知两边及一边的对角，解三角形
[例2] 下列三角形是否有解？有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°；
(2)b＝10，c＝5，C＝60°；
(3)a＝2，b＝6，A＝30°.
[分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑．
[解] (1)a＝7，b＝8，a
90°，本题无解．
(2)b＝10，c＝5，b∵sinB＝＝＝，
∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.
∴a＝＝＝＝5(＋1)．
(3)a＝2，b＝6，a又∵bsinA＝6sin30°＝3，∴a>bsinA，
∴本题有两解．
由正弦定理得：
sinB＝＝＝，∴B＝60°或120°，
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2.
∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
本例属于已知两边及其中一边的对角求解三角形的类型．此类问题解的情况如下：
A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a＝b
无解
无解
一解
a无解
无解
a>bsinA
两解
a＝bsinA
一解
a无解
[变式训练2] (1)在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝( C )
A．45°或135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
解析：由＝，
得sinB＝＝＝.
∵a>b，∴A>B，而A＝60°，∴B为锐角，∴B＝45°.
(2)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A＝60°或120°.
解析：由正弦定理＝，得sinA＝.
∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.
类型三 正弦定理的应用
命题视角1：正弦定理中的比例性质
[例3] 在△ABC中，已知A＝60°，a＝3，则＝________.
[分析] 本题所求问题是关于三角形边及角正弦值的比值问题，结构匀称，易于联想正弦定理．
[解析] 方法一(等比性质)：由正弦定理＝＝＝，可得＝＝2.
方法二(边化角)：由正弦定理＝＝＝2R，可得＝＝2R.
∵＝＝2＝2R，
∴＝2.
方法三(角化边)：由正弦定理＝＝＝2R，可得＝＝2R.
∵＝＝2＝2R，
∴＝2.
[答案] 2
由于正弦定理是比例形式的连等式，因此通常与等比性质联系．可设：＝＝＝＝2R＝k(k>0)，得a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC；a?b?c＝sinA?sinB?sinC等结论，利用它们来解决三角形中的比值问题．
[变式训练3] 在△ABC中，(b＋c)?(c＋a)?(a＋b)＝4?5?6，则sinA?sinB?sinC＝7?5?3.
解析：(b＋c)?(c＋a)?(a＋b)＝4?5?6，则存在常数k(k>0)，使得b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，
解得a＝k，b＝k，c＝k.
则有a?b?c＝7?5?3，
所以sinA?sinB?sinC＝a?b?c＝7?5?3.
命题视角2：判断三角形的形状
[例4] 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
[分析] 注意到a，b在条件式中是齐次的，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过角的特征或者关系来判断三角形的形状．
[解] 因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，
即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.
由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，
所以sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，
所以sinAcosA＝sinBcosB，
所以sin2A＝sin2B.
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
所以2A＝2B或2A＝π－2B.
所以A＝B或A＋B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
1.判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断.
2.判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
[变式训练4] 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足＝＝，则△ABC的形状是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：方法一：由正弦定理得＝＝，又＝＝，得＝＝，即tanA＝tanB＝tanC，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
方法二：由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)，得条件等式可化为＝＝，得sinAcosB＝cosAsinB，sinBcosC＝cosBsinC?
sin(A－B)＝0，sin(B－C)＝0?A＝B，B＝C?A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( B )
A．4
B．2
C.
D.
解析：由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝2.
2．在△ABC中，若A?B?C＝2?3?7，则a?b等于( C )
A．1?2
B．2?3
C．1?
D．1?
解析：由A?B?C＝2?3?7及A＋B＋C＝180°，得A＝30°，B＝45°.由正弦定理，得a?b＝sinA?sinB＝?＝1?.
3．在△ABC中，a，b分别是△ABC的内角A，B所对的边．若B＝45°，b＝a，则A＝30°.
解析：由正弦定理得＝，
所以＝，所以sinA＝.
∵b＝a，∴a4．在△ABC中，a＝，b＝2，B＝45°，则C＝75°或15°.
解析：由正弦定理＝，得sinA＝.
∵a>b，∴A＝60°或A＝120°，
∴C＝75°或15°.
5．在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，判断△ABC的形状．
解：由题意得(sinA＋sinC)(sinC－sinA)＝sin2B，
即－sin2A＋sin2C＝sin2B.
由正弦定理得－a2＋c2＝b2，
即a2＋b2＝c2，
所以△ABC是直角三角形．
——本课须掌握的两大问题
1．对正弦定理的理解
(1)结构形式
正弦定理的关系式是分子为边长，分母为该边所对角的正弦的分式连等式，实际上是三个边角关系式：＝，＝，＝.
(2)定理本质
正弦定理指出了任意三角形中三条边与它们所对角的正弦之间的一个关系式．由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(3)主要功能：实现三角形中边角关系的转化．
2．三角形解的个数的确定
当三角形的两角和任一边确定时，三角形唯一确定；当三角形中已知两边和其中一边的对角时，三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况．
判断三角形解的个数可由“三角形中大边对大角”来判定．设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解；若a1，无解；②sinB＝1，一解；③sinB<1，两解．
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-1．1.2 余弦定理
[目标]
1.了解向量法推导余弦定理的过程；2.能利用余弦定理求三角形中的边角问题；3.能利用正、余弦定理解决综合问题．
[重点]
能利用余弦定理求三角形中的边角问题．
[难点]
余弦定理的推导及能利用正、余弦定理解决综合问题．
知识点一 余弦定理
[填一填]
[答一答]
1．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2提示：若a2＝b2＋c2，则△ABC是直角三角形；
若a2>b2＋c2，则△ABC是钝角三角形；
若a22．已知三角形内角的余弦值求角时，是否存在多解的情况？
提示：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况．
知识点二 余弦定理及其推论的应用
[填一填]
余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知两边及夹角解三角形；另一类是已知三边解三角形．
[答一答]
3．在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，能否用余弦定理解该三角形？
提示：能用余弦定理解．设另一边为x，由余弦定理列出方程求解．
4．余弦定理推论的作用有什么？
提示：余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
类型一 已知三角形三边解三角形
[例1] 已知△ABC中，a?b?c＝2??(＋1)，求△ABC的各内角度数．
[分析] 根据三边比例关系设出三边，然后用余弦定理推论求出两个内角，再用三角形内角和定理求出第三个内角．
[解] ∵a?b?c＝2??(＋1)，
令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．
由余弦定理的推论得：cosA＝
＝＝，∴A＝45°，
cosB＝＝＝，
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在?0，π?上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角.
[变式训练1] (1)在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为( C )
A.
B.
C.
D.或
解析：在△ABC中，由余弦定理，
得cosA＝＝＝－.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为14.
解析：已知a－b＝4，则a>b且a＝b＋4.又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而知a>b>c，所以a为最大边，故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14，即此三角形的最大边长为14.
类型二 已知三角形两边及一角解三角形
[例2] (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
[分析] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解．
[解] (1)由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2)2－2×3×2cos30°＝3，所以a＝.
(2)解法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，由正弦定理，得sinA＝＝＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
解法二：由bcsin30°＝3×＝，知本题有两解．由正弦定理，得sinC＝＝＝，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝＝＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法：
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．
[变式训练2] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝4.
解析：由3sinA＝2sinB及正弦定理知：3a＝2b.又因为a＝2，所以b＝3.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4.
类型三
判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且sinC＝2cosAsinB，试判断△ABC的形状．
[分析] 判断三角形的形状时，一般有两种思路：一种是考虑三角形的三边关系；另一种是考虑三角形的内角关系．当然有时可将边和角巧妙结合，同时考虑．
[解] 方法一：利用边的关系来判断．
由正弦定理得＝，
由2cosAsinB＝sinC，得cosA＝＝.
又cosA＝，∴＝，
即c2＝b2＋c2－a2，∴a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab，
∴4b2－c2＝3b2，∴b＝c.
综上，a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
方法二：利用角的关系来判断．
∵△ABC中，sinC＝sin(A＋B)，
又2cosAsinB＝sinC＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A－B)＝0，
又∵－180°∴A－B＝0°.即A＝B.
又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab.
∴由余弦定理知2abcosC＝ab，
∴cosC＝.∴C＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线：?1?先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.?2?先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
[变式训练3] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，b＝3c，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA.
又因为cosA＝，b＝3c，
所以a2＝b2＋c2－2×3c×c×＝b2－c2.
所以a2＋c2＝b2，所以B＝，
所以△ABC是直角三角形．
1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( C )
A．4
B．8
C．4或8
D．无解
解析：由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若>0，则△ABC( C )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
解析：由>0得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
3．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝2.
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×2×＝4，所以b＝2.
4．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，则最大的角是120°.
解析：∵a>c>b，∴A为最大角．
cosA＝＝＝－，
又∵0°5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去)．
∴cosC＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcosC
＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
——本课须掌握的四大方面
1．适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
2．结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．
3．揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
4．主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．
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-习题课 正弦定理和余弦定理的综合应用
类型一 利用正、余弦定理解三角形
[例1] 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求角A和tanB的值．
[分析] 求角A的关键是利用余弦定理的推论：cosA＝.利用正弦定理将已知条件边化角，即＝＝＋，再结合A＋B＋C＝π，解三角方程可求tanB.
[解] 由余弦定理，得cosA＝＝，
∵0°在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.
由已知条件和正弦定理，得
＋＝＝＝
＝＝＋，
解得tanB＝.
在解三角形时，常常将正、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当选取定理，简化运算过程，提高解题速度.同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件.解题时要综合、灵活地运用这两个定理，认真分析已知条件，结合三角形的有关性质?如大角对大边，大边对大角，三角形内角和定理等?，并注意数形结合，防止出现漏解或增解的情况.
[变式训练1] (1)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sin∠BAC＝＝＝.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为－.
解析：由已知及正弦定理得2b＝3c，因为b－c＝a，所以不妨设b＝3，c＝2，则a＝4，所以cosA＝＝－.
类型二 利用正、余弦定理判断三角形形状
[例2] 在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，判断△ABC的形状．
[分析]
[解] 解法一：∵(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，
∴由正、余弦定理，得
·b＝·a，
整理，得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
解法二：根据正弦定理，原等式可化为
(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，
即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.
∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA.
∴sin2B＝sin2A.∴2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
依据已知条件中的边角关系判断三角形形状时，主要有如下两种方法：
1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
[变式训练2] 在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
解：在△ABC中，根据正弦定理得＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2＝2＋2，即a2＝b2＋c2.
∴A＝90°，∴B＋C＝90°.
由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，
∴sin2B＝.∵B是锐角，∴sinB＝，
∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
类型三 三角形中的最值(或范围)问题
[例3] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝c·sinA，则的最大值是________．
[分析] 由a＝c·sinA及正弦定理的变形可求出角C＝，从而由A＋B＝得sinB＝cosA，于是＝＝sinA＋cosA，所求问题转化成关于A的三角函数求最值问题．
[解析] ∵a＝c·sinA，由正弦定理得sinA＝sinCsinA.
又∵0∵A＋B＋C＝π，∴B＝－A，由正弦定理得＝＝sinA＋sinB＝sinA＋sin＝sinA＋cosA＝sin，而0∴∴当A＋＝，即A＝时，sin取得最大值，即的最大值是.
[答案]
这类问题通常转化为三角函数问题，利用三角函数的最值或取值范围求解.
[变式训练3] 在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，得a2≤b2＋c2－bc，即≥，所以cosA≥，因为0类型四 正、余弦定理与平面向量的综合应用
[例4] 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，cosB＝，a＝7，且·＝－21，求角C的大小．
[分析] 先根据平面向量的数量积公式结合已知条件求出边c，再利用余弦定理求出边b，最后根据正弦定理求角C.
[解] ∵·＝－21，∴·＝21，
∴·＝||||cosB＝accosB＝21.
又cosB＝，∴sinB＝，ac＝35.
又a＝7，∴c＝5.
∴b2＝a2＋c2－2accosB＝72＋52－2×7×5×＝32，∴b＝4.
由正弦定理＝，
得sinC＝sinB＝×＝.
∵c利用正、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时，注意数量积定义的应用，其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系，例如与的夹角等于内角A，但与的夹角等于内角A的补角.
[变式训练4] 已知向量a＝(2cos2x，)，b＝(1，sin2x)，函数f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)图象的对称中心；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝3，c＝1，ab＝2，且a>b，求a，b的值．
解：(1)f(x)＝a·b＝(2cos2x，)·(1，sin2x)
＝2cos2x＋sin2x
＝cos2x＋1＋sin2x
＝2sin＋1，
f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)∵f(C)＝2sin＋1＝3，
∴sin＝1，
∵C是三角形内角，∴2C＋∈，
∴2C＋＝，即C＝，
∴cosC＝＝，
即a2＋b2＝7.
将ab＝2与上式联立可得：a2＋＝7，
解之得：a2＝3或4，∴a＝或2，∴b＝2或，
∵a>b，∴a＝2，b＝.
1．△ABC中，若b＝3，c＝3，B＝30°，则a＝( C )
A．3
B．4
C．3或6
D．4或6
解析：在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，及b＝3，c＝3，B＝30°，即32＝a2＋(3)2－2×3a×cos30°，即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3，经检验都满足题意．
2．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( D )
A．19
B．14
C．－18
D．－19
解析：由余弦定理，得cosB＝＝＝，所以·＝||||cos(π－B)＝7×5×＝－19.
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于.
解析：由正弦定理得，2sinAsinB＝sinB，sinA＝，
因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.
4．三角形ABC的三内角A、B、C所对的边长分别是a，b，c.若(a＋b)(sinB－sinA)＝(a＋c)sinC，则角B的大小为.
解析：由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝(a＋c)c，
即b2－a2＝ac＋c2，a2＋c2－b2＝－ac，
cosB＝＝－.
又B∈(0，π)，所以B＝.
5．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BD，BC的长．
解：在△ABD中，设BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解得x1＝16或x2＝－6(舍去)，
所以BD＝16.
由正弦定理得＝，
所以BC＝·sin30°＝8.
——本课须掌握的问题
由于正弦定理、余弦定理阐述了三角形的边角之间的关系，因此对于三角形中的综合问题可以运用正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的知识解决．有时题目还会涉及向量等其他章节的知识，要全面掌握才可以解题．
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-1．2 应用举例
第1课时 距离问题
[目标]
1.能够运用正、余弦定理的知识和方法求解距离问题；2.从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．
[重点]
在三角形中运用正、余弦定理求解距离问题．
[难点]
实际问题的理解与建模．
知识点一 距离问题
[填一填]
1．测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．
这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．
2．测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．
首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题．
[答一答]
1．如果知道一个三角形的三个角，是否可以解出这个三角形？
提示：不可以．要解一个三角形，至少知道这个三角形的一条边长．
2．解与三角形有关的应用题的基本思路是什么？
提示：
知识点二 基线
[填一填]
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
[答一答]
3．测量是否一定要选取基线？
提示：测量一定要选取基线，因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度．
4．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( D )
A．a，c，α
B．b，c，α
C．c，a，β
D．b，α，γ
类型一 测量从一个可到达的点，到一个不可到达的点之间的距离
[例1] 为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8
m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．
[解] 根据正弦定理得＝，
∴AB＝＝
＝＝8(－1)
(m)．
即A，B间的距离为8(－1)
m.
[变式训练1] 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．
解：在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝60°.由正弦定理可得AC＝.
∴AC＝＝20(3＋)．
设C到AB的距离为CD，则
CD＝ACsin∠CAB＝AC＝20(＋3)．
∴河的宽度为20(＋3)米．
类型二 测量两个不可到达的点之间的距离
[例2] 在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为a的观测点C和D处，测得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示．求基地组织的这两个训练营地之间的距离．
[分析] 可将AB放在△ABC中来求，为此应先求出AC和BC，再用余弦定理求AB.
[解] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.
∴AD＝CD＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
∴＝，∴BC＝a.
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°
＝a2＋a2－2×a×a×＝a2.
∴AB＝a.
即两个训练营地之间的距离为a.
测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当.
[变式训练2] 如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距
km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
∴AC＝CD＝
km.
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，
得BC＝＝(km)．
则在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝()2＋()2－2×cos75°＝5.
∴AB＝
km.
∴两目标A，B之间的距离为
km.
类型三 与方向角有关的距离问题
[例3] 某测量员做地面测量，如图，目标A与B相距3千米，从B处测得目标C在B的北偏西60°的方向上，从A处测得目标C在A的正北方向，他从A向C前进2千米到达D处时，发现B，D两处也相距2千米，试求A与C的距离．
[分析] 先在△ABD中由余弦定理求cosA，再用内角和定理和两角和正弦公式求sin∠ABC，最后在△ABC中用正弦定理求AC.
[解] 依题意得，
AB＝3，AD＝2，BD＝2，∠ACB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理得
cosA＝＝＝.
∴sinA＝＝，
∴sin(A＋C)＝sin(A＋60°)
＝sinAcos60°＋cosAsin60°
＝×＋×＝.
∴sin∠ABC＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)＝.
在△ABC中，由正弦定理得：＝，
∴AC＝＝＝.
答：A与C之间的距离为千米．
1.解答实际问题要注意认真审题，弄清题目条件.
2.解三角形求边长时，只需求角的正弦值或余弦值即可，而无需求角的大小.因此，要注意将三角形内角和定理、诱导公式及两角和?或差?的正弦、余弦公式结合起来求值.
[变式训练3] 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要1小时．
解析：由题意知AB＝5(3＋)，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，
所以∠ADB＝105°，所以sin105°＝sin45°cos60°＋sin60°cos45°＝×＋×＝.
在△ABD中，由正弦定理得＝
所以BD＝
＝
＝＝＝10.
又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos60°
＝300＋1
200－2×10×20×＝900，
所以CD＝30(海里)，
则至少需要的时间t＝＝1(小时)．
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是( D )
A．10海里
B.海里
C．5海里
D．5海里
解析：如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，由正弦定理得＝，∴BC＝5(海里)，故选D.
2．某人向正东方向走了x
km后向右转了150°，然后沿新方向走了3
km，结果离出发点恰好为
km，那么x的值为( C )
A.
B．2
C．2或
D．3
解析：由余弦定理可知x2＋32－6xcos30°＝()2
即x2－3x＋6＝0，
解得x＝或2，
经检验x＝及2都符合题意．
3．A，B两点间有一小山，先选定能直接到达点A，B的点C，并测得AC＝60
m，BC＝160
m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为140_m.
解析：在△ABC中，由余弦定理得
AB＝＝140(m)．
4．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是15海里．
5．如图所示，若小河两岸平行，为知道河对岸边两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6
m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°.试求C，D间的距离．
解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°＋90°＝150°，
所以C＝180°－150°＝30°，
∠ADB＝180°－75°－60°＝45°.
△ABD中，由正弦定理得
AD＝＝3.
由余弦定理得
BD＝＝3＋3.
在Rt△BDC中，CD＝＝6＋6，
即CD的长为(6＋6)
m.
——本课须掌握的问题
测量距离的基本类型及方案：
类别
两点间不可通或不可视
两点间可视但点不可达
两点都不可达
图形
方法
用余弦定理
用正弦定理
在△ACD中用正弦定理求AC，在△BCD中用正弦定理求BC，在△ABC中用余弦定理求AB
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-第2课时 高度、角度问题
[目标]
1.巩固正、余弦定理等基本知识点；2.能够运用正、余弦定理等知识和方法求解高度和角度问题．
[重点]
在三角形中利用正、余弦定理解决高度、角度问题．
[难点]
把实际问题中的条件和所求转化为三角形中的已知和未知的边角，建立数学模型求解．
知识点一 测量中的有关概念、名词、术语
[填一填]
1．俯角和仰角：如下图所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．
2．方向角和方位角：
①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示，这里第一个“×”是“北”或“南”，第二个“×”是“东”或“西”．如图所示，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60°、北偏西30°、西南方向、南偏东20°.
②方位角：从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角叫方位角．
3．坡度和坡比：
坡面与水平面所成的二面角的度数叫坡度，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡比.如图所示．
[答一答]
1．“视角”是“仰角”吗？
提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角度．如图所示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
2．方向角和方位角有何区别？
提示：方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角．
3．坡度和坡比有什么区别？
提示：坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比．
知识点二 高度与角度问题
[填一填]
1．高度问题
测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
2．角度问题
测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函数值，然后求角，再根据需要求所求的角．
[答一答]
4．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面之间有什么关系？
提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面垂直．
5．解三角形应用问题常见的几种情况是什么？
提示：解三角形实际应用问题经抽象概括为解三角形问题时，常见情况有以下几种：
(1)已知量与未知量全都集中在一个三角形中，可直接用正弦定理或余弦定理求解；
(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形．这时可先解条件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形；有时需要设出未知量，从几个三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程组，解方程或方程组得到答案．
类型一 底面不可达到的高度问题
[例1] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
[分析] 将实际问题转化为解三角形问题．在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝600
m．已知两角及其夹边，可考虑用正弦定理求解．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，求CD.
[解析] 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600
m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300
m.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m)．
[答案] 100
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形.其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可.
[变式训练1] 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100
m，则山高MN＝150
m.
解析：根据图示，AC＝100
m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得＝?AM＝100
m.
在△AMN中，＝sin60°，
∴MN＝100×＝150(m)．
类型二 顶部不可达到的高度问题
[例2] 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.
[分析] 根据已知条件，应该先设法计算出AB的长，再在Rt△ABD中解得BD，最后求出CD.
[解] 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，
∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，
则＝，
∴AB＝.
在Rt△ABD中，
BD＝ABsin∠BAD＝
＝，
∴CD＝BD－BC
＝h.
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可.
[变式训练2] 如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝32米．
解析：ED＝AB＝24米，在△ACD中，∠CAD＝α＋β＝30°＋60°＝90°，AE⊥CD，DE＝24米，则AD＝＝＝16(米)，
则CD＝＝＝＝32(米)．
类型三 角度问题
[例3] 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离为10
km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10
km/h的速度向小岛靠拢，海军舰艇立即以10
km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．
[分析] 由题意知，要求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间，可设靠近的位置为B处．因此只要确定∠BAC及AB的值即可．故先设出舰艇与渔船靠近的时间t，然后在△ABC中利用余弦定理建立关于t的方程，即可求解．
[解] 如图所示，设t小时后，舰艇与渔船在B处靠近，
则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，
则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．
所以舰艇需1小时靠近渔船．
此时AB＝10，BC＝10.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝＝＝.
又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°.
所以舰艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.
答：舰艇航行的方位角为75°，航行的时间为1小时．
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步.
[变式训练3] 某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°且相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．
解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)×10.
在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cos∠BAC＝＝.
∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，
∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，
∴台风移动的方向为向量的方向．
即北偏西45°方向．
答：台风向北偏西45°方向移动．
1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，如图，则点A在点B的( B )
A．北偏东15°方向上
B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上
D．北偏西10°方向上
解析：如图，∵AC＝BC，由图可知，∠CAB＝∠CBA＝45°，利用内错角相等可知，A位于B北偏西15°，故选B.
2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100
m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( A )
A．50
m
B．100
m
C．50
m
D．100
m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
所以△ADC为等腰三角形．所以AC＝DC＝100
m，
在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50
m.
3．如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通知后立即前往B处救助，则sin∠ACB＝.
解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2
800，所以BC＝20.由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
4.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝15米．
解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，
由正弦定理，得＝，
所以BC＝＝15.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan∠ACB＝15tan60°＝15(米)．
5．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿东偏南15°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．
解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC＝12t，BC＝12t，如图，
∠ABC＝120°，在△ABC中，＝，
所以sin∠BAC＝，∠BAC＝30°，
所以∠BCA＝180°－30°－120°＝30°，所以AB＝BC＝8＝12t，解得t＝，航行的方向为：东偏北15°.
答：最少经过小时可追到走私船，沿东偏北15°的方向航行．
——本课须掌握的三大问题
1．数学建模思想：解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到实际问题的解，这就是数学建模思想．
2．解三角形应用题的具体操作程序：
(1)在弄清题意的基础上作出示意图；
(2)在图形上分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量；
(3)用正、余弦定理进行求解；
(4)根据实际意义与精确度要求给出答案．
3．解三角形应用题常见的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充分的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
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-第3课时 三角形中的几何计算
[目标]
1.记住正弦定理、三角形的面积公式及余弦定理和其推论；2.会用正、余弦定理，三角形的面积公式，余弦定理的推论计算三角形中的一些量．
[重点]
正、余弦定理、三角形面积公式，余弦定理推论的应用．
[难点]
探寻解题的思路与方法．
知识点一 三角形面积公式
[填一填]
已知△ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，其面积为S，则S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
[答一答]
1．已知三角形的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形的面积为(a＋b＋c)r.
2．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
提示：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的“基本量”就可以求其面积．
知识点二 三角形中常用的结论
[填一填]
①A＋B＝π－C，＝－；
②在三角形中大边对大角，反之亦然；
③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
④三角形内的诱导公式
sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，
tan(A＋B)＝－tanC，
sin＝cos，cos＝sin.
[答一答]
3．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求a边用正弦定理简单，还是用余弦定理简单？有什么技巧？
提示：用余弦定理简单．
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得32＝a2＋(3)2－2×a×3cos30°，
整理得a2－9a＋18＝0，∴a＝3或a＝6.
技巧：当三角形中已知两边和其中一边的对角时，
①若由已知只求内角，则用正弦定理合适；
②若由已知只求边，则用余弦定理合适．
知识点三 几何计算问题的主要类型
[填一填]
[答一答]
4．三角形的两边分别为3
cm,5
cm，它们所夹角的余弦值为方程5x2－7x－6＝0的根，则这个三角形的面积为6_cm2.
解析：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝2(不符合，舍去)，x2＝－，
因此两边夹角的余弦值等于－，并可求得正弦值为，
于是三角形面积S＝×3×5×＝6(cm2)．
类型一 与三角形面积有关的计算问题
[例1] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．
[分析] 在分析题目的时候要注意三角形面积公式的特点，S＝absinC与c2＝a2＋b2－2abcosC都含有ab，这正是解题的突破口．
[解] (1)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，又△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4，
联立得方程组解得
(2)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，由正弦定理及sinB＝2sinA，得b＝2a，
联立得方程组解得
所以△ABC的面积S＝absinC＝.
对于此类问题，一般用公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
[变式训练1] (1)在△ABC中，S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则C＝.
解析：由S△ABC＝(a2＋b2－c2)得
absinC＝(a2＋b2－c2)，即sinC＝.
∴sinC＝cosC，即tanC＝1，∴C＝.
(2)在△ABC中，若B＝30°，AB＝6，AC＝6，则△ABC的面积是18或9.
解析：由正弦定理，得＝，
所以sinC＝＝.
因为AB>AC，所以C>B.
所以C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°.
所以S△ABC＝AB·AC·sinA＝18；
当C＝120°时，A＝30°.
所以S△ABC＝AB·AC·sinA＝9.
故△ABC的面积是18或9.
类型二 三角形中线段长度的计算
[例2] 如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝60°，AC＝7，AD＝6，S△ACD＝，求AB的长．
[解] ∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠2.
∵S△ACD＝AD·AC·sin∠1＝，
∴sin∠1＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴BC＝＝＝5.
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，
∴72＝AB2＋52－10·AB×.
整理可得AB2－5AB－24＝0，
∴(AB－8)(AB＋3)＝0.∴AB＝8.
求线段的长度，先看所求线段在哪个三角形中，然后，结合已知条件利用正弦定理、余弦定理求解.,也可设出线段长度，列方程求解.
[变式训练2] 如图，在△ABC中，B＝45°，D是边BC上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．
解：在△ADC中，由余弦定理，得cos∠ADC＝＝＝－，所以∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°.在△ABD中，由正弦定理，得AB＝＝＝.
类型三 三角形中的证明问题
[例3] 在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c.
求证：＝.
[分析] 解答本题可通过正弦定理、余弦定理化边为角或化角为边，即可证明．
[证明] 证法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
得a2－b2＝b2－a2＋2c(acosB－bcosA)，
即a2－b2＝c(acosB－bcosA)，
变形得＝
＝cosB－cosA.
由正弦定理＝＝得＝，＝，
∴＝＝.
证法二：＝
＝cosB－cosA.
∵＝＝，
∴＝，＝，
cosB＝，cosA＝.
代入上式得
＝·－·
＝－＝＝.
∴等式成立．
有关三角形的证明问题，主要涉及三角形的边和角的三角函数关系.从某种意义上看，这类问题就是有目标地对含边和角的式子进行化简的问题，所以解题思路与判断三角形的形状类似：将边化为角或者将角化为边.
[变式训练3] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：－＝c.
证明：由余弦定理的推论得cosB＝，cosA＝
，代入等式右边，
得右边＝c
＝＝＝－＝左边，
∴－＝c.
1．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是( C )
A．9
B．8
C．9
D．18
解析：由题意知A＝180°－120°－30°＝30°.
则a＝b＝6，
因此S△ABC＝×6×6×sin120°＝9.
2．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的大小为( A )
A．60°或120°
B．60°
C．120°
D．30°或150°
解析：由S△ABC＝bcsinA得＝×2××sinA，
所以sinA＝，
故A＝60°或120°，故选A.
3．在△ABC中，AB＝，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为.
解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°，
所以S△ABD＝××1×sin30°＝.
又因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ABD＝.
4．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为.
解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.
在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3.
因此AD＝.
5．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
解：∵AB＝2，AC＝2，B＝30°，
∴根据正弦定理，有sinC＝
＝＝，
又∵AB>AC，∴C>B，则C有两解，
(1)当C为锐角时，C＝60°，A＝90°，
∴S△ABC＝AB·ACsinA＝2.
(2)当C为钝角时，C＝120°，A＝30°，
∴S△ABC＝AB·ACsinA＝.
综上可知，△ABC的面积为2或.
——本课须掌握的两大方面
1．求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．
2．事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．
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-第一章
解三角形
本章小结
一、正、余弦定理的基本应用
应用正、余弦定理解三角形问题往往和三角形面积公式、正、余弦定理的变形等结合．在解三角形时，注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的选择和方程思想的应用．
[例1] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cosC＝ccosB，△ABC的面积S＝10，c＝7.
(1)求角C；
(2)求a，b的值．
[解] (1)∵(2a－b)cosC＝ccosB，
∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，
2sinAcosC－sinBcosC＝cosBsinC，
即2sinAcosC＝sin(B＋C)．
∴2sinAcosC＝sinA.
∵A∈(0，π)，∴sinA≠0.
∴cosC＝.∴C＝.
(2)由S＝absinC＝10，C＝，
得ab＝40.①
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即c2＝(a＋b)2－2ab，
∴72＝(a＋b)2－2×40×.
∴a＋b＝13.②
由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.
规律总结 正、余弦定理常与三角恒等变换、三角形面积公式结合在一起综合考查学生的能力，解题的关键是结合条件，利用正、余弦定理进行边角互化，然后在此基础上再进行三角恒等变换，解题时要注意公式的变形及熟练应用．
二、判断三角形的形状
根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．
在解三角形时常用的结论有：
(1)在△ABC中，A>B?a>b
?sinA>sinB?cosAA＝B?a＝b?sinA＝sinB?cosA＝cosB.
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，＝－，则cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，sin＝cos.
(3)在△ABC中，a2＋b2c2?cosC>0?0[例2] 在△ABC中，2acosB＝c，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
[解析] 方法一：由余弦定理，得2a·＝c.
所以a2＋c2－b2＝c2，则a＝b.
所以△ABC是等腰三角形．
方法二：由正弦定理，
得2×2RsinAcosB＝2RsinC，
即2sinAcosB＝sinC.
又sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB，
所以sin(A＋B)＋sin(A－B)＝sinC.
又A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sinC，
所以sin(A－B)＝0.
又0则－π所以有A＝B，则△ABC是等腰三角形．
[答案] A
规律总结 判断△ABC形状的两种方法的核心是将角化为边或将边化为角，这种转化是借助正、余弦定理来完成的，至于选择“角化为边”还是“边化为角”，要根据题目给出的条件．若题目的条件仅是边的形式或仅是角的形式，则较简单，因为无需转化；若题目的条件是边角混合的式子，则需要转化．
三、正弦定理和余弦定理的实际应用
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．
[例3] 已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°.若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
[解] 如图所示，在△ABC中，
依题意得BC＝20(海里)，
∠ABC＝90°－75°＝15°，
∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.
由正弦定理，得＝，
所以AC＝＝10(－)(海里)．
故A到航线的距离为AD＝ACsin60°＝10(－)×＝(15－5)(海里)．
因为15－5>8，所以货轮无触礁危险．
四、正、余弦定理与其他知识的综合应用
正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．
(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．
(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正、余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．
[例4] 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A.
B.
C．2
D.
[解析] 由·＝1求出关于cosB的关系式，再利用余弦定理求BC.
∵·＝1，且AB＝2，
∴1＝||||cos(π－B)，
∴||cosB＝－.
在△ABC中，||2＝||2＋||2－2||·||·cosB，即9＝4＋||2－2×2×，
∴||＝，即BC＝.
[答案] A
[例5] 在△ABC中，已知A＝，BC＝2，设B＝x，周长为y.
(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2)求y的最大值．
[分析] 利用正弦定理，用x表示y，求出y＝f(x)的解析式，利用三角函数的“有界性”求出y的最大值．
[解] (1)由正弦定理知＝，∴AC＝4sinx.
∵＝，
∴AB＝4sin.
∴y＝4sinx＋4sin＋2
＝4sin＋2.
(2)∵∴当x＋＝，
即x＝时，ymax＝6.
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