沪教版（上海）初中数学九年级第一学期 本章小结 函数背景下的面积问题 教案

函数背景下的面积问题
一、教学目标
1.熟练求解二次函数解析式；
2.灵活运用图形的面积公式，利用割补、面积比与线段比转化的方法解决函数背景下的相关面积问题。
3.通过问题解决，体会“转化”与“分类”的方法，提升分析问题解决问题的能力。
4.通过自主探究、合作探究，激发学生思维。
二、教学重点与难点
重点：灵活运用图形的面积面积公式，利用图形割补、面积比与线段比转化的方法解决函数背景面积的相关问题。
难点：图形的割补和面积的转化。
三、教学过程
（一）复习专题
如图，已知抛物线经过点B（-4，0）与点C（8，0），且交轴于点.
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点D坐标；
【教师】请同学根据题中信息选择最简便快速的方法解题
【同学】独立完成，并同桌交流。
【设计意图】二次函数解析式是中考24题型中的第一小题。要求学生在有限的时间内灵活的选择解析式的表达式（一般式、顶点式、交点式）。
（2）问抛物线上存在点P，△BCP的面积等于48，求出点P的坐标。
【教师】请同学们画出点P的大致位置，观察图形特征，独立思考，分析求点P的方法。
【同学】独立思考，同学上台讲解分析解题思路。
【设计意图】简单的面积公式的应用。
（3）点Q在抛物线称轴上且在x轴的上方，△ABQ的面积40，求点Q的坐标。
【教师】请同学们画出点Q的大致位置，观察图形特征，独立思考，分析求点Q的方法。
【同学】独立思考，小组讨论，小组代表上台讲解分析解题思路。
【设计意图】三角形面积不能用面积公式建立方程时，常常会选择割补思想。而如何割补是学生的困惑。本题一题多法，让学生用尽量多的方法解题，通过这题归纳“割补”的模型，使得优秀学生感受到一题多法的同时，择优选择解题方法。同时使得后劲的同学通过通用的割补方法能够掌握割补思想。
（4）将该抛物线向右平移m个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点M，联结BM，直线BM将△ABC分割成面积比为1:3的两个三角形，求m的值．
【教师】提问1：求m的值关键需求出哪个点的坐标？
提问2：顶点M在哪条直线上平移？画出这条平移的直线？
提问3：根据题意画出点M的大致位置？
提问4：先独立思考再小组讨论，分析求点P的方法？
【同学】交流上述问题2、问题3。独立思考，小组讨论，小组代表上台讲解分析解题思路。
【设计意图】当两个三角形属于同高或者等高三角形时，线段比能转化面积比。学生的困惑在于如何找到同高三角形。老师在小结时板书展示同高三角形的模型，利用这种“模型”使学生更直观的感受，理解，掌握找同高三角形。
此外当线段上存在数量关系，比值时可以利用这条线段构建基本图形——A字型、8字型。利用两点间距离公式建立方程，求出点M的坐标。
（5）在第一象限的抛物线上找一点G，连结BG，OG，点Q是GO的中点，连接CQ并延长与BG交于点N，且。当△GNQ的面积等于6时，求点G的坐标。
【教师】观察三角形CNQ的结构特征，题目已知条件，独立思考，分析求点Q的方法。
【学生】独立思考，个别交流解题困惑，小组讨论，小组代表交流。
【设计意图】本题一题多法，利用线段比构建同高三角形，本题以可以利用线段比构建基本图形A字型，8字型。无论采用什么方法，最终都是将面积转化到三角形CBO的面积，使得转化的三角形一边平行于坐标轴，直接利用面积公式建立方程。本题也可以利用割补思想解题。一题多法中通过类比，让学生择优选择解题方法，既简便又节省时间。
（二）师生共同小结
【设计意图】师生共同小结本课时的主要内容，一起梳理函数背景下面积问题产生求点的坐标的问题。