周末强化训练卷（图形的相似6.1～6.4）-2021届九年级苏科版数学下册（含答案）

周末强化训练卷（图形的相似6.1～6.4）-2021届九年级苏科版数学下册（20.11.28）
一、选择题
1、在比例尺为1：1000000的地图上量得A，B两地的距离是20cm，那么A、B两地的实际距离是（　　）
A．2000000cm B．2000m C．200km D．2000km
2、下列四条线段成比例的是(　　　)
A．1 cm，2 cm，4 cm，6 cm B．3 cm，4 cm，7 cm，8 cm
C．2 cm，4 cm，8 cm，16 cm D．1 cm，3 cm，5 cm，7 cm
3、如果＝＝(b＋d＋f≠0)，那么下列等式成立的是(　　　)
A.＝ B.＝ C.＝＝ D.＝＝
4、若＝＝＝k，则k的值为(　　)
A．2 B．－1 C．2或－1 D．－2或1
5、已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是(　　)
A．AM∶BM＝AB∶AM B．AM＝AB C．BM＝AB D．AM≈0.618AB
6、乐器上的一根琴弦AB＝60厘米，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长为(　　)
A．(90－30)厘米 B．(30＋30)厘米 C．(30－30)厘米 D．(30－60)厘米
7、我们把宽与长的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB＞BC)的边AB上取一点E，使得BE＝BC，连接DE，则等于( )
A. B. C. D.

8、观察下列每组图形，相似图形是（　　）
A． B． C． D．
9、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G，H，则下列结论错误的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

10、如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是( )
A．△AFD B．△AED C．△FED D．不能确定

11、如图，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为( )
A．5 　B．7 C．9 　D．12

12、如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH·PC.其中正确的是( )
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④

二、填空题
13、已知三条线段的长度分别是4，8，5，当另一条线段的长为___________时，这四条线段是成比例线段．
14、已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是______厘米．
15、已知＝，则＝
16、在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约　　 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
17、如图，在矩形ABCD中，AB=1，（AD＞AB）在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F，若四边形EFDC与原矩形相似，则AD的长度为　 　．

18、如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，
则EF＝____ .

19、如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝_________，△CEA与△EPB相似

20、如图，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，
当DM＝_______时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．

21、如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是的中点，连结AC交BD于点E，连结AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为　 　．

22、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，则∠BCA的度数为_____
23、如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有_______对．
24、如图，矩形ABCD的边长AB＝3 cm，BC＝6 cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动．若以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为__________秒．

三、解答题
25、设a，b，c是△ABC的三条边长，且＝＝，判断△ABC的形状，并说明理由．
26、如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，求证：点D是AC的黄金分割点．
27、在AB=20m，AD=30m的矩形花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，都是x，如图1，那么小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x、y，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似？请说明理由．

28、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DC交BE于点F，且AD＝AB，AE＝EC.
求证：(1)△DEF∽△CBF；(2)DF·BF＝EF·CF.
29、如图，在△ABC中，点D，E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2＝BD·BA.
求证：(1)△CED∽△ACD；(2)＝.
30、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．
31、(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，
BO∶CO＝1∶3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题(如图2)．
请回答：∠ADB＝________°，AB＝________；
(2)请参考以上解题思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AC⊥AD，AO＝3，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求DC的长．
32、在正方形ABCD中，点M是BC延长线上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．连结BN交AD于点F，连结MF交BD于点G．若DE＝2，且AF：FD＝1：2，求线段DG的长．
周末强化训练卷（图形的相似6.1～6.4）-2021届九年级苏科版数学下册（答案20.11.28）
一、选择题
1、在比例尺为1：1000000的地图上量得A，B两地的距离是20cm，那么A、B两地的实际距离是（　　）
A．2000000cm B．2000m C．200km D．2000km
【解答】根据比例尺＝图上距离：实际距离，
得A、B两地的实际距离为20×1000000＝20000000（cm），
25000000cm＝200km．
故A、B两地的实际距离是200km． 故选：C．
2、下列四条线段成比例的是(　C　　)
A．1 cm，2 cm，4 cm，6 cm B．3 cm，4 cm，7 cm，8 cm
C．2 cm，4 cm，8 cm，16 cm D．1 cm，3 cm，5 cm，7 cm
3、如果＝＝(b＋d＋f≠0)，那么下列等式成立的是(B　　　)
A.＝ B.＝ C.＝＝ D.＝＝
4、若＝＝＝k，则k的值为(　C　)
A．2 B．－1 C．2或－1 D．－2或1
5、已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是(　C　)
A．AM∶BM＝AB∶AM B．AM＝AB C．BM＝AB D．AM≈0.618AB
6、乐器上的一根琴弦AB＝60厘米，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长为(　C　)
A．(90－30)厘米 B．(30＋30)厘米 C．(30－30)厘米 D．(30－60)厘米
7、我们把宽与长的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB＞BC)的边AB上取一点E，使得BE＝BC，连接DE，则等于(B )
A. B. C. D.

8、观察下列每组图形，相似图形是（　D　）
A． B． C． D．
9、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G，H，则下列结论错误的是( C )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

10、如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是( A )
A．△AFD B．△AED C．△FED D．不能确定

11、如图，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为( B )
A．5 　B．7 C．9 　D．12

12、如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH·PC.其中正确的是(C )
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
解析：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE， 故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH， 故②正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°，∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°，
∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似， 故③错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，
∴＝，∴DP2＝PH·PC， 故④正确
二、填空题
13、已知三条线段的长度分别是4，8，5，当另一条线段的长为___________时，这四条线段是成比例线段．
[解析] 由于题目中没有明确具体的比例式，所以存在多种情况．设所求的线段长度为x.
当5x＝4×8时，得x＝；
当8x＝4×5时，得x＝＝；
当4x＝5×8时，得x＝＝10.
故答案为或或10
14、已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是______厘米．
解答：∵线段b是a、c的比例中项，
∴， 解得b＝±4，
又∵线段是正数，∴b＝4．
故答案为4．
15、已知＝，则＝
16、在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约　　 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99cm，
设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，
解得：y≈7.8≈8， 经检验y≈7.8是原方程的根，
答：她应该选择大约8cm的高跟鞋． 故答案为8．
17、如图，在矩形ABCD中，AB=1，（AD＞AB）在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F，若四边形EFDC与原矩形相似，则AD的长度为　 　．

18、如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，
则EF＝_ ___ .

19、如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝__ 或6_______，△CEA与△EPB相似

20、如图，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，
当DM＝__或 _____时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．

21、如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是的中点，连结AC交BD于点E，连结AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为　 　．

【解析】如图，连接OC交BD于K，连结BC．∵，∴OC⊥BD，
∵BE＝4DE，∴可以假设DE＝k．BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，
∵AB是直径，∴∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，∴AD∥CK，∴AE：EC＝DE：EK，
∴AE：6＝k：1.5k，∴AE＝4，
∵△ECK∽△EBC，∴EC2＝EK?EB，∴36＝1.5k×4k，∵k＞0，∴k，
∴BC2，∴AB4．
故答案为4．
22、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，则∠BCA的度数为___65°或115__
23、如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有___ 4____对．
24、如图，矩形ABCD的边长AB＝3 cm，BC＝6 cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动．若以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为___2.4或1.5_______秒．

三、解答题
25、设a，b，c是△ABC的三条边长，且＝＝，判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a＋b＋c≠0.
∵＝＝，
∴＝＝＝＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
26、如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，求证：点D是AC的黄金分割点．
【解答】解：在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
在△ACB和△BCD中，∠BDC＝72°
∵∠C＝∠C，∠A＝∠CBD＝36°，∴△ACB∽△BCD，∴AC：BC＝BC：DC；
∵∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，
∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝72°，∴BD＝BC，
∴AD＝BC，∴AC：AD＝AD：DC； 即点D是AC的黄金分割点．
27、在AB=20m，AD=30m的矩形花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，都是x，如图1，那么小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x、y，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似？请说明理由．

解：（1）如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；
设四周的小路的宽为x，
∵=， =， ∴≠，
∴小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；
（2）∵当=时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，
解得： =，
∴路的宽x与y的比值为3：2时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似．
28、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DC交BE于点F，且AD＝AB，AE＝EC.
求证：(1)△DEF∽△CBF；(2)DF·BF＝EF·CF.
证明：(1)∵AE＝EC，∴＝，
又∵AD＝AB，∴＝，∴＝.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF
(2)∵△DEF∽△CBF，∴＝， ∴DF·BF＝EF·CF
29、如图，在△ABC中，点D，E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2＝BD·BA.
求证：(1)△CED∽△ACD；(2)＝.
证明：(1)∵BC2＝BD·BA，∴BD∶BC＝BC∶BA.
又∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A.
又∵CD平分∠ECB，∴∠ECD＝∠BCD，∴∠ECD＝∠A.
∵∠EDC＝∠CDA，∴△CED∽△ACD
（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，
∴＝，＝，∴＝
30、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．
解：(1)∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，
又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AB·AD　
(2)∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠EAC，
又∵∠EAC＝∠DAC，∴∠ACE＝∠DAC，∴CE∥AD　
(3)∵CE∥AD，∴△CEF∽△ADF，∴＝，
∵AB＝6，∴CE＝3，∴＝＝，∴＝
31、(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，
BO∶CO＝1∶3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题(如图2)．
请回答：∠ADB＝________°，AB＝________；
(2)请参考以上解题思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AC⊥AD，AO＝3，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求DC的长．
解：(1)∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°.∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，
∴＝＝.又∵AO＝3，∴OD＝AO＝，∴AD＝AO＋OD＝4.
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°－∠BAD－∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4
(2)如图所示，过点B作BE∥AD交AC于点E.∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°.
∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝.∵BO∶OD＝1∶3，∴＝＝.
∵AO＝3，∴EO＝，∴AE＝4.∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE.在Rt△AEB中，AE2＋BE2＝AB2，即(4)2＋BE2＝(2BE)2，解得BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12.在Rt△CAD中，AC2＋AD2＝CD2，即82＋122＝CD2，解得CD＝4

32、在正方形ABCD中，点M是BC延长线上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．连结BN交AD于点F，连结MF交BD于点G．若DE＝2，且AF：FD＝1：2，求线段DG的长．
【解析】过点M作MK⊥BC，交直线BD于点K，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，
∵MK⊥BC，∴∠DBC＝∠BKM，∴BM＝MK，
∵BM＝DN，∴MK＝DN，∵DC⊥BC，MK⊥BC，∴CD∥MK，∴∠DNE＝∠EMK，∠NDE＝∠EKM，
∴△DNE≌△MKE（ASA），∴EK＝ED，∴BD+2DE＝BKBM，
∴BD+2DEBC+4BM，∴BM﹣BC＝4，∴CM＝4，
∵AB∥CD，∴△ABF∽△DNF，∴，∴DN＝2AB，
∴BM＝2AB＝2BC＝BC+4，∴BC＝4＝AB＝AD，∴DF，BM＝8，BD＝4，
∵AD∥BC，∴，∴BG＝3DG，∵BG+DG＝BD＝4，∴DG．