周末强化训练卷（第6章图形的相似）-2021届九年级苏科版数学下册（Word版 含答案）

周末强化训练卷（图形的相似）-2021届九年级苏科版数学下册(20.12.5）
一、选择题
1、在比例尺为1：n的某市地图上，A，B两地相距5cm，则A、B之间的实际距离为（　　）
A． B． C．5ncm D．25n2cm
2、已知，则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3、已知＝k，则k＝（　　）
A．2 B．1或2 C．1 D．﹣1或者2
4、点C是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），若AC＝2，则CB＝（　　）
A．+1 B．+3 C． D．
5、如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠DCB＝72°，△ABC与△BDC是黄金三角形，即D是线段AB的黄金分割点(AD>DB)，则的值是( )
A. B. C. -1 D. +1
6、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

7、如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（　　）
A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4
8、如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（　　）
A． B． C． D．
9、如图1，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图2中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (　　)

图1 图2
10、如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，
则点C的坐标是(　　)　
A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)
11、如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；
③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
12、如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，
周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
13、如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2PA＝3PA1，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比等于（　　）
A． B． C． D．
14、如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是( )
①△CMP∽△BPA； ②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．
A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤
二、填空题
15、已知＝，则的值为　　　　　　．
16、已知线段a＝4cm，b＝9cm，且线段a是线段b和线段c的比例中项，则线段c是　　　　　　．
17、如图，在?ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，
那么BF∶DF的值为________
18、若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是
19、如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，
则BE：EC＝　 ．
20、如图所示，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝4，AC＝5，AD＝4，
则⊙O的直径AE＝________．

21、已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝　 　．
22、在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　 　．
23、如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　 　．
24、晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为　　　　米．

25、如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，同一时刻1.2m的标杆影长为3m．已知CD＝4m，BD＝6m．则大树的高度为　　　　m．
26、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n（n＞2）交x轴于点A，交y轴于点B，C为直线AB上一点，过点C作CD垂直x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx过A，C两点，M为抛物线的顶点，过点M作ME垂直y轴于点E，若D的坐标为（1，0）．则当△BEM与△COD相似时，n的值为　 　．
三、解答题
27、如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
28、如图,EC∥AB,∠EDA=∠ABF.
(1)求证:,,
(2)若OF=2,AE=3,求AF的长度.
29、如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．

30、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．
（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；
（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？
31、如图，在四边形BFDA中，∠B＝90°，DF∥AB，以AD为直径作⊙O，⊙O与BF的一个交点为C，交DF于点E，连接AC，AE，CD，AB＝3，BC＝4，CF＝7.2.
(1)求证：△CDF∽△ACB；
(2)求直径AD的长；
(3)求圆心O到弦ED的距离．
32、在如图所示的方格中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的位似比；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标．
33、图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽厘米，托架斜面长厘米，它有到共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位到的距离为2.4厘米.将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长是15厘米，是支点且厘米（支架的厚度忽略不计）.（1）当支架调到档时，点离水平面的距离为多少厘米？（2）当支架从档调到档时，点离水平面的距离下降了多少厘米？
34、（1）证明推断：如图①，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，
求证：＝＝．
（2）类比探究：如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，若AB＝6，求OF的长；
（3）拓展运用：若正方形ABCD变为?ABCD，如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，求?ABCD的面积．
周末强化训练卷（图形的相似）-2021届九年级苏科版数学下册（答案20.12.5）
一、选择题
1、在比例尺为1：n的某市地图上，A，B两地相距5cm，则A、B之间的实际距离为（　　）
A． B． C．5ncm D．25n2cm
【解答】解：设A、B之间的实际距离为x，
则1：n＝5：x，
解得x＝5n， 故选：C
2、已知，则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
解答：∵，∴, 故选B．
3、已知＝k，则k＝（　　）
A．2 B．1或2 C．1 D．﹣1或者2
【解答】解：当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，
＝＝＝2＝k，
当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，
综上所述；k＝﹣1或2，
故选：D．
4、点C是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），若AC＝2，则CB＝（　　）
A．+1 B．+3 C． D．
【解答】解：点C是线段AB的黄金分割点，AC＜CB，
∴CB＝×AB＝×（AC+BC），
∴CB＝×（2+BC），
解得，CB＝+1，
故选：A．
5、如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠DCB＝72°，△ABC与△BDC是黄金三角形，即D是线段AB的黄金分割点(AD>DB)，则的值是( A )
A. B. C. -1 D. +1
6、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( A )
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

7、如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（　　）
A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4
【解析】∵a∥b∥c，
∴，即，
解得，DE＝3.6，
故选：C．
8、如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（　　）
A． B． C． D．
【解析】A、∵a∥b∥c，∴，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵a∥b∥c，∴，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵a∥b∥c，∴，本选项结论正确，不符合题意；
D、连接AF，交BE于H，
∵b∥c，∴△ABH∽△ACF，∴，本选项结论不正确，符合题意；
故选：D．
9、如图1，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图2中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (　　)

图1 图2
[解析] A选项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
B选项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
C选项，阴影部分的三角形与原三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．
D选项，阴影部分的三角形与原三角形的两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选C.
10、如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，
则点C的坐标是(　　)　
A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)
[解析] 如图，过点C作CE⊥y轴，垂足为E.∵OD＝2OA＝6，∴OA＝3.
由题意易得Rt△CED∽Rt△DOA，∴＝＝.
又∵CD＝AB，∴＝＝，∴CE＝2，DE＝1，∴OE＝7，∴点C的坐标为(2，7)．
11、如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；
③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【解答】解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A， ∴△APC∽△ACB；
当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；
当AC2＝AP?AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A, ∴△APC∽△ACB；
当AB?CP＝AP?CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠PAC＝∠CAB，
∴不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
12、如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，
周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴，A正确；∴，B错误；
∴，C错误；∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
13、如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2PA＝3PA1，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比等于（　　）
A． B． C． D．
解：∵五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，
P是位似中心，且2PA＝3PA1，
∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：＝．
故选：B．
14、如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是( )
①△CMP∽△BPA； ②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．
A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤
【解答】解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB＝180°，∴2∠NPM+2∠APE＝180°，∴∠MPN+∠APE＝90°，
∴∠APM＝90°，
∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠PAB＝90°，∴∠CPM＝∠PAB，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确，
设PB＝x，则CP＝4﹣x，
∵△CMP∽△BPA，∴，∴CM＝x（4﹣x），
∴S四边形AMCB＝[4+x（4﹣x）]×4＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣2）2+10，
∴x＝2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
当PB＝PC＝PE＝2时，设ND＝NE＝y，
在RT△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y＝，∴NE≠EP，故③错误，
作MG⊥AB于G，∵AM＝＝，∴AG最小时AM最小，
∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4﹣x（4﹣x）＝（x﹣2）2+3，∴x＝2时，AG最小值＝3，
∴AM的最小值＝＝5，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，
∴∠KPA＝∠KAP＝22.5°
∵∠PKB＝∠KPA+∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，
∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，∴z+z＝4，∴z＝4﹣4，
∴PB＝4﹣4，故⑤正确．
故选：B

二、填空题
15、已知＝，则的值为　　　　　　．
【解答】解：＝，则＝，
故答案为：．
16、已知线段a＝4cm，b＝9cm，且线段a是线段b和线段c的比例中项，则线段c是　　　　　　．
【解答】解：∵c是线段a，b的比例中项，
∴a2＝bc，
∵a＝4cm，b＝9cm，
∴42＝9c，
∴c＝cm．
故答案为：．
17、如图，在?ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，
那么BF∶DF的值为________
18、若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是
解析：解答：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A=∠A′=138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠α=360°-∠A-∠B-∠C=87°．
故答案为：87°．
19、如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，
则BE：EC＝　 ．
【解析】作DF∥AE交BC于F，如图，∵OE∥DF，∴1，即BE＝EF，
∵DF∥AE，∴，∴CF＝2EF，∴BE：EC＝BE：3BE＝1：3．
故答案为1：3．
20、如图所示，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝4，AC＝5，AD＝4，
则⊙O的直径AE＝________．

[解析] 由圆周角定理可知∠E＝∠C.
∵∠ABE＝∠ADC＝90°，∠E＝∠C，
∴△ABE∽△ADC，∴
∵AB＝4，AC＝5，AD＝4，
∴，∴AE＝5.
21、已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝　 　．
解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，
∴其对应边＝＝．
故答案为：．
22、在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　 　．
解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）
23、如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　 　．
解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP＝∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABO，∴＝，
∵点A（8，0）和点B（0，6），∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，∴AC＝5，∴＝，∴AP＝，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）
24、晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为　　　　米．

【解析】设路灯的高为，如图所示∵GH⊥BD，AB⊥BD，∴GH∥AB．∴△EGH∽△EAB．
∴①．同理△FGH∽△FCD.②．
∴．∴．
解得EB=11，代入①得，解得x=6.6（米）．

25、如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，同一时刻1.2m的标杆影长为3m．已知CD＝4m，BD＝6m．则大树的高度为　　　　m．
【解答】解：作CF⊥AB于F，如图，
易得四边形BDCF为矩形，
∴CF＝BD＝6，BF＝CD＝4，
∵同一时刻1.2m的标杆影长为3m，
∴＝，即＝，解得AF＝3.2，
∴AB＝AF+BF＝3.2+4＝7.2（m）．
故答案为7.2．
26、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n（n＞2）交x轴于点A，交y轴于点B，C为直线AB上一点，过点C作CD垂直x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx过A，C两点，M为抛物线的顶点，过点M作ME垂直y轴于点E，若D的坐标为（1，0）．则当△BEM与△COD相似时，n的值为　 　．
【解析】∵直线y＝﹣x+n（n＞2）交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（n，0），B（0，n），
∵CD⊥OA，D（1，0），∴C（1，n﹣1），
∵抛物线经过O，A，∴可以假设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣n），
把C（1，n﹣1）代入y＝ax（x﹣n），得到a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+nx，∴M（，），
∵△BEM与△COD相似，∴有两种情形：当时，则有：，
解得n＝±2或0（都不符合题意舍弃），
当时，则有：， 解得n＝2（舍）或3或或（舍弃），
综上所述，满足条件的n的值为3或． 故答案为3或．
三、解答题
27、如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
【解析】（1）∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，∴，
∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，∴OB＝2，∴．
28、如图,EC∥AB,∠EDA=∠ABF.
(1)求证:,,
(2)若OF=2,AE=3,求AF的长度.
【解析】(1)∵EC∥AB,∴△OAB∽△OED,∴=.
∵△OAB∽△OED,∴∠OBA=∠ODE.∵∠EDA=∠ABF,∴∠OBF=∠ODA.
∵∠BOF=∠DOA,∴△OBF∽△ODA,∴=.
(2)∵=,=,∴=,即=,
∴AF=-1或AF=--1(不合题意,舍去),经检验,AF=-1是分式方程的解,
∴AF=-1.
29、如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．

【答案】解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝36°，∴∠BDC＝∠B＝72°，∠ACD＝∠A＝36°，
∴BC＝DC＝AD．
∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴．∴．
∴D是AB边上的黄金分割点；
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADCAD?h，S△DBCDB?h，S△ABCAB?h，
∴，．
∵D是AB的黄金分割点，∴，∴．∴CD是△ABC的黄金分割线．
30、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．
（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；
（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？
【解答】解：（1）∵DE⊥AF，∴∠AOE＝90°，∴∠BAF+∠AEO＝90°，
∵∠ADE+∠AEO＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，
又∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF＝∠DAE＝90°，
∴△ABF≌△DAE（ASA）∴AE＝BF，∴1+t＝2t，解得t＝1．
（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝4，
∵BF＝2t，AE＝1+t，∴FC＝4﹣2t，BE＝4﹣1﹣t＝3﹣t，
当△EBF∽△DCF时，，∴＝，解得，t＝，t＝（舍去），
故t＝． 所以当t＝时，△EBF∽△DCF；
31、如图，在四边形BFDA中，∠B＝90°，DF∥AB，以AD为直径作⊙O，⊙O与BF的一个交点为C，交DF于点E，连接AC，AE，CD，AB＝3，BC＝4，CF＝7.2.
(1)求证：△CDF∽△ACB；
(2)求直径AD的长；
(3)求圆心O到弦ED的距离．
解：(1)证明：∵∠B＝90°，DF∥AB，∴∠ACB＋∠CAB＝90°，∠F＝90°.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACB＋∠DCF＝90°，∠B＝∠ACD，
∴∠CAB＝∠DCF，∴△CDF∽△ACB.
(2)∵△CDF∽△ACB，∴＝，即＝，∴DF＝9.6.
∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴四边形ABFE是矩形，
∴AE＝BF＝4＋7.2＝11.2，EF＝AB＝3，∴DE＝6.6，
∴AD＝＝＝13.
(3)过点O作OH⊥DE于点H，∴OH∥AE.
又∵AO＝DO＝AD，∴OH为△AED的中位线，∴OH＝AE＝5.6，
即圆心O到弦ED的距离为5.6.
32、在如图所示的方格中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的位似比；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标．
解：（1）如图，点P为所作，点P的坐标为（﹣5，﹣1）；
PA1：PA＝6：3＝2：1，
所以△O1A1B1与△OAB的位似比为2：1；
（2）如图，△OA2B2为所作；点B2的坐标为（2，6 ）．
33、图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽厘米，托架斜面长厘米，它有到共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位到的距离为2.4厘米.将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长是15厘米，是支点且厘米（支架的厚度忽略不计）.（1）当支架调到档时，点离水平面的距离为多少厘米？（2）当支架从档调到档时，点离水平面的距离下降了多少厘米？
【解析】（1）解：如图，作OM⊥BE，垂足为M，作DN⊥BN，垂足为N，作GH⊥AH，垂足为H，
由题意得BE=BC+CE=2.4+0.8×2=4厘米，
∵厘米，∴BM=ME=2厘米，
∵∠BMO=∠DNB=90°, ∠OBM=∠DBN，∴△BOM∽△BDN，
∴,即 ，∴BN=4.8厘米，
∴在中，厘米，AN=AB+BN= 6厘米，
∴在中，厘米，
∵DN⊥AN，GH⊥AH，∴△BOM∽△BDN，∴,即 ，∴ ；
（2）如图当支架从档调到档时，由题意得BF=BC+CF=2.4+0.8×3=4.8厘米，
∵厘米 ∴BM=ME=2.4厘米，
∵，∴
∴,即 ∴厘米，
∴在中，厘米，∴D下降了厘米．

34、（1）证明推断：如图①，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，
求证：＝＝．
（2）类比探究：如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，若AB＝6，求OF的长；
（3）拓展运用：若正方形ABCD变为?ABCD，如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，求?ABCD的面积．
解：（1）证明：如图①，连结ED，
∵D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，
∴＝＝＝2，∴＝＝；
（2）∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，
∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，
∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，
∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝；
（3）如图③，连接OE，
由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2，
∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比为＝2，
同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，
∴S△CEG+S△BEF＝2（S△OEG+S△OEF）＝2×＝1．∴S△BOC＝，∴S?ABCD＝4×＝6．