人教版九年级数学上册 数学活动：三角点阵中前n行的点数计算-1教学设计

课程基本信息
课题
数学活动：三角点阵中前n行的点数计算
教科书
书名：
《数学》九年级上册
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2014
年3
月
教学目标
教学目标：：
通过观察三角点阵，探究发现三角点阵中前
n
行的点数规律，并能用于计算.
运用一元二次方程的知识探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
掌握从特殊到一般的分析问题的方法，建立数学模型解决问题.
教学重点：探索并运用三角点阵中前n行的点数和的计算公式
教学难点：探索并运用三角点阵中前n行的点数和的计算公式
时间
教学环节
教学过程
2分钟
活动1
问题引入
教师展示三角形点阵：
问题1：三角点阵中，从上往下有无数多行，你能说说它的规律吗？
对了，它的第一行有1
个点，第二行有
2
个点……第
n
行有
n
个点。
问题2：前4行的点数和是多少？
通过“逐个数”的方式，我们可以得到前四行的点数和是10，当然我们也可以通过这种方式得到前5行，前6行或者任意前几行的点数和，不过我们也发现当n逐渐变大，点数和越来越大，数起来就越来越麻烦了.
10分钟
活动2
探索规律
问题3：你能发现300是前多少行的点数的和吗？
我们是不是可以一行一行的加，一直加到点数和为300？
很明显我们只要列出算式：
这样由上而下地逐行相加其点数，就可以得到答案
也就是说，前24行的点数和为300。但是很明显的，这样寻找答案要花费较多时间，能有更快捷的方法来解决这个问题吗？
你想到了吗？我们只要能够推导出三角点阵中前n行的点数公式就可以借助方程解决这个问题了。
基于我们之前对于三角点阵的分析，它前n行的点数和应该这样计算：
我们发现：
这样我们只要能够确定这n个数相加有多少对和为(n+1)的数就可以啦！
如果n为偶数，一共有对，所以和为
如果n为奇数，n项不能均分成两部分，最中间的数是，这样还剩下n-1个数，n-1为偶数，也就是有对和为(n+1)的数，所以这n个数的总和为，整理得，得到.发现和n为偶数的情况得到的结果是一样的，也就是说无论n为奇数还是偶数都有.
整理得，得到.
也就是说无论n为奇数还是偶数都有
这样我们就得到了三角点阵前n行的点数和公式.
除了分类讨论之外，我们为了能够实现的“首尾相加”，还可以考虑把和写成倒序形式，我们不妨设记为方程①，再将这个等式的右边改写成倒序相加的形式，记为方程②，将这两个方程相加，得到等式右边有n个（n+1）做和，所以得到解得也可以得到的值是.这样做是不是更快捷了？
也有同学会提出问题，这样做倒序相加，再结合三角点阵的背景，不就是将一个正立的三角和一个倒立的三角拼在一起吗？能不能直接利用到图形特征来求呢？我们来一起看一看
以前7行为例，如果我们将2个三角点阵如图放置
我们可以把它们组合成一个平行四边形
把其中一个点阵进行移动，我们可以把它们组合成一个平行四边形点阵，此时可以用平行四边形的面积公式算得平行四边形点阵的点数和为，也就是两个7行的三角点阵的点数和为，那么一个7行的三角形点阵的点数和为.
活动3
建立方程
解决问题
我们再回到问题3：你能发现300是前多少行的点数的和吗？
将方程：
转化为：
整理得：
解得：
由实际意义得：
即三角形点阵中前24行的点数和为300.
活动4
巩固提高
拓展延伸
通过刚才的探索，我们发现，得到自然数的前n项和的公式后，可以建立一元二次方程，“一劳永逸”的解决类似的问题，比如：
问题4：三角点阵中前n行的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明理由.
我们可以直接依题意列出方程：
整理得：
计算
发现尽管此方程有两个不等实根，但是由于不是完全平方数，所以得不到正整数根，不符合题意.
所以三角点阵中前n行的和不可能是600.
如果三角形各行的点数换了呢？那我们推得的公式就不适用了，如何解决？我们来看问题5，
问题5：如果把三角形点阵中各行的点数依次换为
2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明理由.
根据题意列出方程：
变形为：
由之前推导出的公式，可得：
根据实际意义，解得：
活动5：
本课小结
本节课我们在三角点阵前n行的点数计算的探索过程中，通过观察算式特征和图形的特征，发现了规律，得到了公式，将繁琐的计算转化为简洁的一元二次方程，从而解决了问题。这个过程体现了利用已有的知识和熟悉的方法来解决不熟悉的问题，这也正是解决数学问题的最常用的方法.
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