(共18张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.2
一元一次方程的应用
第3课时
比例与和、差、倍、分问题
导入新课
父子两人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子年龄的8倍，请问两年前父子各几岁？请问再过几年父亲的年龄是儿子年龄的2倍？
讲授新课
比例问题
一
例1
三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为4:5:6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计120元，三个作业队按土地面积比各应负担多少元？
分析：各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于120元.由于共有土地4+5+6=15份，因而120元可由15份共同分担.
解：设每份土地排涝分担费用为x元，那么三个作业队应负担费用分别为4x元，5x元，6x元.
依据题意，得
4x+5x+6x=120.
解方程，得
x=8.
4x=32,5x=40,6x=48.
答：三个作业队各应负担32元、40元、48元.
例2
质量为45克的某种三色冰淇淋中,咖啡色、红色和白色配料的比为1:2:6,这种三色冰淇淋中,咖啡色、红色和白色配料分别是多少?
解：设咖啡色配料为x克，那么红色配料为2x克，白色配料为6x克.
依据题意，得
x+2x+6x=45.
解方程，得
x=5.
2x=10,6x=30.
答：咖啡色、红色和白色配料分别为5克、10克、30克.
比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为x,再根据各部分之和等于总体列出方程.
方法归纳
和、差、倍、分问题
二
例3：(1)学校图书馆原有图书a册，最近增加了20%,则增加了图书_____册，现在有图书______册;
(2)某煤矿去年比前年减产15%，已知去年产煤60万吨.设前年产煤x万吨，则可列方程_______________.
增长量=原有量×增长率；降低量=原有量×降低率；
现有量=原有量+增加量；现有量=原有量-降低量.
20%a
1.2a
x-15%x=60
例4:一只轮船载重量为300吨，容积为1000立方米.现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积7立方米,乙种货物每吨体积2立方米,问怎样安排货运，才能充分利用船的载重量与容积？
载重量（吨）
容积（立方米）
甲
乙
总计
300
1000
解：设甲种货物运载x吨，则乙种货物为(300-x)吨，甲种货物所占容积为7x立方米，乙种货物所占容积为2(300-x)立方米，总容积为1000立方米.
根据题意，得
7x+2(300-x)=1000.
解方程，得
x=80.
300-x=220.
答：甲种货物装运80吨，乙种货物装运220吨.
和、差、倍、分问题:常用两种不同的形式表示题中的同一个量，由这两个式子相等得到方程.我们可以通过列表格的方式呈现题目中给出的信息，找出等量关系，列出方程.
方法归纳
父子两人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子年龄的8倍，请问两年前父子各几岁？
两年前
今年
儿子
父亲
总计
40
解：两年前儿子为x岁.
依据题意，得
（8x+2）+（x+2）=40.
解方程，得：
x=4，
8x=32.
答：两年前父亲32岁，儿子4岁.
练一练
x
8x
x+2
8x+2
当堂练习
3.一根长16米的铁丝分成两段，做成一个长方形和一个正方形，已知长方形的长和宽之比为2：1，长方形的长比正方形的边长多3米，正方形的面积____平方米.
1.甲、乙二人按照2:5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，第一个月盈利3500元，那么甲得________，乙分别应得________.
2.一个两位数，个位数字和十位数字的和为7，如果把十位数字和各位数字对调，所得新数比原数大45，则原两位数是____.
1000元
2500元
16
1
4.我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、硫磺、木炭三种，原料按15：2：3的比例配制而成，现要配制这种火药150公斤，则这三种原料各需要多少公斤？
解：设需要硝酸钠15x公斤，硫磺2x公斤，木炭3x公斤.
依题意得：15x+2x+3x=150
解方程得：
x=7.5
15x=15×7.5=112.5
2x=2×7.5=15
3x=3×7.5=22.5
答：硝酸钠需要112.5公斤，硫磺需要15公斤，木炭需要
22.5公斤.
5.甲、乙、丙三队合修一条公路，计划出280人，如果甲队人数是乙队的一半，丙队人数是乙队的2倍，问三队各出多少人？
解：设乙队出x人，则甲队出
人，丙队出2x人，三队共出280人.
依题意
得
x+
+2x=280
解方程
得
x=80，
=40.2x=160.
答：甲队出80人，乙队出40人，丙队出160人.
6.甲、乙、丙三位同学向贫困地区的少年儿童捐赠图书,已知这三位同学捐赠图书册数的比是5:6:9.
(1)如果他们共捐书320册,那么这三位同学各捐书多少册?
(2)如果甲、丙两同学捐书的和是乙同学捐书册数的2倍还多12册,那么他们各捐书多少册?
甲
乙
丙
捐书数量（册）
5x
6x
9x
（1）
合计捐书320册
（2）
甲+丙=2×乙+12
解：设甲同学捐书5x本，乙同学捐书6x本，丙同学捐书9x本；
（1）依题意，得
5x+6x+9x=320.
解方程
得
x=16.
5x=80;6x=96;9x=144.
（2）依题意，得
5x+9x=2×6x+12.
解方程
得
x=6.
5x=30;6x=36;9x=54.
答：他们个捐了30本，36本，54本书.
课堂小结
一元一次方程的应用
比例问题
和、差、倍、分问题
步骤
增长量=原有量×增长率；降低量=原有量×降低率.
现有量=原有量+增加量；现有量=原有量-降低量.
采用间接设元法，通常设每一份为x.
1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4解方程；5.检验作答
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第3章
一次方程与方程组(共22张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.1
一元一次方程及其解法
第2课时
利用移项解一元一次方程
导入新课
问题引入
2.观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？
1.解方程：
怎样才能使它向
（a为常数）的形式转化呢？
讲授新课
用移项解一元一次方程
一
合作探究
请运用等式的性质解下列方程
(1)4x
－
15
=
9
解：两边都减去
5x
,得
－3x=－21．
系数化为1，得
x
=
6．
(2)
2x
=
5x
－21
解:两边都加上
15
,得
系数化为1，得
x
=
7．
合并同类项
,得
合并同类项
,得
4x
=
24．
2x
=
5x
–
21
4x
–
15
=
9
+
15
+
15
–5x
–5x
4x=
9+15．
2x
－5x
=
－21．
你能发现什么吗？
4x
－15
=
9
①
4x
=
9
+15
②
这个变形相当于把①中的
“–
15”这一项
由方程①
到方程
②
,
“–
15”这项移动后，发生了什么变化?
改变了符号
从方程的左边移到了方程的右边.
－15
4x－15
=
9
4x
=
9+15
2x
=
5x
－21
③
2x
－5x
=
－21
④
这个变形相当于把③中的
“
5x
”
这一项
由方程③
到方程
④
,
“
5x
”
这项移动后，发生了什么变化?
改变了符号
从方程的右边移到了方程的左边.
5x
2x
=
5x
－21
2x－5x=
－21
一般地,把方程中某一项改变符号
后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.
2x
=
5x
–
21
2x
–5x
=
–
21
4x
–15
=
9
4x
=
9
+15
移项目的
一般地，把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“x
=a”的形式.
注：移项要变号
移项定义
移项时需要移哪些项？为什么？
典例精析
解：移项，得
合并同类项
,得
两边都除以-2，得
移项实际上是利用等式的性质1，但是解题步骤更为简便！
例1
解方程
练一练
1.下列移项正确的是（
）
A．由2＋x＝8，得到x＝8＋2
B．由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝
－8
C．由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1
D．由5x－3＝0，得到5x＝－3
C
解：(1)移项，得
4x－2x=3－7.
方程两边同除以2，得
x=－2.
合并同类项，得
2x=－4.
(2)移项，得
x－x=－1.
方程两边同乘－4，得
x=4.
合并同类项，得
－
x=－1.
2.
例3
做一做
3
列方程解决问题
二
例4
某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200
t；如果用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100
t.新旧工艺的废水排量之比为2
：5，两种工艺的废水排量各是多少？
思考：①如何设未知数？
②你能找到等量关系吗？
旧工艺废水排量－200吨=新工艺排水量+100吨
解：若设新工艺的废水排量为
吨，则旧工艺的废水排量为
????吨；由题意得到的等量关系：
可列方程为：
2x
5x
移项，得
系数化为1，得
所以
合并同类项，得
答：新工艺的废水排量为
200
吨，则旧工艺的废水排量为?500?吨；
小明和小刚每天早晨坚持跑步，小明每秒跑4米，小刚每秒跑6米.若小明站在百米起点处，小刚站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小刚？
4x
10
6x
解：设小明x秒后追上小刚.
可得方程：4x＋10＝6x
移项，得
4x－6x＝－10
合并同类项，得
－2x＝－10
系数化为1,得
x＝5.
练一练
1.方程6x=3+5x的解是( )
A.x=2
B.x=3
C.x=-2
D.x=-3
2.方程
的解是(
)
A.x=1
B.x=-1
C.x=4
D.x=0
3.方程2x-4=0的解是________.
当堂练习
B
C
x=2
4.解下列一元一次方程：
x=-2
t=20
x=-4
x=2
6.若5a＋2与7－2a的和是15，求a的值.
7.已知x+6与2x－3的值是相反数，求x的值.
5.已知x=3是方程mx－5=3＋m的解，求m.
3m-5=3+m
2m=8
m=4
5a+2+7-2a=15
3a=6
a=2
x+6+2x-3=0
3x=-3
x=-1
8.把一批图书分给七年级某班的同学阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则缺25本，这个班有多少学生？
解：设这个班有x个学生，
根据题意得
3x＋20＝4x－25，
移项得
3x－4x＝－25－20，
合并同类项得
－x＝－45，
系数化成1得x＝45.
答：这个班有45人.
解下列方程
方程两边同时除以4，
得：
解：移项，得：
化简，得：
拓展提升
课堂小结
利用移项解一元一次方程
移项
利用移项解方程
移项的概念
移项法则
?移项
?系数化1
?合并同类项
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第3章
一次方程与方程组(共26张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.2
一元一次方程的应用
第1课时
等积变形和行程问题
导入新课
一支牙膏出口处直径为5mm,小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次。该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口直径改为6mm,小明还是按习惯每次挤出1cm长的牙膏，这样，这只牙膏能用多少次？
直径为5mm
直径为6mm
1cm长的牙膏
讲授新课
等积变形问题
一
例1：如图，用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm、300mm和90mm的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积
=
底面积
?
高线长.计算时?取3.14.要求结果误差不超过1mm）？
200
x
90
300
300
问题1：题目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？
想一想
已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、90mm）
未知：圆钢的高
设未知数：设应截取圆钢x毫米.
问题2：分析题意，你能找到什么等量关系？
等量关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积
问题3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？
根据等量关系列出方程，得：
解方程，得：
答：应截取258mm长的圆柱体钢.
等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变
归纳总结
列方程解应用题的一般步骤：
1:弄清题意和题中数量关系，用字母（如x,y)表示问题中的未知数；
2:分析题意，找出相等关系；
3:根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；
4:解这个方程，求出未知数的值；
5:检查所得值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.
设未知数
找等量关系
列出方程
解方程
检验作答
行程问题
二
例2：为了适应经济发展，铁路运输再次提速.如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？
分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：
路程=平均速度×时间；
解：设提速前客车平均每小时行驶xkm,那么提速后客车每小时行驶（x+40)km,客车行驶路程为1110km,平均速度为（x+40)km/h,所需时间是10h.
根据题意，得
10（x+40)=1110
解方程，得
x=71.
答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.
例3
甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．
(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？
解：(1)设快车开出x小时后两车相遇．
等量关系：
慢车行驶距离+快车行驶距离=甲乙两地的距离.
依题意，得：
90×1+90x+140x=480.
解方程，得：
(2)设相背而行y小时两车相距600千米．
等量关系：
慢车行驶距离+快车行驶距离+甲乙两地的距离=600km.
依题意，得：
90y+480+140y=600.
(2)两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距600千米？
解方程，得：
(3)设z小时后快车与慢车相距600千米，
等量关系：
快车行驶距离+甲乙两地的距离-慢车行驶距离=600km.
依题意，得：
140z+480-90z=600.
(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600千米？
解方程，得：
(4)设m小时后快车追上慢车，
等量关系：
慢车行驶距离+甲乙两地的距离=快车行驶距离.
依题意，得：
90m+480=140m.
答：略
(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
解方程，得：
行程问题中一般涉及“路程”“速度”“时间”这三个量，且路程＝速度×时间．
行程问题分同向而行和相向而行两种情况，找等量关系时可以画线段示意图帮助分析．
归纳总结
例4：汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时.已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？
分析：本题是行程问题，故有：
路程=平均速度×时间；
时间=路程÷平均速度.
但涉及水流速度，必须要掌握：
顺水速度=船速+水速；
逆水速度=船速－水速.
解：设甲、乙两地的距离为x
千米，
等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5
依题意，得
解方程，得
x=120
答：甲乙两地之间的距离为120千米.
想一想，这道题
是不是只有这一
种解法呢？
方法一
直接设元法
方法二
解
设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，
则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x－1.5)千米,
逆水航行的距离是(18－2)x千米.
等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离
(18
－2)
×7.5=120
答:甲、乙两地距离为120千米。
依题意，得：
(18+2)(x
－1.5)=
(18
－2)x
x=7.5
解方程，得：
间接设元法
问题1：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？
问题2：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？
分
析
小华
小明
同时同地同向而行
拓展训练：
经过几秒钟两人
第三次相遇？
变式训练：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时相遇？
分
析
小华
小明
同时同地
相背而行
当堂练习
1.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（
）
A.12.5千米/时
B.15千米/时
C.17.5千米/时
D.20千米/时
2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（
）
A.12cm
B.18cm
C.24cm
D.30cm
D
B
3．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？
[解析]
木桶内水面下降的圆柱体体积＝铁质小圆柱体体积．
解：设木桶内水面下降xcm.由题意得：
解方程得：
答：木桶内水面下降
4.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度.
解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流速度为(x+3)千米/时，逆流速度为(x-3)千米/时.
根据题意，得
2(x+3)=2.5(x-3)
解方程，得
x=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时.
课堂小结
用一元一次方程解决问题
步骤
应用
1.设未知数；
2.找等量关系；3.列方程；
4.解方程；
5.检验作答.
等积变形：变形前后的面（体)积相等
行程问题：
路程=时间×平均速度
直接设元
简接设元
问题的已
知条件
解决行程问题的基本步骤：
画出线
段图
找出等
量关系
列方程
并求解
作答
同向追及问题
同地不同时：
同时不同地：
甲路程＋路程差＝乙路程；
甲路程＝乙路程
相向相遇问题
甲的路程＋乙的路程=总路程
课堂小结
沪科版数学七年级上册
第3章
一次方程与方程组(共25张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.3
二元一次方程组及其解法
第1课时
二元一次方程与二元一次方程组
导入新课
累死我了！
你还累?这么大的个，才比我多驮了2个.
哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
真的?！
讲授新课
二元一次方程组的定义
一
情景1：设老牛驮了x个包裹
,
小马驮了y个包裹.你能根据它们的对话列出方程吗？
老牛的包裹数比小马的多2个;
老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍.
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
情景2：某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵.已知樟树树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元.问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
2元/棵
1元/棵
问题1：情景2中有几个未知数？列一元一次方程能解吗？
想一想
未知数：樟树苗的数量、杨树苗的数量
解：设樟树苗买了x棵，花了2x元；白杨树苗买了(45-x)棵，花了(45-x)·1元.买树苗一共花了60元.
依据题意，得
2x+(45-x)·1=60.
解方程
得
x=15，45-x=30
答：樟树苗买了15棵，杨树苗买了30棵.
问题2：如果设两个未知数x,y,你能列出几个独立的方程？
设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，根据两种树苗总数为45棵，得
x+y=45.
又根据购买树苗的总费用是60元，得
2x+y=60.
?
?
观察以上两个方程，它们与我们学过的一元一次方程有什么相同点和不同点？
上面所列方程各含有几个未知数?
含有未知数的项的次数是多少?
2个未知数
次数是1
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
x－y＝2
x＋y＝45
x＋1＝2(y－1)
2x＋y＝60
定义：
归纳总结
只含有1个未知(元)，未知数的次数为1；
比一比
x
+
y
=
45.
x
+
15
=
60
含有2个未知数(元)，未知数的次数为1；
一元一次方程
都是含未知数的等式方程
二元一次方程
练一练
判断下面哪些方程是二元一次方程.
不是，最高项次数为2；
不是，含有3个未知数
方程左边的式子不是整式
不是，是一元一次方程
是
注意：二元一次方程是整式方程；所含未知数有2个，所含未知数项的最高次数是“1”，这里要特别注意项的次数．
x+y=45.
2x+y=60.
?
?
思考：观察情景2中列出的两个二元一次方程，它们之间有什么联系？
树苗总数关系
购买树苗总费用关系
x,y必须同时满足这两个关系，就是说它必须同时满足??两个方程.
联立在一起的几个方程，称为方程组；
有两个一次方程组成的含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
注
意
1.二元一次方程是整式方程；所含未知数有2个，所含未知数项的最高次数是“1”，这里要特别注意项的次数．
2.二元一次方程组中，两个方程都是一次的，方程组中含有两个未知数.
请问下列方程组是二元一次方程组吗？
三个未知数
未知数出现在分母中
练一练
√
√
√
例1
已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，
则m＋n＝________．
典例精析
解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
0
紧扣相关概念
例2
下列方程组是二元一次方程组的是（
）
A.
B.
C.
D.
C
列二元一次方程组
二
解：设鸡有x只，兔有y只.根据头数、脚数可得二元一次方程组：
?
?
方法归纳：根据实际情境列二元一次方程组，一般要根据题目中的数量关系，选择两个未知数，将题中给出的数量关系表示成含有两个未知数的等式.
1.植树节这天有20位同学共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，请问男生、女生各有多少人？
解：设男生x人，女生y人
?
?
练习：设适当的未知数，列二元一次方程组.
根据题意可得方程组为：
2.如果甲数比乙数少3，甲数与乙数的和是15，求甲数与乙数.
解：设甲数为x，乙数为y.
?
?
根据题意可得方程组为：
1.下列哪些方程是二元一次方程？如不是，请说明为什么？
（1）
+2y=1；(2)x+
=
-7
；(3)8ab=5；
（4）2x2-x+1=0
；(5)2(x+y)-3(x-y)=1；（6）2x+5=10
x
3
1
y
当堂练习
答：（1）是；（2）不是，y出现在分母中；（3）不是，是二元二次方程；（4）x的最高次数是2，不是1；（5）是；（6）不是，是一元一次方程。
2.若
是关于x,y的二元一次方程，则m=
.
1
3.根据题意及题中给出的未知数，列二元一次方程组.
（1）设有x节车厢，y吨货物，若每节车厢装10吨，则还剩下12吨未装下，若每节车厢装12吨，则还剩下一节车厢.
（2）甲数与乙数之差为6，且甲数比乙数的
大10，设甲数为x,乙数为y.
（3）足球比赛中胜场积3分，平场积1分，负场积0分.中天队第12轮比赛战罢，输了3场，共积19分.设其胜了x场，平了y场.
课堂小结
二元一次方程组
二元一次方程
二元一次方程组
含有
未知数.
未知数最高次数为
.
方程两边都是
.
含有
未知数.
由两个
方程组成.
两个
1次
整式
一次
两个
沪科版数学七年级上册
第3章
一次方程与方程组(共18张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.5
三元一次方程组及其解法
导入新课
问题引入
三个小动物年龄之和为26岁
流氓兔比加菲猫大1岁
流氓兔年龄的2倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大18岁
求
三
个
小
动
物
的年
龄
讲授新课
三元一次方程（组）的概念
一
互动探究
问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：
流氓兔的年龄
加菲猫的年龄
米老鼠的年龄
每一个未知量都用一个字母表示
x岁
y岁
z岁
三个未知数（元）
等量关系：
（1）流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26
（2）流氓兔的年龄-1=加菲猫的年龄
（3）2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18
用方程表示等量关系.
x+y+z=26.
?
x-1=y.
?
2x+z=y+18.
?
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
x+y+z=26.
?
x-1=y.
?
2x+z=y+18.
?
二元一次方程
三元一次方程
含两个未知数
未知数的次数都是1
含三个未知数
未知数的次数都是1
因三个小动物的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
x+y+z=26.
?
x-1=y.
?
2x+z=y+18.
?
由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
下列方程组不是三元一次方程组的是
(
)
A.
B.
C.
D.
D
[注意]
组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
三元一次方程组的解法
二
（1）回顾解二元一次方程组的思路。
（2）如何解三元一次方程组？
二元一次方程组
一元一次方程
消元
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
（3）消元方法：
①
代入法（代入消元法）
②
加减法（加减消元法）
温故知新
典例精析
例1
解方程组
?
?
?
解：
先用加减消元法消去x
?+?×2,得
④
?-?，得
⑤
通过消元，将三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题
⑤
?
④
所以
归纳：通过消元，将一个较复杂的三元一次方程组化为简单易解的阶梯型方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程就称为用消元法解三元一次方程组.
⑥
⑦
⑦代入④中，得
将y、z的值代入?中，得x=3.
通过消元，将二元一次方程组的问题转化为一元一次方程组的问题
④-⑤，得
⑥
?
④
阶梯型方程组
回代
例2
解《九章算术》第八章第一题的方程组
?
?
?
解：
先用加减法消去z：
?-?,?×3-?,得
?
⑥
⑤
④×7+⑤,得
?
④
⑤
通过回代，解得：
若是先消去y,该如何做呢？
三元一次方程组的应用
三
例3
幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物
铁
钙
维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各位x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足婴儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)设食谱中A，B，C三种食物各x,y,z份，由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
?
?
?
(2)?-?×4,?-?,得
⑤
?
④
⑤+④,得
⑥
?
④
通过回代，得
z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B中食物1份，C种食物2份.
当堂练习
1.解方程组
解：
2．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
解：设甲为x，乙为y，丙为z，根据题意，组成以下方程组：
解这个方程组，得
答：甲为10，乙为9，丙为7.
课堂小结
三元一次方程组及其解法
概念
步骤
由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
通过代入或是加减进行消元，将三元转化为二元，使得三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.
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第3章
一次方程与方程组(共22张PPT)
第3章
一次方程与方程组
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3.2
一元一次方程的应用
第2课时
储蓄和销售问题
满200返160
5折酬宾
导入新课
讲授新课
储蓄问题
一
利息＝本金×年利率×年数
本息和＝本金＋利息
储蓄问题中涉及的数量关系：
例1
王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%.到期后得到本息共23000元，问当年王大伯存入银行多少钱？
解：设当年王大伯存入银行x元，年利率为5%，存期3年，所以3年的利息为3×5%x元.3年到期后本息共23000元.
根据题意，得
x+3×5%x=23000
解方程，得
x=20000
答：当年王大伯存入银行20000元.
合作探究
1.进价100元的商品提价40%后，标价为________元，若按标价的八折销售，则售价为________元，此商品的利润为________元，利润率是________.
2.某商品原价是a元，现在每件打九折销售，则此时的售价是
元.
3.一件商品打x折出售，就是用原价乘
.
140
112
12
0.9a
12％
填空：
销售问题
二
思考：以上问题中有哪些量?
成本价(进价)；
标价
(原价)；
销售价；
利润；盈利；亏损；
利润率.
这些量有何
关系?
折扣率.
进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价）.
售价：在销售商品时的售出价（有时称成交价，卖出价）.
标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）.
利润：在销售商品的过程中的纯收入，利润＝售价–进价.
利润率：利润占进价的百分率，即：
利润率＝利润÷进价×100%.
概念学习
进价＋提价=标价
售价－进价（成本）=利润
理一理：打折促销活动中各个量与量之间有怎样的等量关系？
积累经验
进价×利润率=利润
标价×折扣率=售价
打折或减价
标价
售价
进价
提价
利润、利润率
(1)某商品的进价为80元，在进价的基础上提高20%后
标价，则标价为
元.
(2)标价为500元的商品打9折后的售价为
元.
(3)某商品每件的销售利润是72元，进价是120元，则售
价是
元.
(4)某商品利润率为13%,进价为50元,则利润是
元.
(80＋80×20%)
（500×0.9）
（50×13%）
（120＋72）
96
450
6.5
192
做一做
总结归纳
=
商品售价—商品进价
●售价、进价、利润的关系式：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
●标价、折扣数、商品售价关系
:
商品售价＝
标价×
折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
打
折
销
售
A.
盈利
B.
亏损
C.
不盈不亏
你估计盈亏情况是怎样的？
例2
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%
，另一件亏损25%
，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
￥60
￥60
思考：销售的盈亏决定于什么？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系
售价120
＞
总成本
售价120
＜
总成本
售价120
＝
总成本
盈
利
亏
损
不盈不亏
(2)设亏损25%的衣服进价是
y元，
依题意得
y－0.25y＝60
解得
y＝80
(1)设盈利25%的衣服进价是
x
元，
依题意得
x＋0.25
x＝60
解得
x＝48
解：
两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128(元)
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
与你猜想的一致吗？
例3：一商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价的9折出售，这样商品每卖出一个这种书包可盈利8.50元.问这种书包每个进价多少？
解：设每个书包进价为x元，那么这种书包的标价为(1+30%)x元，对它打9折得实际售价为
元.
根据题意，得
解方程，得
x=50.
答：这种书包每个进价为50元.
例4
一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,
此时售价为60元.
请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
解：设这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x
元，
促销后的售价是(1＋25%)x×0.8
元，
依题意得(1＋25%)x×0.8＝60
解得
x＝60
售价60=成本60
答：这家商店不盈不亏.
2.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%,
则该商品的标价为
元.
3.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2015年涨价30%后，2017降价70%至a元，则这种药品在2015年涨价前价格为
元.
2722.5
当堂练习
1.某人存入银行2000元，定期一年，到期后得到利息和本金共2070元．若设该种储蓄的年利率为x。
列出方程：
年利率为：
2000(1＋x)＝2070
3.5%
4.李明以两种方式储蓄了5000元，一种方式储蓄的年利率为5%，另一种是4%，一年后得利息235元，问两种储蓄各存了多少元钱？
解:设年利率为5%
的储蓄了x元，则另一种年利率为4%的储蓄了(5000-x)元.
根据题意，得
x·5%×1+(5000-x)·4%×1=235.
解方程得
x=3500.
故：
5000-x=5000-3500=1500(元).
答：年利率为5%的储蓄了3500元，年利率为4%的储蓄了1500元.
5.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？
解:设商店最多可以打x折出售此商品,
根据题意，得
1500×x/10=1000×(1+5%)
解得
x=7
答:商店最多可以打7折出售此商品.
6.据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%~100%标价，假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什么范围内还价？
高于进价50%标价
高于进价100%标价
进价
x元
y元
标价
(1＋50%)x
(1＋100%)y
方程
(1＋50%)x＝600
(1＋100%)y＝600
方程的解
x＝400
y＝300
盈利价
400(1＋20%)＝480
300(1＋20%)＝360
答：应在480元~360元内还价.
课堂小结
一元一次方程的应用
等量关系
应用
利息=本金×利率×年数；
本息和=本金+利息.
利润=实际售价-进价（成本）
利润率=利润÷进价×100%.
银行储蓄问题
销售盈亏问题
列一元一次方程
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第3章
一次方程与方程组(共31张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.1
一元一次方程及其解法
第1课时
一元一次方程和等式的基本性质
老师的年龄乘以3再减去17刚好为73,那现在你能知道老师的年龄吗？你是怎么猜？
小游戏：猜老师的年龄
导入新课
讲授新课
一元一次方程的概念与一元一次方程的解
一
合作探究
小敏，我能猜出你年龄.
小敏
不信
你的年龄乘2减5得数是多少？
你今年13岁
21
她怎么知道我的年龄是13岁的呢？
如果设小敏的年龄为x岁，那么“乘2再减5”就是
，因此可以得到方程：
.
2x－5
2x－5=21
情景1：
情景2：小颖种了一棵树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约15厘米，大约几周后树苗长高到1米？
40cm
100cm
x周后
如果设x周后树苗长高到1m，那么可以得到方程：
.
40+15x=100
情景3：某长方形操场的面积是5850
m2，长和宽之差为25
m，这个操场的长与宽分别是多少米？
如果设这个操场的宽为
x
m，那么长为
(x＋25)
m，由此可以得到方程：
.
x(x＋25)＝5850
x
m
(x+25)
m
议一议
(1)在上面得到的方程中有没有你熟悉的方程？它们是哪几个？
(2)方程2x－5＝21，40＋5x＝100有什么共同特点？
(3)满足什么条件的方程是一元一次方程？
(4)想一想：方程
和x(x＋25)＝5850是一元一次方程吗？
一元一次方程的定义
在一个方程中，只________________，______________都是1，且等式两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
含有一个未知数
未知数的指数
概念学习
做一做
判断下列各式是不是一元一次方程.
①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1；
⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦
；⑧πx＝12.
①含有一个未知数；
②未知数的指数是1；
③方程中的代数式都是整式.
判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件：
√
√
√
√
典例精析
例1 若关于x的方程2xm－3＋4＝7是一元一次方程，求m的值.
解：根据一元一次方程的定义可知
m－3
=1，
所以
m
=4.
1.
是一元一次方程,则k=_____
2.
是一元一次方程,则k=______
3.
是一元一次方程,k=_____
4.
是一元一次方程,则k
=_____
2
1或-1
-1
-2
只含有一个未知数，未知数的系数不等于0
变式训练
在“猜年龄”游戏中，当被告知计算的结果是21时，我们所列的方程为2x－5＝21，从而求出年龄是13.由于13能使方程的两边相等，我们就把13叫做方程2x－5＝21的解.
方程的解的定义
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．
概念学习
例2
检验x＝1是不是下列方程的解．
(1)x2－2x＝－1；
(2)x＋2＝2x＋1.
[解析]
根据方程的解的概念，把x＝1代入方程中，看两边是否相等．
解：(1)把x＝1代入方程，左边＝12－2×1＝－1，右边＝－1，左边＝右边，所以x＝1是方程x2－2x＝－1的解．
(2)同(1)一样的方法可得x＝1是方程的解．
要判断一个数是否是某个方程的解，根据“方程的解”的定义，只要用这个数代替方程中的未知数，看方程左右两边的值是否相等，如果“左边＝右边”，那么这个数就是方程的解，反之，这个数就不是方程的解．
方法总结
练一练
1.下列方程中，解为x＝－2的是( )
A.3x－2＝2x
B．4x－1＝2x＋3
C.3x＋1＝2x－1
D．5x－3＝6x－2
C
2.若x＝4是关于x的方程ax＝8的解，则a的值为______.
2
等式的性质
1.对比天平与等式，你有什么发现？
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡.
等号
合作探究
2.观察天平有什么特性？
天平两边同时加入相同质量的砝码
天平仍然平衡
天平两边同时拿去相同质量的砝码
天平仍然平衡
等式性质1:
天平
两边同时
天平仍然平衡
加入
拿去
相同质量的砝码
两边同时
相同的
等式
加上
减去
数(或式子)
等式仍然成立
换言之，
等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式
即
如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c.
等式的两边乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.
等式性质2：
若a=b,则ac=______
bc
若a=b(c≠0),则
c
c
等式性质3：
如果a=b,那么b=a.(对称性）
等式性质4：
如果a=b,b=c,那么a=c.(传递性）
在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用于它相等的量代替，简称等量代换.
例如：x=3,又y=x,所以y=3.
典例精析
(2)
怎样从等式
3+x=1
得到等式
x=-2?
(3)
怎样从等式
4x=12
得到等式
x=3?
(4)
怎样从等式
得到等式
a=b?
依据等式的性质1两边同时减3.
依据等式的性质2两边同时除以4或同乘
.
依据等式的性质2两边同时除以
或同乘100.
例3
(1)
怎样从等式
x-5=
y-5
得到等式
x
=
y
?
依据等式的性质1两边同时加5.
利用等式的性质解方程
四
例4
解方程：2x-1=19.
解：两边都加上1，得
2x=19+1,
即
2x=20.
等式的性质1
两边都除以2，得
x=10.
等式的性质2
思考：x=10是原方程的解吗?
左边=2×10-1=19.
右边=19.
即
左边=右边
所以x=10是原方程的解.
小结：解一元一次方程要“化归”为“
x=a
”的形式.
一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等.
将
x
=
10代入方程2x-1=19的两边，得
当堂练习
1.下列各式中，是一元一次方程的有______(填序号).
(1)
＋8＝3；(2)
18－x；(3)
1＝2x＋2；
(4)
5x2＝20；(5)
x＋y＝8；(6)
3x＋5＝3x＋2.
2.x＝2________方程4x－1＝3的解．(填“是”或“不是”)
(1)(3)
不是
3.若方程(a＋6)x2＋3x－8＝7是关于x的一元一次方程，则a＝________.
－6
4.若关于x的方程(k－2)x|k－1|+4=0是一元一次方程，则k＝____.
0
5.小刚准备用自己节省的零花钱购买一台MP4来学习英语，他已存有50元，并计划从本月起每月节省30元，直到他有260元．设x个月后小刚有260元，则可列出计算月数的方程为( )
A.30x＋50＝260
B．30x－50＝260
C.x－50＝260
D．x＋50＝260
A
6.
利用等式的性质解下列方程：
(1)
x
+
7
=
26
(2)
-5x
=
20
解：
（1）两边都减去7，得
x=26-7
即
x=19.
检验：将x=19分别代入方程两边
左边=19+7=26=右边
所以x=19是原方程的解.
（2）两边都除以-5，得
x=20÷(-5)
即
x=-4.
检验：将x=-4分别代入方程两边
左边=-5×(-4)=20=右边
所以x=-4是原方程的解.
解：两边都加上5，得
即
两边都乘以-3，得
即
x=-27.
（检验略）
古代故事：
隔墙听得客分银，
不知人数不知银.
七两分之多四两，
九两分之少半斤.
（注：在古代1斤是16两，半斤就是8两）
古诗文意思：
有几个客人在房间内分银子，每人分七两，最后多四两，每人分九两，最后还差八两，问有几个人？有几两银子？
拓展提升
古诗文意思：
有几个客人在房间内分银子，每人分七两，最后多四两，每人分九两，最后还差八两，问有几个人？有几两银子？
解：设有x个客人在房间内分银子，依题意可列方程：
7x+4=9x－8.
课堂小结
一元一次方程
等式的基本性质
概念
应用
只含有一个未知数（元），未知数次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解也可叫做方程的根.求方程解的过程叫做解方程.
1.若a=b,则a+c=b+c,a-c=b-c;
2.若a=b,则ac=bc,
;
3.若a=b,则b=a;(对称性）
4.若a=b,b=c,则a=c.(传递性）
一元一次方程的概念
用等式的基本性质变形
解一元一次方程
根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量变换.
沪科版数学七年级上册
第3章
一次方程与方程组(共57张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
小结与复习
一、方程的有关概念
1.方程：含有未知数的等式叫做方程．
2.一元一次方程的概念：只含有____个未知数，未知数的次数都是____，等式两边都是______，这样的方程叫做一元一次方程．
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．
4.解方程：求方程解的过程叫做解方程．
一
1
整式
要点总结
二、二（三）元一次方程组的有关概念
1.二元一次方程的概念：含有______未知数的_____方程，叫做二元一次方程.
2.二元一次方程组的概念：由两个______方程组成的含有______未知数的方程组叫做二元一次方程组.
3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
两个
一次
一次
两个
4.三元一次方程组的概念：由三个_____方程组成的含有_______未知数的方程组叫做三元一次方程组.
一次
三个
(1)等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．如果a＝b，那么a±____＝b±c.
(2)等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a＝b，那么ac＝___或____＝____(c≠0)．
(3)如果a=b，那么b=a.（对称性）
(4)如果a=b，b=c，那么a=c.（传递性）
三、等式的性质
bc
c
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘．
(2)去括号：注意括号前的系数与符号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号．
(4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以x的系数，得x＝m的形式
四、一元一次方程的解法
五、二元一次方程组的解法
（1）代入法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）加减法：把方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法.
六、三元一次方程组的解法
消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组.
1.列方程(组)的应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数.
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程（组）．
验：检验方程的解是否符合题意．
答：写出答案(包括单位)．
[注意]
审题是基础，找等量关系是关键.
七、用一次方程与方程组解决实际问题
2.常见的几种方程类型及等量关系：
(1)行程问题中基本量之间的关系：
①
路程＝速度×时间；
②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
③追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；
④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
（2）等积变形问题中基本量之间的关系：
①
原料面积=成品面积；
②
原料体积=成品体积.
（3）储蓄问题中基本量之间的关系：
①
本金×利率×年数=利息；
②
本金+利息=本息和.
（4）销售问题中基本量之间的关系：
①
实际售价-进价（成本）=利润；
②
利润÷进价×100%=利润率；
③
进价×（1+利润率）=售价；标价×折扣数÷10=进价.
（5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系：
①
增长率=原有量×增长率；现有量=原有量+增长量.
②
降低量=原有量×降低率；现有量=原有量-降低量.
（6）百分率问题中基本量之间的关系：
①
浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量；
②
增长率问题：原量×（1+增长率）=增长后的量；
原量×（1-减少率）=减少后的量.
C
考点一
方程（组）的有关概念
【解析】将x＝2代入方程得1＋a＝－1，得a＝－2.
考点演练
针对训练
1.若(m＋3)x|m|－2＋2＝1是关于x的一元一次方程，则
m的值为________．
3
为什么m的值不能为－3？
例2.若(a-3)x+y|a|-2＝9是关于x,y的二元一次方程，则
a的值为______．
【解析】由题意，未知数x的系数为a-3,所以a-3≠0.
由未知数y的次数为|a|-2,所以|a|-2=1,即a=±3.但a≠3.所以a=-3.
-3
针对训练
2.若xm-yn+2=3是二元一次方程，则
mn的值为________．
-1
考点二
等式的基本性质
【解析】选项A的变形是在等式左边减去x，等式右边减去(x＋2)是错误的；B的变形是在方程两边都除以x，是错误的；C在依据规则将系数化为1中出错；D正确．
D
针对训练
B
注意：a可能为0
考点三
一元一次方程的解法
【解析】对于第(1)题，将方程的两边同乘以12，约去分母，然后求解；对于第(2)题，先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易．
例4
解下列方程
针对训练
考点四
二（三）元一次方程组的解法
例5
解下列方程组
?
②
解：由?得，x=3+2y.
③
将③代入②中，3(3+2y)-8y=13
解得y=-2.
将y=-2代入③中，得
x=-1.
所以原方程组的解为
解：原方程组可化简为
由?×2+②，得11x=22,
解得x=2.
将x=2代入?中，得8-y=5，解得y=3.
所以原方程组的解为
?
②
解：设
解得
所以
即
解得
则原方程组可化为
方程组中有分数形式，这
类方程组可以利用设参数
的方法进行消元.
?
②
③
解：?+③×4，得17x+5y=85.④
③×3-②,得7x-y=35.⑤
解由④⑤组成的方程组，得x=5,y=0.
把x=5,y=0代入③中，得15-z=18，即
z=-3.
所以，原方程组的解为
针对训练
解：(1)将②代入?中，得1+y+2y=10,解得y=3.
将y=3代入②中，得
所以，原方程的解为
5.解下列方程组
?
②
解：(2)设
则x=2k,y=3k,z=4k.
将其代入方程②中，得2k+3k+4k=45.即k=5.
所以，原方程组的解为
?
②
考点四
实际问题与一次方程（组）
例6.一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为7
km/h，水流速度为2
km/h，往返一次共用28
h，求甲、乙两码头之间的距离．
相等关系：顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共用时间．
一
行程问题
解：设甲、乙两码头之间的距离是x
km，
依题意得
解得
x=90
答：甲、乙两码头之间的距离是90km
方法总结：
（1）顺水航行所用时间+逆水航行所用时间=总时间.
（2）顺流速度=船在静水中的速度+水流速度.
逆流速度=船在静水中的速度-水流速度.
针对训练
6.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟，则他家到学校的路程是多少千米？
解：设他家到学校的路程是x千米，
依题意得
解得
x=15
答：他家到学校的路程是15
千米.
二
等积变形问题
例7.
用直径90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个底面积为125×125mm2，内高81mm的长方体铁盒倒满水时，玻璃杯中的水的高度下降了多少mm?(结果保留整数）
相等关系：玻璃杯中倒出水的体积=长方体铁盒的体积．
解：设玻璃杯中的水的高度下降了x
mm.
依题意得
解得
x≈199.
答：玻璃杯中的水的高度下降了199mm.
针对训练
7.
已知一圆柱形容器底面直径为0.5m,高为1.5m,里面盛有1m深的水，将底面直径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少？
相等关系：圆柱内升高部分的体积=圆形铁块的体积．
解：设容器内的水面将升高x
m.
依题意得
解得
x=0.18.
答：容器内的水面将升高0.18m.
例8.
某农户把手头一笔钱买了年利率为2.89%的3年期国库券.如果他想3年后得到2万元，现应买这种国库券多少？
三
储蓄问题
解：设现应购买这种国库券x元.
相等关系：本息和=本金+利息=本金+本金×利率×年数．
依题意得
x+
2.89%×3x=20000.
解得
x=18404
.
答：现应买这种国库券18404元.
针对训练
8.
小红的父亲在停征利息税后存入了一种年利率为2.43%的两年储蓄，到期后，所得利息正好给小红买了一个价格为121.5元的计算器，那么小红的父亲存入了多少元钱？
解：设小红的父亲存入了x元钱.
相等关系：利息=本金×年利率×年数．
依题意得
2.43%×2x=121.5
.
解得
x=2500
.
答：小红的父亲存入了2500元.
例9.
某种商品零售价每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的9折降价并让利40元，仍可获利10%，则这种商品的进货每件多少元？
四
销售问题
解：设这种商品进货每件为x元.
相等关系：标价×折扣÷10-40=进价×(1+10%)
依题意得
(1+10%)x=900×9÷10-40
.
解得
x=700
.
答：这种商品进货每件为700元.
方法归纳：
（1）售价=标价×折扣÷10.
（2）售价=进价+利润=进价×（1+利润率）.
针对训练
9.
一件衣服按标价的6折出售，店主可赚22元.已知这件衣服的进价是50元，问标价是多少元？
解：设这件衣服的标价为x元.
相等关系：标价×折扣÷10=进价+利润.
依题意得
.
解得
x=120
.
答：这件衣服的标价为120元.
五
比例问题
例10.
三个正整数的比为1:2:4，它们的和是84，那么这三个数分别是多少？
解：设这三个数分别为x,2x,4x.
相等关系：三数之和=84.
依题意得
x+2x+4x=84
.
解得
x=12
.
所以，x=12,2x=24,4x=48.
答：这三个数分别为12,24和48.
方法归纳：
比例问题一般采用间接设元法，通常设每一份为x.
比例问题中等量关系为：各部分之和=总量.
针对训练
10.A、B、C三个公司合作一项工程，计划派出91名技术人员，按公司的投入比例3:4:6，则A、B、C三个公司分别派出的技术人员的人数各是多少？
解：设A、B、C三个公司分别派出的技术人员为3x人、4x人、6x人.
依题意得
3x+4x+6x=91
.
解得
x=7
.
所以，3x=21,4x=28,6x=42.
答：A、B、C三个公司分别派出的技术人员为21人、28人、42人.
六
和、差、倍、分问题
例11.
旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1升，求油箱里原有汽油多少升？
相等关系：两次所用汽油之和=剩余汽油-1.
两次所用汽油之和+剩余汽油=原有汽油.
解：设油箱中原有的汽油x升.
依题意得
[25%x+(1-25%)x×40%]×2-1=x
.
解得
x=10.
答：油箱中原有汽油10升.
针对训练
11.把一个减法算式里的被减数，减数与差相加，得数是592，已知减数比差的2倍还大2，问减数是多少？
解：设差为x,则减数为2x+2.
相等关系：被减数=减数+差.被减数+减数+差=592.
依题意得
(x+2x+2)×2=592
.
解得
x=98.
所以减数2x+2=198
答：减数为198.
七
百分率问题
例12.
已知现有含盐20%与含盐8%的盐水，若需配置含盐15%的盐水300千克，求这两种盐水各需多少千克？
相等关系：含盐20%的盐水质量+含盐8%
的盐水质量=300.
两种盐水中的含盐量之和=300×15%.
解：配置300千克含盐15%的盐水，需含盐20%的盐水x千克，需含盐8%的盐水y千克.
依题意得
解方程组得
答：需含盐20%的盐水175千克，需含盐8%的盐水125千克.
针对训练
12.某学校去年有学生1000人，今年比去年总的人数增加3.4%，其中寄宿生增加了6%，走读生减少了20%，问该校去年寄宿生与走读生各是多少人？
解：设该校去年寄宿生x人，走读生y人.
依题意得
解方程组得
答：该校去年寄宿生900人，走读生100人.
八
配套问题
例13.
用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制成盒身25个，或制盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
相等关系：制作盒身的铁皮+制作盒底的铁皮=36.
盒底的数量=2×盒身的数量.
解：设用x张制盒身，y张制盒底，可使盒身与盒底正号配套.
依题意得
解方程组得
答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正号配套.
针对训练
13.某工地需要派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应该怎样安排人员，正好能使挖的土及时运走？
解：设用x人挖土，y人运土，正好使挖的土及时运走.
依题意得
解方程组得
答：设用18人挖土，30人运土，正好使挖的土及时运走.
一次方程与方程组
概念与性质
应用
一元一次方程
等式的性质
二元一次方程
二元一次方程组
方程的解
性质1
性质2
性质3
性质4
解方程
方程(组)的解
一元一次方程
一元一次方程
实际问题
方程(组)
消元
代入法
加减法
本节小结
沪科版数学七年级上册
第3章
一次方程与方程组(共22张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.4
二元一次方程组的应用
第1课时
简单实际问题和行程问题
导入新课
问题引入
小刚买了3kg苹果，2kg
梨，共花了18.8元
小玲买了2kg苹果，3kg
梨，共花了18.2元
你能算出苹果和梨各自的单价吗？
讲授新课
列方程组解决简单实际问题
一
互动探究
问题1
题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量：苹果的单价，梨的单价；
问题2
题中有哪些等量关系？
（1）3千克苹果和2千克梨共18.8元;
（2）2千克苹果和3千克梨共18.2元;
设未知数：设苹果的单价为x元/千克，
梨的单价为y元/千克.
解：设苹果的单价为x元/千克，梨的单价为y元/千克，
根据小刚和小玲卖水果花费的费用，列方程组：
3x
2y
2x
3y
4
3.4
所以，苹果的单价为4元/千克，梨的单价为3.4元/千克.
典例精析
例1
某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，试问该队胜几场，平几场？
分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11；
胜场得分+平场得分=27.
胜场
平场
合计
场数
得分
x
3x
y
y
11
27
解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得
8
y
3x
y
3
答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.
x
通过上述两题，总结
用二元一次方程组解
决实际问题的步骤
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
归纳总结
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
小试身手
某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”
乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”
请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？
分析
本问题涉及的等量关系有：
总车费=0~3km的车费(起步价)+超过3km的车费.
解
设出租车的起步价是x元，超过3km后每
千米收费y元.
根据等量关系，得
解这个方程组，得
答：这种出租车的起步价是5元，
超过3km后每千米收费1.5元.
起步价
超过3km后的费用
合计费用
甲
乙
x
x
（11-3）y
（23-3）y
17
35
列方程解决行程问题
二
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.
假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
互动探究
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.
平路：60
m/min
下坡路：80
m/min
上坡路：40
m/min
走平路的时间+走下坡的时间=
_________，
走上坡的时间+走平路的时间=
_________．
路程=平均速度×时间
10
15
方法一（直接设元法）
平路时间
坡路时间
总时间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长x
m，下坡长y
m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为700米.
方法二（简接设元法）
平路
距离
坡路距离
上学
放学
解：设小华上坡路所花时间为xmin,下坡路所花时间为ymin.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为700米.
故
平路距离：60×（10-5）=300（米）
坡路距离：80×5=400（米）
例2
甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
典例精析
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
（1）
同时出发，同向而行
甲出发点
乙出发点
4km
甲追上乙
乙2h行程
甲2h行程
甲2h行程=4km+乙2h行程
（2）
同时出发，相向而行
甲出发点
乙出发点
4km
相遇地
甲0.5h行程
乙0.5h行程
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系，得
解方程组，得
答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
当堂练习
1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨，根据题意列出方程组得
2x+3y=15.5
2x+3y=15.5
（以下部分由同学们完成）
2.计划若干节车皮装运一批货物。如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问多少节车皮？多少吨货物？
解：设x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得
y=15.5x+4
y=16.5x-8
（以下部分由同学们完成）
3.
甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，则乙走34小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用12小时可追上甲，求两人的速度及A，B两地间的距离．
[解析]
设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，那么有右侧线段示意图．
解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时
（以下部分由同学们完成）
课堂小结
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
行程问题
路程=平均速度×时间
审题：弄清题意和题目中的
设元：用_______表示题目中的未知数
列方程组：根据___个等量关系列出方程组
解方程组
检验作答
数量关系
字母
2
代入法；
加减法；
沪科版数学七年级上册
第3章
一次方程与方程组(共19张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.4
二元一次方程组的应用
第2课时
百分率和配套问题
导入新课
问题引入
生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？
讲授新课
列方程组解决百分率问题
一
自主学习
（1）浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量；
百分率问题中常用的等量关系：
（2）增长率问题：原量×（1+增长率）=增长后的量；
原量×（1-减少率）=减少后的量；
浓度问题
例1：
玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%.根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2吨原料中，石英砂和长石粉各多少吨？
石英砂/t
长石粉/t
重量/t
需要量
含二氧化硅
x
99%x
y
67%y
3.2
70%×3.2
浓度=溶质质量÷溶液质量；溶质质量=溶液质量×浓度.
小技巧：列表可以帮我们理清数量关系.
解：设需石英砂x
t,长石粉y
t.
根据题意可列出方程组：
解方程组，得
答：在3.2t原料中，需石英砂0.3
t,长石粉2.9t.
增长率问题
例2.
甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％.求甲、乙两种商品原来的单价.
增长率问题：原量×（1+增长率）=增长后的量；
原量×（1-减少率）=减少后的量；
甲/元
乙/元
合计/元
原单价
现单价
x
y
100
(1-10%)x
(1+40%)y
100×(1+20%)
解：设甲商品原单价为x
元,乙商品原单价为y
元.
根据题意可列出方程组：
解方程组，得
答：甲商品原单价为40元,乙商品原单价为60元.
列方程组解决配套问题
二
例3.
某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，该种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金/万元
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排终止才能使所有人都有工资，且资金正好够用？
作物品种
种植面积/hm2
需要人数
投入资金/万元
蔬菜
x
5x
1.5x
荞麦
y
4y
y
合计
18
5
将题中出现的量在表格中呈现
解：设蔬菜种植x
hm2,荞麦种植y
hm2
根据题意可列出方程组：
解方程组，得：
故，承包田地的面积为：
x+y=4
hm2
人员安排为为：
5x=5×2=10(人）；4y=4×2=8(人）
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都有工作且资金正好够用.
例4
某车间有22名工人，每人每天可以生产1
200个螺钉或2
000个螺母.
1个螺钉需要配
2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
分析：
将题中出现的量在表格中呈现
产品类型
所需人数
生产总量
螺钉
x
螺母
y
螺母总产量是螺钉的2倍
人数和为22人
1200x
2000y
解：设生产螺钉的x人，生产螺母的y人.
依题意，可列方程组：
解方程组，得
答：设生产螺钉的10人，生产螺母的12人.
解决配套问题要弄清：
（1）每套产品中各部分的比例；
（2）生产各部分的工人数之和=工人总数.
当堂练习
1.某食品厂要配制含蛋白质15％的100kg食品，现在有含蛋白质分别为20％，12％的两种配料.
用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？
解：设需含蛋白质为20%、12%的配料分别为xkg、ykg，
根据题意列出方程组得
（以下部分由同学们完成）
2.某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打8折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少？
解：设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元，
根据题意列出方程组得
（以下部分由同学们完成）
3.
一个工厂共42名工人，每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片。已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶。你认为如何安排工人的生产，才能使每天生产的铁片正好配套?
解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人，
根据题意列出方程组得
（以下部分由同学们完成）
4.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每天平均运土300m3，正好能使挖出的土及时运走，问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？
解：设挖掘机x台，装卸机y台，
根据题意列出方程组得
（以下部分由同学们完成）
5.
一套仪器由一个A部件和三个B部件构成.
用1立方米钢材可做40个A部件或240个B部件.现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
解：设x立方米钢材制作A部件，y立方米钢材制作B部件，
根据题意列出方程组得
（以下部分由同学们完成）
课堂小结
二元一次方程组的应用
百分率问题
配套问题
浓度=溶质质量÷溶液质量
原量×（1+增长率）=增长后的量；
原量×（1-减少率）=降低后的量.
每套产品中各部分的比例
生产各部分的工人数之和=工人总数
步骤
1.审题；2.设元；3.列方程组；
4.解方程组；5.检验作答.
沪科版数学七年级上册
第3章
一次方程与方程组(共20张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.1
一元一次方程及其解法
第3课时
去括号解一元一次方程
导入新课
解方程：6x－7=4x－1
移
项
合并同类项
系数化为1
6x－4x=－1＋7
x=3
2x=6
需要哪几步？
问题：若方程是4(x+0.5)+x=20－3，该怎样移项呢？
讲授新课
利用去括号解一元一次方程
一
合作探究
4(x+0.5)+x=20－3
怎么解这个带有括号方程？
解：去括号，得
移项，得
4x+x=17－2
4x+2+x=17
合并同类项，得
5x=15
方程两边同除以5，得x=1
移
项
合并同类项
系数化为1
去括号
通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号一元一次方程的一般步骤吗？
典例精析
例1 解方程：－2(x－1)＝4.
解：去括号，得－2x＋2＝4.
移项，得－2x＝4－2.
化简，得－2x＝2.
方程两边同除以－2，得x＝－1.
你能想出不同的解法吗？
解法二：
－2
(x－1)
＝4.
方程两边同除以－2，得x－1＝－2.
移项，得x＝－2＋1.
即x＝－1.
看做整体可解出它，进而解出x
讨论：比较上面两种解法，说说它们的区别.
典例精析
例2
解下列方程：
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边同时除以-1，得
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边同时除以-6，得
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边同时除以-2，得
例3
B
做一做
8
解:m=6
例4
去括号解方程的应用
二
分析：等量关系：这艘船往返的路程相等，即
顺流速度___顺流时间___逆流速度___逆流时间
×
＝
×
例5.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2
h；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5
h．已知水流的速度是3
km/h，求船在静水中的速度？
解：设船在静水中的平均速度为x
km/h，则顺流
的速度为(x＋3)
km/h，逆流速度为(x－3)
km/h.
去括号，得
移项及合并同类项，得
系数化为1，得
答：船在静水中的平均速度为
27
km/h.
可列方程，
一架飞机在两城之间航行，风速为24
km/h，顺风
飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城距离．
解：设飞机在无风时的速度为x
km/h，则在顺风中的速度为(x＋24)
km/h
，在逆风中的速度为(x－24)
km/h.
根据题意，得
解得
答：两城市之间的距离为2
448
km.
做一做
当堂练习
C
x=－7
(1)
6x
＝－2(3x－5)
＋10;
(2)
－2(x＋5)=3(x－5)－6
3.解下列方程
解:
(1)
6x＝－2(3x－5)＋10
6x＝－6x＋10＋10
6x
+6x＝10＋10
12x＝20
(2)
－2(x＋5)=3(x－5)－6
－2x－10=3x－15－6
－2x－3x=－15－6＋10
－5x＝－11
4.某羽毛球协会组织一些会员到现场观看某场比赛.已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元.请问该协会购买了这两种门票各多少张？
解：设每张300元的门票买了x张，则每张400元的
门票买了（8－x）张，
由题意得：300x＋400×（8－x）＝2700，
解得
x＝5，
∴买400元每张的门票张数为8－5＝3（张）.
答：每张300元的门票买了5张，每张400元的门票
买了3张.
课堂小结
利用去括号解一元一次方程
去括号注意事项
解含有括号的一元一次方程步骤
?移项
④系数化1
?合并同类项
?去括号
沪科版数学七年级上册
第3章
一次方程与方程组(共23张PPT)
第3章
一次方程与方程组
沪科版数学七年级上册
3.3
二元一次方程组及其解法
第2课时
用代入法解二元一次方程组
导入新课
问题1：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分.这个队胜、负场数应分别是多少?
设他们胜场次数为x,负场数为y.根据题意得
昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元
每张成人票
5
元，每张儿童票
3
元，
设他们中有x个成人,y个儿童.根据题意得：
问题2：他们到底去了几个成人，几个儿童呢?
讲授新课
二元一次方程（组）的解
一
合作探究
有哪些值满足方程x+y=22且符合问题的实际意义？
x
0
1
2
…
18
…
22
y
x+y
22
21
20
…
4
…
0
22
22
22
…
22
…
22
若不考虑实际意义你还能再找出几个方程的解吗？
一般地，一个二元一次方程有无数个解.如果对未知数的取值附加某些限制条件，则可能有有限个解.
使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解
通常记作：
······
x+y=22
x=2
y=20
x
0
1
2
…
18
…
22
y
x+y
22
21
20
…
4
…
0
22
22
22
…
22
…
22
x
0
1
2
…
18
…
22
2x
y
2x+y
0
2
4
…
36
…
44
40
40
40
…
40
…
40
40
36
32
…
4
…
/
不难发现x=18,y=4既是
x+y=22的解，也是2x+y=40
的解，也就是说它是这两个方程的公共解，我们把它们叫做方程组
的解.
x+y=22
?
2x+y=40
?
记作：
x=18
y=4
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
怎么求x、y的值呢？
昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.
每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢?
还记得下面这一问题吗?
设他们中有x个成人，y个儿童.
用代入法解二元一次方程组
5x+3(8-x)=34
x+y=8，
5x+3y=34
解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：
解得：x=5.
将x=5代入
8－x=8－5=3.
答：去了5个成人，
3个儿童.
用一元一次方程求解
解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得：
用二元一次方程组求解
观察:二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？
y=8-x
用二元一次方程组求解
由①得：y
=
8－x.
③
将③代入②得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x
=
5.
把x
=
5代入③得：y
=
3.
所以原方程组的解为：
x+y=8①
5x+3y=34②
x+y=8
5x+3y=34
5x+3(8-x)=34
第一个方程x+y=8
说明y=8-x
将第二个方程5x+3y=34的y换成8-x
解得x=5
代入y=8-x
得y=3
y=
3
x=5
思考:从
到
达到了什么目的?怎样达到的?
x+y=8
5x+3y=34
5x+3(8-x)=34
二元一次方程组
一元一次方程
消
元
转
化
消除其中一个未知数，将二元一次方程组转化成解一元一次方程的想法，叫做消元思想.
归纳总结
从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解.这种方法称为代入消元法，简称代入法.
典例精析
将y=1代入②
，得
x=4.
经检验，
x=4，y=1适合原方程组.
所以原方程组的解是
x=5，
y=2.
解：将②代入①，得
3(y+3)+2y=14
3y
+9+2y
=14
5y=5
y=1.
例1：解方程组
3x+2y=14
①
x=y+3
②
检验可以口算或在草稿纸上验算，以后可以不必写出.
将y=13代入③
，得
x=-23.
所以原方程组的解是
解：由②，得
x=3-2y
③
将③代入①，得
2（3
-
2y）+3y=-7
-y=-13
y=13
例2：解方程组
2x+3y=-7
①
x+2y=3
②
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
1.将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
变
代
2.用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
求
3.把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；
写
4.写出方程组的解.
由①直接代入②
下列各方程组中，应怎样代入消元？
由①得y=7x
–11
③
将③代入②
x=4y-1
①
3x
+y=10
②
7x-y=11
①
5x
+2y=0
②
小技巧：
用代入法时，往往对方程组中系数为1的未知数所在的方程进行变形代入.
练一练
例3：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到35分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：设胜的场数是x，负的场数是y,可列方程组
由①得
y=20-x
.
③
将③代入②,得
2x+20-x=35
.
解得
x=15.
将
x=15代入③得y=5.则这个方程组的解是
①
②
1.二元一次方程组
的解是（
）
A．
B．
C．
D.
D
当堂练习
y=2x
x+y=12
(1)
(2)
2x=y-5
4x+3y=65
解：
(1)
x=4
y=8
(2)
2.解下列方程组.
x=5
y=15
3.根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g），两种产品的销售数量（按瓶计算）的比为2:5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装x瓶大瓶、y瓶小瓶。
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
答：这些消毒液应分装20000瓶大瓶，50000瓶小瓶.
小技巧：当相同未知数的系数成倍数关系时，我们常用整体代入法会使解法更加快捷简便！
解二元一次方程组
基本思路“消元”
课堂小结
代入法解二元一次方程组的一般步骤
变：用含一个未知数的式子表示另一个未知数
代：用这个式子替代另一个方程中相应未知数
求：求出两个未知数的值
写：写出方程组的解
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第3章
一次方程与方程组(共20张PPT)
第3章
一次方程与方程组
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3.1
一元一次方程及其解法
第4课时
去分母解一元一次方程
导入新课
情境引入
你是如何知道毕达哥拉斯的学生有多少名的？
讲授新课
解含分母的一元一次方程
合作探究
2.去分母时要注意什么问题?
想一想
1.若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应该同乘以什么数?
解方程：
系数化为1
去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
移项
合并同类项
去括号
注意:(1)同乘各分母的最小公倍数10；
(2)小心漏乘,记得添括号
典例精析
×30
×30
×30
做一做
D
4(2x－1)=3(x+2)－12
去分母时，方程两边同时乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号．
注意事项
2(2x－1)=8－(3－x)
方程怎么解？
可利用去括号解方程
你有不同的解法吗？
例2
解法二：
去分母，得4(x＋14)＝7(x＋20).
方程两边同除以－3，得x＝－28.
移项、合并同类项，得－3x＝84.
去括号，得4x＋56＝7x＋140.
把分数化成整数计算更简单！
思考
两种解法有什么不同？你认为哪种解法比较好？
议一议
解法2中如何把方程中的分母化去的？依据是什么？
？
×28
要点归纳
方程的左、右两边同时乘各分母的最小公倍数可去掉分母.
依据是等式的性质2.
例3
练一练
解下列方程：
解：去分母(方程两边乘4)，得
2(x+1)
－4=8+
(2
－x)
去括号，得
2x+2
－4=8+2
－x
移项，得
2x+x
=8+2
－2+4
合并同类项，得
3x
=
12
系数化为1，得
x
=
12
解：去分母(方程两边乘6)，得
18x+3(x－1)
=18－2
(2x
－1)
去括号，得
18x+3x－3
=18－4x
+2
移项，得
18x+3x+4x
=18
+2+3
合并同类项，得
25x
=
23
系数化为1，得
下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？
解方程：
解：去分母，得
4x－1－3x+6=1
移项，合并同类项，得
x=4
去括号符号错误
约去分母3后，(2x－1)×2在去括号时出错.
观察与思考
方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数6
1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的
；
2.去分母的依据是
，去分母时不能漏乘
；
3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.
最小公倍数
等式性质2
没有分母的项
要点归纳
例4
当堂练习
C
D
3.解下列方程:
答案：
4.
课堂小结
变形名称
具体的做法
去分母
乘所有的分母的最小公倍数.
依据是等式性质二
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号.
依据是去括号法则和乘法分配律
移项
把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一
合并同类项
将未知数的系数相加，常数项相加.
依据是乘法分配律
系数化为1
在方程的两边除以未知数的系数.
依据是等式性质二.
解一元一次方程的一般步骤:
沪科版数学七年级上册
第3章
一次方程与方程组
