(共27张PPT)
第4章
几何图形
沪科版数学七年级上册
4.3
线段的长短比较
导入新课
情境引入
有一根长木棒，如何从它上面截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长？
还有其他方法吗？
比较两条线段的长短
一
议一议
下图中哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？与同伴进行交流.
讲授新课
思考：怎样比较两条线段的长短?
(1)
度量法
(2)
叠合法
将其中一条线段“移动”，使其一端点与另一线段的一端点重合，两线段的另一端点均在同一射线上.
用刻度尺量出它们的长度，再进行比较.
A
B
C
D
a
b
C
D
(A)
B
＜
叠合法结论：
B
A
C
(B)
(A)
D
A
B
C
D
B
(A)
B
A
1.若点A与点C重合,点B落在C、D之间,那么AB___CD.
2.若点A与点C重合,点B与点D_____,那么AB=CD.
3.若点A与点C重合,点B落在CD的延长线上,那么AB
___
CD.
重合
>
合作探究
a
b
A
B
C
已知：点C在线段AB的延长线上，如果AB=a,
线段BC=b.那么AC与AB,BC之间有何关系?
AC=AB+BC=a+b
线段AC为线段AB与线段BC的和.记作
线段的和差及线段的中点
二
b
a
A
C
B
已知：点C在线段AB上，如果AB=a,
线段BC=b.那么AC与AB,BC之间有何关系?
线段AC为线段AB与线段BC的差.
记作
AC=AB-CB=a-b
如图，点A、点B、点C、点D四点在同
一直线上，那么：
C
B
A
D
AB+BC
=
＿＿
AC
AD－CD
=＿＿
AC
BC=
－AB
AC
CD
=
BD－
；
填一填
说一说
如何找到一条绳子的中点呢？
问题：描述一下线段中点的概念呢？(对照图形)
点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点.
因为M是线段AB的中点
所以AM=
MB
=
AB
（或AB=2AM=2MB）
1
2
中点定义
数学语言：
例1 已知：线段AB=4，延长AB至点C，使AC=11.点D是AB的中点，点E是AC的中点.求DE的长.
解：如图，因为AB＝4
，D为AB的中点，
所以AD=2.
又因为AC=11，点E为AC的中点，
所以AE=5.5.
故DE=AE-AD=5.5-2=3.5.
E
C
B
D
A
变式 如图，在直线上有A，B，C三点，AB＝4
cm，BC＝3
cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度.
解：因为AB＝4
cm，BC＝3
cm，
所以AC＝AB＋
BC＝7
cm.
因为点O是线段AC的中点，
所以OC＝
AC＝3.5
cm.
所以OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm).
(1)逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分关系展开．若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解．
计算线段长度的一般方法：
(2)整体转化：巧妙转化是解题关键．首先将线段转化为两条线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段．
归纳总结
例2
如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2cm，求：
（1）AD的长；
（2）AB∶BE.
解：（1）设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x，
由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝9x.
由E为AD的中点，得ED＝
AD＝
x.
由线段的和差，得CE＝DE－CD＝
x－4x＝
＝2.
解得x＝4.
∴AD＝9x＝36（cm）.
（2）AB∶BE.
解：AB＝2x＝8cm，BC＝3x＝12cm.
由线段的和差，
得BE＝BC－CE＝12－2＝10（cm）.
∴
AB∶BE＝8∶10＝4∶5.
方法总结：在遇到线段之间比的问题时，往往设出未知数，列方程解答.
变式：如果线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，D是AC的中点，那么A、D两点间的距离是（ ）
A.5
B.2.5
C.5或2.5
D.5或1
【解析】本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图：
∴AC＝AB－BC=6－4＝2，
∵D是AC的中点，
∴AD＝1；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
∴AC＝AB＋BC=6＋4＝10，
∵D是AC的中点，
∴AD＝5.故选D.
方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解.
两点之间线段最短
三
合作探究
?
?
A
B
如图,从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你在图上画出最短路线.
发现：两点之间的所有连线中，线段最短
我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.
上述发现可以总结为：
两点之间，线段最短
归纳总结
典例精析
[解析]
在MN上任选一点P，它到A，B的距离即线段PA与PB的长，结合两点之间线段最短可求．
例3
如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
解：连接AB，交MN于点P，则这个货站应建在点P处.
P
P
(1)两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身．
(2)在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短”．
归纳总结
当堂练习
1.如图，由AB＝CD可得AC与BD的大小关系正确的是( )
A.AC＞BD
B．AC＜BD
C.AC＝BD
D．不能确定
2.已知M是线段AB的中点，①AB＝2AM；②BM＝1/2AB；③AM＝BM；④AM＋BM＝AB.上面四个式子中，正确的有( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
D
4.如图，M、N把线段AB三等分，C为NB的中点，且CN＝5
cm，则AB＝________cm.
30
3.已知线段AB＝6
cm，在直线AB上画线段AC＝
2
cm，则BC的长是___________.
4cm或8cm
先画出图形，有两种情况
5.若AB
=
6cm,点C是线段AB的中点，点D是线段CB
的中点,
求：线段AD的长是多少?
A
C
B
D
解：∵C是线段AB的中点
∵D是线段CB的中点
6.如图，从A地到B地有三条路①，②，③可走(图中“┍，“┙”，“┕”表示直角)，则第________条路最短，另外两条路的长短关系是________．
③
相等
课堂小结
比较线段的长短
两点之间线段最短
比较线段大小的方法
线段的和、差及中点
度量法
叠合法
沪科版数学七年级上册
第4章
几何图形(共28张PPT)
第4章
几何图形
沪科版数学七年级上册
4.4
角
导入新课
你能不能从图中找到角？
讲授新课
角的概念及表示方法
一
合作探究
(1)你能指出所画角的边和顶点吗？
(2)角的两边是前面学过的什么图形，它们的位置关系如何？
(3)你能描述一下怎样的几何图形叫做角吗？
A
B
O
D
C
E
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
两条射线是这个角的两条边.
两条射线的公共端点是这个角的顶点
概念归纳
下列图形是角吗？
（1）
（2）
（3）
都不是．
说一说
(1)表示角的几何符号是什么？
(2)表示一个角有几种方法？
(3)用三个大写字母表示一个角应注意什么？
(4)什么情况下可以用角的顶点表示这个角？
(5)用希腊字母和阿拉伯数字表示一个角应注意什么？
合作探究
1
A
O
B
记作：∠AOB或∠BOA．
A
O
B
记作：∠O．
α
记作：∠α．
1
记作：∠1．
说一说
方法
图示
记法
适用范围
1.用三个大写字母表示
∠AOB
或∠BOA
任何角
2.用一个大写字母表示
∠O
顶点处只有一个角
3.用一个数字或希腊字母来表示
有弧线和数字
弧线和小写希腊字母
O
A
B
O
1
角的表示方法总结
∠BAD，∠BAE，∠BAC，∠DAE，∠DAC，∠EAC
∠B，∠C
典例精析
[解析]
(2)数出以A为顶点的角，可先按逆时针的方向数出以AB为一边的角，再数出以AD为一边的角，最后数出以AE为一边的角．
例1
根据下图填空：
(1)图中能用顶点的一个
大写字母表示的角有__________；
(2)以A为顶点的角有
____________________________________________．
做一做
如图，下面的表示方法对不对，如果错了，应该怎样改正？
(1)图中的∠1表示成∠A；
(2)图中的∠2表示成∠D；
(3)图中的∠3表示成∠C.
解：(1)图中的∠1表示成∠DAC；
(2)图中的∠2表示成∠ADC；
(3)图中的∠3表示成∠ECF.
角的另一种定义
如图，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.
O
始边
终边
例如，裁纸刀在开合过程中形成了大小不同的角.
角的单位与计算
二
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角；
1平角＝180°，1周角＝360°
终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角.
平角与周角的概念
做一做
下列关于平角、周角的说法正确的是( )
A．平角是一条直线
B．周角是一条射线
C．反向延长射线OA，就形成一个平角
D．两个锐角的和不一定小于平角
C
度，分，秒
1°的60分之一为1分，记作“1′”，即1°＝60′
1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″
量角器
想一想：怎么知道一个角的大小？
角的度量工具：
角的度量单位：
度
分
秒
×60
×60
×3600
÷60
÷3600
÷60
度分秒进率关系图
例2
计算：
（1）用度、分、秒表示30.26°；
（2）42°18′15″等于多少度？
解：
（1）因为0.26°=60′×0.26=15.6′.
所以30.26°=30°15′36″.
0.6′=60″×0.6=36″.
（2）因为15″=
′×15=0.25′,
18.25′=
°×18.25≈0.304°.
所以42°18′15″=42.304°.
按1°＝60′，1′＝60″先把度化成分，再把分化成秒
(小数化整数)
按1″＝(1/60)′，1′＝(1/60)°先把秒化成分，再把分化成度(整数化小数)
计算：
(1)1.45°等于多少分？等于多少秒？
(2)把45°25′48″化成度．
解：(1)1.45°=1.45×60'=87'，
1.45°=87'=87×60''=5220''
(2)45°25′48″=45°+25′+48×(1/60)'=45°+25.8'
=45°+25.8×(1/60)°=45.43°
练一练
例3
计算下列各题：
(1)153°39′＋25°40′38″； (2)90°－37°24′38″；
解：(1)153°39′＋25°40′38″
＝178°79′38″＝179°19′38″.
(2)90°－37°24′38″
＝89°59′60″－37°24′38″＝52°35′22″.
(3)25°53′28″×5;
(4)15°20′÷6.
解：(3)25°53′28″×5
＝25°×5＋53′×5＋28″×5
＝125°＋265′＋140″＝129°27′20″.
(4)15°20′÷6
＝12°200′÷6＝12°÷6＋200′÷6
＝2°＋198′÷6＋2′÷6
＝2°＋33′＋120″÷6
＝2°33′20″.
在进行度、分、秒的加、减、乘、除运算时，要注意三点：①度、分、秒均是60进制的；②加、减法的运算，可以本着“度与度加减、分与分加减、秒与秒加减，不够减的时候借位”的原则；③乘、除法运算可以按分配律来进行，不够除可以把余数化为低位的再除．
【归纳总结】
把一个圆周角17等分，每份是多少？（精确到1′）
解：360°
÷17=21°+3°÷17
=21°+180′÷17
≈21°11′.
做一做
例4
小红早晨8：30出发，中午12：30到家，则小红出发时时针和分针的夹角为 ，到家时时针和分针的夹角为 .
75°
165°
拓展提升
解析：与12点整相比，8：30时，时针转过了（8＋
）×30°＝255°，分针转过了30×6°＝180°，所以夹角为255°－180°＝75°.
同理12：30时，时针和分针的夹角为165°.
确定相应钟表上时针与分针所成的角度
开动脑筋
30°
120°
90°
0°
当堂练习
1．下面四个选项中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是( )
2．把18°15′36″化为用度表示，下列正确的是( )
A．18.15°
B．18.16°
C．18.26°
D．18.36°
B
C
4.120°＝______直角，
平角＝______度．
60
3．钟表在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是( )
A．70°
B．75°
C．85°
D．90°
B
5.比较大小：74.45°________74°45′
<
6.（1）用度、分、秒表示48.26°；
（2）计算：37°24′-25°28′36″.
解：（1）48.26°＝48°＋0.26×60′
＝48°15′＋0.6×60″
＝48°15′36″；
（2）37°24′-25°28′36″
＝36°83′60″-25°28′36″
＝11°55′24″.
课堂小结
角
角的概念
角的度量与计算
角的表示方法
静态定义
动态定义
沪科版数学七年级上册
第4章
几何图形(共37张PPT)
第4章
几何图形
沪科版数学七年级上册
4.1
几何图形
导入新课
从城市建筑到乡村住宅,从立交桥到交通标志,从剪纸艺术到城市雕塑,从申奥标志到动物形态……图形世界是多姿多彩的!
物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容．
讲授新课
立体图形
一
合作探究
生活中你会常见很多实物，由下列实物能想
象出你熟悉的几何图形吗？
(1)文具盒
(2)魔方
(3)笔筒
(4)足球
(5)漏斗
长方体
正方体
圆柱
球
圆锥
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体.
正方体
长方体
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
球体
常见的几何体
练一练
如图，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出下面立体图形相类似的实物.
下图是机器狗的模型，你能看到哪些立体图形？
·
找一找
几何图形的构成元素
二
问题1
这些几何体是由什么围成的的吗?它们有什么不同吗?
合作探究
它们都有表面，包围着体的是面.
黑板面
平静的湖面
篮球
曲面
水桶
曲面
平面
平面
观察下列图形，你看到了哪些面？
面有平的面和曲的面两种
下列几何体的面哪些是平的？哪些是曲的？
立方体
长方体
圆柱体
圆锥体
球体
六个平面
六个平面
两个平面
一个曲面
一个平面
一个曲面
一个曲面
长方体、正方体等，围成它们的面都是平面的一部分，这样的几何体都是多面体.
从整体上看，它的形状是________；看不同的侧面，得到的是________或________；看棱得到的是______；看顶点得到的是______.
.
长方体
正方形
长方形
线段
点
问题2
观察这个纸盒,从中可以看出哪些你熟悉的图形?
几何图形都是由点、线、面、体组成的.
面与面相交形成线；
线与线相交得到点；
观察发现
认识点、线、面、体
1.图形是由点、线、面构成的.
2.点：地图上的城市，几何体上的顶点；
线：地图上的公路、铁路、几何体上的棱；
面：水面，黑板面，球的表面，水桶的侧面；
体：各种各样生活中的物体.
知识概要
1.正方体是由_____个面围成的,
它们都是_____；
3.正方体有___个顶点，
经过每个顶点有___条棱,
共_____条棱.
六
平面
八
三
十二
2.每两个面之间相交成一条____线；
直
2.圆柱的侧面和底面相交成___条线，它们是___.
1.圆柱是由____个面围成的，
其中上下两个面是_____，
侧面是_____；
三
平面
曲面
两
圆
面有___面和___面；
线有___线和___线.
平
曲
直
曲
结论1
结论2
面与面相交得到___，
线与线相交得到___.
线
点
归纳总结
【例】填空
1)六棱柱是由________个面围成的，这些面都是平的.
2)圆柱是由________个面围成的，其中两个面是________，一个面是________.
3)圆柱的侧面和底面相交成________条线，它们是______(填“直线”或“曲线”)，形状是________.
8
3
平的
曲的
2
曲线
圆
观察下面这些图片，你发现了什么？
想一想
点动成线
线动成面
面动成体
归纳总结
想象下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到哪些立体图形？
做一做
像正方体、圆柱体、圆锥等，它们上面的各点不都在同一个平面内，这样的图形叫做立体图形.
像三角形、长方形、五边形等，它们上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫做平面图形.
要点归纳：常见立体图形的归类
立体图形
柱体
锥体
球体
圆柱
棱柱
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
……
圆锥
棱锥
三棱锥
四棱锥
五棱锥
六棱锥
……
多面体
旋转体
立体图形
平面图形
请给下列图形分类：
做一做
正方体
球
六棱柱
圆锥
长方体
四棱锥
当堂练习
1.图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来.
2.一个长方体如图所示：
长方体
⑴它有 个面， 条棱， 个顶点；
⑵从它的表面上，你观察到哪些平面图形？
6
12
8
点、线段、角、长方形
3.一个六棱柱如图所示：
⑴它有 个顶点，经过每个顶点的有
条棱.它共有 条棱，每条棱由 个面相交而成.
（2）它有 个侧面， 个底面，它们都是 .
12
3
18
2
6
2
平面
4.将图中的几何体分类，并说明理由.
?
②
③
④
⑤
解：按柱体、锥体、球体分：
?②③是柱体；④是球体；⑤是锥体.
按组成几何体的面是平面还是曲面分：
?②是多面体；③④⑤是旋转体.
课堂小结
几何图形
概念
几何图形是由点、线、面、体组成的.
分类
平面图形
立体图形
图形上的各点都在同一个平面上
图形上的各点不都在同一个平面上
沪科版数学七年级上册
第4章
几何图形(共27张PPT)
第4章
几何图形
沪科版数学七年级上册
4.2
线段、射线、直线
猜猜看
风筝跑了（打一个数学名词）
线段(断)
导入新课
导入新课
思考：绷紧的琴弦，手电筒射出的光线，向两方无限延伸的笔直的铁轨等，它们可以分别抽象出哪些简单的平面图形呢？
讲授新课
线段、射线、直线的概念及表示方法
一
长方体的棱和数学课本封面长方形的边是什么图形？
线段
线段有两个端点
合作探究
怎样由一条线段得到一条射线和直线呢？
由一条线段得到一条射线：
由一条线段得到一条直线：
将线段的一端固定不动，另一端无限延长，便得到一条射线.
将线段的两端都无限延长，便得到一条直线.
C
B
表示1:
线段
CB(或线段BC)
b
表示2：线段
b
表示：射线
OB
E
F
表示1：直线
EF(或直线FE)
表示2：直线a
a
思考：怎么表示线段、射线、直线呢？
(
端点的字母
O
写在首位
)
(点E、F不能取在线尽头
)
(字母
b
放在线段中央)
(字母a标在线的一旁)
P
O
记作：射线PO
（
）
a
b
记作：直线ab
（
）
1
2
3
4
×
×
A
B
记作：直线AB
（
）
√
A
B
记作：线段BA
（
）
√
请用两种方式分别表示图中的两条直线.
B
A
O
m
n
.
5
6
如图,直线
AB和直线AC表示的是同一条直线吗？
A
B
C
.
射线OB和射线BO是同一条射线吗?
为什么?
(
要求:画图说明)
O
B
射线OB
O
B
射线BO
O
B
怎样表示图中以O为端点的射线?
A
O
B
C
8
7
归纳总结
线段AB
或线段a
不能延伸
两个
能
射线OA
一方延伸
一个
否
直线AB
或直线m
两方延伸
没有
否
线段、射线、直线表示方法及比较
例1
如图所示，下列说法正确的是( )
A．直线AB和直线CD是不同的直线
B．射线AB和射线BA是同一条射线
C．线段AB和线段BA是同一条线段
D．直线AD＝AB＋BC＋CD
典例精析
[解析]
在直线上任意两个大写字母都可以表示这条直线，所以A错；表示射线时，第一个字母表示射线的端点．端点字母不同，射线必然不同，所以B错；直线无长短，所以D错．
C
练一练
1．下列图形中表示射线AB的是( )
2．下列关于直线的表示方法正确的是( )
B
C
例2 如图，已知平面上三点A、B、C.
(1)画线段AB；
(2)画直线BC；
(3)画射线CA；
解：(1)、(2)、(3)题解答如图所示.
(4)直线AB与直线BC有一个公共点，如图所示．
(4)直线AB与直线BC有几个公共点？
图中直线AB，射线CD，线段MN能够相交的是( )
练一练
D
两点确定一条直线
二
(1)
过一点
O
可以画几条直线？
(2)
过两点A、B可以画几条直线？
·O
·A
·Ｂ
结论：经过两点有且只有一条直线.
合作探究
(3)如果你想将一根细木条固定在墙上,至少需要几个钉子?这样做的依据是什么吗？
举一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例.
说一说
1.植树时，只要定出两个树坑的位置就能确定同一行的树坑所在的直线.
2.射击的时候瞄准目标
活动1：图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；
以A为端点的线段有AB，AC，AD，AE，共4条，以B为端点且与前面不重复的线段有BC，BD，BE，共3条，以C为端点且与前面不重复的线段有CD，CE，共2条，以D为端点且与前面不重复的线段有DE，共1条，从而共有4＋3＋2＋1＝10(条)线段．
议一议
1.当直线a上有1个点时，可得到
条射线，
条线段；
·
A
B
O
a
·
·
·
C
2.当直线a上有2个点时，可得到
条射线，
条线段；
3.当直线a上有3个点时，可得到
条射线，
条线段；
4.当直线a上有4个点时，可得到
条射线，
条线段；
活动2：当直线a上有n个点时，可得到
条射线，
条线段.
2
0
4
1
6
3
8
6
2n
n(n-1)
2
5.当直线a上有5个点时，可得到
条射线，
条线段；
10
6.当直线a上有6个点时，可得到
条射线，
条线段；
10
12
15
指出下图中线段、射线、直线分别有多少条？并把线段表示出来.
解：线段有3条，分别为线段AB、线段AC、线段BC.
射线有6条．
直线有1条.
自己尝试把6条射线画出来
练一练
2.下列现象：①农民伯伯拉绳插秧；②解放军叔叔打靶瞄准；③学生早操队列对齐；④在墙上至少要用两根钉子才能把木条固定；⑤改直弯曲的河道，缩短航程．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有__________．(填序号)
当堂练习
1．下列说法中，错误的是( )
A．经过一点的直线可以有无数条
B．经过两点的直线只有一条
C．一条直线只能用一个字母表示
D．线段EF与线段FE是同一条线段
C
①②③④
3.两条直线相交，最多有1个交点.三条直线相交，最多有3个交点.四条直线相交，最多有多少个交点？n条直线相交呢？
n(n-1)
2
结论：n条直线相交最多有
个交点.
课堂小结
线段、射线、直线的联系与区别
两点确定一条直线
线段、射线、直线
沪科版数学七年级上册
第4章
几何图形(共32张PPT)
第4章
几何图形
沪科版数学七年级上册
4.5
角的比较与补(余）角
导入新课
成功永远属于肯攀高峰的人
!
选择从哪一面上山会感觉到舒缓呢？
讲授新课
比较角的大小
一
合作探究
类比线段长短的比较方法，你认为该如何比较两个角的大小？
角的大小比较：度量法、叠合法
叠合法结论
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
1.若射线O'C与射线OB重合，那么∠DO'C___∠AOB.
2.若射线O'C在∠AOB外部，那∠DO'C___∠AOB.
3.若射线O'C在∠AOB内部，那么∠DO'C___∠AOB.
=
>
<
O'
C
D
1.角的大小与两边画出部分的长短是否相关？
2.一个30°的角用能放大3倍的放大镜观看，看到的角度有何变化？
议一议
结论:角的两边张开越大，角就越大，与所画边的长短无关.
典例精析
例1
如图，求解下列问题：
(1)试比较∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小；
(2)将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的式．
解：（1）由图可看出：∠AOC>∠BOC，（OB在∠AOC内）；∠BOD>∠COD.（OC在∠B内）
（2）∠AOC=∠AOB+∠BOC；
∠AOC=∠AOD-∠DOC.
O
A
B
C
D
例2
根据下图，回答下列问题：
(1)试比较∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC的大小，并找出其中的锐角、直角、钝角、平角；
(2)在图中找出角的三个等量关系．
[解析]
∠AOB是平角，∠AOC是钝角，∠AOD是直角，∠AOE是锐角，于是就可找到这几个角的大小关系．
解：(1)由图可知，∠AOB是平角，∠AOC是钝角，∠AOD是直角，∠AOE是锐角，
所以∠AOB>∠AOC>∠AOD>∠AOE.
(2)等量关系：
∠COE＝∠EOD＋∠COD，
∠AOB＝2∠AOD＝∠AOE＋∠BOE，∠DOB＝∠COD＋∠BOC等．
做一做
如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD与
∠BOC的关系是( )
A.∠AOD＞∠BOC
B.∠AOD＜∠BOC
C.∠AOD＝∠BOC
D.无法确定
C
如图，借助三角尺画15°、75°的角.用一副三角尺，你还能画哪些度数的角？试一试！
D
O
C
∠ABC=75°
∠DOC=15°
A
B
C
45°
30°
E
∠AEC=135°
趣味三角板
A
B
C
A
C
O
∠ABC=105°
∠AOC=120°
∠EFG=150°
E
G
F
角平分线
二
活动：大家在练习本上画一个角，然后把角的两边对折，展开以后你会发现折痕把角分成了两个角，这两个角有什么关系呢，它们又和原来的角有着怎样的等量关系？
观察思考
从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
角平分线的定义
因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOC
＝∠BOC
=
∠AOB
或∠AOB
＝2∠BOC
＝2∠AOC
几何语言
O
B
A
C
例3
如图，点O为直线AB上一点，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数．
[解析]
首先应确定∠MON的转化问题：
∠MON＝∠MOC＋∠CON，再结合角平分线的定义，易得到∠MOC＋∠CON＝
∠AOB.
在有关角的计算中，几何图形与等式的性质同时使用，问题会迎刃而解．
解：因为点A，O，B在一条直线上，
所以∠AOB＝180°.
因为∠AOC＋∠BOC＝∠AOB，
所以∠AOC＋∠BOC＝180°.
又因为OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠MOC＝
∠AOC，∠CON＝
∠BOC.
所以∠MOC＋∠CON＝
(∠AOC＋∠BOC)＝
×180°＝90°.
又因为∠MON＝∠MOC＋∠CON，
∴∠MON＝90°.
做一做
如图，∠AOB＝90°，OE，OC分别是∠AOD，∠DOB的平分线，则∠EOC＝________°.
45
余角和补角
三
2
1
如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角(简称互余).
如图，可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.
定义
图中给出的各角，那些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
试一试
3
4
如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角(简称互补).
如图，可以说∠3是∠4的余角或∠4是∠3的补角.
定义
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
试一试
思考：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？
1
2
同角(等角)的补角相等
结论：
3
∠2=180°－∠1
∠3=180°－∠1
同角(等角)的余角相等
类似可得：
∠α
∠α的余角
∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
x°(x<90)
90°
x°
180°
x°
结论：
同一个锐角的补角比它的余角大_____.
填一填
90°
例3
如图，∠1＝∠3，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，那么∠2与∠4有什么关系？
解：因为∠1与∠2互补，所以∠2=180°-∠1.
因为∠3与∠4互补，所以∠4=180°-∠3.
又因为∠1＝∠3，所以∠2=∠4.
1
4
3
2
例4
如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠AOB＝40°，求∠COD的度数．
解：因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°，
所以∠AOB，∠COD都是∠BOC的余角，
所以∠AOB＝∠COD.
因为∠AOB＝40°，所以∠COD＝40°.
例5
一个角的补角比它的余角的2倍多12°，求这个角的度数.
解：设这个角的度数为x°.
所以它的补角为（180-x)°，
它的余角为（90-x）°，
依题意，得
180-x=2(90-x)+12.
解方程，得
x=12.
答：这个角的度数为12°.
如图，将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处.若∠EFC＝119°，则∠BFC′为（ ）A.58°
B.45°
C.60°
D.42°
解析：∵将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，∠EFC＝119°，∴∠EFC′＝∠EFC＝119°，∠EFB＝180°－∠EFC＝61°，∴∠BFC′＝∠EFC′－∠EFB＝119°－61°＝58°.
A
拓展提升
1.如图，∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，则∠AOC＝________°.
25
当堂练习
2.如图，∠1=∠3，那么（
）.
A.∠1=∠2
B.
∠2=∠3
C.∠AOC=∠BOD
D.
∠1=
C
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD等于( )
A．30°
B．35°
C．20°
D．40°
B
4.
若一个角的补角等于它的余角的4
倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°),余角是(90°－x°)
.
根据题意，得
180°－x°=
4
(90°－x°)
解得
x=60
答：这个角的度数是60
°.
课堂小结
角的比较
角的比较
角平分线
互余与互补
度量法
叠合法
概念
与角有关的和、差、倍、分的计算
互余：两角之和为直角
互补：两角之和为平角
性质：同（等）角的补（余）相等.
沪科版数学七年级上册
第4章
几何图形(共18张PPT)
第4章
几何图形
沪科版数学七年级上册
4.6
用尺规作线段与角
导入新课
请大家看看这些图形，它们是由哪些简单图形组成的？你能画出这些图形吗？
在小学，我们已经会用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具准确地画出线段、直线、射线、角、三角形等各种几何图形.
想一想：如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能画出这些图案吗？
讲授新课
作一条线段等于已知线段
一
画图形、设计图案，时常要画线段和角.
画一条线段等于已知线段，可以先用刻度尺量出已知线段的长度，再画出等于这个长度的线段.
画一个角等于已知角，可以先用量角器量出已知角的度数，再画出等于这个度数的角.
几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图.
已知：线段AB．
求作：线段A'B'，使A'B'＝AB．
A
B
(1)
作射线A'C'；
A’
C’
(2)
以点A’为圆心，
以AB的长为半径
画弧，
交射线A'C'于点B'，
B’
A’
A'B'就是所求作的线段。
示
范
作
法
例1
作一条线段等于已知线段
典例精析
已知线段a,b画一条线段c,使它的长度等于两条已知线段的长度的和.
a
b
C
b
A
D
画法：
1.画射线AD
2.用圆规在射线AD上截取AB=a
3.用圆规在射线BD上截取BC=b
线段AC就是所求的线段
a
B
练一练
●红球能被击入右下角的袋中吗？
●你能画出红球在第一次反弹后的运
动路线吗？
O
B
A
入射角
反射角
打台球时，球的反射角总是等于入射角.
作一条角等于已知角
二
想一想：如果入射角是30°，你准备怎样画反射角呢?
用三角板画角
B
O
A
30°
如图∠AOB就是我们所要画的角.
思考：如果入射角不是一个特殊角呢?
用量角器画角
●你会利用量角器画一个角等于∠AOB吗？
O
A
B
A
1
O
1
量已知角
画射线
描点
B
1
对心，对线，读数
对心，对线
如图∠A
O
B
就是我们所要作的角.
1
1
1
想一想：如果没有三角尺和量角器，只用尺规作图能画出一个角等于已知角吗？
例2
作一个角等于已知角
已知：
如图，∠AOB.
求作：
∠A'O'B'
使∠A'O'B'
=∠AOB.
B
O
A
B
O
A
O’
A’
(2)以点O为圆心，
任意长为半径
交OA于点C，
(3)以点O'为圆心，
画弧，
C
D
同样(OC)长为半径
画弧，
C’
(4)以点C'为圆心，
CD长为半径
画弧，
D’
(5)过点D'作射线O'B'.
B’
A’
O’
B’
∠A'O'B'就是所求的角.
作
法
示
范
(1)作射线O'A';
交OB于点D;
交O'A'于点C';
交前面的弧于点D’；
已知：∠AOB.
利用尺规作：
∠A'O'B'
使∠A'O'B'=2∠AOB.
B
O
A
独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。
作法一:
C
A’
B’
∠A’O’B’为所求.
B
O
A
法二:
C
D
C’
E
B’
O’
A
∠A’O’B’为所求.
∠AOB+∠AOB
当堂练习
1.如图所示，已知线段a，b，用尺规作图法作一条线段AB等于2a－b.(写出作法)
解：如图所示．
作法：(1)作一条直线l；
(2)在直线l上作线段AC＝a，CD＝a；
(3)在线段AD上作线段DB＝b，线段AB就是所求作的线段．
2.已知：
∠1，
∠2
求作：(1)∠3，使得∠3=
∠2-∠1
(2)∠4，使得∠4=∠1+∠2
1
2
解:
（1）作法：
(1)作射线OA；
(2)以OA为边做∠AOB=∠1；
(3)以O为顶点，以射线OA为边，
在∠AOB内部作∠AOD=∠2．
则∠BOD即为所求的∠3.
O
A
B
D
解:
（2）作法：
(1)作射线OA；
(2)以OA为边做∠AOB=∠1；
(3)以O为顶点，以射线OB为边，
在∠AOB外部作∠BOD=∠2．
则∠AOD即为所求的∠3.
O
A
B
D
3.已知:线段a，c，∠α
求作:ΔABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠
α
作法:1)作一条线段BC=a
2)以B为顶点,BC为一边,作,∠DBC=∠
α
3)在射线BD上截取线段BA=c
4)连接AC,
ΔABC就是所求作的三角形
a
c
α
课堂小结
两个基本作图
(1)作一条线段等于已知线段
(2)作一个角等于已知角（三弧两线）
沪科版数学七年级上册
第4章
几何图形(共25张PPT)
第4章
直线与角
沪科版数学七年级上册
小结与复习
(2)平面图形上的各点都在同一个平面内，如
3.立体图形与平面图形
(1)立体图形上的点不都在同一个平面内，如
要点总结
二、直线、射线、线段
1.有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
2.直线、射线、线段的区别
类型
线段
射线
直线
端点个数
2个
不能延伸
延伸性
能否度量
可度量
1个
向一个方向
无限延伸
不可度量
无端点
向两个方向
无限延伸
不可度量
4.有关线段的基本事实
两点之间线段最短
3.线段的中点
应用格式：
A
C
B
C是线段AB的中点，
AC
＝BC
＝
AB
AB
＝2AC
＝2BC
5.线段长短的比较方法
度量法或叠合法
三、角
1.角的定义
(1)从一个点出发的两条射线组成的图形，叫做角
(2)角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形
2.角的度量
度、分、秒的互化
1″＝(1/60)′，1′＝(1/60)°
1°＝60′，1′＝60″
3.角的大小的比较方法
度量法或叠合法
4.角的平分线
O
B
A
C
OC是∠AOB的角平分线，
∠AOC
＝∠BOC
＝1/2∠AOB
∠AOB
＝2∠BOC
＝2∠AOC
应用格式：
5.余角与补角的性质
同角(等角)的补角相等
同角(等角)的与角相等
考点一
线段、直线与射线
例1
如图所示，直线L，线段a，射线OA，能相交的几组图形是(????
)
A.(1)(3)(4)
B.(1)(4)(5)
C.(1)(4)(6)
D.(2)(3)(5)
B
考点演练
解析：（2）中直线L与线段a不相交，（3）中线段a与射线OA不相交，（6）中直线L与射线OA不相交.故选B.
提示：直线可以向两边无限延伸，射线只能向一个方向无限延伸，线段有两个端点，不能延伸.
针对训练
解析：此题相当于一条线段上有3个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1=10;有多少种车票是要考虑顺序的，则有10×2=20.
1.往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有_______种不同的票价(来回票价一样)，需准备_______种车票.
10
20
考点二
线段长度的计算
例2
如图，点C在线段AB上，点M、N分别
是AC、BC的中点.
（1）AC
=
8
cm，CB
=
6
cm，求线段MN的长；
【解析】根据“M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC，CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度.
解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM＝1/2AC＝4(cm)，CN＝1/2BC＝3cm，
∴MN＝CM＋CN＝4＋3＝7
(cm)；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC
+
CB
=
a
cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由.
解：（2）同（1）可得
CM＝1/2AC
，CN＝1/2BC，
∴MN＝CM＋CN
＝1/2AC＋1/2BC
＝1/2(AC＋BC)＝1/2a
(cm)
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC
=
b
cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由.
解：MN的长度等于1/2b(cm).
根据题意画出图形，
由图可得
MN=MC－NC=1/2AC－1/2BC
=1/2(AC－BC)=
1/2b(cm)．
2.点A，B，C
在同一条直线上，AB＝3
cm，
BC=1
cm．求AC的长．
解：（1）如图①，因AB＝3cm，BC＝1cm,
所以，AC＝AB＋BC＝3＋1＝4(cm)．
（2）如图②，AC＝AB－BC＝3－1＝2(cm)．
【解析】因点A，B，C的顺序不确定，所以分B在线段AC上，B在线段AC的延长线上两种情况
.
针对训练
考点三
角的度量及角度的计算
例3.
45°52′48″＝______°;
126.31°＝
____°____′____″；
25°18′÷3＝__________；
126.31?=126?+0.31×60′=126?+18.6′
=126?18′+0.6×60″=126?18′36″
解析:45°52′48″=45°+52′+(48/60)′=45°+52.8′
=45?+(52.8/60)°=45.88?
25°18′÷3=8°+1°18′÷3=8°+78′÷3=8°26′
3.若∠A
=
20°18′，∠B
=
20°15′30″，∠C
=
20.25°，则(
)
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B
D．∠C＞∠A＞∠B
A
针对训练
4.
5点整时,时钟上时针与分钟之间的夹角是(
)
A.210°
B.30°
C.150°
D.60°
C
例4.如图，∠AOB是直角∠AOC=50°,ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.
（1）求∠MON的大小；
O
B
M
A
N
C
【解析】先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM，∠CON，然后根据∠MON=∠COM－∠CON代入数据进行计算即可得解.
O
B
M
A
N
C
解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=1/2∠BOC=1/2×140°=70°，
∠CON=1/2∠AOC=1/2×50°=25°，
∴∠MON=∠COM－∠CON=70°－25°=45°；
（2）当∠AOC＝α时，
∠MON等于多少度？
O
B
M
A
N
C
（2）∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+α，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=1/2∠BOC=1/2(90°+α)，
∠CON=1/2∠AOC=1/2α，
∴∠MON=∠COM－∠CON
=1/2(90°+α)－α=45°
（3）当锐角∠AOC的大小发生改变时，
∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？
O
B
M
A
N
C
（3）不会发生变化.
由（2）可知∠MON的大小与∠AOC无关，总是等于∠AOB的一半.
针对训练
5.
如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得折痕EN，求∠NEM的度数．
解：由折纸过程可知，
EM平分∠BEB'
，
EN平分∠AEA'．
因
∠BEB'＋∠AEA'=180°，
所以有∠NEM=∠NEA'＋∠MEB'
＝
1/2∠AEA'＋
1/2∠BEB'
＝
1/2(∠AEA'＋∠BEB')
=90°．
∠NEA'＝1/2∠AEA'．
1/2∠BEB'，
所以有∠MEB'＝
考点四
余角和补角
例5
已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30?，求∠α、∠β．
解：设∠α＝x?，则∠β＝180?－x?．
根据题意
∠β＝2(∠α－30?)，
即
180－
x＝2(x
－30)，
解得
x＝80．
所以
，∠α＝80?，∠β＝100?．
【解析】设∠α＝x?，用x表示出∠β，列出方程即可.
针对训练
6.互为余角的两个角之差为35°，则较大角的补角是________.
117.5°
直线与角
几何图形
立体图形
平面图形
概念与性质
运算
直线、射线、线段
角
尺规作图
两点确定一条直线
两点之间线段最短
线段的中点
角平分线
互为余（补）角的概念与性质
线段(角)的和、差、倍、分
线段的和、差、倍、分计算
角的和、差、倍、分计算
度、分、秒的转化
本节小结
沪科版数学七年级上册
第4章
直线与角
