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2020年秋人教版
八年级上册数学
同步课时训练
第十三章 轴对称
13．3 等腰三角形
13．3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的性质与全等三角形综合
01
基础题
9
02
中档题
C
4或6
03
综合题
AC＝BD
40°
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O
DKM
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图1
B
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八上数学同步课时训练13．3.1.2 等腰三角形的性质与全等三角形综合
答案版
基础题
知识点 等腰三角形与全等三角形
1.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD＝AE.
【变式】(成都中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BD＝9，则CE的长为9.
2.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD，BE是两腰上的中线，求证：CD＝BE.
证明：∵CD，BE是两腰上的中线，
∴AD＝AE.
在△ADC和△AEB中，
∴△ADC≌△AEB(SAS).
∴CD＝BE.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的延长线上的点，且BE＝CF.求证：DE＝DF.
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠DAF.
又∵BE＝CF，
∴AB＋BE＝AC＋CF.
即AE＝AF.
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(SAS).
∴DE＝DF.
4.已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)OA⊥BC.
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABO＝∠ACO，∴∠1＝∠2.
(2)∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC.
在△ABO和△ACO中，
∴△ABO≌△ACO(SAS).
∴∠BAO＝∠CAO.
∴AO平分∠BAC.
∵△ABC是等腰三角形，
∴OA⊥BC.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，且BE＝CD，CF＝BD.
(1)试说明：△BDE与△CFD全等的理由；
(2)若∠A＝40°，求∠EDF的度数.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD(SAS).
(2)∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝70°.
∵△BDE≌△CFD，
∴∠BED＝∠CDF.
∵∠EDC＝∠B＋∠BED，
∴∠EDF＝∠B＝70°.
中档题
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AD上任意一点，则图中全等三角形有(C)
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.
(1)△AEF与△CEB全等吗？请说明理由；
(2)说明AF＝2BD的理由.
解：(1)全等.
理由：∵AD⊥BC，
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵CE⊥AB，
∴∠B＋∠BCE＝90°，∠AEF＝∠BEC＝90°.
∴∠EAF＝∠ECB，∠AEF＝∠BEC.
又∵BE＝EF，
∴△AEF≌△CEB(AAS).
(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD.
∴AF＝2CD.
9.已知，如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，点E，F分别在AB，AC上，BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点，问：
(1)△BDE与△CFD全等吗？请说明理由；
(2)判断DG与EF的位置关系，并说明理由.
解：(1)△BDE与△CFD全等，
理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD(SAS).
(2)DG⊥EF.理由：
∵△BDE≌△CFD，
∴DE＝DF.
∵G是EF的中点，
∴DG⊥EF.
综合题
10.在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC，BD交于点M.
(1)如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC与BD的数量关系为AC＝BD；
②∠AMB的度数为40°.
(2)如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数.
解：(2)①AC＝BD，理由如下：
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB＋∠AOD＝∠COD＋∠AOD.
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
∴△BOD≌△AOC(SAS).
∴BD＝AC.
②设OA，BD相交于点E.
∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC.
又∵∠AEM＝∠BEO，
∴∠AMB＝∠AOB＝90°.
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八上数学同步课时训练13．3.1.2 等腰三角形的性质与全等三角形综合
基础题
知识点 等腰三角形与全等三角形
1.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD＝AE.
【变式】(成都中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BD＝9，则CE的长为9.
2.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD，BE是两腰上的中线，求证：CD＝BE.
证明：∵CD，BE是两腰上的中线，
∴AD＝AE.
在△ADC和△AEB中，
∴△ADC≌△AEB(SAS).
∴CD＝BE.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的延长线上的点，且BE＝CF.求证：DE＝DF.
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠DAF.
又∵BE＝CF，
∴AB＋BE＝AC＋CF.
即AE＝AF.
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(SAS).
∴DE＝DF.
4.已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)OA⊥BC.
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABO＝∠ACO，∴∠1＝∠2.
(2)∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC.
在△ABO和△ACO中，
∴△ABO≌△ACO(SAS).
∴∠BAO＝∠CAO.
∴AO平分∠BAC.
∵△ABC是等腰三角形，
∴OA⊥BC.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，且BE＝CD，CF＝BD.
(1)试说明：△BDE与△CFD全等的理由；
(2)若∠A＝40°，求∠EDF的度数.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD(SAS).
(2)∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝70°.
∵△BDE≌△CFD，
∴∠BED＝∠CDF.
∵∠EDC＝∠B＋∠BED，
∴∠EDF＝∠B＝70°.
中档题
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AD上任意一点，则图中全等三角形有(C)
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.
(1)△AEF与△CEB全等吗？请说明理由；
(2)说明AF＝2BD的理由.
解：(1)全等.
理由：∵AD⊥BC，
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵CE⊥AB，
∴∠B＋∠BCE＝90°，∠AEF＝∠BEC＝90°.
∴∠EAF＝∠ECB，∠AEF＝∠BEC.
又∵BE＝EF，
∴△AEF≌△CEB(AAS).
(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD.
∴AF＝2CD.
9.已知，如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，点E，F分别在AB，AC上，BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点，问：
(1)△BDE与△CFD全等吗？请说明理由；
(2)判断DG与EF的位置关系，并说明理由.
解：(1)△BDE与△CFD全等，
理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD(SAS).
(2)DG⊥EF.理由：
∵△BDE≌△CFD，
∴DE＝DF.
∵G是EF的中点，
∴DG⊥EF.
综合题
10.在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC，BD交于点M.
(1)如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC与BD的数量关系为AC＝BD；
②∠AMB的度数为40°.
(2)如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数.
解：(2)①AC＝BD，理由如下：
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB＋∠AOD＝∠COD＋∠AOD.
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
∴△BOD≌△AOC(SAS).
∴BD＝AC.
②设OA，BD相交于点E.
∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC.
又∵∠AEM＝∠BEO，
∴∠AMB＝∠AOB＝90°.
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