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八上数学同步课时训练13.4 课题学习 最短路径问题
练习版
基础题
知识点1 运用“垂线段最短”解决最短路径问题
1.如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是(B)
A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
2.如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短？找出开口处的位置并说明理由.
解：图略.理由：垂线段最短.
知识点2 运用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题
3.如图，直线l外有不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是(D)
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
4.已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.
(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；
(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长.
解：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求.图略.
(2)连接AB并延长，交直线l于点P.点P即为所求.图略.
中档题
5.(天津中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是(B)
A.BC
B.CE
C.AD
D.AC
6.【关注实际生活】茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.
解：如图.
作法：①作点C关于OA的对称点C1，点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短.
综合题
7.(兰州中考改编)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数.
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″的长度即为△AMN周长的最小值.作DA延长线AH.
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°.
∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋
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八上数学同步课时训练13.4 课题学习 最短路径问题
答案版
基础题
知识点1 运用“垂线段最短”解决最短路径问题
1.如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是(B)
A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
2.如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短？找出开口处的位置并说明理由.
解：图略.理由：垂线段最短.
知识点2 运用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题
3.如图，直线l外有不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是(D)
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
4.已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.
(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；
(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长.
解：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求.图略.
(2)连接AB并延长，交直线l于点P.点P即为所求.图略.
中档题
5.(天津中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是(B)
A.BC
B.CE
C.AD
D.AC
6.【关注实际生活】茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.
解：如图.
作法：①作点C关于OA的对称点C1，点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短.
综合题
7.(兰州中考改编)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数.
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″的长度即为△AMN周长的最小值.作DA延长线AH.
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°.
∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.
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2020年秋人教版
八年级上册数学
同步课时训练
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
01
基础题
B
D
02
中档题
B
03
综合题
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