沪教版（上海）初中数学八年级第一学期 19.5 角的平分线 课件 (1)（18张）

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
[复习与回顾]
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
题设、结论
[“互逆”的思想]
逆命题
逆定理
定理
命题
角的平分线
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，
[得到定理]
特别地,当点P与点O重合时,
求证：PD=PE．
证明：…………
[上述定理可以用如下符号语言来表示]
[定理的作用]
由角的大小相等(结合特定的位置关系)可以推得线段的长度相等.
点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．
∴PD=PE
这一点到角两边距离都等于0，相等。
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB
∵DB⊥AB,DC⊥AC
∴DB=DC(在角的平分线上的点到这个角两 边的距离相等)
[辨析练习1]
[辨析练习2]上题中，如果赋予“∠3=∠4”这一条件，我们可以推得什么结论？
3
4
∵∠3=∠4，AB⊥DB,AC⊥DC
∴AB=AC(在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等)
[缺条件: ∠1=∠2]
1
2
逆命题
逆定理
定理
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
求证：点Q在∠AOB的平分线上。
1
2
[证明思路]作射线OQ，
先证Rt△OQE≌ Rt△OQF(H.L)
可得∠1=∠2
即点Q在∠AOB的平分线上
已知：如图，QE⊥OA，QF⊥OB，垂足分别为E、F，且QE=QF。
求证：点O在∠C的平分线上.
[例1]如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线， OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E.
[角平分线定理及其逆定理的应用]
F
∵AO平分∠BAC，OE⊥AB（已知）
证明：过点O作OF⊥AC，垂足是F。
∴OE=OF(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
∴OF=OD(等量代换)
∴点O在∠C的平分线上(在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
OF⊥AC(作图)
本例结论可引申为——
这个点叫做“三角形的内心”。
三角形三个内角的平分线交于一点，
同理，OE=OD
[课堂练习本]-P106/2
(2)∵PM⊥AB，PN⊥AC（已知）
PM=PN（已证）
∴点P在∠MAN的平分线上(在一个角的内部且到这个角两 边距离相等的点，在这个角的平分线上)
即PA平分∠MAN。
如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线， PM⊥AB，PN⊥AC，
点M、N分别为垂足。
求证：（1）PM=PN；
（2）PA 平分∠MAN。
Q
逆命题
逆定理
定理
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
[回顾与小结]
作业：（1）《练习册》-习题19.5；
（2）《一课一练》-P95~96。
[角平分线的性质在日常生活中的应用]
①为什么要添辅助线?
②添辅助线的规范写法;
③区分角平分线性质定理及其逆定理。
在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
角的平分线可以看作是
在这个角的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合.
符号语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE
定理应具备条件：
1）角内部一点
2）两段垂直距离
3）距离相等
定理作用：
证明角被平分
∴∠1=∠2或点P在∠AOB角平分线上
（在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。）
1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？
2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
*
A
C
B
D
E
已知：如图，已知△ABC中， ∠C=90?，AC=BC，点D在BC上，DE ⊥AB，点E为垂足，且DE=DC，联结AD。
求证：AB=AC+CD。
求∠ADB的度数。
思考：
如图，∠AOB是个轴对称图形吗？
它的对称轴是什么？
折纸找到角的对称轴的位置
如图，这条对称轴还有什么作用？
能说它是∠AOB 的角平分线吗？
角的对称轴和角平分线有什么关系？
提出问题：一个角的角平分线除了可平分这个角之外，还有什么其他性质呢？
研究准备：作角及角平分线
类比研究：
线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。
角平分线上的点
到这个角两边
的距离
折纸探索：展示你的探索步骤和发现
？
得到猜想：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
动态演示
图上探索：
画出角平分线
画两段距离
还记得在全等三角形中证明的一个习题吗？如图所示，已知：在?ABC中，分别以AC、BC为边，向外作正?ACD、正?BCE，BD与AE相交于M，
求证：AE=BD。
这是在全等三角形中一道常见的习题，在这个结论的基础上还能证明MC
平分∠DME，请你试一试.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
　　∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠1=∠2,
在△POD和△POE中
∠PDO=∠PEO,
OP=OP,
∠1=∠2,
∴△POD≌△POE (ASA)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆命题：
到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
在一个角的内部（包括顶点）且
证明逆命题
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE
求证：P在∠AOB角平分线上
∠1=∠2
*
A
C
B
D
E
已知：如图，已知△ABC中， ∠C=90?，AC=BC，点D在BC上，DE ⊥AB，点E为垂足，且DE=DC，联结AD。
求证：AB=AC+CD。
求∠ADB的度数。