(共35张PPT)
第二章
解三角形
§1 正弦定理与余弦定理
1.1 正弦定理
【做一做1】
知识拓展1.正弦定理的证明
除教材中的方法外,正弦定理的证明还有以下几种方法(均以锐角三角形为例):
(1)作三角形边上的高
2.三角形常用面积公式
对于任意△ABC,已知a,b,c,A,B,C,
【做一做2】
3.解三角形
一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.
利用正弦定理可以解两类三角形:
(1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角;
(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角.
【做一做3】 在△ABC中,若a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为( )?
答案:A
【做一做4】 在△ABC中,若a=15,b=10,A=60°,则cos
B=( )?
答案:D
归纳总结在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在△ABC中,若a>b,则A>B.
( )
(2)在△ABC中,若a>b,则sin
A>sin
B.
( )
(3)在△ABC中,满足
的三角形个数有且仅有一个.
( )
(4)在△ABC中,若sin
2A=sin
2B,则△ABC为等腰三角形.
( )
(5)在△ABC中,若
,则△ABC为等腰三角形或直角三角形.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
【例1】
(1)在△ABC中,若B=60°,C=75°,求a∶b.
(2)在△ABC中,若asin
B=bcos
A,求角A.
分析:(1)先求出A,再根据a∶b=sin
A∶sin
B求解;(2)将已知式中的边转化为角求解.
解:(1)因为B=60°,C=75°,所以A=180°-60°-75°=45°,
由正弦定理知
(2)因为asin
B=bcos
A,
所以2Rsin
A·sin
B=2Rsin
B·cos
A,
所以sin
A=cos
A,
即A=45°.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟1.正弦定理揭示了三角形中边与角之间的关系,通过正弦定理及其变形,可以实现边与角的互化,从而解决一些三角形中的计算问题.
2.本例中要注意三角形内角和A+B+C=180°的应用.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1 (1)在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin
A∶sin
B∶sin
C= .?
解析:(1)因为(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,
令b+c=4x,c+a=5x,a+b=6x,
答案:(1)7∶5∶3 (2)A
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
【例2】
在△ABC中,
(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C.
(2)若B=30°,b=5,
,求A,C与a.
分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求出各元素的值.
解:(1)由三角形内角和定理得,
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况.若有解,求出另一边的对角的正弦值,然后根据该正弦值求角,需对角的情况加以讨论是否有解,如果有解,那么是一解还是两解,若有解,由三角形的内角和定理求出第三个角,然后利用正弦定理求出第三边.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练2
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
分析:根据正弦定理的变形,先将已知式中的边转化为角,再化简,进行判断.
解:由正弦定理
所以,tan
A=tan
B=1.
又因为角A,B,C是△ABC的内角,所以A=B=45°.
从而C=90°,故△ABC是等腰直角三角形.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟1.判断三角形的形状,是指根据条件,确定三角形中是否有两边(两角)相等、三边(三角)相等或是否有直角等,从而判断三角形是不是等腰三角形、等边三角形或直角三角形等.
2.利用正弦定理判断三角形形状的基本思路是:从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化、化简、运算,找出边与边的关系,角与角的关系,或求出角的大小,从而作出正确判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练3 在△ABC中,若2a=b+c,sin2A=sin
B·sin
C,则△ABC一定是( )?
A.钝角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.非等腰三角形
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
【例4】
在△ABC中,已知A=45°,
(1)求sin
C的值;
(2)若BC=10,求△ABC的面积.
分析:(1)已知B的余弦值,先由三角函数的基本关系求得正弦值,再由三角形内角和定理通过三角恒等变换求出sin
C的值;(2)由(1)知sin
C的值,利用正弦定理可求出AB,则面积易求得.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟三角形的面积公式
给出三角形的两边及其夹角可求三角形的面积,反过来,给出三角形的面积,利用上述公式也可求得相应的边或角,应熟练应用此公式.
三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求或三角形中哪个角的正弦值可求.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练4
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
纠错心得在判断符合已知条件的三角形的个数时,一定要结合三角形已知边和角的情况.在本例中,因为c>a,sin
C=
,所以符合条件的三角形内角C有两个,一个为锐角,一个为钝角,还要注意对解的情况进行检验并取舍.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练 根据正弦定理求解下列各题:?
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
2.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是( )
A.a=4,b=5,A=30°,有一解
B.a=5,b=4,A=60°,有两解
答案:D
1
2
3
4
5
3.如图,在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC= .
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5(共27张PPT)
1.2 余弦定理
1.余弦定理
(1)语言叙述
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
(2)公式表达:在△ABC中,
a2=b2+c2-2bccos
A;?
b2=a2+c2-2accos
B;?
c2=a2+b2-2abcos
C.?
【做一做1】 在△ABC中,符合余弦定理的是( )?
A.c2=a2+b2-2abcos
C
B.c2=a2-b2+2bccos
A
C.b2=a2-c2-2bccos
A
解析:根据余弦定理可知A正确,其余均错.注意余弦定理形式,特别是正负号问题.
答案:A
归纳总结对余弦定理的理解
(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.
2.余弦定理的变形
在△ABC中,
【做一做2】 在△ABC中,若a=3,
,c=2,则B等于( )?
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)余弦定理仅适用于钝角三角形或锐角三角形.
( )
(2)在△ABC中,若sin2C>sin2A+sin2B,则△ABC为钝角三角形.
( )
(3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
在△ABC中,已知
,B=45°,求角A,C及边c.
分析:给出条件为两边一角,容易想到先利用正、余弦定理都可以进行求解得出第三条边,再使用正弦定理或余弦定理结合三角形内角和为180°求出另外两角的大小.
解法一:由正弦定理得,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法二:由利用余弦定理b2=a2+c2-2accos
B,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.已知两边及其中一边的对角解三角形时,可使用正弦定理和余弦定理两种方法求解,其中解法一需对A进行讨论,但计算较简单;解法二虽不需分类讨论,但计算过程较复杂.
2.应用余弦定理解三角形主要有以下三种情形:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 (1)在△ABC中,若a=5,b=3,C=120°,则c= .
(2)在△ABC中,已知
,求这个三角形的最小角.
(1)答案:7
(2)解:因为a
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos
Asin
B=sin
C,试确定△ABC的形状.
分析:一种思路是将边化为角,通过三角变换判断角的关系;另一种思路是将角转化为边,通过代数变形寻求边的关系.
解法一:由正弦定理,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法二:因为A+B+C=180°,
所以sin
C=sin(A+B).
又因为2cos
Asin
B=sin
C,
所以2cos
Asin
B=sin
Acos
B+cos
Asin
B,
所以sin(A-B)=0.
因为A,B均为三角形的内角,所以A=B.
又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
得(a+b)2-c2=3ab,
即a2+b2-c2=ab,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断三角形形状的方法
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断出三角形的形状;
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
特别提醒:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 (1)在△ABC中,若a=2,b=5,c=4,则△ABC的形状为 .?
(2)在△ABC中,已知
(a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断△ABC的形状.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
(2016甘肃河西五市联考)已知在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的两根.
(1)求角A的大小;
(2)若
,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟对于正弦定理、余弦定理的综合问题,关键要选好突破口,即先用哪个定理,后用哪个定理.如果与其他三角知识结合,那么要充分利用三角函数的相关性质、三角变换等知识.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视构成三角形的隐含条件而致误
【典例】在不等边三角形ABC中,a为最大边,若a2探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得本题中错解的原因是没有充分利用已知条件,要知道题设中a为最大边,△ABC为不等边三角形暗含
的信息.因此,处理三角形中的此类问题要注意题目中的隐含条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=2A,a+c=10,
1
2
3
4
5
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos
A=acos
B,则△ABC是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
答案:B
1
2
3
4
5
3.在△ABC中,若sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶2∶4,则cos
C= .
1
2
3
4
5
4.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin
A=5sin
B,则C= .?
1
2
3
4
5
5.在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的长.
(2)求sin
2C的值.(共29张PPT)
§3 解三角形的实际应用举例
1.实际测量问题中有关角的意义及图示.
【做一做1】2016年里约奥运会比赛会场,设立了很多安全检测点,已知检测点A和B与主会场O的距离相等.检测点A在主会场北偏东40°,检测点B在主会场南偏东60°,则检测点A在检测点B的( )?
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东10°
D.南偏西10°
答案:B
2.解决与三角形有关的实际问题的思路
【做一做2】已知江岸边有一炮台高30
m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距( )?
解析:如图,设CD为炮台,A,B为两条船,
由题意得,CD=30
m,∠CBD=45°,
∠CAD=30°,∠ACB=30°.
在Rt△ADC中,AC=30·tan
60°=
(m).
同理,得BC=30
m.
在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos
∠ACB=900,
所以AB=30
m,即两条船相距30
m.
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)视角是视线与水平线所成的角.
( )
(2)求一个可到达的点与另一个不可到达的点之间的距离可用正弦定理解决.
( )
(3)已知△ABC中的两边及其夹角,求第三边的问题,只能用余弦定理解决.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)×
探究一
探究二
探究三
规范解答
【例1】
如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距
千米的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,
∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:先在△ACD中,求出AC,再在△BDC中,用正弦定理求出BC,最后在△ACB中用余弦定理求出AB的长.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟求A,B两点之间的距离主要有以下三种类型:
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练1?
如图所示,已知海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B,灯塔B位于灯塔A的正南方向,海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西60°方向,与A相距6海里的C处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距10海里的D处,则两艘船之间的距离为 海里.?
探究一
探究二
探究三
规范解答
【例2】
如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
分析:先在△BCD中,用正弦定理求出BC,再在Rt△ABC中求出AB.
解:在△BCD中,∠CBD=π-α-β.
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟求高度问题通常有以下三种类型:
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练2?
如图,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高为AB=20
m,求山高DC.(结果保留一位小数)
探究一
探究二
探究三
规范解答
【例3】甲船在A处发现乙船在方位角45°与A相距10
n
mile的C处正以20
n
mile/h的速度向南偏东75°方向航行,已知甲船的速度是
n
mile/h.问:甲船沿什么方向航行,需多长时间才能与乙船相遇?
分析:根据题意,画出图形,设出相遇地点,构建出三角形,设出相遇时所需时间,在三角形中,利用余弦定理构建出方程,解方程求出时间,通过解三角形,求出所需求的角,从而得到实际问题的解.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟1.对于确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等问题,解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是首先根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.
2.对于本例还要注意相遇时两船航行的时间相等这一条件,应用余弦定理构建出方程是关键所在.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练3?如图,在点B处测得某建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30
m,至点C处测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10
m至点D,测得顶端A的仰角为4θ,求角θ的大小和建筑物AE的高.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
正弦、余弦定理在三角形实际问题中的应用
【典例】如图,A,C两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处,然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.
(1)求A,C两岛之间的距离.
(2)求∠BAC的正弦值.
分析:(1)要求A,C两岛之间的距离,可先求出∠ABC,根据条件求出AB与BC,利用余弦定理求出.
(2)要求∠BAC的正弦值,可应用正弦定理.
探究一
探究二
探究三
规范解答
规范解答(1)在△ABC中,由已知条件可得
AB=10×5=50(海里),BC=10×3=30(海里),
∠ABC=180°-75°+15°=120°.
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2×AB×BC×cos
∠ABC,
即AC2=502+302-2×50×30×cos
120°,
解得AC=70(海里).
所以A,C两岛之间的距离为70海里.
(2)在△ABC中,由正弦定理,得
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思提升1.图形的应用
需要画出题目所需的图形,结合图形,标出已知数据,将文字语言转化为图形语言,这样条件就会一目了然.
2.隐含条件的分析
解题时,要对题目的条件认真分析,找出一些限制或隐含条件,这往往是解题的关键,如本例中∠ABC的确定,就是解题的关键.
3.注意解题的完整性
解应用题步骤一定要完整,前面有解,后面有答,如本例,求解后,一定要有答,把要解答的问题表述清楚、明白.
1
2
3
4
5
1.如图,已知某河段的两岸可视为平行的,在河段的一岸边选取两点A,B,观察对岸的点C,测得∠CAB=75°,∠CBA=45°,且AB=200米,则A,C两点间的距离为( )
答案:A
1
2
3
4
5
2.已知在200
m的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为( )m.
解析:如图,在Rt△CDB中,CD=200
m,∠BCD=90°-60°=30°,
答案:A
1
2
3
4
5
3.已知两座灯塔A,B与一岛C的距离都等于a
km,灯塔A在岛C的北偏东20°,灯塔B在岛C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为
km.?
解析:如图,△ABC中,
AC=BC=a
km,
∠ACB=120°.
所以由余弦定理知
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB
1
2
3
4
5
4.已知一艘船向正北航行,看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60°,另一灯塔在船的南偏东75°,则这艘船每小时航行 海里.?
?
解析:如图,由题意知在△ABC中,∠ACB=∠OCB-∠OCA=75°-60°=15°,∠CBA=90°-75°=15°,所以AC=AB=8海里.
在Rt△ACO中,∠CAO=30°,所以OC=AC·sin
30°=4海里,所以这艘船每小时航行
海里.
答案:8
1
2
3
4
5
5.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cos
θ的值.
1
2
3
4
5(共38张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 三角形中的基本计算问题
在三角形问题中,绝大多数是关于三角形的边、角以及面积等的计算问题,这是高考对解三角形考查的主要形式.求解这类问题时,可以直接利用正弦定理、余弦定理、面积公式进行求解计算或者利用正弦、余弦定理,通过边与角的互化,对已知条件进行变形、转换再求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
答案:D
专题一
专题二
专题三
专题四
【例2】若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )
答案:A
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练1 (1)(2016山东高考)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin
A),则A=( )?
(2)已知在△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为 .?
解析:(1)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos
A,
又因为b=c,所以a2=b2+b2-2b×bcos
A=2b2(1-cos
A).
由已知a2=2b2(1-sin
A),所以sin
A=cos
A,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 三角形中的范围与最值问题
解决三角形中边长或角的范围与最值问题通常有两种思路,一是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为边的关系,利用代数方法求解;二是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为角的关系,利用三角中的方法求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
【例3】已知在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin
Bsin
C,则A的取值范围是( )
解析:由已知及正弦定理得a2≤b2+c2-bc,
由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos
A,
答案:C
专题一
专题二
专题三
专题四
【例4】已知在△ABC中,B=60°,
,则AB+2BC的最大值为 .?
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练2 (1)
已知在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则BC边的长度的取值范围为 .?
(2)已知在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则
的值等于 ,AC的取值范围为 .?
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二
专题三
专题四
专题一
专题三 三角形中的综合问题
正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理,应用极为广泛,它将三角形的边和角有机地联系起来.正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量,如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础,而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据.
专题二
专题三
专题四
专题一
【例5】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin
C+cos
C=1
(1)求sin
C的值;
(2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
变式训练3 在△ABC中,sin2A=sin
Bsin
C.?
专题二
专题三
专题四
专题一
专题四 解三角形的实际应用
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常见的有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题,解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.
专题二
专题三
专题四
专题一
【例6】在某海峡海域内,当甲方船只与乙方船只相距最近时,两船均相互鸣笛问好.一天,海面上离乙方船只A的正北方向100
n
mile处有一甲方船只B正以每小时20
n
mile的速度沿北偏西60°的方向行驶,而乙方船只A以15
n
mile/h的速度向正北方向行驶.若两船同时出发,问几小时后,两船鸣笛问好?
专题二
专题三
专题四
专题一
变式训练4 如图,地面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB长20
m,在A处测得点P的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为( )?
答案:C
考点1
考点2
考点3
考点1 正弦定理
答案:B
考点1
考点2
考点3
2.(2017全国2高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos
B=acos
C+ccos
A,则B= .?
考点1
考点2
考点3
答案:75°
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
答案:1
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
7.(2015课标全国Ⅱ高考)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,
BD=2DC.
考点1
考点2
考点3
考点2 余弦定理
解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A,
即5=b2+4-4b×
,即3b2-8b-3=0,
又b>0,解得b=3,故选D.
答案:D
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
答案:C
考点1
考点2
考点3
10.(2016山东高考)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,
a2=2b2(1-sin
A),则A=( )
解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos
A,又因为b=c,
所以a2=b2+b2-2b×bcos
A=2b2(1-cos
A).
由已知a2=2b2(1-sin
A),所以sin
A=cos
A,
答案:C
考点1
考点2
考点3
答案:B
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
14.(2014课标全国Ⅱ高考)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,
BC=3,CD=DA=2.
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
解:(1)由题设及余弦定理得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos
C=13-12cos
C,①
BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos
A=5+4cos
C.②
考点1
考点2
考点3
考点3 正弦定理、余弦定理的综合应用
15.(2016上海高考)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .?
考点1
考点2
考点3
16.(2016全国乙高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos
C(acos
B+bcos
A)=c.
(1)求C;
考点1
考点2
考点3
17.(2015课标全国Ⅱ高考)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,
△ABD面积是△ADC面积的2倍.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos
∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos
∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,所以AC=1.(共34张PPT)
习题课 正弦定理、余弦定理的综合应用
一、常用术语
1.仰角和俯角:
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1)).
2.方向角:
相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.
3.方位角:
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图(2)).
4.坡度:
坡面与水平面所成的二面角的度数的正切值.
二、正弦、余弦定理和面积公式
1.正弦定理
2.余弦定理:
答案:B
解析:由B=2A,得sin
B=sin
2A,
答案:B
【做一做3】(2016天津高考)在△ABC中,若
,BC=3,
∠C=120°,则AC=( )?
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由余弦定理得13=9+AC2+3AC?AC=1.
故选A.
答案:A
做一做4?如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x
m到达B处发现生命迹象,然后向右转105°,行进10
m到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135°回到出发点,那么x= .?
探究一
探究二
探究三
规范解答
【例1】
在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,若(a2+b2)sin
(A-B)=(a2-b2)sin
(A+B),则△ABC的形状为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B).
得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],
所以2a2cos
Asin
B=2b2cos
Bsin
A.
由正弦定理得sin2Acos
Asin
B=sin2Bcos
Bsin
A.
即sin
2Asin
Asin
B=sin
2Bsin
Asin
B.
因为02A=sin
2B,
所以2A=2B或2A=π-2B.
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
答案:D
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟1.确定三角形的形状主要途径有两个:一是化边为角,二是化角为边;
2.实现方法可以通过正弦定理、余弦定理实现边角转换,也可以通过三角变换找出角之间的关系,还可以利用代数式的化简或变形找出边之间的关系.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练1 已知在△ABC中,
(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )?
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案:B
探究一
探究二
探究三
规范解答
【例2】
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练2
?
(1)求sin
∠CED的值;
(2)求BE的长.
探究一
探究二
探究三
规范解答
解:设∠CED=α.
(1)在△CDE中,由余弦定理,
得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos
∠EDC.
于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,
解得CD=2(CD=-3舍去).
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
【例3】从A处下山到C处有两种途径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行.速度为50
m/min.在甲出发2
min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1
min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130
m/min.山路AC长为1
260
m,经测量,
(1)求索道AB的长.
(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
探究一
探究二
探究三
规范解答
分析:(1)先利用三角变换公式,求出sin
B,再利用正弦定理求出AB的长;
(2)先利用余弦定理,列出关于时间t的关系式,再利用函数性质求其最值.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟(1)三角形应用题主要是解决三类问题:测高度、测距离和测角度.
(2)在解三角形时,要根据具体的已知条件合理选择解法,同时,不可将正弦定理与余弦定理割裂开来,有时需综合运用.
(3)在解决与三角形有关的实际问题时,首先要明确题意,正确画出平面图形或空间图形,然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决.要明确先用哪个公式或定理,先求哪些量,确定解三角形的方法.在演算过程中,要算法简练、算式工整、计算正确,还要注意近似计算的要求.
(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角,如仰角、俯角、方位角,以防出错.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练3 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,经过t小时,小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.?
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
解三角形知识在实际问题中的应用
【典例】某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD=BD=14,BC=10,AC=16,C=D.
(1)求边AB的长度.
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低,请说明理由.
分析:(1)在△ABC和△ABD中,根据余弦定理列出方程组求解;(2)利用三角形面积公式比较大小.
探究一
探究二
探究三
规范解答
规范解答
(1)在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos
C
=162+102-2×16×10cos
C.
在△ABD中,由余弦定理及C=D,
整理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos
D
=142+142-2×142cos
C,
得142+142-2×142cos
C=162+102-2×16×10cos
C,
又C为三角形的内角,所以C=60°,
又C=D,AD=BD,所以△ABD是等边三角形,
即边AB的长度为14.
探究一
探究二
探究三
规范解答
(2)小李的设计符合要求.理由如下:
?
因为AD·BD>AC·BC,所以S△ABD>S△ABC,
由已知建造费用与用地面积成正比,故选择△ABC建造环境标志费用较低.
即小李的设计使建造费用较低.
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思提升1.本题是典型的解三角形知识在实际中的应用问题,同时也是一道小型的建模问题,解题的关键是抽象出模型.
2.解决本题要关注两个点:一是充分利用C=D这一条件,二是抽象出的三角模型还要回归到实际问题中,以便做出合理的选择.
1
2
3
4
5
答案:D
1
2
3
4
5
答案:B
1
2
3
4
5
3.一艘海轮从A处出发,以每小时40
n
mile的速度沿东偏南50°方向直线航行,30
min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,则B,C两点间的距离是( )
答案:A
1
2
3
4
5
4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,则A= ,△ABC的形状为 .?
解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.
又a2-c2=ac-bc,所以b2+c2-a2=bc.
在△ABC中,
整理得(b-c)(b3+c3+cb2)=0,
所以b=c,所以△ABC为正三角形.
答案:60° 正三角形
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5