(共19张PPT)
6.1.2
向量的加法
学习目标
自主预习
课堂探究
课堂小结
当堂检测
布置作业
【学习目标】
1.
掌握向量的加法运算并理解加法运算的几何意义
.
2.
用三角形，平行四边形法则作和向量，
学生利用数形结合的思想解决问题的能力.
3.
通过向量运算与数的运算进行类比，掌握向量加法的交换律和结合律.
重点：用三角形法则和平行四边形法则作和向量.
难点：向量加法的定义及几何意义.
自主预习
优秀学生：
不认真学生：
整体问题：
探究一
向量加法的三角形法则
情景与问题
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C。
（1）分别用向量表示出该人上午的位移，下午的位移及一天的位移
（2）这一天的位移与上午下午的位移有什么联系？试从大小和方向两个方面加以阐述
(3)上面两个向量及和向量构成三角形，若不能构成三角形呢，两向量应该有什么关系，和向量应该怎样表示？
课堂探究
共线
方向相反
方向相同
例1
已知|a|＝3，|b|＝4，求向量a＋b模长的最大值和最小值，并说明取到最大值和最小值是a,b的关系.
小结
探究二
向量加法的平行四边形法则
情景与问题
问题1
从物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.
当在光滑的水平面上沿着两个不同的方向拉动一个静止的物体时，物体会沿着力AB或AD的方向运动吗？若不会，物体的运动方向是怎样的呢？
问题2
数的加法运算满足交换律，由例1判断向量的加法运算是否满足交换律？
探究三
多个向量相加
问题1
由向量加法的两个法则我们知道两个向量的和还是向量，因此我们可以用得到的和向量与另外一个向量相加.而且我们也知道数的加法满足结合律，那么向量的加法是否也满足结合律？也就是说三个向量相加，最后的结果是否与求和顺序有关？
问题2
多个向量相加，最后的结果与求和顺序有关吗？怎样确定和向量呢？
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，
即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．
小结
这节课你有什么收获？
当堂检测
D
平行四边形
布置作业(共27张PPT)
6.1.2 向量的加法
1.学习目标
2.问题情景
3.问题导学
4.新知初探
5.合作探究
5.当堂检测
6.课堂小结
7.作业布置
学习目标：
有两条拖轮牵引一艘驳船，它们的牵引力分别是F1＝3000牛，F2＝2000牛，牵绳之间的夹角θ＝60°.如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的相同，试求出这条拖轮的牵引力的大小和方向.
问题情景
1、某人从A到B，再从B顺着原来的方向到C，此人总的位移是什么？
2、湖上三个景点O、A、B，游艇将游客从景点O送至景点A，位移为什么？再将游客从景点A送至景点B，位移是什么？两次位移后游艇总的位移是什么？
这三个位移之间的关系是什么？
3.平面上任意两个向量的和怎么求？
问题导学
a＋b
新知初探
0
a
a
新知初探
a＋b
新知初探
始点
终点
新知初探
b＋a
(b＋c)
新知初探
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
向量加法运算法则的应用
例1(1)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
(2)①如图甲所示,求作向量a+b.
②如图乙所示,求作向量a+b+c.
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
分析:(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量,并进行代换,然后用三角形法则化简.
(2)用三角形法则或平行四边形法则画图.
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.
(2)两个向量的和向量仍是一个向量.
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“起点指向终点”的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”,其和向量为共起点的“对角线”向量.
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
向量加法运算律的应用
例2化简下列各式:
分析:根据向量加法的交换律使各向量首尾连接,再运用向量加法的结合律调整向量顺序后相加.
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
求与向量的模有关的问题
例3已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b模长的最大值是 .?
答案:8
解析:∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8,∴|a+b|的最大值为8.
方法总结模的最值问题的解法
运用不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|进行求解.
变式训练2本例中a+b模长的最小值是 .?
答案:2
解析:∵|a+b|≥||a|-|b||=5-3=2,
∴|a+b|的最小值为2.
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
用已知图形中的有些向量表示其他向量——一题多解
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛应用向量加法的三角形法则或平行四边形法则,我们可以利用已知的向量来表示未知的向量,从而培养我们的直观想象与逻辑推理能力.
合作探究
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )
答案:C
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:D
4.设a,b都是单位向量,则|a+b|的取值范围是 .?
答案:[0,2]
解析:a,b同向时|a+b|取最大值2,
a,b异向时|a+b|取最小值0,
a,b不共线时|a+b|在(0,2)之间,
所以|a+b|的取值范围是[0,2].
当堂检测
1、向量加法的定义
2、向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则
3、向量加法的运算律
4、向量加法模的三角形不等式
课堂小结
课堂小结
课后作业：
1.课本141页练习A，练习B
2.学案“课后拓展”
作业布置(共27张PPT)
6.1.3
向量的减法6.1.4
向量数乘
预习教材P142－P144的内容，思考以下问题：
1．一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？
2．任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？
3．向量的减法运算及其几何意义是什么？
预习教材P145－P147的内容，思考以下问题：
1．向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？
2．数乘向量的定义及其几何意义是什么？
知识梳理
1.一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝
a，则称x为向量a与b的差，并记作
．在平面内任取一点O，作
作出向量，注意到
，
因此向量
就是向量a
与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即
.
上述求两向量差的
作图方法也常称为向量减法的
．
2．给定一个向量，我们把与这个向量
、
的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作
．因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝
．
不难看出，a＋(－a)＝
，
=
．
向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即a－b＝
※同学们注意哦
相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反
向量必为平行向量．
3．数乘向量
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作
，其中：
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为
，而且λa的方向如下：
①当λ>0时，与a的方向
；
②
当λ<0时，与a的方向
．
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝
．
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为
．当λ和μ都是实数时有λ(μa)＝
．
数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得b＝λa，则
．
※同学们注意哦
实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．
λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.
小明要从A点到C点，受交通限制，他上午从A点先到达B点，下午再到达C点。请用向量表示出小明一天的位移与上午的位移；如果用x表示下午的位移，尝试着写出这三个向量的关系.
想一想
a
a
解析：
a
a
-a
-a
-a
4
向量数乘
解析：由b
=-e，得e=-
b，代入a
=3e，得a
=-3e.
因此a//
b，且|
a|=3|
b
|.即|
a|：|
b
|=3：1
解析:数形结合.（1）
B
A
C
（2）
A
C
B
课堂小结：
1.会用三角形法则做向量减法.
2.理解好数乘向量.(共19张PPT)
第六章
平面向量初步
6.1
平面向量及其线性运算
6.1.3
向量的减法
6.1.3
向量的减法
【导入新课】
尝试与发现：已知向量是向量与向量的和，如图所示，你能做出表示向量的有向线段吗？
【教学目标】
1.通过实例，理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则；
2.掌握向量减法的几何意义；
3.能熟练地进行向量的加、减运算.
问题探究一：
问题1.
请同学们回忆上一节学习过的向量加法的运算法则是什么？
问题2.在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”。那么类比数的减法运算如何定义向量的减法法则呢？
思考：相反向量的性质有哪些？
小组合作探究
类比数的减法运算如何定义向量的减法法则呢？
问题探究二
要点归纳：
通过几何作图的方法计算两个向量的差的方法我们称为向量减法的三角形法则，那么向量减法的三角形法则与向量加法的三角形法则有区别吗？
同一点
终点
减向量指向被减向量的终点
例1：
例2：
解析答案
即时训练3 化简下列式子：
返回
解析答案
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形.
B
评价反馈：
课堂小结：
作业：
层次一
第144页
练习A
层次二
第144页
练习B及课后拓展1,2,3(共18张PPT)
第六章
平面向量初步
6.1
平面向量及其线性运算
6.1.4
数乘向量
6.1.4
数乘向量
【导入新课】
向量
数量
【学习目标】
1.通过实例，了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.
【教学重难点】
向量数乘的概念，向量数乘的几何意义
问题探究一：
可以
合作探究二（小组讨论）
结合律，分配律.
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考
如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？
4.
向量共线定理
方向相同或方向相反或其中一者为零向量．
相同或相反．
共线
向量共线定理
典型例题
变式训练：
典型例题
变式训练：
【评价反馈】
D
ACD
课堂小结：
作业：
层次一第146页
练习A
练习B
层次二
课后拓展
目
录
因第6.1.4数学案设计(付之美)
己
〖∽-
节安全开发
特色功能文档助
Q查找
C未同步·[分享批注·⑦
AA<雯
bCAA
粘贴·口复制格式刷ByA·××,A·欧A·A
新样式
字习日标】
样式和格式
通过实例,了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义
理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算
新样式
主
请选择要应用的格式
量为a,3次仨
标题
物理
与速度的关系是什么?力与加速度的关
标题
标题
标题
题中,位移、速度、加速度、力都
而次数、时间、质量都
纯文本
仔细阅读教材P145,讲疑难问题认真思考,将不能解决的问题标注岀来,等待课堂解决
有效英’⊙回岛管
置值:16.4厘米
3國拼写检查文档校对兼容模式⑧文档未保护
3mB国国?
15:5
3/22
己
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因第614…案设计付之美)口
〖∞
节安全开发
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C未同步·[分享批注·⑦
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AA
Q
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复制格式刷
∪·A××A·gAA
新样式
查找替换·选
样式和格式
仔细阅读教材P145,讲疑难问题认真思考,将不能解决的问题标注出来,等待课堂解
新样式
式…清除格式
请选择要应用的格式
标题
题1按照向量的加法法则,若a为非零向量,则a+a的长度与
系怎样
标题
标题
题2我们知道,实数x满足
否写成3a呢
题
题
a与a的方向有什么关系
a与a的方向呢
有效档中·ψ回管田
置值:2.5厘米
63四拼写检查国文档校对莱容模式⑧文档未保护
3mB国国?
s
e
16:2(共22张PPT)
6.1.5向量的线性运算
1.向量的加法与数乘向量的混合运算；
2.向量的线性运算.
复习巩固：
1.向量的加法运算
2.向量的减法运算
3.数乘向量他们的结果都是向量,
这就是说,这两者可以进行混合运算.例如,对任意向量a,式子（6a）+（2a）是有意义的.
一般的，一个含有向量加法,数乘向量的式子,总是规定要先算数乘向量,再算向量加法.因此,（6a）+（2a）可以简写成6a+2a,另外,不难看出6a+2a=8a.
一般的,对于实数λ，μ以及向量a,有
λa+μa=（λ+μ）a
还可以对符号进行讨论得到结果.
特别的,当
α，β
都是正数时，不难看出αa+βa
和(α+β)a的方向都与
的方向相同,而且模都等于(α+β)|a
|，所以此时αa+βa
=
(α+β)a.
例1：如下图所示，讨论3a+3b与3（a+b）之间的关系.
变式训练1：化简：5a+b+2(a+b)
解：原式=5a+b+2a+2b=5a+2a+b+2b
=(5+2)a+(1+2)b=7a+3b.
2.向量的线性运算
不难看出，向量的减法也能与向量的加法，数乘向量进行混合运算，向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.
向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项，因此，【a-(2b)】+6a可以简单的写成
a-2b+6a.
注意：
由于向量的加法满足交换律和结合律，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量，因此
a-2b+6a=a+(-2b)+6a=a+6a+(-2b)=7a+(-2b)=7a-2b
事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号，例如：
-(a-2b)=-a+2b
当堂检测：
2.
3，
课堂小结：
1.向量的加法与数乘向量的混合运算以及计算方法.
2.向量的线性运算.
3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题.
布置作业：
1.必做题：基础过关、能力提升
2.选做题：探索研究(共11张PPT)
6.1.5 向量的线性运算
1.通过实例，掌握平面向量的加法与数乘向量的混合运算，发展学生的数学运算素养.
2.初步运用向量的线性运算法则解决简单的几何问题，提升学生的逻辑推理素养.
创设情境三：【线性运算】阅读课本第148页回答以下问题.（用时5分钟）
（1）向量线性运算的定义是什么？
（2）代数的运算顺序是什么？向量线性运算的顺序是什么？他们之间有联系吗？
（3)向量线性运算顺序
。
例2.
化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【课堂探究】
任务二：向量在几何中的应用（25分钟）
例3.已知：
变式训练一：已知
例4.已知
M
为线段
AB
的中点.，且
O
为任意一点，求证：
.
例5.已知
,求证M
为线段
AB
的中点.
例4与例5的结果表明：M为线段AB中点的充要条件是：
.
例6.已知
A，B，C
是三个不同的点，
，
求证：A，B，C
三点共线.
变式训练二：已知
求证A,B,C三点共线.
注：用向量求证三点共线的骤：
.
课堂小结
总结升华
通过本节课的学习，你有什么收获？（知识层面，思想方法层面）
1、知识层面：
2、思想方法层面：
课堂小结
总结升华
通过本节课的学习，你有什么收获？（知识层面，思想方法层面）
1、知识层面：通过自己动手画图，小组合作自己得出线性运算的运算法则
，通过实例让体会向量在几何中的应用。
2、思想方法层面：加强数形结合意识和数学的应用意识。
阅读课本，结合学案，进行知识整理，形成系统：
1、课本150页练习A、练习B
2、学案课后拓展题目
课后巩固
拓展深化
数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞
.
-----
华罗庚
数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深
-----
伽利略
?
