1.3
函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
[目标]
1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2.会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性．
[重点]
函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明．
[难点]
函数单调性定义的理解及函数单调性的证明.
知识点一 增函数与减函数的定义
[填一填]
设函数f(x)的定义域是I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
设函数f(x)的定义域是I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
[答一答]
1．在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？
提示：不能，如图所示：虽然
f(－1)2．设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意x1(2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；
(3)对任意x1、x2都有
>0.
提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题．
3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题？
提示：减函数(x1，x2∈M)?任意x1f(x2)?<0?[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0.
知识点二 函数的单调性与单调区间
[填一填]
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
[答一答]
4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？
提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
5．函数f(x)＝的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)吗？
提示：不是．例如：取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1)＝f(1)＝1，f(x2)＝f(－1)＝－1，故有f(x1)>f(x2)．
这样与函数f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减矛盾．
事实上，f(x)＝的单调减区间应为(－∞，0)和(0，＋∞)．
知识点三 常见函数的单调性
[填一填]
1．设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，当k>0时，函数y＝kx＋b在R上是增函数；当k<0时，函数y＝kx＋b在R上是减函数．
2．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若a>0，则该函数在(－∞，－]上是减函数，在[－，＋∞)上是增函数．若a<0，则该函数在(－∞，－]上是增函数，在[－，＋∞)上是减函数．
3．设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)．若k>0，则函数y＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数；若k<0，则函数y＝在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数．
[答一答]
6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？
提示：函数在(－∞，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
类型一 判断或证明函数的单调性
[例1] 证明函数y＝x＋在(0,3]上递减．
[证明] 设0＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)－
＝(x1－x2)(1－)．∵0∴x1－x2<0，>1，即1－<0，
∴y1－y2>0，即y1>y2.
∴函数y＝x＋在(0,3]上递减．
函数单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤：
第一步：取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1第二步：作差.准确作出差值f?x1?－f?x2?[或f?x2?－f?x1?].
第三步：变形.通过因式分解、配方、分子?分母?有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.
第四步：确定f?x1?－f?x2?[或f?x2?－f?x1?]的符号.当符号不能直接确定时，可通过分类讨论、等价转化，然后作差，作商等思路进行.
第五步：判断.根据定义作出结论.,以上五个步骤可以简记为“取值——作差——变形——定号——判断”.
[变式训练1] 判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝－＋＝.
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0.
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)因此，f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
类型二 利用图象确定函数的单调区间
[例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
[分析] →→→
[解] y＝
即y＝
函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.,注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”“或”连接，不能用“∪”连接.
[变式训练2] 已知f(x)＝
(1)画出这个函数的图象；
(2)求函数的单调区间．
解：(1)f(x)＝
作出其图象如下：
(2)由f(x)的图象可得，单调递减区间为[－3，－2)，[0,1)，[3,6]；单调递增区间为[－2,0)，[1,3)．
类型三 函数单调性的应用
命题视角1：利用函数的单调性比较大小
[例3] 已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与f的大小．
[分析] 要比较两个函数值的大小，需先比较自变量的大小．
[解] ∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，
∴f≥f(a2－a＋1)．
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
[变式训练3] 设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则( D )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)解析：选项D中，∵a2＋1>a，f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(a2＋1)命题视角2：利用函数的单调性解不等式
[例4] 已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)[解] ∵f(x)在[－1,1]上为增函数，
且f(x－2)∴解得1≤x<.
∴x的取值范围是1≤x<.
对于x1”不等号方向不变，右到左两边同
“脱”“f
”不等号方向也不变，若f?x?为减函数则恰恰相反.
[变式训练4] 已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，则实数a的取值范围是.
解析：由题意3a－7>11＋8a，解得a<－.
命题视角3：利用函数的单调性确定参数的值或取值范围
[例5] 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或范围)是________．
(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的值(或范围)是________．
[分析] 说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调区间的子集．
[答案] (1)－3 (2)(－∞，
－3]
[解析] (1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.
(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．
已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法：
(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间作比较，求出参数的取值范围．
(2)运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化．
[变式训练5] 已知函数f(x)＝
若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
解：令g(x)＝2－，h(x)＝x2＋2ax－3a＋3.显然，函数g(x)＝2－在(1，＋∞)上递增，且g(x)>2－＝－2；
函数h(x)＝x2＋2ax－3a＋3在[－a,1]上递增，且h(1)＝4－a，
故若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，
则即∴a≥7，
∴a的取值范围为[7，＋∞)．
1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( C )
A．y＝2x＋1
B．y＝x2＋1
C．y＝3－x
D．y＝x2＋2x＋1
解析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．
2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( D )
A．k>
B．k<
C．k>－
D．k<－
解析：当2k＋1<0，即k<－时，函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数．
3．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．
解析：由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．
4．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)>f(5＋6a)，则实数a的取值范围是(－∞，－4)．
解析：由题意，知4a－3>5＋6a，a<－4.
5．求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
证明：对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1有f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
——本课须掌握的两大问题
1．对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)．
(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．
2．单调性的判断方法
(1)定义法：利用定义严格判断．
(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．
(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”．
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-第2课时 函数的最大(小)值
[目标]
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.会求一些简单函数的最大值或最小值．
[重点]
理解函数的最大(小)值的概念并会求一些简单函数的最大值或最小值．
[难点]
求函数的最大值或最小值.
知识点 函数的最大值和最小值
[填一填]
1．最大值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，记作f(x)max＝M.
2．最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≥N；存在x0∈I，使得f(x0)＝N，就称N是函数y＝f(x)的最小值，记作f(x)min＝N.
[答一答]
1．函数f(x)＝－x2≤1总成立吗？
f(x)的最大值是1吗？
提示：f(x)＝－x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)＝1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.
2．函数的最值与函数的值域有什么关系？
提示：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值．
3.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( C )
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
类型一 利用函数的图象求最值
[例1] 已知f(x)＝2|x－1|－3|x|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)根据函数图象求其最值．
[解] (1)当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
所以y＝
结合上述解析式作出图象，如图所示．
(2)由图象可以看出，当x＝0时，y取得最大值ymax＝2.函数没有最小值．
利用图象求函数最值的方法：
①画出函数y＝f?x?的图象；
②观察图象，找出图象的最高点和最低点；
③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
[变式训练1] 已知函数f(x)＝
求f(x)的最大值、最小值．
解：如图所示，当－≤x≤1时，
由f(x)＝x2得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；
当1类型二 利用函数的单调性求最值
[例2] 已知函数f(x)＝x＋.
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值．
[解] (1)设x1，x2是区间[1,2]上的任意两个实数，且x1＝(x1－x2)＝.
∵x10,1∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在区间[1,2]上是减函数．
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)＝2＋＝4；f(x)的最大值为f(1)，f(1)＝1＋4＝5，∴f(x)的最小值为4，最大值为5.
?1?运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.
?2?①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析，②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.
[变式训练2] 求f(x)＝在区间[2,5]上的最值．
解：任取2≤x1则f(x1)＝，
f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵2≤x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
∴f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
类型三 二次函数的最值
[例3] 求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[解] f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a<0时，由图(1)可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a<1时，由图(2)可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2.
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1≤a≤2时，由图(3)可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a>2时，由图(4)可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解．
[变式训练3] 已知f(x)＝3x2－12x＋5，当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值．
(1)[0,3]；(2)[－1,1]；(3)[3，＋∞)．
解：
作出f(x)＝3x2－12x＋5的图象如图所示，
(1)由图可知，函数f(x)在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．
且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4.
故在区间[0,3]上，当x＝2时，f(x)min＝－7；
当x＝0时，f(x)max＝5.
(2)由图可知，f(x)在[－1,1]上单调递减，
所以f(x)min＝f(1)＝－4，
f(x)max＝f(－1)＝20.
(3)由图可知，f(x)在[3，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(3)＝－4.无最大值．
1．函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是( C )
A．(－∞，5]
B．[5，＋∞)
C．[－20,5]
D．[4,5]
解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，函数有最大值5；当x＝3时，函数有最小值－20，故选C.
2．函数f(x)＝在[－1,2]上的值域为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：∵f(x)＝在[－1,2]上是减函数，
∴f(2)≤f(x)≤f(－1)，又f(2)＝，f(－1)＝3，
∴≤f(x)≤3，故选C.
3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( C )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
解析：当a>0时，y＝f(x)的最大值为f(2)＝2a＋1，
最小值为f(1)＝a＋1，
∴(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2.
当a<0时，y＝f(x)的最大值为f(1)＝a＋1，最小值为f(2)＝2a＋1，
∴(a＋1)－(2a＋1)＝2.解得a＝－2，
综述，a＝2或a＝－2，选C.
4．若函数f(x)＝则f(x)的最大值为11.
解析：当x∈[1,2]时，f(x)为增函数，其最大值为f(2)＝10；当x∈[－4,1]时，f(x)为减函数，其最大值为f(－4)＝11.故函数f(x)的最大值为11.
5．求函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1，
当0在[a,4]上是增函数．又f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)>f(4)．
所以f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.
当a≥4时，f(x)在[－4，4]上是减函数，
所以，f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.
综上，在[－4,4]上函数的最大值为9a＋17.
——本课须掌握的三大问题
1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
3．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
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-1．3.2 奇偶性
第1课时 函数的奇偶性
[目标]
1.了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养；3.了解奇、偶函数的图象的对称性，培养直观想象能力．
[重点]
掌握判断函数奇偶性的方法．
[难点]
奇偶性的含义及判断.
知识点一 偶函数、奇函数的概念
[填一填]
设函数f(x)的定义域为D，
1．偶函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．
2．奇函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
[答一答]
1．奇偶性定义中的“任意”可以省略吗？
提示：不能省略．如函数y＝x2，x∈[－2,3]，有f(－2)＝4＝f(2)，f(－1)＝f(1)，但不能因此就说函数y＝x2，x∈[－2，3]是偶函数，因为f(－3)是没有定义的．从这个意义上来说，任意两字实则强调的是函数的定义域一定要关于原点对称．这个条件是必不可少的．抛开了这个条件去讨论函数的奇偶性是毫无意义的．也就是说在讨论一个函数的奇偶性之前，要先探讨函数的定义域．
2．从奇偶函数的定义来考虑，若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x，它的相反数－x也在定义域内吗？由此得到什么结论？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？
提示：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)．
3．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？
提示：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，
即2f(0)＝0，f(0)＝0.
知识点二 偶函数、奇函数的图象特征
[填一填]
1．偶函数的图象关于y轴对称．
2．奇函数的图象关于原点对称．
[答一答]
4．一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？
提示：若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．
5．如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象，试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象．
提示：利用偶函数的图象关于y轴对称的特点，可作出函数y＝f(x)在y轴左侧部分的图象．如图所示．
类型一 判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)；
(4)f(x)＝.
[分析] 首先确定函数的定义域是否关于原点对称，然后化简解析式，验证f(x)与f(－x)的关系．
[解] (1)函数f(x)＝＋的定义域为{－1,1}，关于原点对称，此时f(x)＝0，
所以函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
(2)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(3)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
①当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－(|x＋a|－|x－a|)＝－f(x)；
②当a＝0时，f(x)＝|x＋a|－|x－a|＝|x|－|x|＝0.综上，当a≠0时，函数f(x)为奇函数；
当a＝0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)由1－x2≥0，得－1≤x≤1.
由|x＋2|－2≠0，得x≠0，且x≠－4.
故函数f(x)的定义域是[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
显然x∈[－1,0)∪(0,1]时，x＋2>0.
则f(x)＝＝.
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
?1?对复杂的函数解析式，要合理、恰当地变形，向有利于判断的方向进行，直到判断出其奇偶性为止.
?2?当函数中含有待定系数时，要注意对其进行分类讨论.
?3?因为函数的定义域是否关于原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性时，应先判断函数的定义域是否关于原点对称.
[变式训练1] (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( D )
A．y＝
B．y＝x＋
C．y＝x2＋
D．y＝x＋x2
解析：A，C选项是偶函数，B选项是奇函数，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．∴选D.
(2)判断函数f(x)＝的奇偶性．
解：函数的定义域关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－x[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]
＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
类型二 函数奇偶性的图象特征
[例2] (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．
[答案] (1)D (2){x|－2[解析] (1)由f(x)在(－∞，0]上是减函数，又偶函数的图象关于y轴对称知，f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
又由f(2)＝0知，函数图象过点(2,0)．
故作符合题设条件的示意图如图(1)，由图象知使f(x)<0的x的取值范围为(－2,2)，故选D.
(2)由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5]上的图象如图(2)，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反.
[变式训练2] 已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是(－∞，_1]∪[3,_＋∞)．
解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，
1]∪[3,
＋∞)．
类型三 利用函数的奇偶性求参数
[例3] (1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
(2)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
[答案] (1)C (2)－1
[解析] (1)因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，
即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12，即4－2m＝0，所以m＝2.
(2)法1：(定义法) 由已知f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
法2：(特值法) 由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
整理得a＝－1.
由函数的奇偶性求参数应注意两点
?1?函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
?2?利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.
[变式训练3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝，b＝0；
(2)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为5.
解析：(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.
1．f(x)＝x3＋的图象关于( A )
A．原点对称
B．y轴对称
C．y＝x对称
D．y＝－x对称
解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋
＝－x3－＝－(x3＋)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称．
2．函数f(x)＝的奇偶性为( D )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数．
3．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝0.
解析：∵f(x)＝f(－x)，∴x2－|x＋a|＝x2－|－x＋a|.
∴|x＋a|＝|x－a|，平方得4ax＝0恒成立．
∴a＝0.
4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝－2.
解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，
f(1)＝－f(－1)＝－2，
∴f(0)＋f(1)＝0－2＝－2.
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝，试求f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，此时f(x)＝f(－x)＝，
所以f(x)＝即f(x)＝.
——本课须掌握的三大问题
1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，
f(－x)＝－f(x)或
f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：
f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)．
3．函数奇偶性的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
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-第2课时 函数奇偶性的应用
[目标]
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．
[重点]
利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．
[难点]
运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题.
知识点一 函数奇偶性的性质
[填一填]
1．奇、偶函数代数特征的灵活变通
由f(－x)＝－f(x)，可得f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)；由f(－x)＝f(x)，可得f(－x)－f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．
2．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
[答一答]
1．什么函数既是奇函数又是偶函数？
提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，故－f(x)＝f(x)，所以f(x)＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．
2．利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？
提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点二 函数奇偶性与单调性的联系
[填一填]
由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义．
[答一答]
3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是f(－π)>f(3)>f(－2)．
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
类型一 利用函数的奇偶性求函数的值或解析式
[例1] (1)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2
015，则f(－3)＝________.
(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
[答案] (1)－2
009 (2)见解析
[解析] (1)法1：设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．
又g(3)＝f(3)－3＝2
015－3＝2
012，
所以g(－3)＝－g(3)，
即f(－3)－3＝－2
012，解得f(－3)＝－2
009.
法2：f(x)＋f(－x)＝6，f(－3)＝6－f(3)＝6－2
015＝－2
009.
(2)解：设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.
又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.
∴x<0时，f(x)＝x3＋x－1.
又f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
∴f(x)＝
?1?利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f?x?与f?－x?的关系求f?x?.
?2?本题中是求x∈R时的函数解析式，不要忘记x＝0的特殊情况.
[变式训练1] (1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
(2)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则x<0时，f(x)＝x2－x.
解析：(1)∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.①
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.②
由①＋②得g(1)＝3，故选B.
(2)设x<0，则－x>0.∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x.
类型二
函数的奇偶性与单调性的综合应用
命题视角1：比较大小
[例2] 若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是( )
A．f>f
B．fC．f≥f
D．f≤f
[答案] C
[解析] 因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f＝f≥f.
奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断.
[变式训练2] 已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( D )
A．f(6)>f(7)
B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9)
D．f(7)>f(10)
解析：由题易知y＝f(x＋8)为偶函数，则f(－x＋8)＝f(x＋8)，则f(x)的图象的对称轴为x＝8.
不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f(6)f(10)．故选D.
命题视角2：解不等式
[例3] 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[分析] 由于f(x)是奇函数，可得f(x)在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f(1－m)[解] 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围是.
解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f?x1?>f?x2?或f?x1?[变式训练3] 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.
B.
C.
D.
解析：因为f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象由f(2x－1)命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用
[例4] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)成立．
(1)求f(1)的值．
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
(3)若f(4)＝1，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，解关于x的不等式f(3x＋1)＋f(－6)≤3.
[解] (1)令x1＝x2＝1得，
f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，则f(－1)＝0，
令x1＝－1，x2＝x，∴f(－x)＝f(x)，
又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f(x)为偶函数．
(3)∵f(4)＝1，又f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，
∴f(16)＋f(4)＝f(16×4)＝f(64)，
∴f(64)＝f(4)＋f(4)＋f(4)，∴f(64)＝3.
∴f(3x＋1)＋f(－6)≤3等价于f(－6(3x＋1))≤3，
∴f(|－6(3x＋1)|)≤f(64)，∴
解得x∈[－，－)∪(－，]．
对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f?1?，f?0?，f?－1?之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f?x?与f?－x?或f?x2?与f?x1?之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.
[变式训练4] 已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝是增函数，且f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
解：(1)因为f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(0)＝0，得b＝0.又因为f＝，
则＝?a＝1.所以f(x)＝.
(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0，
得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有
解得0故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为{t|01．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是( C )
A．bB．bC．aD．c解析：f(x)为偶函数，则a＝f(－)＝f()．
又∵<<，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f()2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝( C )
A．3x－1
B．3x＋1
C．－3x－1
D．－3x＋1
解析：设x>0，则－x<0.∴f(－x)＝－3x－1.
又∵f(x)是偶函数，∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1.
3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是( D )
A．f(0)B．f(4)>f(3)
C．f(2)>f(0)
D．f(－1)解析：∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)．又f(4)>f(1)，f(4)>f(－1)．
4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是(－∞，0)．
解析：∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴f(a－1)>f(－1)．
又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.
5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．
解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，
∴f(3a－10)<－f(4－2a)，
∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，
∴f(3a－10)∴3a－10>2a－4，∴a>6.故a的取值范围为(6，＋∞)．
——本课须掌握的三大问题
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
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