第二章
一元二次函数、方程和不等式
2．1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
[目标]
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小．
[重点]
会用作差比较法比较两个实数的大小．
[难点]
用不等式或不等式组表示各种不等关系．
知识点一 不等式与不等关系
[填一填]
1．不等式的定义所含的两个要点：
(1)不等符号<，≤，>，≥或≠.
(2)所表示的关系是不等关系．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
[答一答]
1．不等关系通过什么样的形式表现出来？
提示：通过不等式来表现不等关系．
2．在日常生活中，我们经常看到下列标志：
(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？
(2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？
提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；
②限制质量：装载总质量G不得超过10
t；
③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；
④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；
⑤时间范围：t∈{t|7.5≤t≤10}．
(2)①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.
知识点二 比较两实数a，b大小的依据
[填一填]
[答一答]
3．用作差法比较两个实数的大小时，对差式应如何变形？
提示：一般地，对差式分解因式或配方．
4．比较x2＋3与3x的大小(其中x∈R)．
提示：因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝[x2－3x＋2]＋3－2＝2＋≥>0，所以x2＋3>3x.
类型一 用不等式(组)表示不等关系
[例1] 已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
食物
甲
乙
维生素A/(单位/kg)
600
700
维生素B/(单位/kg)
800
400
设用甲、乙两种食物各x
kg，y
kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56
000单位维生素A和63
000单位维生素B.
试用不等式组表示x，y所满足的不等关系．
[分析] 根据维生素A和B分别至少为56
000单位和63
000单位列不等式．
[解] x
kg甲种食物含有维生素A
600x单位，含有维生素B
800x单位，y
kg乙种食物含有维生素A
700y单位，含有维生素B
400y单位，则x
kg甲种食物与y
kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有
即
1.用不等式(组)表示不等关系的步骤：
(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；
(2)适当设未知数表示变量；
(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式．
2．常见的文字语言与符号语言之间的转换
[变式训练1] 《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……
设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.
解：由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．
身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，
身高超过1.4米可表示为h>1.4，
身高不足1.1米可表示为h<1.1，
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.
如下表所示：
类型二 比较大小
[例2] (1)设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．
(2)甲、乙是同班同学，且住在同一小区，两人同时从小区出发去学校，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，且跑步速度大于步行速度，试判断两人谁先到学校．
[分析] (1)将两个代数式作差，判断它们差的符号．(2)依据题意求出甲、乙所用时间，作差法进行比较．
[解] (1)∵x∈R，m∈R，
∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)＝x2＋(2m－1)x＋2－2＋2m2＋1＝2＋m2＋m＋＝2＋2＋>0.
∴x2－x＋1>－2m2－2mx.
(2)设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，其中0
0，所以＋>，故乙同学先到学校．
1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
?1?作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.
?2?变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论.
2.作商法比较大小的步骤,①作商变形；②与1比较大小；③得出结论.
[变式训练2] 设x∈R，且x≠－1，比较与1－x的大小．
解：∵－(1－x)＝，而x2≥0，
(1)当x＝0时，＝0，∴＝1－x.
(2)当1＋x<0，即x<－1时，<0，
∴<1－x.
(3)当1＋x>0，且x≠0，即－10时，>0，∴>1－x.
综上可知：当x＝0时，＝1－x；当x<－1时，<1－x；当－10时，>1－x.
类型三 不等式的实际应用
[例3] 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[分析] 依据题意表示出两车队的收费，然后比较大小．
[解] 设该单位职工有n人(n∈N
)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝xn，
y1－y2＝x＋xn－xn＝x－xn＝x.
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1当n<5时，y1>y2.
因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
?1?“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.
?2?这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤完整.
[变式训练3] 某蛋糕师制作A，B两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A种蛋糕需要面粉150
g，黄油100
g，牛奶50
mL；制作一个B种蛋糕需要面粉200
g，黄油140
g，牛奶70
mL.现有面粉1
000
g，黄油600
g，牛奶350
mL.若分别制作x个A种蛋糕，y个B种蛋糕．试列出x，y满足的不等式组．
解：①制作A，B两种蛋糕需要的面粉不超过1
000
g，用不等式表示为150x＋200y≤1
000；
②制作A，B两种蛋糕需要的黄油不超过600
g，用不等式表示为100x＋140y≤600；
③制作A，B两种蛋糕需要的牛奶不超过350
mL，用不等式表示为50x＋70y≤350；
④A，B两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整数个，故x∈N，y∈N.
所以x，y满足的不等式组为.
1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元，设x个月后他至少有400元，则关于月数x的不等式是( B )
A．30x－60≥400
B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400
D．30x＋60≤400
解析：x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( A )
A．M>－5
B．M<－5
C．M≥－5
D．M≤－5
解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5
＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，
∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，
因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.
故M>－5.
3．设a≥0，b≥0，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( B )
A．A≤B
B．A≥B
C．AD．A>B
解析：由题意得，B2－A2＝－2≤0，因为A≥0，B≥0，所以A≥B.
4．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据这个事实提炼一个不等式>(b>a>0，m>0)．
解析：由题意的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，说明>.
5．已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
解：方法1(作差法)：(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝
＝.
∵a，b为正实数，∴＋>0，>0，(－)2≥0，
∴≥0，∴＋≥＋.
方法2(作商法)：＝
＝＝
＝＝1＋≥1.
∵＋>0，＋>0，∴＋≥＋.
方法3(平方后作差)：∵(＋)2＝＋＋2，
(＋)2＝a＋b＋2，
∴(＋)2－(＋)2＝.
∵a>0，b>0，∴≥0，
又＋>0，＋>0，
故＋≥＋.
——本课须掌握的三大问题
1．不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于或等于，至少，不低于
小于或等于，至多，不多于，不超过
符号语言
>
<
≥
≤
3.比较大小的方法分为作差法和作商法，其中作差法的一般步骤是：
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
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-第2课时 等式性质与不等式性质
[目标]
1.掌握不等式的有关性质；2.能利用不等式的性质比较大小、证明不等式、求代数式的取值范围．
[重点]
不等式的性质及应用．
[难点]
对不等式性质的理解．
知识点一 等式的性质
[填一填]
知识点二 不等式的性质
[填一填]
[答一答]
1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d，是否有a>b，c>d则a－c>b－d成立？
提示：不一定，如3>1，－1>－10，则3－(－1)>1－(－10)不成立．
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
提示：不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．
3．对不等式变形时，要注意什么？
提示：对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的．
4．由a≥b，b≥c能否得到a≥c呢？如果a≥b，b>c，能否一定得到a≥c呢？
提示：由a≥b，b≥c可以得到a≥c；而如果a≥b，b>c，我们一定可以得到a>c.又“a≥c”包含“a>c”或“a＝c”，所以a≥c是一定成立的．故如果a≥b，b>c，一定可以得到a≥c.
类型一 判断命题的真假
[例1] 判断下列命题是否成立，若不成立，适当增加条件使之成立．
(1)若a>b，则ac≤bc；
(2)若ac2>bc2，则a2>b2；
(3)若a>b，c>d，则>；
(4)若c>a>b>0，则>.
[分析] 本题考查不等式的性质的应用，可结合不等式的性质找出所缺少的条件．
[解] (1)不成立．命题“若a>b且c≤0，则ac≤bc”成立，即增加条件“c≤0”．
(2)不成立．由ac2>bc2可得a>b，但只有b≥0时，才有a2>b2，即增加条件“b≥0”．
(3)不成立.>成立的条件有多种(如a>b>0，c>d>0)，因此，可增加条件“b>0，d>0”．
(4)成立．a>b>0?－a<－b<0?0又a>b>0，∴>>.
1.判定一个命题是假命题，有下面两种方法：(1)从已知条件入手，推出与结论相反的结论；(2)举出反例，反例法简捷、快速、有效，是解决该类问题行之有效的好方法．
2．应用不等式基本性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”，其中“乘负反序”“同时取倒反序”两种情况极易忽视，应特别注意．
[变式训练1] (1)已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题正确的是( D )
A．如果a>b，那么>
B．如果acC．如果a>b，那么<
D．如果a>b，那么>
(2)若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②ab3，则不正确的不等式的个数是( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：(1)利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A，B，C中的条件．对A有：<，故A错．对B有a>b，故B错．对C有>，故C错．对于D，∵c≠0，∴>0，由不等式的性质4知，D正确．
(2)由<<0可得b0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.
类型二
证明不等式
[例2] (1)已知a>b>0，求证：<.
(2)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
[证明] (1)a>b>0?a2>b2>0?<.
(2)bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)，又bd>0，两边同除以bd得，≤.
利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.
[变式训练2] 若a>b>0，c.
证明：∵c－d>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.∴0<<.
又∵e<0，∴>.
类型三
求取值范围
[例3] 已知－6[分析] 解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解．
[解] ∵－6∴－10<2a＋b<19.
又∵－3<－b<－2，∴－9又<<，
(1)当0≤a<8时，0≤<4；
(2)当－6由(1)(2)得－3<<4.
求含有字母的数?或式子?的取值范围时，要注意以下两点：
?1?要注意题设中的条件；
?2?要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减；两边都是正数的同向不等式可乘不可除.
[变式训练3] (1)已知12(2)已知0≤a≤1,2≤a－b≤3，则a－2b的取值范围是3≤a－2b≤6.
解析：(1)∵15又12即<<2.
(2)∵0≤a≤1,2≤a－b≤3，
∴－1≤－a≤0,4≤2a－2b≤6.
∴3≤－a＋(2a－2b)≤6，即3≤a－2b≤6.
1．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( C )
A．ab>bc
B．ac>bc
C．ab>ac
D．a|b|>c|b|
解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0得a>0，c<0，b符号不确定，则由a>0，b>c一定有ab>ac成立．故选C.
2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－<－，则( B )
A．bcB．bc>ad
C.>
D.<
解析：由－<－得>又ab>0得·ab>·ab即bc>ad.故选B.
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( A )
A．－2<α－β<0
B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0
D．－1<α－β<1
解析：∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<－β<1，则有－2<α－β<2，又α<β，∴α－β<0.综上必有－2<α－β<0.
4．给出下列命题：①a>|b|?a2>b2；②a>b?a3>b3；③|a|>b?a2>b2.
其中正确的命题是①②.
5．已知a>b>0，c证明：∵c－d>0.
∴0<－<－.又a>b>0，
∴－>－>0.∴>，
即－>－，两边同乘－1，得<.
——本课须掌握的两大问题
1．对不等式性质的五点说明
(1)性质1和2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识．
(2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．
(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．
(4)性质5(即加法法则)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
(5)性质6,7(即乘法法则与乘方法则)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．
2．证明不等式
(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．
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-2．2 基本不等式
第1课时 基本不等式
[目标]
1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
[重点]
基本不等式的内容及证明．
[难点]
运用基本不等式证明简单的不等式．
知识点 两个不等式
[填一填]
1．重要不等式：?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式：如果a，b∈R＋，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
[答一答]
1．下面是基本不等式≤的一种几何解释，请你补充完整．
如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于D，连接OD，AD，BD.
(1)由射影定理可知，CD＝，而OD＝；
(2)因为OD≥CD，所以≥，当且仅当C与O重合，即a＝b时，等号成立；
(3)基本不等式≤的几何意义是半径不小于半弦．
2．不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≤成立的条件有什么不同？
提示：不等式a2＋b2≥2ab对任意实数a，b都成立；≤中要求a，b都是正实数．
3．(1)基本不等式中的a，b可以是代数式吗？
(2)≥与2≥ab是等价的吗？
提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数，否则不成立．
(2)不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.
类型一
用基本不等式比较大小
[例1] 若0[解] ∵0∴a＋b>2，a2＋b2>2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．
而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，
∵0∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2∴a＋b最大．
利用基本不等式比较实数大小的注意事项
?1?利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式?和与积?，同时要注意结合函数的性质.
?2?利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
[变式训练1] (1)已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( D )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，ab>0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．
(2)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，试比较x，y的大小．
解：a，b是不相等的正数，由x＝得x2＝<＝a＋b，
又∵y＝，即y2＝a＋b，∴x2类型二
用基本不等式证明不等式
[例2] (1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.
(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
[分析] (1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又－1＝＝≥，可由此变形入手．
[证明] (1)∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>＋＋.
(2)∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
3．解题时要注意技巧，当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．
[变式训练2] 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
证明：＋＋＝＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
1．给出下列条件：
①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可．所以①③④均可以．
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是( D )
A．{m|m<6}
B．{m|m≤6}
C．{m|m≤8}
D．{m|m<8}
解析：本题考查基本不等式的应用．x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立)，所以x＋2y>m恒成立，只需(x＋2y)min>m.所以m<8.故选D.
3．设b>a>0，且a＋b＝1，则四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是( A )
A．b
B．a2＋b2
C．2ab
D.
解析：因为b>a>0，所以a2＋b2>2ab.又因为a＋b＝1，所以b>.又b＝b(b＋a)＝b2＋ab>b2＋a2，所以b最大，故选A.
4．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以ab≤()2＝1，
所以①恒成立；
＋≤2＝2，所以②不恒成立；
a2＋b2≥＝2，所以③恒成立；
当a＝b＝1时，a3＋b3＝2<3，所以④不恒成立；
＋＝(a＋b)(＋)＝(2＋＋)≥2，
所以⑤恒成立．
5．已知x，y都是正数．
求证：(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
证明：(1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，
∴＋≥2＝2，即＋≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立．
(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，
x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
——本课须掌握的两大问题
1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．
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-第2课时 基本不等式的应用
[目标]
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
[重点]
利用基本不等式求最值问题．
[难点]
利用基本不等式解决实际问题．
知识点一
基本不等式与最值
[填一填]
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
[答一答]
1．利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？
提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视．
(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．
2．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？
提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．
3．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．
知识点二 解答不等式应用题的步骤
[填一填]
(1)阅读、理解材料：应用题所用语言多为文字语言、符号语言、图形语言并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，理解材料要达到的目的是明确将实际问题建成何种数学模型的思路，明确解题方向．
(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知问题的对应关系，以便确立下一步的努力方向．
(3)讨论不等式关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．
(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出最后的结论．
[答一答]
4．利用基本不等式求解实际问题中的关键是什么？
提示：对实际应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好目标函数关系式是求最值的基本保证，解决实际问题的一般步骤如下：
类型一
利用基本不等式求最值
[例1] (1)若x>0，求y＝4x＋的最小值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
[分析] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．
[解] (1)∵x>0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2＝2＝12，
当且仅当4x＝，即x＝时，y＝4x＋取最小值12.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取“＝”．
∴y的最大值为.
(3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6.
当且仅当x－2＝，即x＝4时，x＋取最小值6.
(4)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝16.
当且仅当＝且＋＝1时等号成立．
即x＝4，y＝12时等号成立．
∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.
?1?应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等.在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键.
?2?常用构造定值条件的技巧变换：
①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式.
?3?对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用.
[变式训练1] (1)(－6≤a≤3)的最大值为( B )
A．9
B.
C．3
D.
(2)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为4.
解析：(1)解法1：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式，知≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．
解法2：＝≤，
当且仅当a＝－时等号成立．
(2)∵a，b∈R，ab>0，
∴≥
＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号．
故的最小值为4.
类型二
利用基本不等式解决实际问题
[例2] 某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)
(1)求y2的表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．
[解] (1)依题意，当x＝0时，y1＝6，
∴6＝，∴k＝30.
故y1＝，y2＝4x＋·15＋10＝4x＋＋10(0≤x≤10)．
(2)y2＝4x＋＋10＝(4x＋10)＋
＝2(2x＋5)＋≥2＝60，
当且仅当2(2x＋5)＝，即x＝5时y2取得最小值，最小值为60，
∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识?函数及不等式性质等?解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
?1?先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
?2?建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
?3?在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
?4?正确写出答案.
[变式训练2] 特殊运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式．
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：(1)设所用时间为t＝(小时)，
y＝×6×＋140×(50≤x≤100)．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋，50≤x≤100.
(2)y＝＋≥，
当且仅当＝，
即x＝4时，等号成立．
故当x＝4千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．
类型三
基本不等式的综合应用
[例3] (1)若－4A．－3
B．－2
C．－1
D．0
(2)若x>1，则函数y＝x＋＋的最小值为________．
[分析] (2)思路1：首先注意到x＋是我们熟悉的“对勾”函数，但本例并不能单纯去求它的最小值，因为还有，必须把x＋和综合起来求解才行．将变形为，然后把x＋看作一个整体进行求解．
思路2：当涉及分式的情形时，通分是最容易想到的常规方法，通分后x＋＝，利用基本不等式即可求解．
[解析] (1)＝＝＝＋，∵－4∴原式＝＋＝－[－＋]≤－2＝－1，当且仅当－＝，即x＝0时取等号，故选D.
(2)方法1：由于y＝x＋＋＝x＋＋，令u＝x＋(x>1)，则u>2，所以y＝u＋≥8，当且仅当u＝，即u＝4，x＝2＋时等号成立．
方法2：y＝x＋＋＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即x＝2＋时等号成立．
[答案] (1)D (2)8
利用基本不等式求最值的常用方法：
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值．
(2)构造法：①构造不等式：利用ab≤()2将式子转化为含ab或a＋b的不等式，再将ab、(a＋b)视为整体求范围．
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值．
(3)函数法：当利用基本不等式时等号不能成立，则将待求式看成函数关系结合函数的相关性质求最值．
[变式训练3] (1)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则(1＋)(2＋)的最小值为18.
(2)已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为.
解析：(1)因为(1＋)(2＋)＝2＋＋＋＝2＋＝2＋，又1＝a＋2b≥2，所以ab≤，即2＋≥2＋2×8＝18，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号．
(2)本题考查基本不等式的应用．利用基本不等式求解.＋＝a＋＋＝a＋＋b＋1－2＋，又a＋b＝1，a>0，b>0，
所以a＋＋b＋1－2＋＝＋＝＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝时取等号，所以＋的最小值为.
1．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( D )
A．2
B．2
C．3
D．4
解析：a＋＋2≥2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立．
2．如果a＋b＝1，那么ab的最大值是( B )
A.
B.
C.
D．1
解析：由于求ab的最大值，只考虑a，b>0时即可．∵a＋b＝1，∴1≥2，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，那么ab的最大值是.
3．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( B )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.
4．已知0解析：3x(1－x)≤3()2＝，
当且仅当x＝1－x即x＝时等号成立．
5．要制作一个容积为4
m3，高为1
m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160(单位：元)．
解析：设该长方体容器的长为x
m，则宽为
m．又设该容器的总造价为y元，则y＝20×4＋2×10，即y＝80＋20(x>0)．因为x＋≥2＝4，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．
——本课须掌握的三大问题
1．基本不等式成立的条件：a>0且b>0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则≠，即只能有<.
2．利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的性质求得函数的最值．
3．求解应用题的方法与步骤：
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．
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-2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式的解法
[目标]
1.知道一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2.会解一元二次不等式．
[重点]
解一元二次不等式．
[难点]
对一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系的理解．
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解集
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
[答一答]
1．不等式ax2＋2x－3>0一定表示一个一元二次不等式吗？
提示：不一定．当a≠0时表示一个一元二次不等式．当a＝0时表示一个一元一次不等式．
2．一元二次不等式有哪些常见的形式？
提示：任意一个一元二次不等式，总可以化为以下四种形式中的一种：
(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；
(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(3)ax2＋bx＋c≥0(a>0)；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a>0)．
知识点二
二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系
[填一填]
[答一答]
3．当一个一元二次不等式的解集不是R或?时，相应不等式的解集与一元二次方程的根有什么关系？
提示：设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x14．函数y＝x2－x－6的判别式Δ>0，该图象与x轴有两个交点，其交点横坐标为－2,3，不等式x2－x－6>0的解集是{x|x<－2或x>3}，不等式x2－x－6<0的解集是{x|－2解析：相应的一元二次方程x2－x－6＝0的判别式Δ＝(－1)2＋4×6＝25>0，故函数图象与x轴有两个交点．
由x2－x－6＝0，得x1＝－2，x2＝3，故交点横坐标分别为－2,3.
故不等式x2－x－6>0的解集为{x|x<－2或x>3}．
不等式x2－x－6<0的解集为{x|－2类型一
不含参数的一元二次不等式的解法
[例1] 求下列一元二次不等式的解集：
(1)x2－3x＋5>0；
(2)－6x2－x＋2≥0；
(3)－4x2≥1－4x；
(4)2x2－4x＋7<0.
[解] (1)∵Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，
∴x2－3x＋5>0的解集为R.
(2)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，
∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，
∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，
即x1＝－，x2＝，
∴原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0.
∴原不等式的解集是.
(4)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0，
∴不等式2x2－4x＋7<0的解集为?.
[变式训练1] (1)不等式2－x－x2>0的解集是( D )
A．{x|x<－1或x>1}
B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|－1D．{x|－2(2)不等式4x2＋4x＋1>0的解集为.
解析：(1)不等式2－x－x2>0可化为x2＋x－2<0.因式分解可得(x－1)(x＋2)<0，对应方程的解为x＝1或x＝－2，则不等式2－x－x2>0的解集是{x|－2(2)注意到4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2≥0，所以不等式的解集为.
类型二
含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解下列关于x的不等式．
(1)(ax－1)(x＋1)>0；
(2)m2x2＋2mx－3<0.
[解] (1)若a＝0，则原不等式为一元一次不等式，解集为{x|x<－1}．
当a≠0时，方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根为x1＝，x2＝－1.
当a>0时，解集为{x|x<－1或x>}；
当－1当a<－1，即0>>－1时，解集为{x|－1当a＝－1时，解集为?.
(2)当m＝0时，－3<0恒成立，解集为R.
当m≠0时，二次项系数m2>0，Δ＝16m2>0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0.
当m>0时，解集为{x|－当m<0时，解集为{x|解含参数的一元二次不等式的步骤
[变式训练2] 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
(1)当a>0时，x1>x2，
不等式的解集为{x|－a(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；
(3)当a<0时，x1不等式的解集为{x|2a综上所述，原不等式的解集为：
a>0时，解集为{x|－aa＝0时，解集为?；
a<0时，解集为{x|2a类型三
三个“二次”间对应关系的应用
[例3] 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
[分析] 由一元二次不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1[解] ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由韦达定理有得
代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0?(2x－1)(x－1)>0?x<或x>1.∴bx2＋ax＋1>0的解集为{x|x<或x>1}．
三个“二次”关系的实质是数形结合思想：ax2＋bx＋c＝0?a≠0?的解?y＝ax2＋bx＋c?a≠0?图象上的点?x，0?；ax2＋bx＋c>0?a≠0?的解集?y＝ax2＋bx＋c?a≠0?图象上的点?x，y?在x轴上方的x的取值范围.三者之间相互依存相互转化.
[变式训练3] (1)已知二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2A．a＝－1，b＝－2
B．a＝－2，b＝－1
C．a＝b＝－
D．a＝1，b＝2
(2)若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1解析：(1)由题知a<0且－2,1为方程ax2＋bx＋1＝0的两根，由根与系数的关系可求得．
(2)由题可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0.∴解得或(舍去)．
1．不等式x(2－x)>0的解集为( D )
A．{x|x>0}
B．{x|x<2}
C．{x|x>2或x<0}
D．{x|0解析：原不等式化为x(x－2)<0，故02．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解是( B )
A．x<－n或x>m
B．－nC．x<－m或x>n
D．－m解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，
因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解是－n3．若y＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2解析：因为不等式的解集为{x|－24．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则实数a＝－2，实数b＝3.
解析：由题意可知－，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根且a<0.
由根与系数的关系得
解得a＝－2，b＝3.
5．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为{x|－0的解集．
解：由ax2＋2x＋c>0的解集为{x|－由根与系数的关系得－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2.
∴－cx2＋2x－a>0，即－2x2＋2x＋12>0，整理得x2－x－6<0，其解集为{x|－2——本课须掌握的两大问题
1．从两个角度看三个“二次”之间的内在联系
(1)从函数的角度看(以a>0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，要加深理解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系．
(2)从方程的角度看
设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，
{x|x12．解含有参数的一元二次型的不等式的注意事项
(1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；
(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；
(3)如果判别式大于零，但两实根的大小还不能确定，此时再以两实根的大小作为分类标准进行分类讨论．
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-第2课时 一元二次不等式的应用
[目标]
1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；2.能从实际问题中建立一元二次不等式的模型，并会应用其解决实际问题．
[重点]
利用一元二次不等式解决恒成立问题及实际问题．
[难点]
从实际问题中建立一元二次不等式的模型．
知识点一
简单的分式不等式的解法
[填一填]
若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式>0(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．
解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．
(1)>0?f(x)g(x)>0；
(2)<0?f(x)g(x)<0；
(3)≥0?；
(4)≤0?.
[答一答]
1．不等式<0的解集为.
解析：原不等式可以化为(2x－1)(2x＋1)<0，即<0，
故原不等式的解集为.
2．不等式≥0的解集是{x|x>4或x≤－2}．
解析：原不等式等价于
解得x>4或x≤－2，故不等式的解集是{x|x>4或x≤－2}．
知识点二
不等式中的恒成立问题
[填一填]
1．不等式的解集为R的条件
2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
y≤a恒成立?ymax≤a
y≥a恒成立?ymin≥a
[答一答]
3．不等式f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？
提示：
知识点三
一元二次不等式的实际应用
[填一填]
对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言转换成数学语言，从而把实际问题转换成数学问题．
同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑．
[答一答]
4．解不等式应用题的解题步骤是什么？
提示：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系；
(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
(3)解不等式(或求函数最值)；
(4)回扣实际问题．
类型一
简单的分式不等式的解法
[例1] 解下列不等式．
(1)≥0；(2)>1.
[分析] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．
[解] (1)∵≥0?
??x<－或x≥，
∴原不等式的解集为{x|x<－，或x≥}．
(2)方法一：原不等式可化为
或?或
?－3∴原不等式的解集为{x|－3方法二：原不等式可化为>0?>0?<0?(2x＋1)(x＋3)<0?－3∴原不等式的解集为{x|－3(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[变式训练1] (1)下列选项中，使不等式x<A．x<－1
B．－1C．0D．x>1
(2)不等式：>1的解集为{x|－1解析：(1)由x<解得所以x<－1.
(2)因为x2＋x＋1＝2＋>0，所以原不等式可化为x＋2>x2＋x＋1，即x2－1<0，解得－1类型二
不等式恒成立问题
命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立
问题 [例2] 关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围．
[分析] →
→→
[解] (1)若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变化为－1<0，解集为R；
若a＝－1，不等式变为2x－1<0，
解集为{x|x<}．∴a＝1时满足条件．
(2)若a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式解集为R的条件是
解得－综上所述，当－[变式训练2] 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是－2解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立，解集为R，∴a＝2满足条件；
当a－2≠0时，则原不等式解集为R时，a满足解得－2综上所述，a的范围是－2命题视角2：一元二次不等式在某特定范围上恒
成立问题 [例3] 已知y＝x2＋ax＋3－a，若{x|－2≤x≤2}，y≥2恒成立，求a的取值范围．
[分析] 对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，通常利用函数最值转化．
[解] 若x∈{x|－2≤x≤2}，y≥2恒成立可转化为：
?x∈{x|－2≤x≤2}，ymin≥2?
或或
解得a的取值范围为－5≤a≤－2＋2.
a≥y或a≤y型不等式是恒成立问题中最基本的类型，由a≥y在x∈D上恒成立，则a≥ymax?x∈D，y存在最大值?；a≤y在x∈D上恒成立，则a≤ymin?x∈D，y存在最小值?.
[变式训练3] 若?1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，求实数a的取值范围．
解：?1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即?1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立．
①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R；
②当1∵1∴x－1＋≥2＝4(当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号)，∴a≤4.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}．
类型三
一元二次不等式的实际应用
[例4] 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[解] (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．
依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)．
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0故x的取值范围是0解不等式应用题的步骤
[变式训练4] 某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，则售出商品的数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商品一天的销售额为y元，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若要求该商品一天的销售额至少为10
260元，求x的取值范围．
解：(1)若售价降低x成，则降低后的商品售价为100元，售出商品的数量为100件，
由题意，得y与x之间的函数关系式为y＝100·100.
因为售价不能低于成本低，
所以100－80≥0，解得x≤2，
所以y＝20(10－x)(50＋8x)，x的取值范围为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意，得20(10－x)(50＋8x)≥10
260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤，因为0≤x≤2，所以x的取值范围是≤x≤2.
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝( B )
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|02．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( A )
A．－4≤a≤4
B．－4C．a≤－4或a≥4
D．a<－4或a>4
解析：依题意应有Δ＝a2－16≤0，
解得－4≤a≤4，故选A.
3．不等式≤3的解集为.
解析：≤3?－3≤0?≥0?
x(2x－1)≥0且x≠0?x<0或x≥.
4．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的m≤x≤m＋1都有f(x)<0，则实数m的取值范围为－解析：根据题意得
解得－5．已知当2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立．求a的取值范围．
解：∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立，
∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立．
令g(x)＝－2x2＋9x，
∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝，
∴g(x)min＝g(3)＝9，∴a<9.
∴a的取值范围为a<9.
——本课须掌握的四大问题
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>y恒成立?a>ymax；(2)a3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
4．一元二次方程根的分布问题要注意数形结合，从开口方向，对称轴位置，判别式等方面考虑．
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