沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形与等腰三角形单元同步训练卷（word版含解析）

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形与等腰三角形单元同步训练卷
一、单选题
1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=20cm，AB=12cm，则△ABD的周长为（
）
A．20
cm
B．22
cm
C．26
cm
D．32cm
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于D、E．EF⊥AC，垂足为F，连接AE，则AF=（
）
A．AD
B．AE
C．AC
D．DE
4．如图，点是平分线上的一点，，垂足为D，若，则点到边的距离是（
）
A．
B．3
C．5
D．4
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°
7．将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（
）
A．
B．
C．
D．
8．点P(2，3)关于直线x＝m的对称点为(－4，3)，关于直线y＝n的对称点为(2，－5)，则m－n＝(　　)
A．2
B．－2
C．0
D．3
9．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（　　）
A．BD+ED=BC
B．DE平分∠ADB
C．AD平分∠EDC
D．ED+AC＞AD
10．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（　　）
A．32
B．64
C．128
D．256
二、填空题
11．如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ时，连接PQ，交AC于点D。下列结论：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝AC；④AE＝CQ。其中正确的是________(填序号)。
12．如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1
，
再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2
，
则顶点A2的坐标是________?
?
13．如图，∠BAC=120°，AB=AC，AB=14，则AD=________．
14．如图：在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=________．
15．如图，在中，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是________．
三、解答题
16．如图，在?ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE=∠BAD．
17．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？
（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A1的坐标为
；
（2）将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，其中点B2的坐标为
．
19．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与点B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)如图1，当点D在线段BC上运动时，
①若∠BAC＝48°，则∠BCE＝______度；
②猜想∠BAC与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时，(2)②中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明；若不成立，请你给出正确的数量关系，并说明理由．
20．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
试卷第6页，总6页
参考答案
1．A
解：
A、是轴对称图形和中心对称图像，故本选项正确；
B、是轴对称图形但是不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图像但是不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是不是中心对称和轴对称图形，故本选项错误；
2．D
由垂直平分线的性质可知：，
，
3．B
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C==40°，
∵AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，
∴BE=AE，
∴∠BAE=∠B=40°，
∴∠FAE=∠BAC-∠BAE=100°-40°=60°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
则∠AEF=30°，
∴AF=AE．
4．B
作PE⊥OA于E
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA
∴PE=PD=3
故选B．
5．B
由题意可知，AD是∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=2CD=6，∠B=∠BAD，
∴BD=AD=6.
6．A
解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，
即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，
∴2∠1＝2∠3＋∠A，
∵∠1＝∠3＋∠D，
∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．
7．A
严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．
8．C
点P（2，3）关于直线x=m的对称点的坐标为（－4，3），∴2m=2－4，解得：m=－1，
关于直线y=n的对称点的坐标为（2，－5），∴2n=3－5，解得：n=－1，∴m-n=－1－（－1）=0．
故选C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质以及对称点的坐标关系是解题的关键．
9．B
CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC；
又有AD=AD，
可证△AED≌△ACD
∴∠ADE=∠ADC
即AD平分∠EDC；
在△ACD中，CD+AC>AD
所以ED+AC>AD.
综上只有B选项无法证明,B要成立除非∠B=30?，题干没有此条件，B错误，
10．D
如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
…
∴△AnBnAn+1的边长为
2n-1，
∴△A9B9A10的边长为29-1=28=256．
故选D．
11．①③④
①过P作PF∥BQ，交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=60°，
∵PF∥BQ，
∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=PA，
∵PA=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴PD=DQ；
所以①结论正确；
②由①得：△PFD≌△QCD，
∴∠DPF=∠Q，
∵△APF等边三角形，
∴∠APF=60°，
∵QP与AB不一定垂直，
∴∠Q不一定为30°，
所以②结论不正确；
③∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，
∴EF=AF，
∵△PFD≌△QCD，
∴DF=DC，
∴DF=FC，
∴DE=EF+DF=AF+FC=AC，
所以③结论正确；
④在Rt△AEP中，∠A=60°，
∴∠APE=30°，
∴AE=AP，
∴AE=CQ，
所以④结论正确；
所以本题结论正确的有：①③④；
故答案为：①③④．
12．（2，-3）
∵将△ABC向右平移4个单位得△A?1B?1C?1，?
∴的横坐标为-2+4=2；纵坐标不变为3；?
∵把△A?1B?1C?1以x轴为对称轴作轴对称图形△A?2B?2C?2，?
∴B?2的横坐标为2，纵坐标为-3；?
∴点B?2的坐标是（2，-3），?
故答案为（-1，-2）
13．7
详解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°?∠BAC）＝（180°?120°）＝30°，
∴AD＝AB＝×14＝7．
14．45°
设∠EBD=x°，
∵BE=DE，∴∠EDB=∠EBD=x°，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴2x+3x+3x=180，
解得：x=22.5，
∴∠A=2x°=45°．
15．7
解：∵垂直平分，
∴B，C关于直线对称．设交于点D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
16．
试题分析：根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．
试题解析：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD．
17．（1）8
（2）56°
（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=EC，
∵BC=8，
∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）∵∠BAC=118°，
∴∠B+∠C=62°，
∵DA=DB，EA=EC，
∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠BAD+∠EAC=62°，
∠DAE=
18．
（1）作出A，B，C关于y轴对称点A1，B1，C1，即可解决问题；
（2）作出A1，B1，C1的对称点A2，B2，C2，即可解决问题.
【详解】
（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，其中点A1的坐标为（-1，2）；
故答案为（-1，2）；
（2）△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，B2（-2，-1）；
故答案为（-2，-1）
19．
（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①∵△ABD≌△ACE，∠BAC=48°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BAC=∠BCE+∠BCA=180°，
则∠BCE=132°；
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°；
（3）不成立．
如图：
当点D在射线BC的反向延长线上时，∠BAC=∠BCE．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
20．
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．