沪科版九年级数学上册22.3相似三角形的性质练习题(Word版，附答案解析）

初中数学沪科版九年级上册第二十二章22.3相似三角形的性质练习题
副标题
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，的面积为2，则四边形CDEF的面积为
A.
6
B.
8
C.
10
D.
12
如图，在中，E为CD上一点，，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则等于
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC边上，，垂足为若，则线段EF的长为
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
在直角三角形ABC中，，，，，那么正确的
A.
B.
C.
D.
如图，∽，则下列比例式正确的是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，高，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为
A.
15
B.
20
C.
25
D.
30
已知∽，相似比为3，且的周长为18，则的周长为
A.
2
B.
3
C.
6
D.
54
如图，在中，两条中线BE、CD相交于点O，则：
A.
2
B.
C.
D.
如图，与相似，且，则下列比例式中正确的是
A.
B.
C.
D.
如图，D，E分别是的边AB、BC上的点，，若，则的值为???
A.
B.
C.
D.
如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，若与四边形DBCE的面积相等，则等于
A.
1
B.
C.
D.
如图，在中，于点M，于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN，则下列结论：；；若，则为等边三角形；若，则其中正确的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
在中，已知，，，点E、F分别在AB和AC上，设，，若线段EF平分的面积，则用x的代数式表示________
．
如图，在中，点D、E分别在AB、AC上，，如果，的面积为5，四边形BCED的面积为15，那么AB的长为_______
若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为______．
已知在与中，，，，的周长为18cm，则的周长为______．
如图，在中，，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点若，，则线段DE的长度为______．
如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE：：5，连接DE交AB于F，则：______．
三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
如图1，在中，，，点D是内一点，，点E是BD延长线上一点，．
的度数；
求证：；
作BP平分，，垂足为如图，若，求BP的长。
等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各有一动点E，F，且，连结AF，BE相交于点P．
求证：，并求的度数．
若，试求的值．
当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长及CP的最小值．
已知，在中，，，，点D在BC边上，且。
求AD的长。
取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，求证：∽。
如图，在中，AD平分，且AD的长为12．
若E是AC边的中点，求的面积；
若DF
AC，点F在AB上，求的周长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，也考查了矩形的性质，难度一般利用矩形的性质得到，，再证明∽得到，则利用三角形面积公式得到，，，然后利用的面积的面积得到四边CDEF的面积．
【解答】
解：四边形ABCD为矩形，
，，
是矩形ABCD中AD边的中点，
，
，
∽，
，
，，
，
四边CDEF的面积．
故选C．
2.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质，考查三角形的面积，属于中档题．
根据平行四边形的性质求出，，求出DE：：5，根据相似三角形的判定推出∽，求出和的面积比，根据三角形的面积公式求出和的面积比，即可求出答案．
【解答】
解：根据图形知：的边DF和的边BF上的高相等，
并设这个高为h，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
：：3，
：：5，
，
∽，
，
：：：5?，
?，
：：：10：25．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD为矩形，
，，，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
证明∽，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
4.【答案】B
【解析】解：由射影定理得，，即，
解得，舍去，，
，
，
，A选项错误；
由勾股定理得，，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B．
根据射影定理求出BD，根据余弦的概念求出，得到，判断A；根据勾股定理求出AD，判断B；根据射影定理判断C；根据直角三角形的性质求出AC，判断D．
本题考查的是射影定理、直角三角形的性质，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
由∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】
解：∽，
．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：设正方形EFGH的边长，
四边EFGH是正方形，
，，
∽，
是的高，
，
四边形EHDN是矩形，
，
∽，
相似三角形对应边上的高的比等于相似比，
，，
，
，
解得：，
．
故选：B．
设正方形EFGH的边长，易证四边形EHDN是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出∽，根据相似三角形的性质计算即可得解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
7.【答案】C
【解析】解：∽，相似比为3，的周长为18，
，
的周长为6．
故选：C．
由∽，相似比为3，且的周长为18，根据相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得的周长．
此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的周长的比等于相似比是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．因为BE、CD是中的两条中线，可知DE是的中位线，于是，得出∽，再根据相似比即可求出面积比．
【解答】
解：、CD是中的两条中线，
是的中位线，
于是，
∽，
故选D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的三边对应成比例．运用此性质时，关键是对应边要找准．寻找对应边的一般方法有：最长边是对应边，最短边是对应边；对应角所对的边是对应边．
根据相似三角形三边对应成比例即可得出结果．
【解答】
解：由题意，，，
则∽，
，故D正确，其余选项错误；
故选：D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等高三角形的面积证明BE：：2，进而证明BE：：3；证明∽，∽，得到，借助相似三角形的性质得到：，再根据等高三角形的面积计算得到：即可解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
【解答】
解：：：2，
和等高，
：：2；
：：3；
，
∽，∽，
，
，
：，
和等高，
?：，
：12．
故选C．
11.【答案】B
【解析】解：，
∽，
，
设，
，
，
，舍去
故选：B．
根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
12.【答案】B
【解析】【试题解析】
解：于点M，于点N，P为BC边的中点，
，，
，正确；
在与中，
，，
∽，
，
，正确；
，
，
如果为等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
则是等边三角形，
而不一定是等边三角形，故错误；
当时，于点N，
，，
，
为BC边的中点，
，为等腰直角三角形
，故正确．
故选：B．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；先证明∽，再根据相似三角形的对应边成比例可判断正确；如果为等边三角形，求得，推出是等边三角形，得到是等边三角形，而不一定是等边三角形，故错误；当时，，由P为BC边的中点，得出，判断正确．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式，利用相似得出DE的长是解答本题的关键先利用勾股定理求出BC的长，求出的面积，正确作出辅助线，利用∽，求出DE，再利用的面积为面积的一半求解即可．
【解答】
解：过点E作，
，，，
，
?，
，，
∽，
?，即?，
，
平分的面积，
，
．
故答案为．
14.【答案】8
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，根据已知得出∽，即可得出，代入数值计算即可．
【解答】
解：，，
∽，
，
，的面积为5，四边形BCED的面积为15，
，
．
故答案为8．
15.【答案】3：5
【解析】【试题解析】
解：两个相似三角形的面积比是9：25，
两个相似三角形的相似比是3：5，
对应边上的中线的比为3：5，
故答案为：3：5．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在与中，，
∽，
，
的周长的周长，
故答案为：．
由，得出∽，得出，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【试题解析】
解：，，，
，
垂直平分AB，
，，
，
又，
∽，
，
即
．
故答案为：．
先求出AE长，根据相似三角形的判定得出∽，得出比例式，代入求出DE长即可．
本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出∽是解此题的关键．
18.【答案】9：4
【解析】解：在?ABCD中，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：9：4．
易证∽，所以，又题意可知，从而可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
19.【答案】解：中，，，
，
，，
，
，
，，
所在直线垂直平分BC，
平分，
，
；
如图1，在线段DE上截取，连接AM，
，，
是等边三角形，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
；
如图2，过点P作于Q，
平分，，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得：，
，
，
．
【解析】【试题解析】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，本题中求证≌是解题的关键．
易求的大小，易求AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；
在线段DE上截取，连接AM，易证≌，可得，根据即可求得，于是证得结论；
如图2过点P作于Q，由角平分线的性质得到，再由三角形相似得到，求得，得到PE，根据勾股定理列方程求解．
20.【答案】证明：为等边三角形，
，，
又，
在和中，
，
≌，
，．
又，
．
．
，，∽，
，即，所以
如图，点P经过的路径是以A，B为端点的圆弧，
且，则圆心角，
?过点O作，?在中，，
，
，
此时点P经过的路径长为，
所以，点P经过的路径长为?
?
?
?
?
?
当点P运动到圆弧的中点时CP取最小值，最小值为?
【解析】本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．
证明≌，借用外角即可以得到答案；
??利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．
当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案，当点P运动到圆弧的中点时CP取最小值，最小值为．
21.【答案】解：，，
∽，
，
，，
，
在中，，
；
证明：，F分别是AD，AB中点，
，
即，
在中，E是AD中点，
，
即，
为AB中点，，
，
即，
，
∽．
【解析】【试题解析】
此题主要考查对相似三角形的性质的理解和掌握，突破点是由相似得到正确的比例式；小题的难点是找证两三角形相似的条件．难度适中，题型较好．
小题是先证明和相似，求出DC的长度，再利用勾股定理即可求出AD；
小题根据直角三角形斜边上的中线和三角形的中位线的性质推出三边对应成比例即可证出和相似．
22.【答案】解：过点E作于G，
，AD平分，
，，
，
，
，
又E是AC边的中点，
，
，
又，，
，，
的面积；
由可知：，
又E是AC边的中点，
，
，
四边形AEDF为平行四边形，点F是AB边的中点，
，，
的周长．
【解析】本题主要考查了平行线的判定、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过点E作于G，首先求出，即，即可求出EG，然后利用勾股定理得出CD，即可求解；
首先求得四边形AEDF为平行四边形，点F是AB边的中点，即，，即可求解．
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