北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习卷（Word版 含解析）

2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题
1．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜且a≠0 B．a＞
C．a≤且a≠0 D．a≥
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
3．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k≤ C．k＞ D．k≥
4．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（　　）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．有且只有一个实数根
5．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
6．关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1
7．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（　　）
A．﹣2018 B．2018 C．2020 D．2022
8．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（　　）
A．x2＝1，k＝2 B．x2＝2，k＝2 C．x2＝1，k＝﹣1 D．x2＝2，k＝﹣1
9．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
10．m、n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，（m2﹣2020m+2020）?（n2﹣2020n+2020）的值是（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
11．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
12．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣2n+2015的值是（　　）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
13．设a，b是方程x2+3x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a﹣b的值为（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
二．填空题
14．若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的最大整数值是　 　．
三．解答题
15．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）任取一个你喜欢的m值代入，并求出此时方程的根．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于9，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
18．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根．

参考答案
一．选择题
1．解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0，
解得：a＜，
∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a＜且a≠0．
故选：A．
2．解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
3．解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得k≤．
故选：B．
4．解：∵△＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2，
而a，b是不为0的常数，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，
∵△＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
6．解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；
k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，
解得k≤1，
故选：D．
7．解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，
则原式＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．
故选：A．
8．解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，
∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+1＝﹣，
解得：x2＝1，k＝2，
则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．
故选：A．
9．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，
所以＝．
故选：B．
10．解：∵m，n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，
∴m2﹣2019m+2020＝0，n2﹣2019n+2020＝0，mn＝2020，
∴（m2﹣2020m+2020）?（n2﹣2020n+2020）
＝（﹣m）（﹣n）
＝mn
＝2020．
故选：D．
11．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
12．解：∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+2m＝1，m+n＝﹣2，
∴m2﹣2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015＝1+4+2015＝2020．
故选：B．
13．解：∵a，b是方程x2+3x﹣2017＝0的两个实数根，
∴a2+3a﹣2017＝0，a+b＝﹣3，
故a2+3a＝2017，
则a2+2a﹣b＝a2+3a﹣（a+b）
＝2017+3
＝2020．
故选：D．
二．填空题
14．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×a×1≥0，且a≠0，
则a≤且a≠0，
则a的最大整数值为﹣1，
故答案为：﹣1．
三．解答题
15．（1）证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，
∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）解：当m＝0时，方程x2﹣mx+m﹣1＝0为方程x2﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
故m＝0时，方程的根是x1＝﹣1，x2＝1．
16．（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于9，
∴x＝±3是原方程的根，
当x＝3时，9﹣3（m+3）+m+2＝0．
解得m＝1；
当x＝﹣3时，9+3（m+3）+m+2＝0，
解得m＝﹣5．
综上所述，m的值为1或﹣5．
17．（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．
18．解：（1）将x＝1代入原方程可得1﹣（m+2）+2m＝0，
解得：m＝1．
（2）由题意可知：△＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
不论m取何实数，该方程总有两个实数根