2.2基本不等式-【新教材】人数A版（2019）高中数学必修第一册课件（24张PPT）

2.2 基本不等式
例题讲解
例１ 已知x >0，求 的最小值.
解：
一正
二定
三相等
变式1 若 求 的最小值
变式2 若 ,求 的最大值.
∵ x+(1-x) =1.
解: ∵00.
∴y=x(1-x)
当且仅当x=1-x, 时, 取“=”号.
即 x=
1
2
∴当 x = 时, 函数 y=x(1-x) 的最大值是 .
1
2
1
4
例2
一正
二定
三相等
例题讲解
例2 已知x ，y都是正数，求证：
（1） 如果积xy 等于定值P，那么当x =y时，和 x +y有最小值 ；
（1） 如果和 x +y等于定值S，那么当x =y时，积xy有最大值 .
证明：
利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足
(1)a，b必须是正数.（一正）
(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；
在ab为定值时，便可以知道a+b的最大值. （二定）
(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）
方法归纳
变式2、求下列各题的最值.
（1）x>3,求 的最小值；
（2）x>1，求 的最小值；
（1）x>3,求 的最小值；
解析：
当且仅当
即x=5时“=”成立
改变常数项，凑成积为定值
凑定值
所以函数的最小值为7.
（2）x>1，求 的最小值；
解析：
当且仅当
时“=”成立
分离常数，拆项凑成积为定值
凑定值
所以函数的最小值为
变形技巧：用“1”的代换
分析：要求x＋y的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元”等．
方法总结:
本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法2通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制．
(消去x后，原来x的限制条件，应当由代替它的y来“接班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)
1.已知a>0,b>0， 则a+2b的最小值为（ ）

A. B. C. D.14

A
2. 已知 x> ,则函数 y= 的最小值是 .
5
3.已知t>0, 则 的最小值为 .


-2
1.基本不等式及其变形。
3.凑定值时常用的变形方法。
2.应用基本不等式求最值需要注意的问题。
课后练习
课后习题