北师大版高中数学必修一-4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 课件（17张PPT）

一、零点定义探究
我的根是1
我的根是3和-1
我的根有点难度，等你们学完这节你们就会了！！！
问题 判断下列方程是否有实数根
画出相应函数的图像，结合图像找出与x轴的交点坐标:
方程
方程的实根
对应的函数
函数图像
函数图像与x轴的交点
y
x
y
x
方程的实数根就是函数图像与x轴交点的横坐标
1、 函数零点的定义
我们把函数 y =f (x)的图像与横轴的交点的横坐标叫做这个函数的零点。
零点是一
个点吗?
是交点的横坐标
探
究
新
知
温馨
提示1
函数的零点不是点，而是实数。
函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么样的关系？
思考：
转化
思想
方程的根与函数零点的关系
函数y=f(x) 有零点
函数y=f(x)的图像
与x轴有交点
方程f(x)=0有实根
函数零点方程根，
形数本是同根生。
形
数
1.函数y=f( x)的图象如下，

则其零点为 .
-2,1,3
牛刀小试
2.判断下列说法的正误：

（1）函数f(x)=x( －4)的零点是0,2，-2
（2）函数 有一个零点.
x
y
O
问题 观察下列两幅图,请你推断一下哪一幅图一定能说明小马已经成功过河？
图1
图2
二 、 零点存在性探究
当A、B两点在x轴的两侧时，可能会出现以下情形：
A
x
B
A
B
x
x
A
B
当A、B两点在x轴的同侧时，可能会出现以下情形：
x
A
B
x
A
B
x
A
B
A
B
a
b x
问题： 左右两端点a，b对应的函数值符号有
怎样的变化规律？如何表示？
端点函数值异号
（ f (a) ·f(b) < 0 ），则函数有零点
？
函数图象连续
0
y
x
0
y
x
x
y
0
a
b
深
度
探
讨
(1)
(2)
(3)
(4)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条
曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)
内至少有一个零点，即相应方程f(x)=0在区间(a,b) 内至少有一个实数解。
2、 零点存在定理
函数零点端点判，
图象连续不能忘。
例 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上满足f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) <0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内存在零点，则有 f (a) ·f(b) < 0 （ ）
（4）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内满足f (a) ·f(b) >0，则f（x）在区间(a,b)内没有零点， （ ）
a
b
O
x
y
a
b
O
x
y
函数零点存在定理的三个注意点：
1 函数是连续的。
2 至少存在一个零点，不排除更多。
3 定理不可逆。
三 、实例探究
判断函数f(x)=lnx+2x－6在区间(2,3)上是否存在零点。
四、学以致用
解： f(2) = <0， f(3)= >0，
从而f(2)·f(3)<0，
又f(x)在区间[2,3]上连续
∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
堂上练习：
变式:方程lnx+2x－6=0在区间(2,3)上是否有实数根？
函数零点方程根，
形数本是同根生。
函数零点端点判，
函数图象不能忘。
已知函数f(x)的图象是连续不断的， 且有如下的x ,f(x)对应值表：
–26
–12
–5
11
–7
9
23
f(x)
7
6
5
4
3
2
1
x
那么该函数在区间[1，6]上有（ ）零点.
A、只有3个 B、至少有3个
C、至多有3个 D、无法确定
B
堂上练习：
课堂小结：
2. 方法：
3. 思想:
1. 知识:
本节课你收获了什么？
函数零点的概念、零点存在定理
函数零点方程根，形数本是同根生。
函数零点断点判，函数连续不能忘。
数形结合、函数与方程
等价转化的数学思想.
行动与不满足是进步的第一必需品。